什么叫做二次函數(shù)？二次函數(shù)與一元二次方程有什么聯(lián)系？
復(fù)習(xí)1.任意寫一個(gè)關(guān)于x是一次函數(shù)？并說(shuō)明理由？2.一次函數(shù)的解析式，判定一次函數(shù)需要注意什么？
問(wèn)題1 正方體六個(gè)面是全等的正方形，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 x，表面積為 y，則 y 關(guān)于 x 的關(guān)系式.
問(wèn)題2 n 個(gè)球隊(duì)參加比賽，每?jī)申?duì)之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，比賽的場(chǎng)次數(shù) m 與球隊(duì)數(shù) n 有什么關(guān)系？
問(wèn)題3 某種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是 20 t，計(jì)劃今后兩年增加產(chǎn)量. 如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加 x 倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量 y 將隨計(jì)劃所定的 x 的值而確定，y 與 x 之間的關(guān)系怎樣表示？
y=20(1 + x)2
y = 20x2 + 40x + 20.
y = 20x2 + 40x + 20
思考 1.問(wèn)題 1~3 中函數(shù)關(guān)系式有什么共同點(diǎn)?2.類比一元二次方程，用一個(gè)解析式表示這些函數(shù)關(guān)系式？
一般地，形如 y = ax2 + bx + c (a，b，c 是常數(shù)，a≠0) 的函數(shù)叫做二次函數(shù).
其中 x 是自變量，a，b，c 分別是函數(shù)解析式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
1.下列函數(shù)中哪些是關(guān)于x二次函數(shù)? 并說(shuō)明理由①y = (x + 3)2 ? x2； ② y = 3 ? 2x2； ③ y = x2 + 3x；④ ； ⑤ y = x2 + x3 + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c.
(1) 化簡(jiǎn)：將函數(shù)解析式右邊整理為含自變量，左邊是因變量的形式；(2) 二次：等式的右邊自變量的最高次數(shù)為 2.(3)整式： 等號(hào)左邊是因變量 y，右邊是關(guān)于自變量 x 的整式；(4) 不為0：不為a，b，c 為常數(shù)，且 a≠0；
y = ax2 + bx + c (a，b，c 是常數(shù)，a≠0)
y = ax2 (a≠0)
y = ax2 + c (a≠0)
y = ax2 + bx (a≠0)
例1 若函數(shù) 是二次函數(shù)， 求 m 的值.
(1) m取什么值時(shí)，此函數(shù)是二次例函數(shù)？(2) m取什么值時(shí)，此函數(shù)是一次函數(shù)？
例3 如圖，用一段長(zhǎng)為 30 米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻 (墻的長(zhǎng)度不限) 的矩形菜園 ABCD，設(shè) AB 邊長(zhǎng)為 x 米，求菜園的面積 y (單位：平方米) 與 x (單位：米) 的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍。
y = ax2 + bx + c (a≠0)
1. 下列函數(shù)是二次函數(shù)的是( )A．y＝2x＋1 B．C．y＝3x2＋1 D．
2. 把 y = (2 - 3x)(6 + x) 變成 y = ax2 + bx + c 的形式， 二次項(xiàng)為_(kāi)____，一次項(xiàng)系數(shù)為_(kāi)____，常數(shù)項(xiàng) 為 .
3. 已知二次函數(shù) .
(1) 求 k 的值；(2) 當(dāng) x = 0.5 時(shí)，y 的值是多少？
將 x = 0.5 代入函數(shù)關(guān)系式 y = x2 + 2x - 1，得 y = (0.5)2 + 2×0.5 - 1 = 0.25.
(2) 由 (1) 得，y = x2 + 2x - 1.
4. 矩形的周長(zhǎng)為 16 cm，它的一邊長(zhǎng)為 x cm，面積為 y cm2.(1) 寫出 y 與 x 之間的函數(shù)解析式及自變量 x 的取值范圍；(2) 當(dāng) x = 3 時(shí)，求矩形的面積.
解：(1) y＝(8 ? x)x＝?x2＋8x (0＜x＜8).
(2) 當(dāng) x＝3 時(shí)，y＝?32＋8×3＝15 (cm2) . ∴ 矩形的面積是 15 cm2.

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22.1.1 二次函數(shù)

版本： 人教版（2024）

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