第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．在0、、、2四個(gè)數(shù)中，負(fù)數(shù)是（ ）
A．0B．C．D．2
【答案】B
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)，根據(jù)負(fù)數(shù)的定義即可判斷，解題的關(guān)鍵是正確區(qū)分正數(shù)與負(fù)數(shù)．
【詳解】在0，，，2四個(gè)數(shù)中，，2是正數(shù)，是負(fù)數(shù)，0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．
故選：B．
2．中國(guó)海關(guān)總署于2024年1月12日發(fā)布消息稱：2023年我國(guó)汽車出口量為522萬(wàn)輛，同比增加．?dāng)?shù)據(jù)“522萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義．
科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，為整數(shù)，確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，是負(fù)整數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．
【詳解】解：522萬(wàn)．
故選：B．
3．如圖是某場(chǎng)比賽頒獎(jiǎng)現(xiàn)場(chǎng)的領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的示意圖，其主視圖為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了三視圖的知識(shí)．找到從正面看所得到的圖形即可．
【詳解】
解：從正面看所得到的圖形是：．
故選：D．
4．下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，利用積的乘方法則，同底數(shù)冪乘法法則，合并同類項(xiàng)法則及完全平方公式逐項(xiàng)判斷即可．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：A、，則A符合題意；
B、，則B不符合題意；
C、，則C不符合題意；
D、，則D不符合題意；
故選：A．
5．如圖，直線，點(diǎn)C、A分別在、上，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)B，連接AB．若，則的度數(shù)為（ ）

A．10°B．15°C．20°D．30°
【答案】D
【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)；由題意得，則；再由，即可求得的度數(shù)．
【詳解】解：由題意知：，
∴；
∵，
∴；
故選：D．
6．菲爾茲獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一項(xiàng)國(guó)際大獎(jiǎng)，被視為數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)．截止目前，菲爾茲獎(jiǎng)得主中最年輕的8位數(shù)學(xué)家獲獎(jiǎng)時(shí)年齡分別為：，則該組由年齡組成的數(shù)據(jù)的眾數(shù)和平均數(shù)是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】C
【分析】本題考查了眾數(shù)和平均數(shù)的知識(shí)，根據(jù)平均數(shù)和眾數(shù)的概念求解，正確理解一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)；平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵數(shù)據(jù)出現(xiàn)了次，最多，
∴眾數(shù)為：，
平均數(shù)為：，
故選：．
7．如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上，連接，，，，則的長(zhǎng)為（ ）
A．7B．C．8D．10
【答案】B
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，，求得，根據(jù)勾股定理的逆定理可得，進(jìn)一步推理可得，是等腰直角三角形，利用勾股定理計(jì)算即得答案．
【詳解】將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
8．已知是方程的一個(gè)根，則（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】B
【分析】本題考查一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)方程的解是使方程成立的未知數(shù)的值，得到，進(jìn)而得到，根與系數(shù)的關(guān)系得到方程的另一個(gè)根為，進(jìn)而得到整體代入代數(shù)式求值即可．
【詳解】解：由題意，得：，方程的另一個(gè)根為，
∴，
∴
；
故選B．
9．如圖所示，點(diǎn)E在正方形的對(duì)角線上，且，直角三角形的兩直角邊分別交于點(diǎn)M，N，若正方形的邊長(zhǎng)為a，則重疊部分四邊形的面積為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作，，結(jié)合正方形的性質(zhì)先推出≌，得到，根據(jù)以上分析，可知陰影部分的面積等于正方形的面積，求出的邊長(zhǎng)即可．
【詳解】解：作，，如圖，

∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵是直角三角形，
∴，
∴，
∵是的角平分線，，
∴，四邊形是正方形，
∴≌，
∴，
∴四邊形的面積等于正方形的面積，
∵正方形的邊長(zhǎng)為a，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正方形的面積，
∴四邊形的面積 ，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是不規(guī)則圖形的面積求解問題，解題的關(guān)鍵是掌握將不規(guī)則問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形來代替求解．
10．二次函數(shù)的圖象如圖所示，與y軸交于點(diǎn)C，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，且，有下列五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（ ）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】B
【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．開口方向，對(duì)稱軸，與軸的交點(diǎn)位置判斷①，特殊點(diǎn)判斷②和③，對(duì)稱軸判斷④，根據(jù)圖象過，判斷⑤．
【詳解】解：∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為直線，與軸交于正半軸，
∴，
∴，；故①④錯(cuò)誤；
由圖象可知：時(shí)，，
∴，故③正確，
∵和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴當(dāng)時(shí)，；故③正確；
∵，
∴圖象過，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故⑤正確；
故選B．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】
本題主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【詳解】解；
，
故答案為：．
12．如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，直線交軸于點(diǎn)，若，的面積為，則的值為 ．

【答案】4
【分析】根據(jù)三角形的面積公式可得，進(jìn)而求出答案．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為，

∵，，
∴，
∴，
而，
∴，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，平行線段成比例，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，求出的面積．
13．如圖，將邊長(zhǎng)為2的正六邊形鐵絲框變形為以點(diǎn)A為圓心，為半徑的扇形（忽略鐵絲的粗細(xì)），則所得扇形（陰影部分）的面積為 ，該扇形所對(duì)的圓心角是 度．（結(jié)果用含π的式子表示）
【答案】 8
【分析】本題主要考查了正多邊形與圓，先根據(jù)題意求出優(yōu)弧的長(zhǎng)為8，再根據(jù)扇形面積等于其弧長(zhǎng)與半徑乘積的一半求出陰影部分面積，進(jìn)而根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出圓心角度數(shù)即可．
【詳解】解；由題意得，優(yōu)弧的長(zhǎng)為，
∴所得扇形（陰影部分）的面積為，
∴該扇形所對(duì)的圓心角是，
故答案為：8；．
14．如圖，直線與x軸與y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C，D分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)P為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ．

【答案】
【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，此時(shí)最小，根據(jù)一次函數(shù)解析式求出，點(diǎn)坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)求出坐標(biāo)，從而求出直線的解析式，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【詳解】解：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，此時(shí)最小．

令中，則，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
令中，則，
故，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
點(diǎn)C，D分別為線段，的中點(diǎn)，
，
關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，
，
設(shè)直線的解析式為，
將坐標(biāo)代入，
得，
解得，
直線的解析式為，
令中，
則，
解得，
當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及軸對(duì)稱中最短路徑問題，找出點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，是的直徑，，是的弦，是的內(nèi)心，連接，若，，則的長(zhǎng)是 ．
【答案】/
【分析】
本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．過作于，于，于，根據(jù)已知條件推出四邊形是正方形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】
解：過作于，于，于，
，
四邊形是矩形，
是的內(nèi)心，
，
四邊形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
16．已知拋物線C：，點(diǎn)E是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)E向左移動(dòng)4個(gè)單位得到點(diǎn)F，若線段與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)a的取值范圍為 ．
【答案】或
【分析】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形變化-平移，分類求解確定的位置是解題的關(guān)鍵．
求出點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩種特殊位置E的值，可得結(jié)論．
【詳解】拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)，
解得或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
∵的距離為4，而的水平距離是3，
故此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，即；
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，線段與拋物線沒有公共點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，拋物線和交于拋物線的頂點(diǎn)，
即時(shí)，線段與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，
綜上，或．
故答案為：或．
三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（1）
（2）解方程組：．
【答案】（1）；（2）方程組的解為．
【分析】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，解二元一次方程組；
（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求解；
（2）根據(jù)加減消元法解二元一次方程組，即可求解．
【詳解】解：（1）
．
（2）解：，
得，
解得，
將代入②得，
解得，
∴方程組的解為．
18．如圖，某測(cè)量小組為了測(cè)量山的高度，在地面處測(cè)得山頂?shù)难鼋?，然后沿著坡角為（即的坡面走?00米到達(dá)處，此時(shí)在處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?，求山高（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】米
【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，坡度坡角問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．作于．解直角三角形分別求出、即可解決問題．
【詳解】解：作于．
，米，
（米），
，
四邊形是矩形，
（米），
，，
，
，，
，
，
，
，
（米），
在中，
，
（米），
（米）．
19．“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”是中國(guó)三大頂尖數(shù)學(xué)獎(jiǎng)項(xiàng)之一，為激勵(lì)中國(guó)數(shù)學(xué)家在發(fā)展中國(guó)數(shù)學(xué)事業(yè)中做出突出貢獻(xiàn)而設(shè)立，小華對(duì)截止到2023年第十六屆“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡（單位：歲）數(shù)據(jù)進(jìn)行了收集、整理和分析，下面是部分信息．
a．“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡統(tǒng)計(jì)圖（數(shù)據(jù)分成5組：）
b．“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡在這一組的是：63 65 65 65 65 66 67 68 68 68 69 69 69 69，根據(jù)以上信息，回答下列問題：
(1)補(bǔ)全“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)年齡頻數(shù)分布直方圖；
(2)直接寫出“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡數(shù)據(jù)中位數(shù)；若以各組的組中值代表各組的實(shí)際數(shù)據(jù)，求出“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)年齡數(shù)據(jù)的平均數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；
(3)小華準(zhǔn)備從“華羅庚數(shù)學(xué)獎(jiǎng)”得主獲獎(jiǎng)時(shí)的年齡在和這兩組中任意選取兩人了解他們的數(shù)學(xué)故事，求選取的兩人年齡正好在同一組的概率．
【答案】(1)見解析
(2)69，71
(3)
【分析】本題考查統(tǒng)計(jì)圖，求中位數(shù)，平均數(shù)，樹狀圖法求概率：
（1）用年齡在這一組的人數(shù)除以所占的比例求出總數(shù)，進(jìn)而求出的人數(shù)，補(bǔ)全直方圖即可；
（2）根據(jù)中位數(shù)的定義，平均數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）用表示的三人，用表示中的兩人，畫出樹狀圖，利用概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：，
∴的人數(shù)為，
補(bǔ)全直方圖如圖：
（2）將數(shù)據(jù)排序后，第15個(gè)和第16個(gè)數(shù)據(jù)均為：69，
∴中位數(shù)為69；
平均數(shù)為：；
（3）用表示的三人，用表示中的兩人，
畫出樹狀圖如圖：
共有20種等可能的結(jié)果，其中兩人是同一組的結(jié)果有8種，
∴．
20．如圖，是的直徑，C是上異于A、B的點(diǎn)，外的點(diǎn)E在射線上，直線與垂直，垂足為D，且．
(1)求證：是的切線；
(2)如果A是的中點(diǎn)，，求的值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
（1）通過證明，可得，可證，即可求解；
（2）設(shè)，根據(jù)相似性質(zhì)得出，再結(jié)合得出，再根據(jù)和，即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
是的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是上的點(diǎn)，
是的切線；
（2）解：設(shè)，
是的中點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和．
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)請(qǐng)直接寫出時(shí)，x的取值范圍；
(3)過點(diǎn)B作軸，于點(diǎn)D，點(diǎn)C是直線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為為
(2)或
(3)點(diǎn)C的坐標(biāo)為或
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，先確定反比例函數(shù)解析式，再確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后確定一次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)圖像的性質(zhì)，結(jié)合交點(diǎn)的橫坐標(biāo)寫出解集即可．
（3）根據(jù)，，得到，設(shè)，則，，結(jié)合，平方列出方程解答即可．
本題考查了待定系數(shù)法，兩點(diǎn)間距離公式，數(shù)形結(jié)合思想，直接開平方法解方程，熟練掌握待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合思想，直接開平方法解方程，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，
得，
，
將點(diǎn)代入，
解得，
，
將，點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)，
得，
解得，
一次函數(shù)的解析式為．
（2）不等式的解集是：或．
（3）根據(jù)，，得到，
設(shè)，
則，，
∵，
∴，
解得，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為或．
22．煙花爆竹的發(fā)明與火藥技術(shù)的使用息息相關(guān)．最初的爆竹是由唐朝的李畋發(fā)明的，他利用火藥、紙筒等材料制作爆竹，目的是產(chǎn)生巨大聲響以驅(qū)鬼辟邪，煙花爆竹不僅在重要節(jié)日以示慶賀，還承載著中國(guó)人迎祥納福的美好愿望．小紅的爸爸是一家煙花爆竹店的老板，在春節(jié)前購(gòu)進(jìn)甲，乙兩種煙花，用3120元購(gòu)進(jìn)甲種煙花與用4200元購(gòu)進(jìn)乙種煙花的數(shù)量相同，乙種煙花進(jìn)貨單價(jià)比甲種煙花進(jìn)貨單價(jià)多9元．
(1)求甲、乙兩種煙花的進(jìn)貨單價(jià)；
(2)小紅的爸爸打算再購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種煙花共1000個(gè)，其中乙種煙花的購(gòu)貨數(shù)量不少于甲種煙花數(shù)量的3倍，如何進(jìn)貨才能花費(fèi)最少？并求出最少的花費(fèi)．
【答案】(1)甲種煙花的進(jìn)貨單價(jià)為26元，則乙種煙花的進(jìn)貨單價(jià)為元；
(2)購(gòu)進(jìn)甲種煙花個(gè)，則乙種煙花個(gè)，花費(fèi)最少為元．
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程及一元一次不等式和相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．
（1）設(shè)甲種煙花的進(jìn)貨單價(jià)為x元，則乙種煙花的進(jìn)貨單價(jià)為元，由題意列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種煙花m個(gè)，則乙種煙花個(gè)，花費(fèi)為y元，根據(jù)題意確定相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式和不等式，然后求解，利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果．
【詳解】（1）解：設(shè)甲種煙花的進(jìn)貨單價(jià)為x元，則乙種煙花的進(jìn)貨單價(jià)為元，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，
則，
答：甲種煙花的進(jìn)貨單價(jià)為26元，則乙種煙花的進(jìn)貨單價(jià)為元；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種煙花m個(gè)，則乙種煙花個(gè)，花費(fèi)為y元，
由題意得：，
∵乙種煙花的購(gòu)貨數(shù)量不少于甲種煙花數(shù)量的3倍，
∴，
解得：，
∵，則y隨m的增大而減小，
∴當(dāng)時(shí)，y最小，最小為元，
則，
答：購(gòu)進(jìn)甲種煙花個(gè)，則乙種煙花個(gè)，花費(fèi)最少為元．
23．如圖，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)F．

(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，求 ；
(2)如圖②當(dāng)平分時(shí)，求證：；
(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E是的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)見解析
【分析】
（1）利用，結(jié)合正方形性質(zhì)求得，依據(jù)和相似，得到面積的比等于與比值的平方，據(jù)此即可求解；
（2）利用角之間的關(guān)系證得，可得，在中，利用勾股定理可以證得；
（3）根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)和正方形性質(zhì)，得到，根據(jù)相似三角形性質(zhì)得到，根據(jù)得到．
【詳解】（1）
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）
∵平分，
∴，
∵和是正方形的對(duì)角線，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
在中，根據(jù)勾股定理得：，
∴；
（3）
證明： ∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了正方形和三角形綜合．熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，等腰三角形的判斷和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，是解決本題的關(guān)鍵．
24．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱．
(1)分別求出，的值和直線的解析式；
(2)直線下方的拋物線上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，作平行于軸交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，求的周長(zhǎng)的最大值；
(3)在（2）的條件下，如圖，在直線的右側(cè)、軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或
【分析】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的交點(diǎn)式、配方法求二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出的長(zhǎng)與的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
（1）先求得的坐標(biāo)，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解即可；先求得拋物線的對(duì)稱軸，從而得到點(diǎn)，然后可求得直線的解析式；
（2）求得，接下來證明為等腰直角三角形，所當(dāng)有最大值時(shí)三角形的周長(zhǎng)最大，設(shè)，，則，然后利用配方可求得的最大值，最后根據(jù)的周長(zhǎng)求解即可；
（3）當(dāng)時(shí)，如果 或時(shí)，則∽，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則，，然后根據(jù)題意列方程求解即可．
【詳解】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，
．
令，則，
，，
，
，
，
設(shè)拋物線的解析式為，
將，代入得：，
解得，
拋物線的解析式為；
，；
拋物線的對(duì)稱軸為，，
點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
；
設(shè)直線的解析式為．
將、代入得：
，
解得，，
直線的解析式；
（2）直線的解析式，
直線的一次項(xiàng)系數(shù)，
．
平行于軸，
，
．
的周長(zhǎng)．
設(shè)，則，
則．
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．
的周長(zhǎng)的最大值；
（3）在直線的右側(cè)、軸下方的拋物線上存在點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與相似；理由如下：
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則
如圖，

若 時(shí)，∽．
則 ，整理得：．
得：負(fù)值舍去，
點(diǎn)為；
如圖，

若時(shí)，∽，
則，整理得：，
得：負(fù)值舍去，
點(diǎn)為，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

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