第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）
1．|﹣2|等于（ ）
A．﹣2B．﹣C．2D．
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義，可以得到|﹣2|等于多少，本題得以解決．
【解答】解：由于|﹣2|＝2，故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是明確絕對(duì)值的定義．
2．如圖，直線l1∥l2，被直線l3、l4所截，并且l3⊥l4，∠1＝46°，則∠2等于（ ）
A．56°B．34°C．44°D．46°
【分析】依據(jù)l1∥l2，即可得到∠3＝∠1＝46°，再根據(jù)l3⊥l4，可得∠2＝90°﹣46°＝44°．
【解答】解：如圖：
∵l1∥l2，∠1＝46°，
∴∠3＝∠1＝46°，
又∵l3⊥l4，
∴∠2＝90°﹣46°＝44°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題時(shí)注意：兩直線平行，同位角相等．
3．圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史，下列由黑白棋子擺成的圖案是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．
【解答】解：A，B，C選項(xiàng)中的圖案都不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形；
D選項(xiàng)中的圖案能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
4．計(jì)算：（x+2y）（x﹣2y）＝（ ）
A．x2﹣2y2B．x2+2y2C．x2+4y2D．x2﹣4y2
【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算，然后逐一判斷即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4y2．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．
5．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，連接OA、OB，∠C+∠O＝60°，則∠O的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【分析】先利用圓周角定理得到∠C＝∠O，再利用∠C+∠O＝60°得到∠O+∠O＝60°，然后解方程即可．
【解答】解：∵∠C＝∠O，
而∠C+∠O＝60°，
∴∠O+∠O＝60°，
解得∠O＝40°．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．也考查了圓周角定理．
6．若點(diǎn)A（1，a）和點(diǎn)B（4，b）在直線y＝﹣2x+m上，則a與b的大小關(guān)系是（ ）
A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＜b
C．a(chǎn)＝bD．與m的值有關(guān)
【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入函數(shù)解析式，可用m分別表示出a和b，比較其大小即可．
【解答】解：
∵點(diǎn)A（1，a）和點(diǎn)B（4，b）在直線y＝﹣2x+m上，
∴a＝﹣2+m，b＝﹣8+m，
∵﹣2+m＞﹣8+m，
∴a＞b，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
7．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．2
【分析】若一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立關(guān)于m的方程，即可求解．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，
解得m＝4．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了根的判別式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．
8．已知△ABC∽△DEF，相似比為3：1，且△ABC的周長(zhǎng)為15，則△DEF的周長(zhǎng)為（ ）
A．1B．3C．5D．45
【分析】因?yàn)椤鰽BC∽△DEF，相似比為3：1，根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比，即可求出周長(zhǎng)．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比為3：1，
∴△ABC的周長(zhǎng)：△DEF的周長(zhǎng)＝3：1，
∵△ABC的周長(zhǎng)為15，
∴△DEF的周長(zhǎng)為5．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)相似三角形性質(zhì)的理解，正確記憶相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解題關(guān)鍵．
9．春節(jié)期間，小星從三部熱門電影《飛馳人生2》《熱辣滾燙》《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時(shí)空》中隨機(jī)選取一部觀看，則恰好選中《熱辣滾燙》的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接根據(jù)概率公式求解．
【解答】解：隨機(jī)選取一部觀看，則恰好選中《熱辣滾燙》的概率＝．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了概率公式：某事件的概率＝這個(gè)事件所占有的結(jié)果數(shù)與總的結(jié)果數(shù)之比．
10．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，∠CAD＝25°，則∠DHO的度數(shù)是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】由菱形的性質(zhì)可得BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，再由直角三角形的性質(zhì)得∠ABD＝65°，則∠BDH＝25°，然后由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAO＝65°，
∵DH⊥AB，BO＝DO，
∴∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，HO＝BD＝DO，
∴∠DHO＝∠BDH＝25°，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．
11．二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，若y＞5，則自變量x的取值范圍是（ ）
A．x＜﹣2或x＞4B．x＜﹣1或x＞3C．﹣2＜x＜4D．﹣1＜x＜3
【分析】由y＝5求得對(duì)應(yīng)的函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的自變量x的值，然后根據(jù)二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3，
∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，
當(dāng)y＝5時(shí)，則x2﹣2x﹣3＝5，即x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x＝4或x＝﹣2，
∴當(dāng)y＞5時(shí)，自變量x的取值范圍是x＞4或x＜﹣2，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，明確二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．中國(guó)美食講究色香味美，優(yōu)雅的擺盤造型能讓美食錦上添花．圖1中的擺盤，其形狀是扇形的一部分，圖2是其幾何示意圖（陰影部分為擺盤），通過測(cè)量得到AC＝BD＝10cm，C，D兩點(diǎn)之間的距離是3cm，∠AOB＝60°，則擺盤的面積是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先證明△OCD是等邊三角形，求出OC＝OD＝CD＝2cm，再根據(jù)S陰＝S扇形OAB﹣S扇形OCD，求解即可．
【解答】解：如圖，連接CD．
∵OC＝OD，∠O＝60°，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC＝OD＝CD＝3cm，
∴S陰＝S扇形OAB﹣S扇形OCD＝，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形面積的計(jì)算、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題3分，共12分）
13．因式分解：4m2+4m+1＝ （2m+1）2 ．
【分析】利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：4m2+4m+1＝（2m+1）2．
故答案為：（2m+1）2．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了因式分解﹣運(yùn)用公式法，掌握因式分解的完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵．
14．若點(diǎn)A（a，b）在第三象限，則點(diǎn)C（﹣a，b﹣5）在第 四 象限．
【分析】根據(jù)第三象限內(nèi)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)確定出a、b的正負(fù)情況，然后進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：∵點(diǎn)A（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴﹣a＞0，b﹣5＜0，
∴點(diǎn)C（﹣a，b﹣5）在第四象限．
故答案為：四．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)特征，記住各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是解決的關(guān)鍵，四個(gè)象限的符號(hào)特點(diǎn)分別是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
15．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2．將∠A向內(nèi)翻折，點(diǎn)A落在BC上，記為A'，折痕為DE．若將∠B沿EA'向內(nèi)翻折，點(diǎn)B恰好落在DE上，記為B'，則∠AED＝ 60° ，AB＝ ．
【分析】根據(jù)將∠A向內(nèi)翻折，點(diǎn)A落在BC上，記為A'，將∠B沿EA'向內(nèi)翻折，點(diǎn)B恰好落在DE上，記為B'，可得∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB，即知∠AED＝60°，在Rt△ADE中，tan60°＝，可得AE＝＝A'E，在Rt△A'BE中，BE＝A'E＝，故AB＝AE+BE＝．
【解答】解：如圖：
∵將∠A向內(nèi)翻折，點(diǎn)A落在BC上，記為A'，將∠B沿EA'向內(nèi)翻折，點(diǎn)B恰好落在DE上，記為B'，
∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB，
∵∠AED+∠A'ED+∠A'EB＝180°，
∴∠AED＝60°，
在Rt△ADE中，tan∠AED＝，
∴tan60°＝，
∴AE＝，
∴A'E＝，
在Rt△A'BE中，∠A'EB＝∠AED＝60°，
∴∠EA'B＝30°，
∴BE＝A'E＝，
∴AB＝AE+BE＝+＝，
故答案為：60°，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形中的折疊問題，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練應(yīng)用含30°角的直角三角形三邊關(guān)系．
16．2023年3月12日是我國(guó)第45個(gè)植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對(duì)這種幼樹進(jìn)行大量移植，并統(tǒng)計(jì)成活情況，下表是這種幼樹移植過程中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
估計(jì)該種幼樹在此條件下移植成活率是 90% ．（結(jié)果精確到1%）
【分析】根據(jù)調(diào)查收集數(shù)據(jù)的過程和方法、近似數(shù)的定義解決此題．
【解答】解：根據(jù)題意，成活率精確到1%，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以估計(jì)移植的成活率為90%．
故答案為：90%．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、有效數(shù)字，熟練掌握調(diào)查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的過程與方法、近似數(shù)以及有效數(shù)字的定義是解決本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共2個(gè)小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17．（4分）解不等式：2x﹣1＜3（1+x）．
【分析】不等式去括號(hào)，移項(xiàng)合并，將x系數(shù)化為1，即可求出解集．
【解答】解：去括號(hào)得：2x﹣1＜3+3x，
移項(xiàng)得：2x﹣3x＜3+1，
合并得：﹣x＜4，
解得：x＞﹣4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元一次不等式，解本題的關(guān)鍵：熟練掌握解不等式的步驟．
18．（4分）計(jì)算：（2﹣）．
【分析】先算括號(hào)內(nèi)的減法，把除法變成乘法，最后算乘法即可．
【解答】解：原式＝?
＝?
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．
19．（4分）已知：如圖，點(diǎn)C是線段AE的中點(diǎn)，AB∥CD，BC∥DE．
求證：AB＝CD．
【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)定義可得AC＝CE，再利用平行線的性質(zhì)和ASA定理判定△ABC≌△CDE，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】證明：∵點(diǎn)C是線段AE的中點(diǎn)，
∴AC＝CE，
∵AB∥CD，BC∥DE，
∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠CED，
在△ABC與△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA），
∴AB＝CD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、直角三角形還有HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．
20．（6分）如圖，一座古塔座落在小山上（塔頂記作點(diǎn)A，其正下方水平面上的點(diǎn)記作點(diǎn)B），小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距離，便利用無人機(jī)進(jìn)行測(cè)量，但由于某些原因，無人機(jī)無法直接飛到塔頂進(jìn)行測(cè)量，因此他先控制無人機(jī)從腳底（記為點(diǎn)C）出發(fā)向右上方（與地面成45°，點(diǎn)A，B，C，O在同一平面）的方向勻速飛行4秒到達(dá)空中O點(diǎn)處，再調(diào)整飛行方向，繼續(xù)勻速飛行8秒到達(dá)塔頂，已知無人機(jī)的速度為5米/秒，∠AOC＝75°，（求小李到古塔的水平距離即BC的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，
【分析】過點(diǎn)O作OD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，根據(jù)題意可得：AO＝40米，OC＝20米，OE＝BD，OE∥BD，從而可得∠EOC＝∠OCD＝45°，進(jìn)而可得∠AOE＝30°，然后在Rt△OCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，再在Rt△AOE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出OE的長(zhǎng)，從而求出BD的長(zhǎng)，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)O作OD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OE⊥AB，垂足為E，
由題意得：AO＝8×5＝40（米），OC＝4×5＝20（米），OE＝BD，OE∥BD，
∴∠EOC＝∠OCD＝45°，
∵∠AOC＝75°，
∴∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°，
在Rt△OCD中，CD＝OC?cs45°＝20×＝10（米），
在Rt△AOE中，OE＝AO?cs30°＝40×＝20（米），
∴OE＝BD＝20（米），
∴BC＝BD﹣CD＝20﹣10≈21（米），
∴小李到古塔的水平距離即BC的長(zhǎng)約為21米．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
21．（6分）在“雙減”政策實(shí)施兩個(gè)月后，某市“雙減辦”面向本市城區(qū)學(xué)生，就“‘雙減’前后參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班的情況”進(jìn)行了一次隨機(jī)問卷調(diào)查（以下將“參加校外學(xué)科補(bǔ)習(xí)班”簡(jiǎn)稱“報(bào)班”），根據(jù)問卷提交時(shí)間的不同，把收集到的數(shù)據(jù)分兩組進(jìn)行整理，分別得到統(tǒng)計(jì)表1和統(tǒng)計(jì)圖1：
整理描述
表1：“雙減”前后報(bào)班情況統(tǒng)計(jì)表（第一組）
（1）根據(jù)表1，m的值為 300 ，的值為 0.02 ；
分析處理
（2）請(qǐng)你匯總表1和圖1中的數(shù)據(jù)，求出“雙減”后報(bào)班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)所占的百分比；
（3）“雙減辦”匯總數(shù)據(jù)后，制作了“雙減”前后報(bào)班情況的折線統(tǒng)計(jì)圖（如圖2）．請(qǐng)依據(jù)圖表中的信息回答以下問題：
①本次調(diào)查中，“雙減”前學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的中位數(shù)為 1 ，“雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的眾數(shù)為 0 ；
②請(qǐng)對(duì)該市城區(qū)學(xué)生“雙減”前后報(bào)班個(gè)數(shù)變化情況作出對(duì)比分析（用一句話來概括）．
【分析】（1）將表1中“雙減前”各個(gè)數(shù)據(jù)求和確定m的值，然后再計(jì)算求得n值，從而求解；
（2）通過匯總表1和圖1求得“雙減后”報(bào)班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)，從而求解百分比；
（3）①根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念分析求解；
②根據(jù)“雙減”政策對(duì)學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的影響結(jié)果角度進(jìn)行分析說明．
【解答】解：（1）m＝102+48+75+51+24＝300，
n＝m﹣（255+15+24）＝6，
∴＝＝0.02，
故答案為：300；0.02；
（2）匯總表1和圖1可得：
×100%＝2.4%，
答：“雙減”后報(bào)班數(shù)為3的學(xué)生人數(shù)所占的百分比為2.4%；
（3）①“雙減”前共調(diào)查500個(gè)數(shù)據(jù)，從小到大排列后，第250個(gè)和第251個(gè)數(shù)據(jù)均為1，
∴“雙減”前學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的中位數(shù)為1，
“雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的是0，
∴“雙減”后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的眾數(shù)為0，
故答案為：1；0；
②從“雙減”前后學(xué)生報(bào)班個(gè)數(shù)的變化情況說明：“雙減”政策宣傳落實(shí)到位，參加校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的學(xué)生大幅度減少，“雙減”取得了顯著效果．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用，理解題意，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行采集和整理，掌握中位數(shù)和眾數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．
22．（6分）如圖，△ABC中，AB＝AC，D，E在邊BC上，延長(zhǎng)AD，AE與△ABC的外接圓分別交于P，Q兩點(diǎn)．
（1）求證：D，E，Q，P四點(diǎn)共圓；
（2）若AD＝BD＝3，AE＝4，DC＝5，求弦AQ的長(zhǎng)度．
【分析】（1）連接BQ，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等可得∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，由∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°結(jié)合等腰三角形性質(zhì)可證∠PDE+∠EQP＝180°，最后得證∠P+∠DEQ＝180°即可；
（2）先證明△ABC∽△DAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，再證明△ABE∽△AQB，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】（1）證明：如圖，連接BQ，
∴∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABC＝∠AQB，
∵∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°，
∴∠PDE+∠AQB+∠BQP＝180°，
∴∠PDE+∠EQP＝180°，
∵∠PDE+∠DEQ+∠EQP+∠P＝360°，
∴∠P+∠DEQ＝180°，
∴D，E，Q，P四點(diǎn)共圓；
（2）解：∵AD＝BD＝3，DC＝5
∴∠ABD＝∠BAD，BC＝8，
由（1）知∠ABC＝∠C，
∴∠ABD＝∠BAD＝∠C，
∴△ABC∽△DAB，
∴，即，
∴，
由（1）可知∠ABE＝∠AQB，
∵∠BAE＝∠QAB，
∴△ABE∽△AQB，
∴，即，
解得AQ＝6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查同弧所對(duì)圓周角相等，四點(diǎn)共圓，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)定理并理解且能綜合運(yùn)用是關(guān)鍵．
23．（6分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB的方向運(yùn)動(dòng)，已知C（1，0），點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，連接OP，PC，記△COP的面積為y1．
（1）求y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；
（2）在圖2所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出（1）中所得函數(shù)的圖象，記其與y軸的交點(diǎn)為D，將該圖象繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖象；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出旋轉(zhuǎn)前后的圖象與直線y2＝﹣x+3的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)直線y＝x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB的方向運(yùn)動(dòng)，得點(diǎn)P（x，x+2），進(jìn)而求得y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）所得函數(shù)解析式即可在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，及旋轉(zhuǎn)后的圖象；
（3）聯(lián)立方程組即可求出旋轉(zhuǎn)前后的圖象與直線y2＝﹣x+3的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵直線y＝x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，B（0，2），
當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣2，A（2，0）．
∵點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB的方向運(yùn)動(dòng)，
∴P（x，x+2），
∵C（1，0），
∴△COP的面積為y1＝×1×（x+2）＝x+1．
∴y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝x+1，
x的取值范圍為：x≥0；
（2）如圖所示，
（1）中所得函數(shù)的圖象為y1＝0.5x+1，
旋轉(zhuǎn)后的圖象為y3＝﹣2x+1．
（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖象與直線y2＝﹣x+3的交點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)E、F，
解得
所以E（，）．
解得
所以F（﹣2，5）．
答：旋轉(zhuǎn)前后的圖象與直線y2＝﹣x+3的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，），（﹣2，5）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意理解動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程．
24．（6分）小聰在瑞陽(yáng)湖濕地公園看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，他對(duì)此展開探究：測(cè)得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點(diǎn)距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若噴水頭P噴出的水柱下方有一安全的長(zhǎng)廊，小聰?shù)耐瑢W(xué)小明站在水柱正下方，且距噴水頭P的水平距離為3m，身高1.6m的小聰在水柱下方走動(dòng)，當(dāng)他的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，求他與同學(xué)小明的水平距離．
【分析】（1）由拋物線頂點(diǎn)（5，3.2），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣5）2+3.2，用待定系數(shù)法可得拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+；
（2）當(dāng)y＝1.6時(shí)，﹣x2+x+＝1.6，解得x＝1或x＝9，即得他與小明的水平距離為2m或6m．
【解答】解：（1）由題意知，拋物線頂點(diǎn)為（5，3.2），
設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝a（x﹣5）2+3.2，將（0，0.7）代入得：
0.7＝25a+3.2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣5）2+3.2＝﹣x2+x+，
答：拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+；
（2）當(dāng)y＝1.6時(shí)，﹣x2+x+＝1.6，
解得x＝1或x＝9，
∴他與小明的水平距離為3﹣1＝2（m）或9﹣3＝6（m），
答：當(dāng)他的頭頂恰好接觸到水柱時(shí)，與小明的水平距離是2m或6m．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
25．（6分）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y＝的圖象交于A（2，2），B（4，1）兩點(diǎn)．
（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；
（2）在反比例函數(shù)y＝第三象限的圖象上有一點(diǎn)P，且點(diǎn)P到直線AB的距離最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【分析】（1）由待定系數(shù)法即可得到結(jié)論；
（2）作直線AB的平行線，當(dāng)其與反比例函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離最短，據(jù)此設(shè)直線PM的解析式為，則，整理得到x2﹣2nx+8＝0，由題意得，Δ＝4n2﹣32＝0，解此方程即可求得P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）將點(diǎn)A（2，2）代入中，得k＝4，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，
將點(diǎn)A（2，2），B（4，1）代入y＝ax+b中，
得，解得，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）如圖，作直線AB的平行線，當(dāng)其與反比例函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)P時(shí)，
此時(shí)點(diǎn)P到直線AB的距離最短，
設(shè)直線PM的解析式為，則，
去分母，得x2﹣2nx+8＝0，
由題意得，Δ＝0，
∴4n2﹣32＝0，
解得，（不合題意，舍去），
∴，解得，
∴在中，當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，點(diǎn)到直線的距離，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
26．（7分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E．點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且∠CBF＝∠CAB．
（1）求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）若AB＝3，sin∠CBF＝，求BF的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)以及圓的切線的判定方法進(jìn)行解答即可；
（2）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，圓周角定理求出BE、AE、BC，進(jìn)而求出CG、BG，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出FG即可．
【解答】（1）證明：如圖，連接AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB＝90°，
即AE⊥BC，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC，
∵∠CBF＝∠CAB，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
即AB⊥BF，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BF是⊙O的切線；
（2）解：過點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G，
在Rt△ABE中，AB＝3，sin∠BAE＝sin∠CBF＝，
∴BE＝AB＝，AE＝＝，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BC＝2BE＝，
在Rt△BCG中，BC＝，sin∠CFB＝，
∴CG＝BC＝，BG＝＝，
∵AB∥CG，
∴△ABF∽△CGF，
∴＝，
即＝，
解得FG＝，
經(jīng)檢驗(yàn)FG＝是原方程的解，
∴BF＝BG+FG
＝+
＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握切線的性質(zhì)和判定方法，圓周角定理，勾股定理以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．
27．（8分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（t﹣2，0），B（t+2，0）．
對(duì)于點(diǎn)P給出如下定義：若∠APB＝45°，則稱P為線段AB的“等直點(diǎn)”．
（1）當(dāng)t＝0時(shí)，
①在點(diǎn)，P2（﹣4，0），，P4（2，5）中，線段AB的“等直點(diǎn)”是 點(diǎn)P1和點(diǎn)P3 ；
②點(diǎn)Q在直線y＝x上，若點(diǎn)Q為線段AB的“等直點(diǎn)”，直接寫出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)．
（2）當(dāng)直線y＝x+t上存在線段AB的兩個(gè)“等直點(diǎn)”時(shí)，直接寫出t的取值范圍．
【分析】（1）①根據(jù)“等直點(diǎn)”得的定義，確定出符合條件的點(diǎn)的特征，畫出圖形進(jìn)行判斷即可；
②設(shè)Q（m，m），利用“等直點(diǎn)”的定義列出方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）利用分類討論的思想方法，依據(jù)“等直點(diǎn)”的定義，通過畫出符合條件的圖形求得臨界值的方法求得結(jié)論即可．
【解答】解：（1）①當(dāng)t＝0時(shí)，A（﹣2，0），B（2，0），
根據(jù)“等直點(diǎn)”得的定義，線段AB的“等直點(diǎn)”在以點(diǎn)C（0，2）為圓心，為半徑的圓中的優(yōu)弧上，或在以點(diǎn)D（0，﹣2）為圓心，為半徑的圓中的優(yōu)弧上，如圖，
則即“等直點(diǎn)”到圓心C的距離均為，
∵，P2（﹣4，0），，P4（2，5），
∴，，，，DP3＝2，
∴點(diǎn)P1，P3是線段AB的“等直點(diǎn)”，
故答案為：點(diǎn)P1，P3；
②由點(diǎn)Q在直線y＝x上，設(shè)Q（m，m），
∵點(diǎn)Q為線段AB的“等直點(diǎn)”，
∴CQ＝，
∴，
解得，（不合題意舍去），
利用對(duì)稱性可求第三象限也存在符合題意的點(diǎn)Q，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴此時(shí)的點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣1﹣．
∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1+或﹣1﹣．
（2）∵A（t﹣2，0），B（t+2，0），
∴AB＝4，AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，
由（1）知：線段AB的“等直點(diǎn)”在以AB為弦的優(yōu)弧上，即圓心在直線y＝2或y＝﹣2上，2為半徑的圓的優(yōu)弧上．
①當(dāng)t＞0時(shí)，設(shè)直線y＝x+t與x軸交于點(diǎn)N，與y軸交于點(diǎn)F，如圖，
則F（0，t），N（﹣t，0），
∴OF＝ON＝t，
∴∠NFO＝∠FNO＝45°．
⊙C為一個(gè)符合條件的圓，設(shè)直線y＝x+t與⊙C相切于點(diǎn)E，交直線y＝2于點(diǎn)G，直線y＝2與y軸交于點(diǎn)H，連接CE，則CE⊥EF，過點(diǎn)C作CM⊥AB于點(diǎn)M，則M為AB的中點(diǎn)，
∴OM＝t，
∵CM⊥AB，HO⊥AB，CH⊥OH，
∴四邊形OMCH為矩形，
∴CH＝OM＝t．
由題意：OH＝2，OF＝t，CE＝2，
∴HF＝OF﹣OH＝t﹣2，
∴GH＝HF﹣OH＝t﹣2，
∴CG＝GH+CH＝t﹣2+t＝2t﹣2．
∵CG∥ON，
∴∠EGC＝∠FNO＝45°，
∴CG＝CE，
∴2t﹣2＝，
∴t＝3．
∴當(dāng)直線y＝x+t上存在線段AB的兩個(gè)“等直點(diǎn)”時(shí)，t＜3，
由于當(dāng)t＝1時(shí)，y＝x+1經(jīng)過點(diǎn)A，符合條件的點(diǎn)只有一個(gè)，
∴t≠1．
②當(dāng)t＜0時(shí)，設(shè)直線y＝x+t與x軸交于點(diǎn)N，與y軸交于點(diǎn)F，如圖，
則F（0，t），N（﹣t，0），
∴OF＝ON＝﹣t，
∴∠NFO＝∠FNO＝45°．
⊙D為一個(gè)符合條件的圓，設(shè)直線y＝x+t與⊙D相切于點(diǎn)E，直線y＝﹣2交直線y＝x+t于點(diǎn)G，直線y＝﹣2與y軸交于點(diǎn)H，連接DE，則DE⊥EF，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，則M為AB的中點(diǎn)，
∴OM＝﹣t，
∵DM⊥AB，HO⊥AB，DH⊥OH，
∴四邊形OMDH為矩形，
∴DH＝OM＝﹣t．
由題意：OH＝2，OF＝﹣t，DE＝2，
∴HF＝OF﹣OH＝﹣t﹣2，
∴GH＝HF﹣OH＝﹣t﹣2，
∴DG＝GH+DH＝﹣t﹣2﹣t＝﹣2t﹣2．
∵CG∥ON，
∴∠EGC＝∠FNO＝45°，
∴CG＝CE，
∴﹣2t﹣2＝，
∴t＝﹣3．
∴當(dāng)直線y＝x+t上存在線段AB的兩個(gè)“等直點(diǎn)”時(shí)，t＞﹣3，
由于當(dāng)t＝﹣1時(shí)，y＝x+1經(jīng)過點(diǎn)B，符合條件的點(diǎn)只有一個(gè)，
∴t≠﹣1．
綜上，當(dāng)直線y＝x+t上存在線段AB的兩個(gè)“等直點(diǎn)”時(shí)，t的取值范圍為﹣3＜t＜3且t≠±1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，圓的有關(guān)性質(zhì)，點(diǎn)的軌跡，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，本題是新定義型，正確理解新定義的規(guī)定并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
28．（9分）【觀察猜想】（1）我們知道，正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都為直角．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，EF，并延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG＝DF，連接AG．若∠EAF＝45°，則BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系為 EF＝BE+DF ；
【類比探究】（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，且∠EAF＝45°時(shí)，試探究BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E在BC上，∠DAE＝45°，若△ABC的面積為12，BD?CE＝4，請(qǐng)直接寫出△ADE的面積．
【分析】【觀察猜想】（1）證明△ADF≌△ABG（SAS），可得AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，再證△AGE≌△AFE（SAS），可得GE＝EF，則GE＝GB+BE＝BE+DF，即可得出答案；
【類比探究】（2）在BC上截取BG＝DF，連接AG．證明△ADF≌△ABG（SAS），可得AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠BAG+∠DAE＝45°＝∠EAF，再證△AGE≌△AFE（SAS），可得GE＝EF，則GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF，即可得出答案；
【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG，此時(shí)AB與AC重合，AD＝AG，BD＝CG，證明△ADE≌△AGE（SAS），則S△ADE＝S△AGE，由∠ACB＝∠ACG＝45°，可得△ECG是直角三角形，由BD?CE＝4可得S△ECG＝2，根據(jù)△ABC的面積為12即可求解．
【解答】解：【觀察猜想】（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵BG＝DF，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF＝45°，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
故答案為：EF＝BE+DF；
【類比探究】（2）EF＝BE﹣DF，理由如下：
如圖2，在BC上截取BG＝DF，連接AG．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，
∵BG＝DF，
∴△ADF≌△ABG（SAS），
∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠DAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠DAF＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF＝45°，
在△AGE和△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣DF；
【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG，此時(shí)AB與AC重合，
∴AD＝AG，BD＝CG，∠DAG＝90°，
∵∠DAE＝45°，
∴∠GAE＝∠DAE＝45°，
∵AE＝AE，
∴△ADE≌△AGE（SAS），
∴S△ADE＝S△AGE，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
由旋轉(zhuǎn)得∴∠B＝∠ACG＝45°，
∴∠ECG＝∠ACB+∠ACG＝90°，
∴△ECG是直角三角形，
∴S△ECG＝BD?CE，
∵BD?CE＝4，
∴S△ECG＝2，
∵△ABC的面積為12，
∴S△ADE＝S△AGE＝×（12﹣2）＝5．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線得出全等三角形，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．
幼樹移植數(shù)（棵）
100
1000
5000
8000
10000
15000
20000
幼樹移植成活數(shù)（棵）
87
883
4455
7209
8983
13519
18044
幼樹移植成活的頻率
0.8700
0.8820
0.8910
0.9011
0.8983
0.9013
0.9022
報(bào)班數(shù)
人數(shù)
類別
0
1
2
3
4及以上
合計(jì)
“雙減”前
102
48
75
51
24
m
“雙減”后
255
15
24
n
0
m
0
1
2
3
4及以上
總數(shù)
“雙減”前
172
82
118
82
46
500
“雙減”后
423
24
40
12
1
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