TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc20255" 【題型1 利用勾股定理求線段長】 PAGEREF _Tc20255 \h 1
\l "_Tc27933" 【題型2 利用勾股定理求面積】 PAGEREF _Tc27933 \h 2
\l "_Tc18288" 【題型3 利用勾股定理解決折疊問題】 PAGEREF _Tc18288 \h 3
\l "_Tc18691" 【題型4 利用勾股定理求平面坐標系中兩點之間的距離】 PAGEREF _Tc18691 \h 5
\l "_Tc19035" 【題型5 利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】 PAGEREF _Tc19035 \h 6
\l "_Tc19725" 【題型6 勾股定理驗證方法的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc19725 \h 7
\l "_Tc9716" 【題型7 勾股樹問題】 PAGEREF _Tc9716 \h 9
\l "_Tc22711" 【題型8 勾股定理在格點中的應(yīng)用】 PAGEREF _Tc22711 \h 11
\l "_Tc9912" 【題型9 直角三角形中的分類討論思想】 PAGEREF _Tc9912 \h 12
\l "_Tc28106" 【題型10 利用勾股定理解決動點問題】 PAGEREF _Tc28106 \h 13
【知識點 勾股定理】
在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角
邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．
【題型1 利用勾股定理求線段長】
【例1】（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖，小聰用圖1中的一副七巧板拼出如圖2所示“鳥”，已知正方形ABCD的邊長為4，則圖2中E，F(xiàn)兩點之間的距離為（ ）

A．26B．213C．10D．16
【變式1-1】（2023春·廣東東莞·八年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AB=2,∠B=60°,∠C=45°，求BC和AC的長．

【變式1-2】（2023春·安徽安慶·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB長比AC長大1，BC=15，D是AB上一點，BD=9，CD=12．
(1)求證：CD⊥AB；
(2)求AC長．
【變式1-3】（2023春·遼寧營口·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖OP=1，過P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=2，再過點P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，連接OP2，得OP2=3；又過點P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法繼續(xù)作下去，得OP12+OP22+OP32+OP42+…+OP102=__．

【題型2 利用勾股定理求面積】
【例2】（2023春·安徽合肥·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ硎俏覈糯膫ゴ髷?shù)學發(fā)明之一．如圖，以Rt△ABC∠ACB=90°的各邊向外作正方形，得到三塊正方形紙片，再把較小的兩張正方形紙片放入最大的正方形中，重疊部分的面積記作S1，左下不重疊部分的面積記作S2，若S1=3，則S2的值是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【變式2-1】（2023春·北京昌平·八年級?？茧A段練習）如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB,AC，灰色部分面積記為S1，黑色部分面積記為S2，白色部分面積記為S3，則（ ）
A．S1=S2B．S2=S3C．S1=S3D．S1=S2-S3
【變式2-2】（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB邊上的高等于AB的長度，△QBC中BC邊上的高等于BC的長度，△HAC中AC邊上的高等于AC的長度，且△PAB，△QBC的面積分別是10和8，則△ACH的面積是（ ）
A．2B．4C．6D．9
【變式2-3】（2023春·八年級單元測試）在直線 l 上依次擺放著七個正方形(如圖所示)，已知斜放置的三個正方形的面積分別 為 a，b，c，正放置的四個正方形的面積依次為 S1，S2，S3，S4，則 S1＋S2＋S3＋S4＝( )
A．a(chǎn)＋bB．b＋cC．a(chǎn)＋cD．a(chǎn)＋b＋c
【題型3 利用勾股定理解決折疊問題】
【例3】（2023春·全國·八年級階段練習）如圖，有一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上且與AE重合，則BD的長為（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
【變式3-1】（2023春·八年級課時練習）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=4，D為斜邊AB上的中點，E是直角邊AC上的一點，連接DE，將△ADE沿DE折疊至△A'DE，A'E交BD于點F，若△DEF的面積是△ADE面積的一半，則DE為（ ）
A．2B．25C．22D．4
【變式3-2】（2023春·福建廈門·八年級?？茧A段練習）如圖的實線部分是由 Rt△ABC 經(jīng)過兩次折疊得到的，首先將 Rt△ABC 沿 BD 折疊，使點 C 落在斜邊上的點 C' 處，再沿 DE 折疊，使點 A 落在 DC' 的延長線上的點 A' 處．若圖中 ∠C=90°，DE=3cm，BD=4cm，則 DC' 的長為______．
【變式3-3】（2023春·全國·八年級階段練習）有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC = 6cm，BC = 8cm．
①如圖1，現(xiàn)將紙片沿直線AD折疊，使直角邊AC落在斜邊AB上，則CD =_________cm．
②如圖2，若將直角∠C沿MN折疊，點C與AB中點H重合，點M、N分別在AC、BC上，則AM2、BN2與MN2之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
【題型4 利用勾股定理求平面坐標系中兩點之間的距離】
【例4】（2023春·全國·八年級專題練習）先閱讀一段文字，再回答下列問題，已知在平面內(nèi)兩點坐標P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其兩點間距離公式為P1P2=(x2-x1)2+(y2-y1)2，同時，當兩點所在直線在坐標軸上或平行于x軸或垂直于x軸時，兩點間距離公式可化簡為|x2-x1|或|y2-y1|．
(1)已知A(3,5)，B(-2,-1)，則A、B兩點間的距離為 ；
(2)已知A，B在平行于y軸的直線上，點A的縱坐標為5，點B的縱坐標為-1，則A，B兩點間的距離為 ；
(3)已知A，B在平行于x軸的直線上，點A的橫坐標為5.且A，B兩點間的距離為3，則點B的橫坐標為 ；
(4)已知一個三角形各頂點坐標為A(0,6)，B(-3,2)，C(3,2)，請判定此三角形的形狀，并說明理由．
【變式4-1】（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，Rt△AOB的頂點A2，1，B-2，n分別在第一，二象限內(nèi)，∠AOB=90°，則n的值為（ ）
A．6B．5C．4D．3
【變式4-2】（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標系xOy中，已知點P(m,2n2-4)，且實數(shù)m，n滿足m-n2+4=0，則點P到原點O的距離的最小值為______．
【變式4-3】（2023春·福建龍巖·八年級?？茧A段練習）閱讀理解：說明代數(shù)式x2+1+(x-3)2+4的幾何意義，并求它的最小值．
解：x2+1+(x-3)2+4=(x-0)2+1+(x-3)2+22．
幾何意義：如圖，建立平面直角坐標系，點P(x,0)是x軸上一點，則(x-0)2+12可以看成點P與點A(0,1)的距離，(x-3)2+22可以看成點P與點B(3,2)的距離，所原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA+PB的最小值．
求最小值：設(shè)點A關(guān)于x軸對稱點A'，則PA=PA'．因此，求PA+PB的最小值，只需求PA'+PB的最小值，而點A'，B間的直線段距離最短，所以PA'+PB的最小值為線段A'B的長度．為此，構(gòu)造直角三角形A'CB，因為A'C=3,CB=3，所以由勾股定理得A'B=32，即原式的最小值為32．
根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：
(1)代數(shù)式(x-1)2+1+(x-2)2+9的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)與點A(1,1)，點B__________的距離之和．（填寫點B的坐標）
(2)代數(shù)式x2+49+x2-12x+37的值可以看成平面直角坐標系中點P(x,0)．與點A__________、點B__________的距離之和．（填寫點A，B的坐標）
(3)求出代數(shù)式x2+49+x2-12x+37的最小值．
【題型5 利用勾股定理證明線段的平方關(guān)系】
【例5】（2023春·河北石家莊·八年級石家莊外國語學校校考階段練習）已知對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對角線AC，BD交于點O．
（1）若AB=5，OA=3，OC=4，則BC=______；
（2）若AD=2，BC=5，則AB2+CD2=______；
（3）若AB=m，BC=n，CD=c，AD=d，則m，n，c，d之間的數(shù)量關(guān)系是______．
【變式5-1】（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┰赗t△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，若∠A=90°，則（ ）
A．a(chǎn)2+b2=c2B．a(chǎn)2+c2=b2C．b2+c2=a2D．a(chǎn)+c=b
【變式5-2】（2023春·八年級課時練習）素有“千古第一定理”之稱的勾股定理，它是人類第一次將數(shù)與形結(jié)合在一起的偉大發(fā)現(xiàn)，也是人類最早發(fā)現(xiàn)并用于生產(chǎn)、觀天、測地的第一個定理，它導致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學危機，它使數(shù)學由測量計算轉(zhuǎn)變?yōu)橥评碚撟C．在中國，也被稱為“商高定理”，西方則稱其為“畢達哥拉斯定理”，幾千年來，太多的溢美之詞給了這一定理，由于它迷人的魅力，人們冥思苦索給出了數(shù)百種證明方法，成為了證明方法最多的定理，其中，利用等面積法證明勾股定理最為常見，現(xiàn)有四名網(wǎng)友為證明勾股定理而提供的圖形，其中提供的圖形（可以作輔助線）能證明勾股定理的網(wǎng)友是________（填寫數(shù)字序號即可）．
【變式5-3】（2023春·湖北·八年級校考期中）已知如圖，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延長線上．
求證：（1）AD2-AB2=BD?CD；
（2）若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論．
【題型6 勾股定理驗證方法的應(yīng)用】
【例6】（2023春·山西太原·八年級統(tǒng)考期中）我國古代稱直角三角形為“勾股形”，并且直角邊中較短邊為勾，另一直角邊為股，斜邊為弦.如圖1所示，數(shù)學家劉徽（約公元225年—公元295年）將勾股形分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖2所示的長方形，是由兩個完全相同的“勾股形”拼接而成，若a=3，b=1，則長方形的面積為______.
【變式6-1】（2023春·新疆烏魯木齊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分別以四邊形的四條邊為邊向外作正方形，面積分別為S1,S2,S3,S4，若S1+S4=135,S3=49，則S2=（ ）
A．184B．86C．119D．81
【變式6-2】（2023春·北京海淀·八年級北京市十一學校?？计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形（如圖1）拼成的一個大正方形（如圖2）．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b．若ab=8，大正方形的面積為25，則圖2中EF的長為（ ）

A．3B．4C．22D．32
【變式6-3】（2023春·江蘇·八年級專題練習）中國數(shù)學史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學家是公元3世紀三國時期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成． 將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為S1,S2，S3． 若S1+S2+S3=18， 則正方形EFGH的面積為_______．
【題型7 勾股樹問題】
【例7】（2023春·全國·八年級階段練習）正方形ABCD的邊長為1，其面積記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2，?按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S2022的值為（ ）
A．122022B．122021C．222022D．222021
【變式7-1】（2023春·八年級統(tǒng)考期中）圖1是第七屆國際數(shù)學教育大會（ICME）的會徽，主體圖案是由如圖2的一連串直角三角形演化而成，其中 OA1=A1A2=A2A3=???=A8A9=1 ，現(xiàn)把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去如圖3所示，若 OA3?OAn 的值是整數(shù)，且1≤n≤30，則符合條件的n有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式7-2】（2023春·山東菏澤·八年級?？茧A段練習）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程所畫出來的圖形，因為重復數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為______．

【變式7-3】（2023春·江西南昌·八年級南昌市第三中學?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愖顐ゴ蟮氖畟€科學發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．
(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為S1，S2，S3，利用勾股定理，判斷這3個圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的有________個．
②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，也滿足S1+S2=S3嗎？若滿足，請證明；若不滿足，請求出S1，S2，S3的數(shù)量關(guān)系．
(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這一過程就可以得到如圖6所示的“勾股樹”．在如圖7所示的“勾股樹”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長為定值m，四個小正方形A，B，C，D的邊長分別為a，b，c，d，則a2+b2+c2+d2=__________．
【題型8 勾股定理在格點中的應(yīng)用】
【例8】（2023春·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習）問題背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為5、10、13，求這個三角形的面積．小明同學在解答這道題時，先建立一個正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點△ABC（即△ABC三個頂點都在小正方形的頂點處）．如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計算出它的面積．
(1)請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上 ；
思維拓展：
(2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為2、13、17，請利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）畫出相應(yīng)的△ABC．并求出它的面積．
探索創(chuàng)新：
(3)若△ABC三邊的長分別為5a、22a、17a（a＞0），請利用圖③的正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．
(4)若△ABC三邊的長分別為m2+16n2、9m2+4n2、2m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），試運用構(gòu)圖法求出這個三角形的面積．
【變式8-1】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，以格點為頂點的△ABC的面積等于3，則點A到邊BC的距離為（ ）
A．B．2C．4D．3
【變式8-2】（2023春·浙江·八年級期末）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點．以頂點都是格點的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E，F(xiàn)，G，H都是格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖．例如，在如圖1所示的格點弦圖中，正方形ABCD的邊長為65，此時正方形EFGH的而積為5．問：當格點弦圖中的正方形ABCD的邊長為65時，正方形EFGH的面積的所有可能值是_____（不包括5）．
【題型9 直角三角形中的分類討論思想】
【例9】（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）△ABC中，AB=20，AC=13，BC上的高為12，求BC的長．
【變式9-1】（2023春·河南鄭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5，點E為射線BC上一點，若△ABE是直角三角形，則△ABE的面積是___________.
【變式9-2】（2023春·四川成都·八年級四川省蒲江縣蒲江中學?？计谥校┰凇鰽BC中，AB=20，AC=13，AD為BC邊上的高，且AD=12，△ABC的周長為______．
【變式9-3】（2023·黑龍江哈爾濱·八年級期中）已知在△ABC中，AB=3，AC=1，S△ABC=34，則BC的長是___________．
【題型10 利用勾股定理解決動點問題】
【例10】（2022春·安徽合肥·八年級合肥市第四十二中學?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=6，動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位長的速度，沿射線BC運動，設(shè)運動時間為t秒，請解答以下問題：
(1)BC邊的長為________；
(2)當△ABP為直角三角形時，求t的值，寫出求解過程；
(3)當△ABP為等腰三角形時，直接寫出t的值．
【變式10-1】（2023春·河南信陽·八年級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是AB上一個動點，F(xiàn)是AD上一個動點（點F不與點D重合）．連接EF把△AEF沿EF折疊，使點A的對應(yīng)點A'總落在邊DC上．若△A'EC是以A'E為腰的等腰三角形，則A'D的長為_____________________．
【變式10-2】（2023春·全國·八年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，AD＝AB＝4，E是AD中點，M是邊BC上的一個動點，N是邊CD上的一個動點，則AM＋MN＋EN的最小值是______．
【變式10-3】（2023·河南駐馬店·八年級駐馬店市第二初級中學?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系 xOy 中，點 A，B 的坐標分別為 A（0，2），B（8，8），點 C（m，0）為 x 正半軸 上一個動點．
（1）當 m＝4 時，寫出線段 AC＝ ，BC＝ ．
（2）當 0＜m＜8 時，求△ABC 的面積．（用含 m 的代數(shù)式表示）
（3）當點 C 在運動時，是否存在點 C 使△ABC 為直角三角形，如果存在，請求出這個三角形的面積；如果不存在， 請說明理由．

相關(guān)試卷

初中數(shù)學蘇科版七年級下冊9.4 乘法公式課時練習：

這是一份初中數(shù)學蘇科版七年級下冊9.4 乘法公式課時練習，共13頁。

蘇科版七年級上冊4.2 解一元一次方程課后作業(yè)題：

這是一份蘇科版七年級上冊4.2 解一元一次方程課后作業(yè)題，共8頁。

蘇科版七年級上冊2.3 數(shù)軸免費當堂達標檢測題：

這是一份蘇科版七年級上冊2.3 數(shù)軸免費當堂達標檢測題，共20頁。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

蘇科版七年級上冊2.3 數(shù)軸免費達標測試

蘇科版七年級上冊2.3 數(shù)軸免費達標測試
蘇科版八年級上冊3.1 勾股定理練習

蘇科版八年級上冊3.1 勾股定理練習
初中數(shù)學蘇科版八年級上冊3.1 勾股定理精品鞏固練習

初中數(shù)學蘇科版八年級上冊3.1 勾股定理精品鞏固練習
蘇科版八年級上冊3.1 勾股定理同步訓練題

蘇科版八年級上冊3.1 勾股定理同步訓練題
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
初中數(shù)學蘇科版八年級上冊電子課本 舊教材

3.1 勾股定理

版本： 蘇科版

年級： 八年級上冊

切換課文
  • 課件
  • 教案
  • 試卷
  • 學案
  • 更多
所有DOC左下方推薦
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部