專(zhuān)題3.1?勾股定理?重難點(diǎn)題型學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 評(píng)卷人得分  一、單選題1．如圖，分別以直角△ABC的三邊AB、BC、CA為直徑向外作半圓，圖中陰影部分面積分別為S1，S2，S3，S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，則S3的值為（  ）A．6 B．5 C．4 D．32．“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（   ）A．3 B．4 C．5 D．63．如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“勾股方圓圖”（又稱(chēng)趙爽弦圖），它是由四個(gè)全等的直角三角形（直角邊分別為a，b，斜邊為c）與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形的面積為11，小正方形的面積為3，則的值為（    ）A．68 B．89 C．119 D．1304．如圖，在甲、乙兩個(gè)大小不同的6×6的正方形網(wǎng)格中，正方形ABCD，EFGH分別在兩個(gè)網(wǎng)格上，且各頂點(diǎn)均在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．若正方形ABCD，EFGH的面積相等，甲、乙兩個(gè)正方形網(wǎng)格的面積分別記為，，有如下三個(gè)結(jié)論：①正方形ABCD的面積等于的一半；②正方形EFGH的面積等于的一半；③．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　　）A．①② B．②③ C．③ D．①②③5．如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為（    ）A．1 B．2 C． D．6．學(xué)習(xí)了勾股定理之后，老師給大家留了一個(gè)作業(yè)題，小明看了之后，發(fā)現(xiàn)三角形各邊都不知道，無(wú)從下手，心中著急．請(qǐng)你幫助一下小明．如圖，的頂點(diǎn)，，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（　?。?/span>A． B． C． D． 評(píng)卷人得分  二、填空題7．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為           ．8．如圖所示，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為，正方形A，B，C的面積分別是，，，則正方形的面積是      ．9．如圖，鐵路MN和公路PQ在O點(diǎn)處交匯，公路PQ上A處點(diǎn)距離O點(diǎn)240米，距離MN 120米，如果火車(chē)行駛時(shí)，周?chē)鷥砂倜滓詢(xún)?nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么火車(chē)在鐵路MN上沿ON方向，以144千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間是       s10．如圖，，，，一機(jī)器人在點(diǎn)B處看見(jiàn)一個(gè)小球從點(diǎn)A出發(fā)沿著方向勻速滾向點(diǎn)，機(jī)器人立即從點(diǎn)B出發(fā)，沿直線勻速前進(jìn)攔截小球，恰好在點(diǎn)C處截住了小球，如果小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，則機(jī)器人行走的路程BC為          ．11．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為，點(diǎn)在小正方形的格點(diǎn)上，連接，則        ．12．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》，其勾股數(shù)組公式為a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2＋n2），其中m，n（m＞n）是互質(zhì)的奇數(shù)，則a，b，c為勾股數(shù)．我們令n＝1，得到下列順序排列的等式：①32＋42＝52，②52＋122＝132，③72＋242＝252，④92＋402＝412，…根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出第⑥個(gè)等式為               ． 評(píng)卷人得分  三、解答題13．如圖，一架25米長(zhǎng)的梯子斜靠在一豎直的墻上，梯子底端離墻有7米．（1）求梯子靠墻的頂端距地面有多少米？（2）小燕說(shuō)“如果梯子的頂端沿墻下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向就滑動(dòng)了4米．”她的說(shuō)法正確嗎？若不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．一梯子長(zhǎng)2.5m，如圖那樣斜靠在一面墻上，梯子底端離墻0.7m．(1)這架梯子的頂端離地面有多高？(2)設(shè)梯子頂端到水平地面的距離為，底端到垂直墻面的距離為，若，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知：當(dāng)時(shí)，梯子最穩(wěn)定，使用時(shí)最安全．若梯子的頂端下滑了，請(qǐng)問(wèn)這時(shí)使用是否安全．15．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，作者是我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時(shí)，秋千的踏板就和人一樣高，這個(gè)人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問(wèn)繩索有多長(zhǎng)．”16．臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周?chē)锨椎姆秶鷥?nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?/span>250km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域．(1)海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？17．我國(guó)在防控新冠疫情上取得重大成績(jī)，但新冠疫情在國(guó)外開(kāi)始蔓延，為了防止境外輸入病例的增加，我國(guó)暫時(shí)停止了一切國(guó)際航班、水運(yùn)．如圖，在我國(guó)沿海有一艘不明國(guó)籍的輪船進(jìn)入我國(guó)海域，我國(guó)海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，6分鐘后同時(shí)到達(dá)C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時(shí)航行120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行50海里，乙巡航艇的航向?yàn)楸逼?/span>．（1）求甲巡邏艇的航行方向（用含n的式子表示）（2）成功攔截后，甲、乙兩艘巡邏艇同時(shí)沿原方向返回且速度不變，3分鐘后甲、乙兩艘巡邏艇相距多少海里？18．如圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，于A，于B，已知，現(xiàn)在要在鐵路上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少千米處？19．如圖所示，MN以左為我國(guó)領(lǐng)海，以右為公海，上午9時(shí)50分我國(guó)緝私艇A發(fā)現(xiàn)在其正東方向有一走私艇C并以每小時(shí)13海里的速度偷偷向我國(guó)領(lǐng)海開(kāi)來(lái)，便立即通知距其5海里，并在MN線上巡邏的緝私艇B密切注意，并告知A和C兩艇的距離是13海里，緝私艇B測(cè)得C與其距離為12海里，若走私艇C的速度不變，最早在什么時(shí)間進(jìn)入我國(guó)海域？20．“中華人民共和國(guó)道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車(chē)在城街路上行駛速度不得超過(guò)70千米/小時(shí)，如圖，一輛小汽車(chē)在一條城市街路上直道行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路面對(duì)車(chē)速檢測(cè)儀A的正前方50米處的C點(diǎn)，過(guò)了6秒后，測(cè)得小汽車(chē)所在的B點(diǎn)與車(chē)速檢測(cè)儀A之間的距離為130米．（1）求BC間的距離；（2）這輛小汽車(chē)超速了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．21．某城市規(guī)定小汽車(chē)在街道上的行駛速度不得超過(guò)70千米/時(shí)，一輛小汽車(chē)在一條城市街道上直行，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面“車(chē)速檢測(cè)儀A”正前方30米C處，過(guò)了2秒后，測(cè)得小汽車(chē)位置B與“車(chē)速檢測(cè)儀A”之間的距離為50米，這輛小汽車(chē)超速了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．22．某路段限速標(biāo)志規(guī)定：小汽車(chē)在此路段上的行駛速度不得超過(guò)70 km/h，如圖，一輛小汽車(chē)在該筆直路段l上行駛，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面的車(chē)速檢測(cè)儀A的正前方30 m的點(diǎn)C處，2s后小汽車(chē)行駛到點(diǎn)B處，測(cè)得此時(shí)小汽車(chē)與車(chē)速檢測(cè)儀A間的距離為 50m．(1)求BC的長(zhǎng)．(2)這輛小汽車(chē)超速了嗎？并說(shuō)明理由．23．如圖，在中，，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)，．（1）求的長(zhǎng)度；（2）求的長(zhǎng)．24．如圖，在△ABC中．D是AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）試說(shuō)明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的長(zhǎng)．  25．如圖，在中，，是的平分線，于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若，求線段的長(zhǎng)度．26．如圖，在中，，，，的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接．（1）求的長(zhǎng)．（2）求的長(zhǎng)．
參考答案：1．D【分析】根據(jù)勾股定理，圓的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：由勾股定理得：∵S1=13平方厘米，S2=10平方厘米，平方厘米，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么2．C【分析】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積-4個(gè)直角三角形的面積，利用已知 =21，大正方形的面積為13，可以得以直角三角形的面積，進(jìn)而求出答案。【詳解】由于大正方形的邊長(zhǎng)為，又大正方形的面積為13，即，而小正方形的面積表達(dá)式為，而小正方形的面積表達(dá)式為 故本題正確答案為C．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形，用到勾股定理的證明，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】利用含a，b，c表示出大正方形和小正方形的面積，由兩式相減可求得，再對(duì)利用完全平方公式進(jìn)行變形即可求得答案．【詳解】解：大正方形的面積為：，小正方形的面積為：，由得，，即，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、已知等式的值求多項(xiàng)式的值的問(wèn)題。正方形的面積公式，把多項(xiàng)式化為已知多項(xiàng)式形的形式是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】設(shè)甲正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為a，乙正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為b，分別求出，，和，根據(jù)S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝即可判斷①②，再由正方形ABCD，EFGH的面積相等得出，進(jìn)而判斷③．【詳解】解：設(shè)甲正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為a，乙正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為b，則，，，，∴S正方形ABCD＝，S正方形EFGH＝，∴正方形ABCD的面積大于的一半；正方形EFGH的面積等于的一半；∵S正方形ABCD＝S正方形EFGH，∴，∴，∴，即，∴正確結(jié)論的序號(hào)是②③，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于設(shè)出甲正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為a，乙正方形網(wǎng)格中每一小格長(zhǎng)度為b．本題還可以根據(jù)正方形在正方形網(wǎng)格中占面積的比例進(jìn)行求解．5．B【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算BC的長(zhǎng)，再利用面積差可得三角形ABC的面積，由三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：由勾股定理得：，∵，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積的計(jì)算，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】由勾股定理求出AC=5，再由等面積法求出BD即可．【詳解】解：由勾股定理得：， ∵BD⊥AC， ∴△ABC的面積=， ∴BD=， 故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理以及三角形面積的計(jì)算，熟練掌握勾股定理及等面積法的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．7．【分析】根據(jù)勾股定理可得，從而得到，依次類(lèi)推，即可得到，找出規(guī)律，進(jìn)而得到S2022的值．【詳解】解：如圖所示，△CDE為等腰直角三角形，則CE=DE，，∴，即，同理可得：，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理與正方形面積的關(guān)鍵找出規(guī)律．8．17【分析】根據(jù)勾股定理有，，，等量代換即可求正方形D的面積．【詳解】如圖，根據(jù)勾股定理可知， ∵，，， ∴， ∴正方形D的面積=49-8-10-14=17（cm2）； 故答案為：17．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，注意根據(jù)正方形的面積公式以及勾股定理得到圖中正方形的面積之間的關(guān)系：以直角三角形的兩條直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)正方形的面積和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的面積．9．8【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥ON，根據(jù)題意可知AC的長(zhǎng)與200米相比較，發(fā)現(xiàn)受到影響，然后過(guò)點(diǎn)A作AD=AB=200米，求出BD的長(zhǎng)即可得出居民樓受噪音影響的時(shí)間．【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵公路PQ上A處點(diǎn)距離O點(diǎn)240米，距離MN 120米，∴AC=120米，當(dāng)火車(chē)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)A處產(chǎn)生噪音影響，此時(shí)AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵144千米/小時(shí)=40米/秒，∴影響時(shí)間應(yīng)是：320÷40=8秒．故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用．根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題關(guān)鍵．10．5m【分析】由題意根據(jù)小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，得到BC=AC，設(shè)BC=AC=xm，根據(jù)勾股定理求出x的值即可．【詳解】解：∵小球滾動(dòng)的速度與機(jī)器人行走的速度相等，∴BC=AC，設(shè)BC=AC=xm，則OC=（9-x）m，在Rt△BOC中，∵OB2+OC2=BC2，∴32+（9-x）2=x2，解得x=5．故答案為：5m．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．11．45【分析】連接利用勾股定理求解 證明為等腰直角三角形，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接 由勾股定理得： 為等腰直角三角形， 故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．132＋842＝852【分析】通過(guò)觀察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在觀察各底數(shù)的特點(diǎn)，找到規(guī)律即可得出第⑥個(gè)等式．【詳解】解：∵3＝2×1＋1，5＝2×2＋1，7＝2×3＋1，9＝2×4＋1，∴第一個(gè)數(shù)的底數(shù)是2n＋1，指數(shù)是2，∵4＝2×12＋2×1，12＝2×22＋2×2，24＝2×32＋2×3，40＝2×42＋2×4，∴第二個(gè)數(shù)的底數(shù)是2n2＋2n，指數(shù)是2，∵第三個(gè)數(shù)的底數(shù)比第二個(gè)數(shù)的底數(shù)大1，指數(shù)是2，∴第n個(gè)等式為（2n＋1）2＋（2n2＋2n）2＝（2n2＋2n＋1）2，∴第⑥個(gè)等式為132＋842＝852，故答案為：132＋842＝852.【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的數(shù)字規(guī)律，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到每一組數(shù)據(jù)的規(guī)律.13．（1）24米；（2）不正確，理由見(jiàn)解析．【分析】（1）利用勾股定理，即可求出答案；（2）由題意，先求出，，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案．【詳解】解：（1）如圖，由題意得，，∴∴即頂端距地面有24米（2）她的說(shuō)法不正確；由題意得，，，∴，∴，∴，∴梯子水平滑動(dòng)了8米，∴她的說(shuō)法不正確．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．(1)這架梯子的頂端離地面2.4m；(2)此時(shí)使用不安全 【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）由勾股定理求出，利用公式求出a進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）解：由題意可知在中，，，，∴由勾股定理可得，，即，∴，即這架梯子的頂端離地面2.4m；（2）解：如圖所示，，則在中，，，∴由勾股定理可得，，∴可得，∴此時(shí)使用不安全．．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確掌握勾股定理的計(jì)算公式及正確理解題意是解題的關(guān)鍵．15．尺【分析】設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．【詳解】解：設(shè)秋千的繩索長(zhǎng)為x尺，根據(jù)題意可列方程為：x2=102+（x-4）2，解得：x=，∴秋千的繩索長(zhǎng)為尺．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，表示出AB、AC的長(zhǎng)，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．16．(1)會(huì)，理由見(jiàn)解析(2)7h 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，從而判斷出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間．【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴，∴△ABC為直角三角形，∴，∴，∴，∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周?chē)?/span>250km以?xún)?nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響；（2）由（1）得CD=240km，如圖所示，當(dāng)EC=FC=250km時(shí)，即臺(tái)風(fēng)經(jīng)過(guò)EF段時(shí)，正好影響到海港C，此時(shí)△ECF為等腰三角形，∵，∴EF=140km，∵臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，∴140÷20=7h，∴臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有7h．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．17．（1）；（2）海里【分析】（1）先用路程等于速度乘以時(shí)間計(jì)算出，的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，再利用在直角三角形中兩銳角互余求解；（2）分別求得甲、乙航行3分鐘的路程，然后由勾股定理來(lái)求甲乙的距離．【詳解】解：（1）（海里），（海里），又AB=13海里所以，所以是直角三角形， 所以由已知得，所以，所以甲的航向?yàn)楸逼珫|， （2）甲巡邏船航行3分鐘的路程為（海里）乙甲巡邏船航行3分鐘的路程為（海里）所以3分鐘后甲、乙兩艘巡邏船相距為：（海里）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的判定、勾股定理及方向角的理解及運(yùn)用，難度適中．利用勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形是解題的關(guān)鍵．18．E點(diǎn)應(yīng)建在距A站10千米處．【分析】根據(jù)產(chǎn)品收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，在和中，設(shè)出的長(zhǎng)，可將和的長(zhǎng)表示出來(lái)，列出等式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)，∵C、D兩村到E站的距離相等，∴，即，由勾股定理，得,∴，解得．∴E點(diǎn)應(yīng)建在距A站10千米處．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理將兩個(gè)直角三角形的斜邊表示出來(lái)，兩邊相等求解即可．19．走私艇最早在10時(shí)41分進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海．【分析】先判斷出△ABC是直角三角形，再用面積相等計(jì)算出BD，在Rt△BCD中，由勾股定理計(jì)算出CD，算出走私艇行駛的時(shí)間，即可求出進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海的時(shí)刻．【詳解】∵  ，∴  △ABC為直角三角形．∴  ∠ABC＝90°．又BD⊥AC，∴,∴,在Rt△BCD中，由勾股定理得：．∴≈0.85(h)＝51(分)．所以走私艇最早在10時(shí)41分進(jìn)入我國(guó)領(lǐng)海．【點(diǎn)睛】本題是與航海有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題，考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，用面積相等計(jì)算直角三角形斜邊上的高是常用的方法．20．（1）120米；（2）超速，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)；（2）直接求出小汽車(chē)的時(shí)速，進(jìn)而比較得出答案．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∵AC=50m，AB=130m，且AB為斜邊，根據(jù)勾股定理得：BC=120（m）；（2）這輛小汽車(chē)超速了．理由：∵120÷6=20（m/s），平均速度為：20m/s，20m/s=72km/h，72＞70，∴這輛小汽車(chē)超速了．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．21．該小汽車(chē)超速了，平均速度大于70千米/時(shí)．【分析】直接利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出汽車(chē)的速度，即可比較得出答案．【詳解】解：由題意知，AB＝50米，AC＝30米，且在Rt△ABC中，AB是斜邊，根據(jù)勾股定理，可以求得BC＝40米＝0.04千米，且2秒時(shí)，所以速度為千米/時(shí)，∵72>70，∴該小汽車(chē)超速了．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出汽車(chē)的速度是解題關(guān)鍵．22．(1)40(2)超速 【分析】（1）首先結(jié)合題目中所給的數(shù)據(jù)，，，根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng)；（2）求出小汽車(chē)的時(shí)速與限定時(shí)速比較即可得出答案．【詳解】（1）解：則根據(jù)題意可以得到，根據(jù)勾股定理可得：，∴BC的長(zhǎng)為40m.（2）解：∵該小汽車(chē)的速度為：，，這輛小汽車(chē)超速了．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)已知得出BC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．23．（1）15；（2）【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）設(shè)，則AE=12-x，根據(jù)勾股定理列方程，即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）在中，∵，，，∴．（2）∵垂直平分，∴，設(shè)，則，在中，∵，∴，解得．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（1）見(jiàn)解析；（2）2.8．【分析】（1）連接BE，依據(jù)DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根據(jù)AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，進(jìn)而得到△BCE是直角三角形；（2）依據(jù)勾股定理可得BE的長(zhǎng)為10，再根據(jù)勾股定理即可得到方程，解方程即可得出CE的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）如圖所示，連接BE，∵D是AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；  （2）Rt△BDE中，∴AE＝10，設(shè)CE＝x，則AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝∴解得x＝2.8，∴CE＝2.8．  【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.25．（1）見(jiàn)解析；（2）3【分析】（1）已知∠DAC=∠DAE，即可證明△ACD≌△AED，即可解題；（2）由（1）結(jié)論可得∠AED=∠ACD，AE=AC，即可求得BE的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理解答即可．【詳解】解：證明：（1）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∵AD平分∠CAB，∴∠DAC=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS）；（2）∵Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°，∴AB2=AC2+BC2=100，∴AB=10，∵△ACD≌△AED，∴∠AED=∠ACD=90°，AE=AC=6，∴BE=AB-AE=4，∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，設(shè)DE=CD=x，DB=8-x，在Rt△DEB中，DB2=DE2+BE2，即（8-x）2=x2+42，解得：x=3，∴DE=3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ACD≌△AED是解題的關(guān)鍵．26．（1）5；（2）【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)線段垂直平分線的定義求出AD；（2）連接BE，用未知數(shù)表示出EC，BE的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出EC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8．根據(jù)勾股定理得：AB=＝10，∵DE是AB的垂直平分線，∴AD＝AB＝5；（2）連接BE，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，設(shè)EC＝x，則AE＝BE＝8?x，∴在Rt中， 62＋x2＝（8?x）2，解得：x＝，∴AE＝8?＝，在Rt中，DE＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列出方程，是解題的關(guān)鍵． 

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初中數(shù)學(xué)蘇科版八年級(jí)上冊(cè)電子課本 舊教材

3.1 勾股定理

版本： 蘇科版

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