人教A版高中數(shù)學必修第二冊第6章6-2-4第2課時向量數(shù)量積的運算律學案-學案下載-教習網(wǎng)

第2課時　向量數(shù)量積的運算律我們已經(jīng)知道，很多運算都滿足一定的運算律．例如，向量的加法滿足交換律，數(shù)乘向量對加法滿足分配律，即對任意向量a，b以及實數(shù)λ，有a＋b＝b＋a，λ(a＋b)＝λa＋λb．根據(jù)向量數(shù)量積的定義，探討向量數(shù)量積的運算滿足哪些運算律，并說明理由．知識點1　向量數(shù)量積的運算律 (1)a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c．知識點2　數(shù)量積運算的常用公式 (1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2． (2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2． (3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． 1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)a·b＝b·c推不出a＝c． (　　) (2)對于向量a，b，c，等式(a·b)c＝(b·c)a都成立． (　　) [答案]　(1)×　(2)× 2．已知|a|＝3，|b|＝4，則(a＋b)·(a－b)＝________． [答案]?。? 類型1　求數(shù)量積【例1】　已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a＋3b)． [解]　(a＋2b)·(a＋3b) ＝a·a＋5a·b＋6b·b ＝|a|2＋5a·b＋6|b|2 ＝|a|2＋5|a||b|cos 60°＋6|b|2 ＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．　根據(jù)數(shù)量積的運算律，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算． [跟進訓練] 1．已知兩個單位向量e1，e2的夾角為π3，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，則b1·b2＝________．－6　[由題設知|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝12，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e12-2e1·e2-8e22＝3－2×12－8＝－6．] 類型2　與向量模有關的問題【例2】　(源自人教B版教材)(1)已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，求|a＋2b|； (2)已知|a＋b|＝|a－b|，求a·b． [解]　(1)由題意可知 a2＝4，b2＝1，a·b＝2×1×cos 60°＝1，所以|a＋2b|2＝(a＋2b)2 ＝a2＋4a·b＋4b2 ＝4＋4×1＋4×1＝12，因此|a＋2b|＝23． (2)由題意可知|a＋b|2＝|a－b|2，即(a＋b)2＝(a－b)2，因此a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，因此a·b＝0．　a·a＝a2＝|a|2或|a|＝a2，此性質可用來求向量的模，可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉化． [跟進訓練] 2．已知向量a與b夾角為45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝10，求|b|． [解]　因為|2a＋b|＝10，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10．又因為向量a與b的夾角為45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×22＋|b|2＝10，整理得|b|2＋22|b|－6＝0，解得|b|＝2或|b|＝－32(舍去)．類型3　與向量垂直、夾角有關的問題【例3】　(1)已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，m與n夾角的余弦值為13，若n⊥(tm＋n)，則實數(shù)t的值為(　　) A．4　　　B．－4　　　C．94　　　D．－94 (2)已知e1與e2是兩個互相垂直的單位向量，若向量e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角，求k的取值范圍． (1)B　[由題意知，m·nmn＝m·n34n2＝13，所以m·n＝14|n|2＝14n2，因為n·(tm＋n)＝0，所以tm·n＋n2＝0，即14tn2＋n2＝0，所以t＝－4．] (2)[解]　∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為銳角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2) ＝ke12+ke2 2＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，∴k＞0．當k＝1時，e1＋ke2＝ke1＋e2，它們的夾角為0°，不符合題意，舍去．綜上，k的取值范圍為k＞0且k≠1． [母題探究] 將本例(2)中的條件“銳角”改為“鈍角”，其他條件不變，求k的取值范圍． [解]　∵e1＋ke2與ke1＋e2的夾角為鈍角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝ke12+ke22＋(k2＋1)e1·e2＝2k＜0，∴k＜0．當k＝－1時，e1＋ke2與ke1＋e2方向相反，它們的夾角為π，不符合題意，舍去．綜上，k的取值范圍是k＜0且k≠－1．　求兩向量夾角的方法 (1)一般是利用夾角公式：cos θ＝a·bab． (2)注意：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角；數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角；數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角． [跟進訓練] 3．已知非零向量a，b滿足a＋3b與7a－5b互相垂直，a－4b與7a－2b互相垂直，求a與b的夾角． [解]　由已知條件得 a+3b·7a-5b=0，a-4b·7a-2b=0，即7a2+16a·b-15b2=0，　　?、?a2-30a·b+8b2=0，　　 ?、?②－①得23b2－46a·b＝0， ∴2a·b＝b2，代入①得a2＝b2， ∴|a|＝|b|，∴cos θ＝a·bab＝12b2b2＝12． ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝π3． 1．已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　) A．4　　　B．3　　　C．2　　　D．0 B　[∵|a|＝1，知a2＝|a|2＝1，又a·b＝－1， ∴a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．] 2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b與λa－b垂直，則實數(shù)λ等于(　　) A．32　　　B．－32　　　C．±32 　　　D．1 A　[∵3a＋2b與λa－b垂直，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝32．] 13．(2023·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b滿足|a－b|＝3，|a＋b|＝|2a－b|，則|b|＝________． 3　[因為|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，則a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又|a－b|2＝3，即(a－b)2＝3，則a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝3．] 4．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，則向量a與a－b的夾角為________． π6　[|a－b|＝a-b2＝a2+b2-2a·b＝3，設向量a與a－b的夾角為θ，則 cos θ＝a·a-baa-b＝22-12×3＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6．] 回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題： 1．向量的數(shù)量積滿足哪些運算律？ [提示]　(1)a·b＝b·a． (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 2．向量的夾角與其數(shù)量積之間存在什么關系？ [提示]　向量a，b的夾角為銳角，得到a·b>0；反之，a·b>0不能說明a·b的夾角為銳角，因為a，b夾角為0°時也有a·b>0.同理，向量a，b的夾角為鈍角，得到a·b0，得t>－74，當a，b共線時，存在唯一的實數(shù)λ，使a＝λb，即3e1＋2e2＝λ(te1＋2e2)，所以3=λt，2=2λ，解得λ=1，t=3，所以當t≠3時，a，b不共線，綜上，t的取值范圍為t>－74且t≠3，即t的取值范圍為-74，3∪3，+∞． 15．已知平面上三個向量a，b，c的模均為1，它們相互之間的夾角均為120°． (1)求證：(a－b)⊥c； (2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范圍． [解]　(1)證明：因為|a|＝|b|＝|c|＝1，且a，b，c之間的夾角均為120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c ＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，所以(a－b)⊥c． (2)因為|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)2>1，即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1，因為a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－12，所以k2－2k>0，解得k2．所以實數(shù)k的取值范圍為(－∞，0)∪(2，＋∞)．學習任務1．掌握平面向量數(shù)量積的運算律及常用的公式．(邏輯推理) 2．會利用向量數(shù)量積的有關運算律進行計算或證明．(數(shù)學運算)