TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc21294" 【題型1 添加條件使成為全等三角形】 PAGEREF _Tc21294 \h 1
\l "_Tc18330" 【題型2 判定全等三角形的依據(jù)】 PAGEREF _Tc18330 \h 3
\l "_Tc23264" 【題型3 利用全等三角形的判定與性質證明線段或角度相等】 PAGEREF _Tc23264 \h 6
\l "_Tc8541" 【題型4 利用全等三角形的判定與性質求線段長度或角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc8541 \h 12
\l "_Tc5935" 【題型5 利用全等三角形的判定與性質確定線段之間的位置關系】 PAGEREF _Tc5935 \h 16
\l "_Tc15180" 【題型6 全等三角形在網(wǎng)格中的運用】 PAGEREF _Tc15180 \h 21
\l "_Tc23019" 【題型7 全等三角形在新定義中的運用】 PAGEREF _Tc23019 \h 24
\l "_Tc18969" 【題型8 全等三角形的實際應用】 PAGEREF _Tc18969 \h 33
【題型1 添加條件使成為全等三角形】
【例1】（2023春·山東濟南·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB=CD，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△CDA的是（ ）

A．∠BCA=∠DCAB．∠BAC=∠DCAC．BC=ADD．∠B=∠D=90°
【答案】A
【分析】由已知我們可得到兩個三角形的兩邊相等（其中AC為公共邊），根據(jù)全等三角形的判定即可解答．
【詳解】解：∵AB=CD，AC=CA，
∴可以添加的條件是：BC=ADSSS，或∠BAC=∠DCASAS或∠B=∠D=90°HL，
故只有∠BCA=∠DCA仍無法判定△ABC≌△CDA；
故選：A．
【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握三角形的判定是解決問題的關鍵．
【變式1-1】（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）2022年冬季奧運會在我國北京舉行，奧運健兒們敢于拼搏、善于拼搏，在奧運賽場上展現(xiàn)新時代中國運動員的精神風貌和競技水平，請你添加一個條件，為奧運健兒設計一只與圖1一樣的鞋子，已知：AB=DF，∠ABC=∠DFE，寫出可添加的條件并標明依據(jù) ．（三個字母簡寫理由，寫出一種情況即可）．
【答案】∠ACB=∠DEFAAS（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意增加條件進行判定即可．
【詳解】解：由題意得可以增加的條件為：∠ACB=∠DEF，
在△ABC和△DFE中，
∠ACB=∠DEF∠ABC=∠DFEAB=DF，
∴△ABC≌△DFEAAS，
故答案為：∠ACB=∠DEFAAS．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．
【變式1-2】（2023春·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）具備下列條件的兩個三角形，可以證明它們?nèi)鹊氖? ).
A．一邊和這一邊上的高對應相等B．兩邊和第三邊上的中線對應相等
C．兩邊和其中一邊的對角對應相等D．直角三角形的斜邊對應相等
【答案】B
【分析】根據(jù)判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL分別進行分析．
【詳解】解：A、一邊和這邊上的高對應相等，無法得出它們?nèi)?，故此選項錯誤；
B、兩邊和第三邊上的中線對應相等，通過如圖所示方式（倍長中線法）可以證明它們?nèi)龋ā鰽BC≌△A′B′C′），故此選項正確.
．
C、兩邊和其中一邊的對角對應相等，無法利用ASS得出它們?nèi)龋蚀诉x項錯誤；
D、直角三角形的斜邊對應相等,無法得出它們?nèi)?，故此選項錯誤．
故選：B．
【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
【變式1-3】（2023春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）在△ABC與△DEF中，下列各組條件，不能判定這兩個三角形全等的是（ ）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠FB．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠F
C．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠DD．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F
【答案】B
【分析】
【詳解】利用全等三角形的判定定理，分析可得：
A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS證明△ABC與△DEF全等；
B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，對應邊不對應，不能證明△ABC與△DEF全等；
C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA證明△ABC與△DEF全等；
D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS證明△ABC與△DEF全等；
故選B
點睛：本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
【題型2 判定全等三角形的依據(jù)】
【例2】（2023春·遼寧沈陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知太陽光線AC和DE是平行的，在同一時刻，如果將兩根高度相同的木桿豎直插在地面上，那么在太陽光照射下，其影子一樣長．這里判斷影長相等利用了全等圖形的性質，其中判斷△ABC≌△DFE的依據(jù)是( )

A．SASB．AASC．SSSD．ASA
【答案】B
【分析】先根據(jù)題意得出AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH=DT，進而得∠AGH=∠DKT，∠AHG=∠DTK=90°，據(jù)此即可判定△AGH和△DKT全等，從而得出答案．
【詳解】解：如圖，
，
依題意得：AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH=DT，
∴∠AGH=∠DKT，∠AHG=∠DTK=90°，
在△AGH和△DKT中，
∠AGH=∠DKT∠AHG=∠DTK=90°AH=DT，
∴△AGH≌△DKTAAS，
故選：B．
【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，平行線的性質，解答此題的關鍵是理解題意，找出AC∥ED，AH⊥GT，DT⊥GT，AH=DT，進而找出判定三角形全等的判定條件．
【變式2-1】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D，將兩根鋼條AA'，BB'的中點O釘在一起，使AA'，BB'能繞點O自由轉動，就做成一個測量工具，測A'B'的長即等于內(nèi)槽寬AB，那么判定△OAB≌△OA'B'的理由是（ ）．

A．邊角邊B．角邊角C．邊邊邊D．斜邊直角邊
【答案】A
【分析】由O是AA'、BB'的中點， 可得：AO=A'O，BO=B'O，再由∠AOA'=∠BOB'，可以根據(jù)全等三角形的判定方法SAS，判定△OAB≌△OA'B'．
【詳解】∵O是AA' 、BB'的中點，
∴AO=A'O，BO=B'O，
在△OAB和 △OA'B'中，
AO=A'O∠AOA'=∠BOB'BO=B'O，
∴△OAB≌△OA'B'SAS，
故選：A．
【點睛】此題考查了全等三角形判定方法的應用，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法： SSS、SAS、ASA、AAS、HL，要證明兩個三角形全等，必須有對應邊相等這一條件．
【變式2-2】（2023春·福建福州·八年級?？计谥校┤鐖D所示，某同學將一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是帶第 塊去．（填序號）

【答案】③
【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．
【詳解】第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來完全一樣的;第三塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃.應帶③去；
故答案為：③．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定方法，解題的關鍵是熟練掌握常用的幾種方法的靈活運用．
【變式2-3】（2023春·浙江臺州·八年級?？计谥校榱藴y量池塘兩側A，B兩點間的距離，在地面上找一點C，連接AC，BC，使∠ACB=90°，然后在BC的延長線上確定點D，使CD=BC，得到△ABC≌△ADC，通過測量AD的長，得AB的長．那么△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SASB．AASC．ASAD．SSS
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件可找到兩邊對應相等且夾角相等，利用SAS即可證明△ACB≌△ACD,由此即可解決問題．
【詳解】解：∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠ACD=90°
則在△ACB和△ACD中,AC＝AC∠ACD＝∠ACB＝90°CD＝BC
∴△ABC≌△ADC（SAS）,
∴AB=AD（全等三角形的對應邊相等）．
故選：A．
【點睛】本題考查全等三角形的應用,解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法,屬于中考?？碱}型．
【題型3 利用全等三角形的判定與性質證明線段或角度相等】
【例3】（2023春·四川達州·八年級校考期末）如圖，△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，AC和DB交于點M．

(1)△ABC與△DCB全等嗎？為什么？
(2)過點C作CE∥BD，過點B作BF∥AC，試判斷∠DCE和∠ABF的數(shù)量關系，并說明你判斷的理由
【答案】(1)△ABC≌△DCB，理由見解析
(2)∠DCE=∠ABF，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)SAS，直接可得△ABC≌△DCB；
（2）根據(jù)△ABC≌△DCB，可得∠A=∠D，根據(jù)平行線的性質可得∠DCE=∠D,∠ABF=∠A，等量代換即可得出結論．
【詳解】（1）△ABC≌△DCB，理由如下，
在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB
（2）∵CE∥BD，BF∥AC，
∴∠DCE=∠D,∠ABF=∠A，
∵△ABC≌△DCB，
∴∠A=∠D，
∴∠DCE=∠ABF．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，平行線的性質，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
【變式3-1】（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BD,CE都是△ABC的角平分線，BD交CE于點F，其中∠A=60°．
(1)求∠BFC的度數(shù)；
(2)求證：DF=EF.
【答案】(1)120°
(2)見解析
【分析】1首先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，結合角平分線的定義得到∠DBC+∠ECB的度數(shù)；再次利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠BFC的度數(shù)；
2結合1根據(jù)平角定義得到∠BFE=∠CFD=60°.在BC上截取BG=BE，連接GF，利用SAS可證得△BFE與△BFG全等，則EF=GF，∠BFE=∠BFG=60°；再利用ASA可證得△CFG與△CFD全等，則GF=DF，至此即可證得結論．
【詳解】（1）解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BD，CE分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠DBC+∠ECB=12∠ABC+∠ACB=60°，
∴∠BFC=180°-60°=120°；
（2）證明：如圖，在BC上截取BG=BE，連接GF，
∵∠BFC=120°，
∴∠BFE=∠CFD=60°，
∵BF=BF，BE=BG，∠EBF=∠GBF，
∴△BFE ≌△BFGSAS，
∴∠BFE=∠BFG=60°，F(xiàn)E=FG，
∴∠CFG=60°，
∵∠CFG=∠CFD=60°，CF=CF，∠FCG=∠FCD，
∴△CFG ≌△CFDASA，
∴FG=FD，
∴DF=EF．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，得到△BFE≌△BFG是解題的關鍵．
【變式3-2】（2023春·廣西北?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點P是線段AB上一點，過點A作AE⊥CP交CP延長線于點E，過點B作BF⊥CP于點F．

(1)求證：△ACE≌△CBF；
(2)線段AE、BF、EF有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)BF=EF+AE，證明見解析
【分析】（1）利用垂線和余角，得出∠E=∠BFC=90°，∠CAE=∠BCF，再利用“AAS”，即可證明△ACE≌△CBF；
（2）根據(jù)全等三角形的性質可知，AE=CF，CE=BF，再利用CE=EF+CF，即可求出線段AE、BF、EF之間的數(shù)量關系．
【詳解】（1）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∵AE⊥CE，BF⊥CE，
∴∠E=∠BFC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠BCF，
在△ACE和△CBF中，
∠AEC=∠BFC∠CAE=∠BCFAC=BC，
∴△ACE≌△CBFAAS；
（2）解：BF=EF+AE，理由如下：
由（1）可知△ACE≌△CBF，
∴AE=CF，CE=BF，
∴CE=EF+CF=EF+AE=BF，
即BF=EF+AE．
【點睛】本題考查了垂線，余角，全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題關鍵．
【變式3-3】（2023春·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，AB∥CD，∠BAD，∠ADC的平分線AE，DE相交于點E．
(1)證明：AE⊥DE；
(2)如圖2，過點E作直線AB，AD，DC的垂線，垂足分別為F，G，H，證明：EF=EG=EH；
(3)如圖3，過點E的直線與AB，DC分別相交于點B，C（B，C在AD的同側）求證：E為線段BC的中點；
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)見詳解
【分析】（1）根據(jù)AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，可得∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC，再根據(jù)AB∥CD，有∠BAD+∠ADC=180°，即有∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=90°，問題隨之得解；
（2）先證明△AEF≌△AEG，即有EF=EG，同理可證：EH=EG，則問題得解；
（3）在AD上取一點M，使得AM=AB，連接ME，先證明△AME≌△ABE，即有ME=BE，∠AEM=∠AEB，在（1）中已證明∠AED=90°，即有∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°-∠AED=90°，即可得∠DEM=∠DEC，再證明△DME≌△DCE，即有ME=CE，問題得解．
【詳解】（1）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠ADE+∠DAE=12∠ADC+12∠BAD=90°，
∴∠E=180°-∠ADE+∠DAE=90°，
∴AE⊥DE；
（2）∵EF⊥AB，EG⊥AC，AE平分∠BAD，
∴∠EFA=∠EGA=90°，∠BAE=∠DAE=12∠BAD，
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG，
同理可證：EH=EG，
∴EF=EG=EH；
（3）在AD上取一點M，使得AM=AB，連接ME，如圖，
∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，
∴∠BAE=∠DAE=12∠BAD，∠ADE=∠CDE=12∠ADC，
∵AE=AE，AM=AB，
∴△AME≌△ABE，
∴ME=BE，∠AEM=∠AEB，
在（1）中已證明∠AED=90°，
∴∠AEM+∠DEM=∠AED=90°，∠BEA+∠CED=180°-∠AED=90°，
∴∠DEM=∠DEC，
∵∠ADE=∠CDE=12∠ADC，DE=DE，
∴△DME≌△DCE，
∴ME=CE，
∴ME=BE=CE，
∴ E為線段BC的中點．
【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的性質以及全等三角形的判定與性質等知識，掌握全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．
【題型4 利用全等三角形的判定與性質求線段長度或角的度數(shù)】
【例4】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點B、F、C、E在直線l上（F、C之間不能直接測量），點A、D在l異側，測得AB=DE，AB∥DE，∠A=∠D．

(1)試說明：△ABC≌△DEF；
(2)若BE=10m，BF=3m，求FC的長度．
【答案】(1)見解析
(2)4cm
【分析】（1）由AB∥DE，得∠ABC=∠DEF，而AB=DE，∠A=∠D，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“ASA”證明△ABC≌△DEF；
（2）根據(jù)全等三角形的性質得BC=EF，則BF=CE=3m，即可求得FC=BE-BF-CE=4m．
【詳解】（1）證明：∵AB∥DE，
∴∠ABC=∠DEF
在△ABC和△DEF中
∠A=∠DAB=DE∠ABC=∠DEF
∴△ABC≌△DEFASA；
（2）∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF
∴BC-FC=EF-FC，
即BF=CE
∵BE=10m，BF=3m
∴BF=CE=3cm，
∴FC=4cm
【點睛】此題重點考查全等三角形的判定與性質、平行線的性質等知識，根據(jù)平行線的性質證明∠ABC=∠DEF是解題的關鍵．
【變式4-1】（2023春·江蘇淮安·八年級校聯(lián)考期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是斜邊AB的中點，若CD=3，則AB= ．
【答案】6
【分析】根據(jù)題意，作出圖形，數(shù)形結合，利用三角形全等的判定與性質得到AB=2CD即可得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，作出Rt△ABC，連接CD并延長，使DE=CD，連接BE，如圖所示：

∵點D是斜邊AB的中點，
∴AD=BD，
在△ADC和△BDE中，
AD=BD∠ADC=∠EDBCD=ED,
∴△ADC≌△BDESAS，
∴AC=EB,∠A=∠ABE，
∴AC∥EB，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠EBC=90°，
在△ACB和△EBC中，
AC=BE∠ACB=∠EBC=90°CB=BC,
∴△ACB≌△EBCSAS，
∴AB=CE=2CD,
∵CD=3,
∴AB=2×3=6，
故答案為：6．
【點睛】本題考查利用三角形全等的判定與性質求線段長，涉及倍長中線方法作輔助線、平行線的判定與性質，熟練掌握三角形全等的判定與性質是解決問題的關鍵．
【變式4-2】（2023春·陜西延安·八年級陜西延安中學?？计谥校┤鐖D，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點H，連接CH，則∠AHE的度數(shù)為 °．
【答案】130
【分析】先判斷出△ACD≌△BCE，可得∠DAC=∠EBC，從而利用三角形內(nèi)角定理可得出∠ACB=∠AHB=50°，再由平角可得∠AHE的度數(shù)．
【詳解】∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，CA=CB∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴∠DAC=∠EBC
由三角形內(nèi)角定理可得：∠DAC+∠ACB=∠EBC+∠AHB
∴∠ACB=∠AHB=50°
∴∠AHE=180°-∠AHB=130°
故答案為：130．
【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的性質和判定等知識點，能求出△ACD≌△BCE是解此題的關鍵．
【變式4-3】（2023春·廣東梅州·八年級校考期末）如圖，在四邊形ABCD中，E是邊BC的中點，AE平分∠BAD且∠AED=90°，若CD=2AB，AD=18，則AB= ．

【答案】6
【分析】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF，證明△ABE≌△AFE，可得BE=EF，∠BEA=∠AEF，再證明△DEF≌△DEC，得CD=DF，進而可求出AB的長；
方法二：延長DE、AB交于點G，證明△AEG≌△AED得AG=AD=18，ED=EG，再證明△BEG≌△CEDSAS得BG=CD=2AB，進而可求出AB的長．
【詳解】方法一：在AD上截取AF，使得AB=AF

∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AFESAS
∴BE=EF，∠BEA=∠AEF
又∵∠BEA+∠DEC=90°，∠AEF+∠FED=90°
∴∠DEC=∠FED
∵E是邊BC的中點，
∴CE=BE=FE
∵ED=ED
∴△DEF≌△DECSAS
∴CD=DF
AD=AB+CD=AB+2AB=3AB=18
∴AB=6
方法二：延長DE、AB交于點G

∵AE平分∠BAD且∠AED=90°
∴∠GAE=∠DAE,∠GEA=∠DEA=90°
∵AE=AE
∴△AEG≌△AEDASA
∴AG=AD=18，ED=EG
∵BE=CE，∠BEG=∠DEC
∴△BEG≌△CEDSAS
∴BG=CD=2AB
∴AG=BG+AB=AB+2AB=3AB=18
∴AB=6
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，正確作出輔助線構造全等三角形是解答本題的關鍵．
【題型5 利用全等三角形的判定與性質確定線段之間的位置關系】
【例5】（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在ΔABC和ΔADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD交AC于點F．

(1)求證：ΔBAD≌ΔCAE；
(2)猜想BD,CE有何特殊位置關系，并說明理由．
【答案】(1)證明見解析；
(2)BD⊥CE，理由見解析．
【分析】（1）由“SAS”可證△BAD≌△CAE；
（2）由全等三角形的性質可得∠ACE=∠ABD，由三角形內(nèi)角和定理可求解．
【詳解】（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在ΔBAD和ΔCAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴ΔBAD≌ΔCAESAS
（2）猜想：BD⊥CE，理由如下：
由（1）知ΔBAD≌ΔCAE，
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC,∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABD+∠DBC=∠ABC=45°，
∵∠ABD=∠ACE，
∴∠ACE+∠DBC=45°，
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠DCB=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，掌握全等三角形的判定是本題的關鍵．
【變式5-1】（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，BD=BC，點E在BC上，且BE=AC，DE=AB．
(1)求證：△ABC≌△EDB；
(2)判斷AC和BD的位置關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)AC∥BD，理由見解析
【分析】（1）運用SSS證明即可；
（2）由（1）得∠DBE=∠BCA，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得結論．
【詳解】（1）在ΔABC和ΔEDB中，
BD=BCBE=ACDE=AB，
∴ΔABC?ΔEDB(SSS)；
（2）AC和BD的位置關系是AC∥BD，理由如下：
∵ΔABC?ΔEDB
∴∠DBE=∠BCA，
∴AC∥BD．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理是解答本題的關鍵．
【變式5-2】（2023春·江蘇南通·八年級校聯(lián)考期中）如圖，△ABC的兩條高線BD、CE，延長CE到Q使CQ＝AB，在BD上截取BP＝AC，連接AP、AQ，請判斷AQ與AP的數(shù)量與位置關系？并證明你的結論．
【答案】AP＝AQ，AP⊥AQ，見解析
【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADB＝∠AEC＝90°，得到∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．推出△APB≌△QAC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質即可得到結論．
【詳解】解：AP＝AQ，AP⊥AQ，理由如下：
∵CF⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACQ＝90°﹣∠BAC．
∵BP＝AC，CQ＝AB，
在△APB和△QAC中，
BP=AC∠ABD=∠ACQCQ=AB，
∴△APB≌△QAC（SAS），
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CQA，
∵∠CQA+∠QAE＝90°，
∴∠BAP+∠QAE＝90°．
即AP⊥AQ．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，垂直定義，三角形內(nèi)角和定理的應用，解此題的關鍵是推出△APB≌△QAC，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等，對應角相等．
【變式5-3】（2023春·甘肅隴南·八年級統(tǒng)考期末）在學習全等三角形的知識時，數(shù)學興趣小組拿了兩個大小不同的等腰直角三角板進行拼擺，并探究擺放后所構成的圖形之間的關系，如圖1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°,AB=AC,DE=DF．
(1)勤奮小組擺出如圖2所示的圖形，點A和點D重合，連接BE和CF，求證：BE=CF．
(2)超越小組在勤奮小組的啟發(fā)下，把兩個三角形板按如圖3的方式擺放，點B，C，E在同一直線上，連接CF，他們發(fā)現(xiàn)了BE和CF之間的數(shù)量和位置關系，請寫出這些關系，并說明理由．
【答案】(1)見解析；
(2)BE=CF，BE⊥CF，理由見解析．
【分析】（1）證明△BAE≌△CAF，即可得證；
（2）證明△BAE≌△CAF，得到∠ABE=∠ACF,BE=CF，進而求出∠BCF=90°，得到BE⊥CF，即可得出結論．
【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAE=90°-∠EAC，∠CAF=90°-∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF．
在△BAE和△CAF中，BA=CA∠BAE=CAFAE=AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴BE=CF．
（2）BE=CF,BE⊥CF．理由如下：
∵∠BAC=∠EAF=90°，
∴∠BAE=90°+∠EAC,∠CAF=90°+∠EAC，
∴∠BAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中BA=CA∠BAE=∠CAFAE=AF，
∴△BAE≌△CAF(SAS)，
∴∠ABE=∠ACF,BE=CF．
∵∠ABE+∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴∠BCF=90°，
∴BE⊥CF．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質．熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等，是解題的關鍵．
【題型6 全等三角形在網(wǎng)格中的運用】
【例6】（2023春·廣西崇左·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是一個3×3的正方形網(wǎng)格，則∠1+∠2+∠3+∠4= ．

【答案】180°
【分析】根據(jù)三角形全等求出∠1和∠4的數(shù)量關系以及∠2和∠3的數(shù)量關系，即可求出四個角之和．
【詳解】解：如圖所示，
在Rt△ABC中和Rt△BED中，AC=ED∠A=∠D=90°AB=BD，
∴△ABC≌△DBESAS．
∴∠4=∠BED，
∵∠1+∠BED=90°，
∴∠1+∠4=90°．
同理可證：∠2+∠3=90°．
∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°+90°=180°．
故答案為：180°．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質，解題的關鍵在于熟練掌握三角形全等的性質以及觀察圖形分析出相等的邊長和角度．
【變式6-1】（2023春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）在如圖所示的3×3網(wǎng)格中，△ABC是格點三角形（即頂點恰好是網(wǎng)格線的交點），則與△ABC有一條公共邊且全等（不含△ABC）的所有格點三角形的個數(shù)是（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【答案】B
【分析】根據(jù)全等三角形的性質找出全等三角形即可．
【詳解】解：如圖所示，
以BC為公共邊的全等三角形有三個分別為△A1BC，△A2BC，△A3BC，
以AB為公共邊的全等三角形有一個為△ABC1，
∴共有4個三角形與△ABC有一條公共邊且全等．
故選：B．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，理解全等三角形的判定與性質是解答本題的關鍵．
【變式6-2】（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，圖形的各個頂點都在3×3正方形網(wǎng)格的格點上．則∠1+∠2= ．
【答案】45°
【分析】通過證明三角形全等得出∠1=∠3，再根據(jù)∠1+∠2=∠3+∠2 即可得出答案．
【詳解】解：如圖所示，
由題意得，在Rt△ABC和Rt△EFC中，
∵{AB=EF∠B=∠EFC=90°BC=FC
∴Rt△ABC≌Rt△EFC（SAS）
∴∠3=∠1
∵∠2+∠3=90°
∴∠1+∠2=∠3+∠2=90°
故答案為：45°
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，由證明三角形全等得出∠1=∠3是解題的關鍵．
【變式6-3】（2023春·吉林長春·八年級長春市第八十七中學?？计谀┤鐖D所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，C，D均落在格點上，則∠BAD+∠ADC= ．
【答案】90°
【分析】證明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE=∠DAB，根據(jù)同角的余角相等和三角形的內(nèi)角和可得結論．
【詳解】解：如圖，設AB與CD相交于點F，
在△DCE和△ABD中，
∵{CE=BD=1∠E=∠ADB=90°DE=AD=3，
∴△DCE≌△ABD（SAS），
∴∠CDE=∠DAB，
∵∠CDE+∠ADC=∠ADC+∠DAB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴∠BAC+∠ACD=90°，
故答案為：90度．
【點睛】本題網(wǎng)格型問題，考查了三角形全等的性質和判定及直角三角形各角的關系，本題構建全等三角形是關鍵．
【題型7 全等三角形在新定義中的運用】
【例7】（2023春·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）我們知道：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．類似地，我們定義：至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形．
（1）請寫出一個你學過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱；
（2）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，設CD，BE相交于點O，若∠A=60°，∠DCB=∠EBC=12∠A．請你寫出圖中一個與∠A相等的角，并猜想圖中哪個四邊形是等對邊四邊形；
（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°的銳角，點D，E分別在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=12∠A．探究：滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形，并證明你的結論．
【答案】（1）平行四邊形，等腰梯形，矩形等；（2）與∠A相等的角是∠DOB（或∠EOC）；猜想四邊形BDEC是等對邊四邊形；（3）存在等對邊四邊形，是四邊形BDEC，見解析．
【分析】（1）本題理解等對邊四邊形的圖形的定義，平行四邊形，等腰梯形，矩形就是；
（2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四邊形DBCE是等對邊四邊形；
（3）作CG⊥BE于G點，作BF⊥CD交CD延長線于F點，易證△BCF≌△CBG，進而證明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四邊形DBCE是等對邊四邊形．
【詳解】解：（1）如：平行四邊形，等腰梯形，矩形等．
（2）與∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），
∵∠A＝60°，∠DCB=∠EBC=12∠A，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠BOD＝∠EOC＝∠OBC＋∠OCB＝60°，
∴與∠A相等的角是∠BOD（或∠EOC），
猜想：四邊形BDEC是等對邊四邊形，
（3）存在等對邊四邊形，是四邊形BDEC，
證明：如圖作CG⊥BE于G，BF⊥CD交CD的延長線于F，
在△BCF和△CBG中，
∠DCB=∠EBC∠BFC=∠CGBBC=BC
∴△BCF≌△CBG（AAS），
∴BF＝CG，
∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
∴∠BDF=∠BEC，
在△BDF和△CEG中，
∠BDF＝∠CEB∠BFC＝∠CGE=90°BF＝CG
∴△BDF≌△CEG（AAS），
∴BD＝CE
∴四邊形BDEC是等對邊四邊形．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定的應用，解決本題的關鍵是理解等對邊四邊形的定義，把證明BD＝CE的問題轉化為證明三角形全等的問題．
【變式7-1】（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）定義：
如圖1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC＝AD＝AE，當∠BAC+∠DAE＝180°時，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點A叫做“旋補中心”．
（1）特例感知：在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，AM是“頂心距”．
①如圖2，當∠BAC＝90°時，AM與DE之間的數(shù)量關系為AM＝ DE；
②如圖3，當∠BAC＝120°，ED＝6時，AM的長為 ．
（2）猜想論證：
在圖1中，當∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數(shù)量關系，并給予證明．
【答案】（1）①AM＝12DE ；② 3；（2）AM＝12DE．
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性質可得AM=BM=CM=12BC，由全等三角形性質可得BC=DE，即可求解；
②由等邊三角形的性質和直角三角形的性質可求解；
（2）過點A作AN⊥ED于N，由等腰三角形的性質可得∠DAN=12∠DAE，ND=12DE，由全等三角形的性質可得ND=AM，則可得結論．
【詳解】（1）①∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝90°；
∴∠EAD=90°
∵AB=AC，∠BAC＝90°
∴△ABC為等腰直角三角形
∵AM⊥BC
∴AM=12BC
在△ABC與△AED中，
∵{AB=AE∠BAC=∠EADAC=AD
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC=ED
∴AM＝12DE．
② ∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°；
∴∠EAD=60°
∵AD=AE
∴△AED為等邊三角形
即：ED=AE=6
∴AB=AC=AE=6
∵∠BAC＝120°，AB=AC，AM⊥BC
∴∠ABM=30°
∴AM＝12AB=3．
（2）猜想：結論AM＝12DE．
理由如下：如圖，過點A作AN⊥ED于N
∵AE＝AD，AN⊥ED
∴∠DAN＝12∠DAE，ND＝12ED
同理可得：∠CAM＝12∠CAB，
∵∠DAE+∠CAB＝180°，
∴∠DAN+∠CAM＝90°，
∵∠CAM+∠C＝90°
∴∠DAN＝∠C，
∵AM⊥BC
∴∠AMC＝∠AND＝90°
在△AND與△AMC中，
{∠DNA=∠AMC∠DAN=∠CAD=AC
∴△AND≌△AMC（AAS），
∴ND＝AM
∴AM＝12DE
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質，理解題意，運用“頂補等腰三角形”的定義解決問題是本題的關鍵．
【變式7-2】（2023春·四川遂寧·八年級統(tǒng)考期末）新定義：頂角相等且頂角頂點重合的兩個等腰三角形互為“兄弟三角形”．
(1)如圖①中，若△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE．則
①∠BAD___________∠CAE（填>、＜或=）
②連接線段BD和CE，則BD___________CE（填>、＜或=）
(2)如圖②，△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，若點D、點E均在△ABC外，連接BD、CE交于點M，連接AM，則線段BD、CE還滿足以上數(shù)量關系嗎？請說明理由
【答案】(1)①=，②=
(2)BD=CE，見解析
【分析】（1）根據(jù)“兄弟三角形”的定義可知兩個三角形的頂角相等，利用角的和差即可得到①的結論；再結合“SAS”即可得到△BAD≌△CAE，根據(jù)全等三角形的性質即可求解；
（2）沿用（1）的思路，利用角的和差得到∠BAD=∠CAE，再結合“SAS”即可得到△BAD≌△CAESAS，根據(jù)全等三角形的性質即可求解．
【詳解】（1）①∠BAD=∠CAE；
∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE；
②BD=CE；
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE．
（2）滿足以上關系證明：如圖②，
∵△ABC和△ADE互為“兄弟三角形”，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
∴BD=CE．
【點睛】本題考查全等三角形的性質與判定，根據(jù)題目信息識別出來全等三角形是解題的關鍵．
【變式7-3】（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）根據(jù)全等圖形的定義，我們把能夠完全重合（即四個內(nèi)角、四條邊分別對應相等）的四邊形叫做全等四邊形．請借助三角形全等的知識，解決有關四邊形全等的問題．如圖，已知，四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D? 中，AB = A?B?，BC = B?C?，?B =?B?，?C =?C?，現(xiàn)在只需補充一個條件，就可得四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?．下列四個條件：① ?A =?A?；②?D =?D?；③ AD=A?D?；④CD=C?D?；
（1）其中，符合要求的條件是 ．（直接寫出編號）
（2）選擇（1）中的一個條件，證明四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?．
【答案】（1）①②④；（2）選④，證明見解析
【分析】（1）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質定理即可得到結論；
（2）連接AC、A′C′，根據(jù)全等三角形的判定和性質定理即可得到結論．
【詳解】（1）符合要求的條件是①②④，
當選擇①?A=?A?時，
證明：連接AC 、A?C?，
在△ABC與△ A?B?C?中，
{AB=AB∠B=∠BBC=BC，
∴△ABC ≌△A?B?C?(SAS )，
∴ AC=A?C?，?ACB=?A?C?B?，?BAC=?B ' A 'C '，
∵?BCD=?B?C?D?，
∴?BCD ? ?ACB=?B?C?D???A?C?B?，
∴?ACD=?A?C?D?，
∵?BAD=?B?A?D?，
∴?BAD ? ?BAC=?B?A?D? ? ? B?A?C?，
∴?DAC=? D?A?C?，
在△ACD和△A?C?D 中，
{∠DAC=∠DACAC=AC∠ACD=∠ACD，
∴△ACD ≌△A?C?D?(ASA ) ，
∴?D=?D '，DC=D?C?，DA=D?A?，
∴四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D?中，
AB=A?B?，BC=B?C?，AD=A?D?，DC=D?C?，
?B=?B?，?BCD=?B?C?D?，?D=?D?，?BAD=?B?A?D?，
∴四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?；
當選擇②?D=?D?時，
證明：同理得到AC=A?C?，?ACD=?A?C?D?，
∵?D=?D?，
在△ACD和△A?C?D中，
{∠D=∠D∠ACD=∠ACDAC=AC，
∴△ACD ≌△A?C?D?(AAS ) ，
∴?D=?D '，DC=D?C?，DA=D?A?，
∴四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D?中，
AB=A?B?，BC=B?C?，AD=A?D?，DC=D?C?，
?B=?B?，?BCD=?B?C?D?，?D=?D?，?BAD=?B?A?D?，
∴四邊形ABCD≌四邊形A?B?C?D?；
當選擇③AD=A?D?時，
在△ACD和△A?C?D中，
AC=A?C?，?ACD=?A?C?D?，AD=A?D?，
不符合全等的條件，不能得到△ACD ≌△A?C?D?；
（2）選④CD = C?D?，
證明：連接 AC、A?C?，
在△ABC與△A?B?C?中，
{AB=AB∠B=∠BBC=BC，
∴△ABC ≌△A?B?C?(SAS )，
∴ AC=A?C?， ?ACB=?A?C?B? ， ?BAC=?B ' A 'C '，
∵?BCD=?B?C?D?，
∴?BCD ? ?ACB=?B?C?D? ? ?A?C?B?，
∴?ACD=?A?C?D?，
在△ACD和△A?C?D中，
{AC=AC∠ACD=∠ACDCD=CD，
∴△ACD ≌△A?C?D?(SAS ) ，
∴?D=?D '， ?DAC=?D?A?C?， DA=D?A?，
∴?BAC??DAC=?B? A?C???D?A?C?， 即?BAD=?B?A?D?，
∴四邊形ABCD和四邊形A?B?C?D? 中，
AB=A?B?，BC=B?C?，AD=A?D?，DC=D?C?，
?B=?B?， ?BCD=?B?C?D?， ?D=?D?， ?BAD=?B?A?D?，
∴四邊形ABCD ≌四邊形A?B?C?D?．
【點睛】本題考查了多邊形的全等，全等三角形的判定和性質，多邊形的全等可以通過作輔助線轉化為證明三角形全等問題．關鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
【題型8 全等三角形的實際應用】
【例8】（2023春·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期末）小明沿一段筆直的人行道行走，邊走邊欣賞風景，在由C走到D的過程中，通過隔離帶的空隙P，剛好瀏覽完對面人行道宣傳墻上的一條標語，具體信息如下：如圖，AB∥PM∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于P，PD⊥CD垂足為D．已知CD=165米．請根據(jù)上述信息求標語AB的長度為 米．

【答案】165
【分析】由AB∥CD，利用平行線的性質可得∠ABP=∠CDP，利用ASA定理可得，△ABP≌△CDP，由全等三角形的性質可得結果．
【詳解】解：∵AB∥PM∥CD，PD⊥CD，
∴PB⊥AB，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
根據(jù)題意可知：相鄰兩平行線間的距離相等，
∴BP=DP，
在△ABP和△CDP中，
∠ABP=∠CDP=90°BP=DP∠APB=∠CPD，
∴△ABP≌△CDPASA，
∴AB=CD=165米．
故答案為：165．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線之間的距離，解決本題的關鍵是得到△ABP≌△CDP．
【變式8-1】（2023春·福建南平·八年級統(tǒng)考期中）1805年，法軍在拿破侖的率領下與德軍在萊茵河畔激戰(zhàn).德軍在萊茵河北岸點Q處，如圖所示，因不知河寬，法軍大炮很難瞄準敵營.聰明的拿破侖站在南岸的點O處，調(diào)整好自己的帽子，使視線恰好擦著帽舌邊緣看到對面德國軍營Q處，然后他保持原來的觀察姿態(tài)，一步一步后退，一直退到點B處，發(fā)現(xiàn)自己的視線恰好落在他剛剛站立的點O處，讓士兵丈量他所站立的位置B點與O點之間的距離，并下令按照這個距離炮轟德軍.試問：法軍能命中目標嗎？請說明理由.(注：AB⊥BQ，PO⊥BO，AB=PO，點B、O、Q在一條直線上)
【答案】解：法軍能命中目標．
理由：由題意可得：AB=PO，∠A=∠P，
又∵AB⊥BO，PO⊥BQ，
∴∠ABO=∠POQ=90°．
∵在△ABO和△POQ中，∠A=∠PAB=PO∠ABO=∠POQ，
∴△ABO≌△POQ( ASA)，
∴BO=OQ，
因此，按照BO的距離炮轟德軍時，炮彈恰好落入德軍Q處．
【解析】由題意可得：AB=PO，∠A=∠P，再結合AB⊥BO，PO⊥BQ，證明△ABO≌△POQ( ASA)，利用全等三角形的性質可得出結論．
本題考查的是全等三角形的判定與性質的應用，理解題意，利用構建的全等三角形解決問題是解題的關鍵．
【變式8-2】（2023春·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期末）如圖，小明和小華住在同一個小區(qū)的不同單元樓，他們想要測量小華家所在單元樓AB的高度，首先他們在兩棟單元樓之間選定一點E，然后小明在自己家陽臺C處看點E的視角為∠HCE．小華站在E處眼睛F看AB樓端點A的視角為∠AFG．發(fā)現(xiàn)∠HCE與∠AFG互余，已知CH∥BD∥GF，BG=EF=1.5米，BE=GF=CD=20米，BD=50米．求單元樓AB的高度．

【答案】單元樓AB的高為31.5米．
【分析】根據(jù)已知條件，證明△AGF與△EDC全等，結合全等三角形的性質再進行計算即可得出．
【詳解】由題意得：∠AGF=∠EDC=90°，
∴∠CED+∠ECD=90°，
∵CH∥BD，
∴∠HCE=∠CED，
∵∠HCE+∠AFG=90°，
∴∠ECD=∠AFG，
∵BE=GF=CD=20（米），
∴FG=CD=20（米），
∴△AGF≌△EDCASA，
∴AG=ED=BD-BE=50-20=30（米），
∴AB=AG+BG=31.5（米），
∴單元樓AB的高為31.5米．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質及俯角仰角的知識，證明兩個三角形全等是解題的關鍵．
【變式8-3】（2023春·湖南長沙·八年級湖南師大附中統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=60°，請猜想圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想．
（2）如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB=AD，∠B+∠D=180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達經(jīng)測量得到∠EAF=12∠BAD，BE=10米，DF=15米，試求兩涼亭之間的距離EF．
【答案】（1）EF=BE+FD，證明見解析；（2）25米
【分析】（1）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，利用SAS證明△ABE≌△ADG，推出AE=AG，∠BAE=∠DAG，再證明△AEF≌△AGFSAS，據(jù)此即可得到EF=BE+FD；
（2）延長CD至H，使DH=BE，連接AH，利用SAS證明△ADH≌△ABE，推出AE=AH，∠BAE=∠DAH，再證明△AEF≌△AGFSAS，據(jù)此計算即可求解．
【詳解】解：（1）猜想：EF=BE+FD，
證明：如圖1，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，
∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°，
∴∠ADG=90°，
在△ABE和△ADG中，BE=DG∠B=∠ADGAB=AD，
∴△ABE≌△ADGSAS，
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，
∴∠BAE+∠DAF=120°-60°=60°，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF，
在△AEF和△AGF中，AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGFSAS，
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
（2）如圖2，延長CD至H，使DH=BE，連接AH，
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADH+∠ADC=180°，
∴∠ADH=∠B，
在△ADH和△ABE中，AD=AB∠ADH=∠BDH=BE，
∴△ADH≌△ABESAS，
∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，
在△AEF和△AHF中，AE=AH∠EAF=∠HAFAF=AF，
∴△AEF≌△AGFSAS，
∴EF=FH，
∵FH=DH+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
∵BE=10米，DF=15米，
∴EF=10+15=25（米）．
【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，根據(jù)題意作出輔助線，構造出全等三角形是解題的關鍵．

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初中數(shù)學蘇科版八年級上冊電子課本 舊教材

1.2 全等三角形

版本： 蘇科版

年級： 八年級上冊

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