2024年內(nèi)蒙古通遼市九年級數(shù)學(xué)中考模擬預(yù)測題（原卷版+解析版）

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1. 2的平方根是（ ）
A. B. C. ±2D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用平方根的定義求解即可．
【詳解】解：的平方根是，
故選：B．
【點睛】本題考查了平方根的定義，解題關(guān)鍵是牢記平方根的定義，其中一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)．
2. 在平面直角坐標(biāo)系中，點與點關(guān)于軸對稱，則點的坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)改變符號，進而得出答案．
【詳解】解：點與點關(guān)于軸對稱，
點的坐標(biāo)是，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了關(guān)于軸對稱點的性質(zhì)，正確把握橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 四邊都是相等的四邊形是矩形B. 對角線相等的平行四邊形是矩形
C. 對角線互相垂直的平行四邊形是正方形D. 菱形的對角線相等
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)真命題的定義以及圖形的性質(zhì)與判定逐項分析即可．
【詳解】解：A.四邊都相等的四邊形是菱形，故原命題是假命題；
B.對角線相等的平行四邊形是矩形，正確，是真命題；
C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故原命題假命題；
D.菱形的對角線互相垂直，故原命題假命題；
故選B．
【點睛】此題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的定義、性質(zhì)定理及判定定理．
4. 如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C和點D，則tan∠ADC＝（ ）
A B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用圓周角定理得到∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC，再利用正切的定義得到tan∠ABC=，從而得到tan∠ADC的值．
【詳解】解：∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=，
∵∠ADC=∠ABC，
∴tan∠ADC=，
故選：D．
【點睛】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了解直角三角形．
5. 如圖，這是一個底面為等邊三角形的正三棱柱和它的主視圖、俯視圖，則它的左視圖的面積是（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三視圖確定底面等邊三角形的邊長為2，該幾何體的高為2，再確定該幾何體的三視圖利用面積公式計算即可．
【詳解】由三視圖可知：底面等邊三角形的邊長為2，該幾何體的高為2，
該幾何體的左視圖為長方形，
該長方形的長為該幾何體的高2，寬為底面等邊三角形的高，
∵底面等邊三角形的高=，
∴ 它的左視圖的面積是，
故選：D．
【點睛】此題考查簡單幾何體的三視圖，能根據(jù)幾何體會畫幾何體的三視圖，能依據(jù)三視圖判斷幾何體的長、寬、高的數(shù)量，掌握簡單幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵．
6. 如圖，某運動員P從半圓跑道A點出發(fā)沿勻速前進到達終點B，若以時間t為自變量，扇形OAP的面積S為函數(shù)的圖象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】考查函數(shù)圖象，扇形面積，找出滑動時間與扇形面積的關(guān)系．
【詳解】解：扇形的面積與圓心角度數(shù)n的關(guān)系為S=，時間t與圓心角度成正比例關(guān)系，圖中正比例函數(shù)的圖象是圖C．
故選C．
【點睛】此題考查多個知識點，注意多個知識的聯(lián)系，找出關(guān)系．
7. 若一個正三角形和一個正六邊形的面積相等，則正三角形與正六邊形的邊長比為（ ）
A. B. C. D. 2：1
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)正三角形和一個正六邊形的邊長分別為a、b．構(gòu)建面積相等構(gòu)建方程即可解決問題．
【詳解】解：設(shè)正三角形邊長分別a，如圖，作于D，

則，，
∴正三角形的面積為，
設(shè)正六邊形的邊長b，
同理正六邊形的面積為，
由題意：，
∴，
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查正多邊形與圓、等邊三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
8. 某組數(shù)據(jù)的方差計算公式為，由公式提供的信息如下：①樣本容量為3；②樣本中位數(shù)為3；③樣本眾數(shù)為3；④樣本平均數(shù)為；其說法正確的有（ ）
A. ①②④B. ②④C. ②③D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得該組數(shù)據(jù)為2，2，3，3，3，5，5，再由樣本容量，中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的意義，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：該組數(shù)據(jù)為2，2，3，3，3，5，5，
∴樣本容量為7，故①錯誤；
把這一組數(shù)據(jù)從小到大排列后，位于正中間的數(shù)為3，
∴樣本中位數(shù)為3，故②正確；
3出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴樣本眾數(shù)為3，故③正確；
樣本平均數(shù)為，故④錯誤；
故選：C
【點睛】本題主要考查了求樣本容量，中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)，熟練掌握樣本容量，中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
9. 如圖，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不正確的是（ ）
A. 由弧②可以判斷出B. ?、酆突、芩趫A的半徑相等
C. 由?、倏梢耘袛喑?D. 的內(nèi)心和外心都在射線上
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本作圖可對選項和B選項進行判斷；利用基本作圖可得到平分，從而可對C選項進行判斷；根據(jù)三角形的內(nèi)心和外心的定義可對D選項進行判斷．
【詳解】解：A．由弧可得，故選項正確，不符合題意；
B．由弧和弧可得到，即弧和弧所在圓的半徑相等，故B選項正確，不符合題意；
C．由弧可判斷為的平分線，而由弧不可以判斷出，故C選項正確，符合題意；
D．∵平分，
∴的內(nèi)心在射線上，
∵垂直平分，
∴的外心在射線上，故D選項正確，不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心與外心．
10. 下列命題是真命題的是（ ）
A. 三角形的內(nèi)心到三角形三個頂點的距離相等
B. 若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是且
C. 若關(guān)于的一元一次不等式組無解，則的范圍是
D. 若點是線段的黃金分割點，則
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，一元一次不等式組的解法，黃金分割的概念進行判斷即可．
【詳解】解：A．三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，原命題是假命題，故此選項不符合題意；
B．當(dāng)時，方程為，方程有一個實數(shù)根；當(dāng)時，關(guān)于的方程有實數(shù)根，則，解得：，綜上所述，的取值范圍是，原命題是假命題，故此選項不符合題意；
C．若關(guān)于的一元一次不等式組無解，則的范圍是，原命題是真命題，故此選項符合題意；
D．若點是線段的黃金分割點且，則，原命題是假命題，故此選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，一元一次不等式組的解法，黃金分割的概念是解題的關(guān)鍵．
11. 如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成．第（1）個圖案有4個三角形，第（2）個圖案有7個三角形，第（3）個圖形有10個正三角形，…依此規(guī)律，若第n個圖案有2023個三角形，則（ ）
A. 670B. 672C. 673D. 674
【答案】D
【解析】
【分析】由題意可知：第（1）個圖案有個三角形，第（2）個圖案有個三角形，第（3）個圖案有個三角形，…依此規(guī)律，第n個圖案有個三角形，進而得出方程解答即可．
【詳解】解：∵第（1）個圖案有個三角形，
第（2）個圖案有個三角形，
第（3）個圖案有個三角形，
…
∴第n個圖案有個三角形．
根據(jù)題意可得：，
解得：，
故選：D．
【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．
12. 如圖，AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點G,點F是CD上一點,且滿足=，連接AF并延長交⊙O于點E． 連接AD、DE，若CF=2，AF=3．給出下列結(jié)論：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4 其中正確的是（ ）
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④
【答案】A
【解析】
【分析】①利用垂徑定理可知，然后得到∠ADF＝∠AED，結(jié)合公共角可證明△ADF∽△AED；②結(jié)合CF＝2，且，可求得DF＝6，且CG＝DG，可求得FG＝2；③在Rt△AGF中可求得AG，在Rt△AGD中可求得tan∠ADG＝，由∠E＝∠ADG，可得tan∠E；④可先求得△ADF與△AED的相似比，再求S△ADF，進而求出S△ADE，然后由S△DEF＝S△AED－S△ADF得出結(jié)果.
【詳解】解：①∵AB為直徑，AB⊥CD，
∴，
∴∠ADF＝∠AED，且∠FAD＝∠DAE，
∴△ADF∽△AED，故①正確；
②∵AB為直徑，AB⊥CD，
∴CG＝DG，
∵，且CF＝2，
∴FD＝6，
∴CD＝8，
∴CG＝4，
∴FG＝CG?CF＝4?2＝2，故②正確；
③在Rt△AGF中，AF＝3，F(xiàn)G＝2，
∴AG＝，
∴tan∠ADG＝，
∵∠E＝∠ADG，
∴tan∠E＝，故③錯誤；
④在Rt△ADG中，AG＝，DG＝4，
∴AD＝，
∴，
∴，
∵，
∴S△AED＝，
∴S△DEF＝S△AED－S△ADF＝－＝，故④錯誤；
故選A．
【點睛】本題主要考查垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，由垂徑定理得到G是CD的中點是解題的關(guān)鍵，判斷③時注意利用等角的三角函數(shù)值也相等，在判斷④時求出相似比是解題的關(guān)鍵．本題所考查知識點較多，綜合性較強，解題時注意知識的靈活運用．
二．填空題（共5小題，每小題3分，滿分15分）
13. 若使二次根式有意義，則的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件進行求解即可．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴，
解得．
故答案為：．
14. 已知，則的余角是________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)和為90°的兩個角互為余角計算即可．
【詳解】解：，則的余角是，
故答案為：．
【點睛】本題考查了余角的概念，解題關(guān)鍵是明確和為90°的兩個角互為余角．
15. 我們根據(jù)指數(shù)運算，得出了一種新的運算，如表是兩種運算對應(yīng)關(guān)系的一組實例：
根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個式子：①，②，③．
其中正確的是________．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)運算和新的運算法則得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律運算可得結(jié)論．
【詳解】解：由題意得：
①，，故①正確；
②，，故②不正確；
③，，故③正確；
所以，正確的是①③，
故答案為：①③．
【點睛】此題考查了指數(shù)運算和新定義運算，發(fā)現(xiàn)運算規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
16. 如圖是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的的網(wǎng)格，已知點A，B，C，D均在格點上，且點C，D不重合，，則長為_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用格點的特征作圖，然后結(jié)合勾股定理分析求解．
【詳解】解：如圖，
∵，，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，屬于中考?？碱}型，理解格點的特征，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．
17. 如圖，已知菱形的邊長為，對角線，相交于點，點，分別是邊，上的動點，，連接，．①是等邊三角形；②的最小值是；③當(dāng)最小時，；④當(dāng)時，．其中正確的結(jié)論有____________（填寫所有正確結(jié)論的序號）

【答案】①②④
【解析】
【分析】先證明，可得，結(jié)合，可判斷是等邊三角形，故①正確；因為，即的最小值為的最小值，所以當(dāng)時，最小，求出此時的長即可判斷②正確；可證明此時為的中位線，再得，相似比為，，即，結(jié)合，可證明，故③不正確；證明，由相似的性質(zhì)得，即，結(jié)合，，，即可證明，故④正確．
【詳解】解：∵在菱形中，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
∴在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，故①正確；
∵是等邊三角形，
∴，即的最小值為的最小值，
當(dāng)時，最小，如圖：

∵在中，，，，
∴，
∴，
∴的最小值為，故②正確；
∵是等邊三角形，，
∴為的中點，此時為的中點，
∴為的中位線，
∴，
∴，，
∴，相似比為，
∴，即，
∵，
∴，
∴，故③不正確；
當(dāng)時，如圖：

∵在菱形中，
∴，，，
又∵，
∴，
又∵
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∴，故④正確，
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、點到直線的距離線段最短及勾股定理，證明是解答本題的關(guān)鍵．
三．解答題（共9小題，滿分69分）
18. 計算：．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)實數(shù)的運算法則結(jié)合二次根式、負整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、三角函數(shù)值計算可得．
【詳解】解：原式
【點睛】本題主要考查實數(shù)的運算能力，熟練掌握實數(shù)的運算法則是關(guān)鍵．
19. 先化簡：，再在中選取一個你喜歡的整數(shù)a的值代入求值．
【答案】，時，原式
【解析】
【分析】首先計算分式的除法，再算分式的加法，化簡后，再確定a的值，代入即可．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴a取0，
∴原式．
【點睛】此題主要考查了分式的化簡求值，關(guān)鍵是掌握計算順序和計算法則，正確把分式進行化簡．
20. 北京時間2022年11月29日23時08分，搭載神舟十五號載人飛船的長征二號火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火發(fā)射，神舟十五號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，標(biāo)志著我國航天事業(yè)又取得了新的突破．為了培養(yǎng)學(xué)生的愛國意識，普及航天知識，某市舉行了航天知識競賽，每個學(xué)校有兩個參賽隊的名額，某校七年級和八年級各有4個參賽小組想要參加此次比賽，為體現(xiàn)比賽公平，學(xué)校進行了校內(nèi)選拔比賽．8個參賽小組初賽得分情況如下表：
根據(jù)上表回答問題：
（1）若最終得分的評分規(guī)則為：必答題、搶答題、風(fēng)險題得分比重為，則第4組的最終得分為_____分；
（2）按照（1）中的得分比重，組委會繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，并規(guī)定前四名小組進入復(fù)賽，假如你是參賽小組成員，請判斷自己所在小組能否進入復(fù)賽并說明理由；
（3）已知進入復(fù)賽的4個小組中，有2個七年級的小組和2個八年級的小組，組委會通過抽簽的形式選出2個小組代表學(xué)校參加決賽（七年級2個小組分別記作，，八年級2個小組分別記作，），請用畫樹狀圖或列表的方法求參加決賽的2個小組是同一個年級的概率．
【答案】（1）62 （2）當(dāng)自己在1，3，4，5小組時，能進復(fù)賽，否則不能；
（3）參加決賽的2個小組是同一個年級的概率為．
【解析】
【分析】（1）利用加權(quán)平均數(shù)計算即可求解；
（2）利用加權(quán)平均數(shù)計算出各組的得分，即可解決問題；
（3）列表，共有12種等可能的結(jié)果，選中的2小組恰好來自同一個年級的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【小問1詳解】
解：由圖表得第4組必答題、搶答題、風(fēng)險題分數(shù)分別為100、40、0分
∴4組最終得分：(分)，
故答案為：62；
【小問2詳解】
解：由8個參賽小組最終得分頻數(shù)分布直方圖可得前四的小組得分在之間，
1組最終得分：(分)，
2組最終得分：(分)，
3組最終得分：(分)，
4組最終得分：(分)，
5組最終得分：(分)，
6組最終得分：(分)，
7組最終得分：(分)，
8組最終得分：(分)，
故當(dāng)自己在1，3，4，5小組時，能進復(fù)賽，否則不能；
【小問3詳解】
解：列表如下，
共有12種等可能的結(jié)果，選中的2小組恰好來自同一個年級的結(jié)果有4種，
∴參加決賽的2個小組是同一個年級的概率為．
【點睛】此題考查了樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．還考查了加權(quán)平均數(shù)．
21. 如圖，在中，D，E分別為的中點，延長到F，使，連接，
（1）求證：四邊形為平行四邊形；
（2）當(dāng)時，判斷平行四邊形為那種特殊四邊形，并說明理由．
【答案】（1）見解析 （2）四邊形為矩形，見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得，當(dāng)時，可證明，從而四邊形為矩形；
【小問1詳解】
證明：∵點E是的中點，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形；
【小問2詳解】
解：當(dāng)時，四邊形為矩形；
∵，點D為的中點，
∴，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴四邊形為矩形．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
22. 如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與坐標(biāo)軸分別交于B，C兩點．

（1）若，求自變量x取值范圍；
（2）動點在x軸上運動．當(dāng)n為何值時，的值最大？并求最大值．
【答案】（1）
（2）當(dāng)為時，的值最大，最大值為
【解析】
【分析】（1）由點的縱坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出點的坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，即可得出當(dāng)時，自變量的取值范圍；
（2）由點的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點、的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可確定當(dāng)點與點重合時，的值最大，利用兩點間的距離公式即可求出此最大值．
【小問1詳解】
解：當(dāng)時，，
點的坐標(biāo)為，
觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)時，直線在雙曲線上方，
若，自變量的取值范圍為．
【小問2詳解】
解：將代入中，
，解得：，
直線的解析式為，
當(dāng)時，，
點坐標(biāo)為，
，
當(dāng)時，，
點的坐標(biāo)為．
當(dāng)點與點重合時，的值最大，
此時，．
當(dāng)為時，的值最大，最大值為．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、一次（反比例）函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是：（1）利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求出點的坐標(biāo)；（2）利用三角形的三邊關(guān)系確定點的位置．
23. 如圖，利用22米長的墻為一邊，用籬笆圍成一個長方形倉庫，中間用籬笆分割出兩個小長方形，在與墻平行的一邊要開兩扇1米寬的門，總共用去籬笆34米，為了使這個長方形的面積為96平方米，求和的長．
【答案】AB=8米，BC=12米．
【解析】
【分析】設(shè)AB為x米，然后表示出BC的長為（36-3x）米，利用矩形的面積計算方法列出方程求解即可．
【詳解】解：設(shè)AB為x米，則BC為（36-3x）米，
x（36-3x）=96，
解得：x1=4，x2=8，
當(dāng)x=4時，
36-3x=24＞22（不合題意，舍去），
當(dāng)x=8時，
36-3x=12．
答：AB=8米，BC=12米．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)出一邊的長，并用未知數(shù)表示出另一邊的長．
24. 【閱讀理解】：如圖，在中，a，b，c分別是，，的對邊，，其外接圓半徑為．根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義：，，可得，即（規(guī)定）．
【探究活動】：如圖，在銳角中，a，b，c分別是，，的對邊，其外接圓半徑為，那么：______________________（用>，=或