1.會正確進行有理數(shù)的乘法運算。
2.初步體會“分類”與“歸納”的數(shù)學思想。
3.在運算過程中能合理使用乘法運算律使運算簡便。
4.理解倒數(shù)的意義，并能求出已知數(shù)的倒數(shù)。
【思考1】 2023年7月28日將在成都舉行第31屆世界大學生夏季運動會，何宇鴻同學為了備戰(zhàn)大運會，沿一條東西方向的跑道，以每秒鐘9米的速度向東跑。記何宇鴻在跑道上的某一位置為點O，那么在點O的3分鐘后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于這一點的哪個方向？相距多少米？
提示：向東和向西行進的速度都是具有方向的量，如果我們規(guī)定：向東為正，向西為負。
1.有理數(shù)的乘法
有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．任何數(shù)同相乘，都得．
有理數(shù)乘法的運算步驟：先確定積的符號，再確定積的絕對值．
有理數(shù)乘法的應用：要得到一個數(shù)的相反數(shù)，只要將它乘．
多個有理數(shù)相乘：幾個不是的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)，即“奇負偶正”．幾個數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為，那么積等于．
注意：有理數(shù)乘法運算分兩步走，第一步，定符號，第二步，定數(shù)值；
2.有理數(shù)乘法運算律
乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等．
乘法結(jié)合律：一般地，有理數(shù)乘法中，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等．
乘法分配律：一般地，有理數(shù)乘法中，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加．
注意：1）當用字母表示乘數(shù)時，“ QUOTE × ×"號可以寫為“ QUOTE ? ?”或省略；
2）在遇到多數(shù)相乘的時候，注意尋找乘數(shù)為“0”或者互為相反數(shù)的因數(shù)，往往會起到事半功倍的效果；
3）公式的正用與逆用。
3.倒數(shù)
1）倒數(shù)的概念：乘積是的兩個數(shù)互為倒數(shù)．
（1）倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)．（2）沒有倒數(shù)．
（3）互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積一定是，即，互為倒數(shù)，則；反之亦然．
2）求一個非零有理數(shù)的倒數(shù)，把它的分子和分母顛倒位置即可．
（1）非零整數(shù)可以看作分母為的分數(shù)；（2）帶分數(shù)一定要先化成假分數(shù)之后再求倒數(shù)．
注意：1.注意是乘積為1，要與相反數(shù)的概念區(qū)分開來；2.互為倒數(shù)的兩個數(shù)的符號一定是相同的；
3.倒數(shù)等于本身的數(shù)有：1、-1；
考點1、有理數(shù)的乘法運算
【解題技巧】根據(jù)有理數(shù)乘法的法則計算即可。
例1．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）計算的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】直接根據(jù)負數(shù)乘以負數(shù)的運算法則計算即可．
【詳解】，故選：B．
【點睛】本題考查了負數(shù)乘以負數(shù)，熟練掌握其運算法則是解題的關(guān)鍵．
例2．（2022秋·云南昆明·七年級校考期中）在，，，，這五個數(shù)中，任取兩個數(shù)相乘，得的積最大的是（ ）
A．10B．30C．20D．18
【答案】C
【分析】根據(jù)兩數(shù)相乘，同號得正，又正數(shù)大于負數(shù)，所以最大．
【詳解】因為正數(shù)大于負數(shù)，選擇同號且絕對值的積較大的兩數(shù)相乘，只有最大．故選：C.
【點睛】本題考查有理數(shù)大小比較，有理數(shù)乘法，解題的關(guān)鍵是多次嘗試．
變式1．（2023·浙江溫州·?？既＃┯嬎愕慕Y(jié)果是（ ）
A．1B．C．6D．
【答案】D
【分析】有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘，據(jù)此求出算式的值是多少即可．
【詳解】解：．故選：D．
【點睛】此題主要考查了有理數(shù)乘法的運算方法，要熟練掌握運算法則．
變式2．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）下列算式中，與有理數(shù)相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減，乘除法法則逐項判斷即可．
【詳解】A. ，故該選項不符合題意；B. ，故該選項不符合題意；
C. ，故該選項不符合題意；D. ，故該選項符合題意．故選：D．
【點睛】本題考查有理數(shù)的加減和乘除運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)相關(guān)運算的法則．
變式3. （2022·重慶市·七年級期中）下列計算中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則及乘法的分配律，分別進行判斷．
【詳解】解：A、，正確；
B、，應用了乘法分配律，正確；
C、，有三個負因數(shù)，結(jié)果應為負數(shù)，錯誤；
D、，逆用分配律，正確．故選C．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法法則及乘法的分配律，熟練掌握“幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正”．
考點2、有理數(shù)乘法法則的辨析
【解題技巧】有理數(shù)乘法的法則
①有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同零相乘，都得0．
③多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有奇數(shù)個
時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．
例1．（2022·安徽亳州市·七年級期中）現(xiàn)有以下五個結(jié)論：①有理數(shù)包括所有正數(shù)、負數(shù)和0；②若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們相乘的積是負數(shù)；③任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示；④兩個數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個數(shù)可能異號；⑤幾個有理數(shù)相乘，負因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)則乘積為負數(shù)，其中正確的有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】A
【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值的定義、有理數(shù)的乘法的法則分別對每一項進行分析即可．
【詳解】解：①有理數(shù)包括所有正有理數(shù)、負有理數(shù)和0；故原命題錯誤；
②若兩個數(shù)（非0）互為相反數(shù)，則它們相乘的積是負數(shù)；故原命題錯誤；
③任何一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上表示；故原命題正確；
④兩個數(shù)的和為正數(shù)，則這兩個數(shù)可能異號，故原命題正確；
⑤幾個非零的有理數(shù)相乘，負因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)則乘積為負數(shù)，故原命題錯誤．∴正確的有2個；故選：A．
【點睛】此題考查了有理數(shù)的分類、數(shù)軸、相反數(shù)、絕對值的定義、有理數(shù)的乘法的法則等知識點的運用，屬于基礎題，注意概念的掌握，及特殊例子的記憶．
例2．（2022秋·浙江金華·八年級校考階段練習）若，則下列選項正確的是（ ）
A．a(chǎn)，b，c沒有一個為0B．a(chǎn)，b，c只有一個為0
C．a(chǎn)，b，c至少一個為0D．a(chǎn)，b，c三個都為0
【答案】C
【分析】根據(jù)任何數(shù)同零相乘，都得0， 依此即可求解．
【詳解】解：根據(jù)任何數(shù)同零相乘，都得0，
若，則a，b，c至少有一個為0，故選：C．
【點睛】本題考查根據(jù)任何數(shù)同零相乘，都得零，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
變式1.（2022?成都市溫江區(qū)七年級月考）下列說法中正確的有（ ）
①同號兩數(shù)相乘，符號不變；②異號兩數(shù)相乘，積取負號；
③數(shù)a、b互為相反數(shù)，它們的積一定為負；④絕對值等于本身的數(shù)是正數(shù)．
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解題思路】根據(jù)有理數(shù)乘法法則和相反數(shù)，絕對值的性質(zhì)進行判斷便可．
【解答過程】解：①同號兩數(shù)相乘，符號為正號，不是符號不變，該小題說法錯誤；
②異號兩數(shù)相乘，積取負號，這符合乘法法則，該小題說法正確；
③數(shù)a、b互為相反數(shù)，它們的積不一定為負，如a、b都為0，它們互為相反數(shù)，但它們的積為0，不為負，該小題說法錯誤；④絕對值等于本身的數(shù)是非負數(shù)，包括正數(shù)和0，不一定是正數(shù)，該小題說法錯誤；
故選：A．
變式2.（2022?澧縣七年級月考）下列說法中，不正確的個數(shù)有（ ）
①符號相反的數(shù)叫相反數(shù)；②四個有理數(shù)相乘，若有兩個負因數(shù)，則積為正；
③倒數(shù)等于本身的數(shù)只有1；④相反數(shù)等于本身的數(shù)只有0；
A．0個B．1個C．2個D．3個
【解題思路】①根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解；②根據(jù)有理數(shù)的乘法法則即可求解；
③根據(jù)倒數(shù)的定義即可求解；④根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解．
【解答過程】解：①只有符號相反的數(shù)叫相反數(shù)，故①符合題意；
②四個有理數(shù)（0除外）相乘，若有兩個負因數(shù)，則積為正，故②符合題意；
③倒數(shù)等于本身的數(shù)有±1，故③符合題意；
④相反數(shù)等于本身的數(shù)只有0是正確的，故④不符合題意．故選：D．
考點3、利用有理數(shù)乘法法則判斷符號
【解題技巧】符號判別方法：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．
例1．（2022秋·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期中）下列算式中，積為負數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)幾個非零數(shù)相乘，負號的個數(shù)為奇數(shù)，積為負，負號的個數(shù)為偶數(shù)，積為正，任何數(shù)乘0，都得0，進行判斷即可．
【詳解】解：，不符合題意；B、，2個負號，積為正數(shù)，不符合題意；
C、，2個負號，積為正數(shù)，不符合題意；
D、，3個負號，積為負數(shù)，符合題意；故選D．
【點睛】本題考查有理數(shù)乘法的符號法則．熟練掌握同號為正，異號為負，任何數(shù)乘0，都得0，以及幾個非零數(shù)相乘，負號的個數(shù)為奇數(shù)，積為負，負號的個數(shù)為偶數(shù)，積為正，是解題的關(guān)鍵．
例2．（2022秋·河北邢臺·七年級?？茧A段練習）如圖，兩點在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是，下列式子成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)數(shù)軸確定的取值范圍，再逐一判定即可解答．
【詳解】解：由數(shù)軸可得：，
，，，，故選：B．
【點睛】本題考查了數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸確定的取值范圍．
例3．（2022·四川遂寧·七年級?？茧A段練習）若，則必有（ ）
A．， B．， C．， D．，或者，
【答案】D
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則求解即可．
【詳解】解：∵，∴a與b同號，∴，或者，，故選D．
【點睛】本題考查了有理數(shù)乘法法則，解題的關(guān)鍵是掌握：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負．
變式1．（2022春·山東七年級期中）已知三個實數(shù)a，b，c滿足，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)，可得a和b同號，再根據(jù)和，即可判斷a，b，c的符號．
【詳解】解：∵，∴a和b同號，
又∵和，∴．故選：A．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的運算法則，解題的關(guān)鍵是掌握兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負；同號兩數(shù)相加，取它們相同的符號；異號兩數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號．
變式2．（2023秋·福建漳州·七年級統(tǒng)考期末）已知三個數(shù)a，b，c，這三個數(shù)在數(shù)軸上表示的點的位置如圖，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．B．
C．若，則D．若，則
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)軸、有理數(shù)的大小比較及有理數(shù)的運算可得答案．
【詳解】解：由數(shù)軸可知：，故A選項正確；∴，故B選項正確；
∵，∴原點在a、b之間，即，∴，故C選項正確；
∵，∴原點在b、c之間，即，且，∴，故D選項錯誤；故選D．
【點睛】本題主要考查數(shù)軸上有理數(shù)的表示、有理數(shù)的大小比較及有理數(shù)的乘法和加法運算，熟練掌握數(shù)軸上有理數(shù)的表示、有理數(shù)的大小比較及有理數(shù)的乘法、加法法則是解題的關(guān)鍵．
變式3．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在數(shù)軸上，點，分別表示實數(shù)，，是線段的中點．若且，則原點在（ ）

A．點的右邊B．點的左邊C．線段上D．線段上
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則得出，再根據(jù)絕對值的意義可得A離原點距離大于B離原點距離，即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，∴a和b異號，則，
∵，∴A離原點距離大于B離原點距離，∴原點在線段上，故選：C．
【點睛】本題考查了絕對值的意義，有理數(shù)的乘法，解題的關(guān)鍵是掌握：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負．
考點4、有理數(shù)乘法運算律
【解題技巧】運用運算律的一些技巧：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①運用結(jié)合律，將能約分的先結(jié)合計算。如：
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②小數(shù)與分數(shù)相乘，一般先將小數(shù)化為分數(shù)。如：1.2×
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③帶分數(shù)應先化為假分數(shù)的形式。如：
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④幾個分數(shù)相乘，先約分，在相乘。如；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤一個數(shù)與幾個數(shù)的和相乘，通常用分配律可簡化計算。如：12×（）
例1．（2023秋·云南紅河·七年級統(tǒng)考期末）在簡便運算時，把變形成最合適的形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)乘法分配律解答即可．
【詳解】A．；B．變形錯誤；
C．；
D．變形錯誤；顯然A比C計算簡單．故選A．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的簡便運算，熟練掌握乘法的分配律是解答本題的關(guān)鍵．
例2．（2022秋·江西宜春·七年級統(tǒng)考期中）計算時，有以下兩種方法．
方法一：．
方法二：．
參考以上方法，計算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)40 (2)6
【分析】（1）逆用乘法的分配律計算即可；
（2）利用乘法的分配律計算即可．
【詳解】（1）
．
（2）
．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的運算，熟練掌握乘法的分配律是解答本題的關(guān)鍵．
例3．（2022·河南焦作·七年級?？计谥校┯煤啽惴椒ㄓ嬎悖?br>(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)2(2)(3)0(4)
【分析】（1）利用乘法的交換律求解即可；（2）利用乘法分配律求解即可；（3）利用乘法分配律的逆運算求解即可；（4）把原式變形為，然后利用乘法分配律求解即可；
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的簡便計算，熟知有理數(shù)乘法運算律是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023秋·山西晉中·七年級統(tǒng)考期末）計算，運算中運用的運算律為（ ）．
A．乘法交換律 B．乘法分配律 C．乘法結(jié)合律 D．乘法交換律和乘法結(jié)合律
【答案】D
【分析】解答時，運用了乘法交換律和乘法結(jié)合律．
【詳解】∵運用的運算律為乘法交換律和乘法結(jié)合律，故選D．
【點睛】本題考查了用運算律進行有理運算，熟練掌握運算律的使用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2022秋·廣西七年級期中）計算：
(1) (2) (3)
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法進行計算即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律進行計算即可求解；
（3）根據(jù)有理數(shù)的乘法分配律進行計算即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運算，乘法分配律，熟練掌握有理數(shù)的運算法則與運算律是解題的關(guān)鍵．
變式3．（2022秋·重慶七年級期中）利用運算律做較簡便的計算：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)(2)(3)0
【分析】（1）將小數(shù)化為分數(shù)，再利用乘法結(jié)合律計算；
（2）利用乘法分配律展開計算；（3）利用乘法分配律合并計算．
【詳解】（1）解：
；
（2）
；
（3）
【點睛】本題主要考查了乘法運算律，解答的關(guān)鍵是掌握乘法結(jié)合律和分配律．
考點5、有理數(shù)乘法的實際應用
【解題技巧】有理數(shù)運算相關(guān)的實際應用題種類較多，但是很多題目只是所給的情境不一樣，解答的方法并沒有發(fā)生改變。能夠熟練的分析應用題的數(shù)量關(guān)系，找準解題的方法和技巧。
例1．（2023春·廣西南寧·七年級?？奸_學考試）定義一種新運算：，例如，那么的值為（ ）
A．14B．C．5D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意列出算式，再進一步計算即可．
【詳解】解：，故選：A．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法運算，解題的關(guān)鍵是理解題干中的新定義法則．
例2．（2022秋·江蘇淮安·七年級?？计谀┬聛喩虉鲈?023年“元旦”期間舉行促銷活動，根據(jù)顧客按商品標價的一次性購物總額，規(guī)定相應的優(yōu)惠方法如下：①如果不超過600元，則不予優(yōu)惠；②如果超過600元，但不超過900元，則按購物總額給予8折優(yōu)惠；③如果超過900元，則其中900元給予8折優(yōu)惠，超過900元的部分給予6折優(yōu)惠，促銷期間，小王和媽媽分別看中一件商品，若各自單獨付款，則應分別付款560元和640元；若合并付款，則她們總共只需付款___________元．
【答案】996或1080/1080或996
【分析】根據(jù)題意可知付款560元時，其實際標價為為560或700元，付款640元，實際標價為800元，分兩種情況分別計算求出一次購買標價1360元或1500元的商品應付款即可．
【詳解】解：由題意知付款560元，實際標價為560或560×=700（元），
付款640元，實際標價為（元），
如果一次購買標價（元）的商品應付款：（元）；
如果一次購買標價（元）的商品應付款：（元）．
故答案是：996或1080．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)混合運算的應用，注意顧客付款560元時，要分兩種情況考慮：有可能原價就是560元，也有可能符合優(yōu)惠②，此時的結(jié)論也會有差別，另外注意計算的準確性．
例3．（2023秋·山東濱州·七年級統(tǒng)考期中）某自行車廠計劃一周生產(chǎn)自行車1400輛，平均每天生產(chǎn)200輛，但由于種種原因，實際每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負）：
(1)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠星期六生產(chǎn)自行車多少輛；(2)根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)可知該廠本周實際生產(chǎn)自行車多少輛；(3)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)最最少的一天多生產(chǎn)自行車多少輛；(4)該廠實行每周計件工資制，每生產(chǎn)一輛車可得50元，若超額完成任務，則超過部分每輛另獎15元；少生產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？
【答案】(1)216輛(2)該廠本周實際生產(chǎn)1408輛(3)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最低的一天多26輛(4)該廠工人這一周工資總額是70520元
【分析】（1）計算平均每天產(chǎn)量與周六與計劃出入的和；
（2）先計算出該廠每天與計劃出入的和，再加上一周的自行車計劃產(chǎn)量；
（3）最高一天的產(chǎn)量減最少一天的產(chǎn)量；
（4）該廠一周工資=實際自行車產(chǎn)量超額自行車產(chǎn)量．
【詳解】（1）解：星期六生產(chǎn)自行車輛數(shù)：（輛）；
（2）解：（輛）．
答：該廠本周實際生產(chǎn)1408輛；
（3）解：（輛）．
答：產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最低的一天多26輛；
（4）解：（元）．
答：該廠工人這一周工資總額是70520元．
【點睛】本題考查有理數(shù)運算在實際生活中的應用．認真審題，準確的列出式子是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2022秋·廣西柳州·七年級統(tǒng)考階段練習）存有酒精溶液容器的蓋子不小心被打開了，第一天酒精蒸發(fā)了，第二天蒸發(fā)了剩下的，這時，容器內(nèi)剩下的酒精占原來的（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意列出算式，再進一步計算即可．
【詳解】解：，故選：D．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運算順序和運算法則．
變式2．（2023秋·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在這個數(shù)據(jù)運算程序中，若開始輸入的x的值為2，結(jié)果輸出的是1，返回進行第二次運算則輸出的是﹣4，…，則第2020次輸出的結(jié)果是（ ）
A．﹣1B．3C．6D．8
【答案】A
【分析】先根據(jù)數(shù)據(jù)運算程序計算出第1-8次的輸出結(jié)果，再歸納類推出一般規(guī)律，由此即可得．
【詳解】第1次運算輸出的結(jié)果為，第2次運算輸出的結(jié)果為，
第3次運算輸出的結(jié)果為，第4次運算輸出的結(jié)果為，
第5次運算輸出的結(jié)果為，第6次運算輸出的結(jié)果為，
第7次運算輸出的結(jié)果為，第8次運算輸出的結(jié)果為，
歸納類推得：從第2次運算開始，輸出結(jié)果是以循環(huán)往復的，
因為，所以第2020次運算輸出的結(jié)果與第4次輸出的結(jié)果相同，即為，故選：A．
【點睛】本題考查了程序圖與有理數(shù)計算的規(guī)律性問題，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
變式3．（2022秋·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）國慶期間，商場和商場同時做促銷活動．
商場的活動規(guī)則是全場一律折
商場的活動規(guī)則如下表：
(1)小聰去商場購物元，按活動規(guī)則實際應付多少元；
(2)小明準備購物元，請通過計算幫小明分析，該去哪個商場購買合算．
【答案】(1)元 (2)小明準備購物元，該去商場購買合算．
【分析】（1）根據(jù)商場優(yōu)惠方案列式計算即可；
（2）根據(jù)兩個商場優(yōu)惠方案列式計算即可求解．
【詳解】（1）解：∵商場的活動規(guī)則是全場一律9.5折∴實際應付（元）
（2）去商場，實際應付（元）
去商場，實際應付（元）
∵∴小明準備購物元，該去商場購買合算．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算的應用，理解商場優(yōu)惠方案，列出算式是解題的關(guān)鍵．
考點6、 有理數(shù)乘法的新定義問題
【解題技巧】“新定義”型問題是指在問題中定義了初中數(shù)學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結(jié)合已有知識進行理解，而后根據(jù)新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接“新知識”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對“新定義”的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將“新定義”的知識與已學知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經(jīng)驗來解決問題.
例1．（2022秋·山東日照·七年級?？计谀┮阎獮橛欣頂?shù)，定義運算符號為※：當時，；當時，．則等于（ ）
A．5B．1C．D．10
【答案】A
【分析】原式根據(jù)題中的新定義化簡，計算即可求出值．
【詳解】故選：A
【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
例2．（2023秋·湖南婁底·七年級校聯(lián)考期末）若定義一種新運算，規(guī)定，則________．
【答案】
【分析】原式利用題中的新定義計算即可求出值．
【詳解】解：∵，∴，故答案為：2．
【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
變式1．（2023秋·重慶萬州·七年級統(tǒng)考期末）定義一種新運算“”，規(guī)定：等式右邊的運算就是加、減、乘、除四則運算，例如：，．則的值是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)新運算的運算法則，先計算，再計算即可得解．
【詳解】解：由題意，得：，
∴；故選D．
【點睛】本題考查定義新運算．理解并掌握新運算的運算法則，是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2022秋·浙江寧波·七年級?？计谥校┬∩型瑢W與小志同學約定了一種新運算：對于任意有理數(shù)和，規(guī)定．小尚同學嘗試計算，現(xiàn)在請小志同學計算______________．
【答案】
【分析】根據(jù)新定義的含義可得，再計算即可．
【詳解】解：∵，∴，故答案為：．
【點睛】本題考查的是新定義運算，理解新定義的含義，再列出正確的運算式是解本題的關(guān)鍵．
變式3．（2022秋·浙江湖州·七年級校聯(lián)考階段練習）記符號表示不超過x的最大整數(shù)，如，，．(1)分別寫出和的值；(2)計算：．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用符號的意義解答即可；
（2）利用符號的意義分別求得三個的值，再利用乘法法則運算即可．
【詳解】（1），；
（2）．
【點睛】本題考查有理數(shù)的大小比較，有理數(shù)的乘法法則，理解并熟練利用符號的意義是解題的關(guān)鍵．
考點7、倒數(shù)的概念與運用
【解題技巧】倒數(shù)的概念：乘積是的兩個數(shù)互為倒數(shù)．
（1）倒數(shù)是成對出現(xiàn)的，單獨一個數(shù)不能稱為倒數(shù)．（2）沒有倒數(shù)．
（3）互為倒數(shù)的兩個數(shù)的乘積一定是，即，互為倒數(shù)，則；反之亦然．
例1．（2023·廣東惠州·校聯(lián)考二模）的倒數(shù)是（ ）
A．2023B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)求解即可．
【詳解】解：的倒數(shù)是，故選：B．
【點睛】本題考查倒數(shù)，熟知倒數(shù)的定義是解答的關(guān)鍵．
例2．（2022秋·山東七年級期中）下列說法正確的是（ ）
A．兩個正數(shù)互為倒數(shù)，其中一個數(shù)必大于1 B．一個假分數(shù)的倒數(shù)一定小于本身
C．如果一個數(shù)的倒數(shù)是它本身，那么這個數(shù)一定是1 D．如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么它們的積一定是1
【答案】D
【分析】利用特殊值分別分析再結(jié)合倒數(shù)的定義分析得出答案．
【詳解】A、因為1的倒數(shù)是1，1和1互為倒數(shù)，故說法錯誤；
B、一個假分數(shù)的倒數(shù)小于或等于本身，故此選項錯誤；
C、一個數(shù)的倒數(shù)是它本身的數(shù)有很多，除1外，還有分子和分母相同的假分數(shù)，故此選項錯誤；
D、如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，這個就排除了兩個數(shù)不為0的情況，所以如果兩個數(shù)互為倒數(shù)，那么它們的積一定是1，故此選項正確．故選：D．
【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義，利用特殊值分別分析是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2023春·四川成都·九年級?？茧A段練習）數(shù)的相反數(shù)為的倒數(shù)，則的值為（ ）
A．2022B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出的倒數(shù)，再求出倒數(shù)的相反數(shù)，可得a值．
【詳解】解：的倒數(shù)為，∴的相反數(shù)為a，即為，故選D．
【點睛】本題考查了相反數(shù)和倒數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握各自的定義和求法．
變式2．（2023·河北唐山·統(tǒng)考模擬預測）與互為倒數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，進行判斷即可．
【詳解】解：，∴的倒數(shù)為：；
A、，不符合題意；B、，符合題意；
C、，不符合題意；D、，不符合題意；故選B．
【點睛】本題考查有理數(shù)的運算，倒數(shù)．熟練掌握互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，是解題的關(guān)鍵．
變式3．（2023·河北滄州·校考三模）若，則下列說法正確的是（ ）
A．與互為倒數(shù)B．與互為相反數(shù)C．與相等D．與相等
【答案】A
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義求解即可．
【詳解】解：∵，∴與互為倒數(shù)，故選A．
【點睛】本題考查了倒數(shù)，熟知倒數(shù)是指兩個數(shù)的乘積等于1，那么這兩個數(shù)互為倒數(shù)是解題的關(guān)鍵．
A級（基礎過關(guān)）
1．（2023·天津河東·統(tǒng)考二模）計算的結(jié)果等于( )
A．B．2C．D．15
【答案】A
【分析】按照有理數(shù)的乘法法則計算即可． 有理數(shù)的乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．
【詳解】解：原式，故選：A．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運算，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．注意符號不要搞錯．
2．（2023·河北石家莊·石家莊市第四十中學?？级＃┫铝惺阶佑嬎憬Y(jié)果和相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將各個式子進行計算，再對計算結(jié)果進行比較即可得出答案．
【詳解】解：，，，，，
下列式子計算結(jié)果和相等的是，故選：C．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·山東泰安·九年級?？茧A段練習）與實數(shù)的絕對值的積為的是（ ）
A．2023B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出的絕對值，再根據(jù)有理數(shù)乘法計算法則求解即可．
【詳解】解：，
∵，∴與實數(shù)的絕對值的積為的是，故選D．
【點睛】本題主要考查了絕對值，有理數(shù)乘法，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
4．（2023秋·廣東深圳·七年級統(tǒng)考期末）若，則（ ）0
A．>B． 25200元；
∴第二次購買的實際金額不超過3萬，應享受9折優(yōu)惠：25200 ÷0.9= 28000，
∴兩次購買金額和是: 7800+ 28000=35800元，
如一次性購買則所付錢數(shù)是:30000 ×0.9 +5800 ×0.8= 31640元，
∴可少付款7800+25200 - 31640=33000 -31640 =1360（元）．故選D．
【點睛】本題主要考查分段付費問題，確定第二次購買時應付的錢數(shù)（打折前），是本題的解題關(guān)鍵．
9．（2022·新安七年級月考）計算 時，可以使運算簡便的是 ( )
A．乘法交換律B．乘法分配律C．加法結(jié)合律D．乘法結(jié)合律
【答案】B
【分析】根據(jù)乘法分配律簡便運算即可.
【詳解】用乘法分配律可簡便運算，
==-12+27-6=9故選B
【點睛】本題考查有理數(shù)乘法的簡便運算，熟練掌握運算技巧是解題的關(guān)鍵.
10．（2022·山西呂梁·七年級期末）有理數(shù)的乘法運算，除了用乘法口訣外，現(xiàn)有一種“劃線法”：如圖1，表示的乘法算式是12×23=276；圖2表示的是123×24=2952．則圖3表示的乘法算式是___．
【答案】31×42=1302
【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)，從左到右是一個乘數(shù)的高位到個位，從下到上是另一個乘數(shù)的數(shù)高位到個位，由此可求解．
【詳解】解：31×42=1302，故答案為：31×42=1302．
【點睛】本題考查有理數(shù)的乘法，通過觀察所給的圖形，結(jié)合乘法算式，找到運算規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·浙江·七年級統(tǒng)考開學考試）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上所對應的點的位置如圖，則的符號為________（填“正”或“負”或“零”）
【答案】負
【分析】由數(shù)軸判斷出，，再確定和符號即可．
【詳解】解：由數(shù)軸知：，，
∴和∴，即的符號為負故答案為：負．
【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩個有理數(shù)大小以及有理數(shù)的乘法，明確負數(shù)乘以正數(shù)積小于0是解題的關(guān)鍵．
12．（2023秋·山東濱州·七年級統(tǒng)考期末）已知，為有理數(shù)，如果規(guī)定一種新的運算“※”，規(guī)定：當時，※，當時，※，計算：________．
【答案】
【分析】根據(jù)新定義，先計算和，再相減即可．
【詳解】∵，，∴，，
∴，故答案為．
【點睛】本題考查了新定義下的有理數(shù)的混合運算，正確理解題目所給運算法則是解題的關(guān)鍵．
13．（2022秋·七年級單元測試）計算：__________．
【答案】
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法進行計算即可求解．
【詳解】解：，故答案為：．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運算，熟練掌握有理數(shù)的乘法運算法則是解題的關(guān)鍵．
14．（2022秋·浙江溫州·七年級?？茧A段練習）計算：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根據(jù)加法結(jié)合律以及加法交換律進行計算即可；
（2）根據(jù)乘法分配律進行計算即可．
【詳解】（1）解：
；
（2）
．
【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算以及相關(guān)運算律，熟練掌握相關(guān)運算法則以及運算律是解本題的關(guān)鍵．
15．（2022秋·海南·七年級?？茧A段練習）計算.
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1) (2)(3)(4)
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加減法進行計算即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減法進行計算即可求解；
（3）先根據(jù)有理數(shù)的乘法進行計算，然后計算減法即可求解；（4）根據(jù)乘法分配律進行計算即可求解．
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋·陜西榆林·七年級?？计谀┠呈程觅忂M30袋大米，每袋以50千克為標準，超過的記為正，不足的記為負，稱重記錄如下表：
(1)這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差多少千克？
(2)這30袋大米的總重量比標準總重量多或少了多少千克？
(3)大米的單價是每千克元，食堂購進大米總共花了多少錢？
【答案】(1)5千克(2)9千克(3)元
【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)及題意列式計算，即可求解；
（2）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)及題意列式計算，即可求解；
（3）首先求得大米的總重量，再乘以單價，即可求解
【詳解】（1）解：（千克），
答：這30袋大米最重的一袋與最輕的一袋重量相差5千克
（2）解：（千克），
答：這30袋大米的總重量比標準總重量多了9千克
（3）解：這30袋大米的總重量為（千克），
食堂購進大米總共花了（元）．
答：食堂購進大米總共花了元．
【點睛】本題考查了有理數(shù)混合運算的應用，根據(jù)題意，準確列出算式是解決本題的關(guān)鍵．
B級（能力提升）
1．（2022秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期中）對于，因數(shù)“3”增加1后，積的變化是（ ）
A．增加3B．增加4C．減少3D．減少4
【答案】D
【分析】根據(jù)因數(shù)因數(shù)積，分別計算和當因數(shù)“3”增加1后的積，再比較即可求解．
【詳解】解：，
當因數(shù)“3”增加1后，積為：，，
積的變化是：減少4，故選：D．
【點睛】本題考查了有理數(shù)乘法問題的應用，注意靈活應用因數(shù)和積的關(guān)系解答即可．
2．（2022秋·浙江金華·七年級?？计谥校┤?，則的值可表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】可以寫成，再利用乘法分配律即可得到結(jié)果．
【詳解】解： 故選：B．
【點睛】本題考查乘法分配律、有理數(shù)的乘法，掌握是解題的關(guān)鍵．
3．（2022秋·浙江溫州·七年級?？茧A段練習）從，，，2，7，3這六個數(shù)中取其中3個不同的數(shù)作為因數(shù)，則積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則解決此題．
【詳解】解：根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，
從，，，2，7，3這六個數(shù)中取個不同的數(shù)，，，此時積為，
故選：C．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的乘法，熟練掌握有理數(shù)的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期末）已知四個互不相等的整數(shù)a、b、c、d的乘積等于14，則它們的和等于（ ）
A．B．5C．9D．5或
【答案】D
【分析】因為14的整數(shù)因數(shù)只有，，，，四個不相等的整數(shù)相乘等于14，所以這四個數(shù)只可能是，，中的四個數(shù)，然后分情況求出它們的和即可．
【詳解】解：∵14的整數(shù)因數(shù)只有，，，，四個不相等的整數(shù)相乘等于14，
∴這四個數(shù)可能是1，，2，或1，，，7，
∴或，
即它們的和等于5或，故D正確．故選：D．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法，有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是分析出14的整數(shù)因數(shù)有哪些．
5．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）下列各數(shù)中，倒數(shù)是它本身的數(shù)是（ ）
A．1B．0C．2D．
【答案】A
【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義可進行求解．
【詳解】解：倒數(shù)是它本身的數(shù)是1；故選A．
【點睛】本題主要考查倒數(shù)的定義，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
6．（2022秋·福建福州·八年級?？计谀┥钪谐Ｓ玫氖M制是用0~9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進一，例：，；計算機也常用十六進制來表示字符代碼，它是用來表示0~15，滿十六進一，它與十進制對應的數(shù)如表：
例：十六進制對應十進制的數(shù)為，對應十進制的數(shù)為，那么十六進制中對應十進制的數(shù)為（ ）
A．28B．62C．367D．334
【答案】C
【分析】根據(jù)題干十六進制與十進制的運算方法求解．
【詳解】解：由題意得．故選：C．
【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，解題關(guān)鍵是正確理解十六進制與十進制的關(guān)系．
7．（2022秋·浙江·七年級?？计谥校┒x新運算“*”為： ，則當時，計算的結(jié)果為_____．
【答案】8
【分析】利用定義計算即可．
【詳解】解：∵，∴故答案為：8．
【點睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，能夠讀懂新定義并按照定義進行計算是解題關(guān)鍵．
8．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知，，則，的大小關(guān)系是______．
【答案】/
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則得出，即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，故答案為：．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法運算，熟練掌握有理數(shù)的乘法運算中的符號問題是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·浙江金華·七年級?？茧A段練習）若有四個不同的正整數(shù)，，， 滿足，那么的值是________．
【答案】2023
【分析】若和的值分別取，則與的值為，依此可求，，，，再代入計算即可求解．
【詳解】解：∵，，，表示4個不同的正整數(shù)，且，
∴、、、四個數(shù)的值可分別取為，1，，2，
∴，
∴，∴，故答案為：2023．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，判斷出相乘的積是4的四個因數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．
10．（2023·湖北宜昌·?？家荒＃┯谜摂?shù)表示氣溫的變化量，上升為正，下降為負，登山隊攀登一座山峰，每登高氣溫的變化量為，登高后，氣溫下降______．
【答案】9
【分析】根據(jù)題意知，氣溫變化量為乘以攀登高度，即可求解．
【詳解】解：根據(jù) “每登高1km氣溫的變化量為”知：
攀登后，氣溫變化量為：
下降為負，所以下降，故答案為：9．
【點睛】本題考查了分析信息的能力，正負數(shù)的意義，有理數(shù)的計算，根據(jù)題意分析得出變化量，再結(jié)合正負數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·成都市·七年級期中）用表示，例1995！=，那么的個位數(shù)字是_____________．
【答案】3
【分析】先分別求出，，，，，的值，再歸納類推出規(guī)律，由此即可得．
【詳解】，
，
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，
，
，
由此可知，的個位數(shù)字都是0（其中，且為整數(shù)），
則的個位數(shù)字與的個位數(shù)字相同，
因為，其個位數(shù)字是3，
所以的個位數(shù)字是3，故答案為：3．
【點睛】本題考查了有理數(shù)乘法的應用，正確發(fā)現(xiàn)運算的規(guī)律是解題關(guān)鍵．
12．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預測）已知算式“”．
(1)嘉嘉將數(shù)字“5”抄錯了，所得結(jié)果為，則嘉嘉把“5”錯寫成了________；
(2)淇淇不小心把運算符號“×”錯看成了“+”，求淇淇的計算結(jié)果比原題的正確結(jié)果大多少？
【答案】(1)3 (2)比原題的正確結(jié)果大11
【分析】（1）將數(shù)字“5”改成空格，采用有理數(shù)的運算可以得到結(jié)果．
（2）重新計算得結(jié)果，再作差運算得到結(jié)果．
【詳解】（1）
所以把“5”錯寫成了“3”
（2）原題正確結(jié)果，
淇淇的結(jié)果：，，所以結(jié)果比原題的正確結(jié)果大11．
【點睛】本題采用靈活的形式進行有理數(shù)的混合運算，須小心審題，看清題目的要求，正確提取信息和計算是解題的關(guān)鍵．
13．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）某水果超市最近新進了一批百香果，每斤8元，為了合理定價，在第一周試行機動價格，賣出時每斤以10元為標準，超出10元的部分記為正，不足10元的部分記為負，超市記錄第一周百香果的售價情況和售出情況：
(1)第一周超市售出的百香果單價最高的是星期___________，最高單價是___________元；
(2)這一周超市出售此種百香果的收益如何？（盈利或虧損的錢數(shù)）？
(3)超市為了促銷這種百香果，決定從下周一起推出兩種促銷方式：
方式一：購買不超過5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；方式二：每斤售價10元；
為了給小明釀百香果蜜，張阿姨決定買35斤百香果，通過計算說明哪種方式購買更省錢．
【答案】(1)六；15(2)這一周超市出售此種百香果盈利135元(3)選擇方式一購買更省錢
【分析】（1）通過看圖表的每斤價格相對于標準價格，可直接得結(jié)論；
（2）計算總進價和總售價，比較即可；（3）計算兩種購買方式，比較得結(jié)論．
【詳解】（1）解：這一周超市售出的百香果單價最高的是星期六，最高單價是（元）．
故答案為：六；15．
（2）解：（元），
（元），（元）；
答：這一周超市出售此種百香果盈利135元．
（3）解：方式一：（元），方式二：（元），
∵，∴選擇方式一購買更省錢．
【點睛】本題主要考查了正負數(shù)的應用及有理數(shù)的計算．計算本題的關(guān)鍵是看懂圖表，理解圖表．盈利就是總售價大于總進價，虧損就是總售價小于總進價．
14．（2022秋·山東菏澤·七年級統(tǒng)考階段練習）用簡便方法計算
(1) (2).
【答案】(1)；(2)99900.
【分析】（1）將寫成，再根據(jù)乘法分配律進行計算即可；（2）將寫成，再利用乘法分配律的逆運算進行計算即可求得結(jié)果.
【詳解】解：(1)；
(2)原式.
【點睛】此題考查有理數(shù)的乘法分配律及其逆運算，（1）中將帶分數(shù)拆分成與其相近的整數(shù)加減其它分數(shù)表示的方法，再根據(jù)乘法分配律計算很簡便；（2）中要將每組乘法中的一個因式寫成同一個數(shù)的形式，再利用乘法分配律的逆運算進行運算，以達到簡便的目的.
15．（2022·吉林初一月考）已知、為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新運算，滿足．（1）_________；（2）求的值．（3）新運算是否滿足加法交換律，若滿足請說明理由：若不滿足，請舉出一個反例．
【答案】（1）-6；（2）；（3）不滿足，舉例見解析
【分析】（1）根據(jù)新定義列式計算即可；（2）根據(jù)新定義分兩步列式計算即可；
（3）根據(jù)新運算可知運用交換律出的結(jié)果和原來的結(jié)果不同，所以不滿足，舉例說明即可．
【解析】（1）(-2)×4-(-2)=-8+2=-6
（2）
（3）∵新運算 ∴運用加法加法交換律可得：
假設，則=3×4-3=9
=4×3-4=8 ∴不能用交換律．
【點睛】本題考查有理數(shù)的運算，解題關(guān)鍵是掌握新定義規(guī)定的運算法則、有理數(shù)乘方法則等知識．
C級（培優(yōu)拓展）
1．（2022·福建泉州·七年級?？茧A段練習）若，，則，按從小到大的順序為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)負數(shù)與負數(shù)，正數(shù)與正數(shù)比較大小的法則進行解答即可
【詳解】解：∵，， ∴， ，∴，故選：A
【點睛】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知有理數(shù)比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵
2．（2022秋·廣東惠州·七年級統(tǒng)考期中）若，試求應滿足的關(guān)系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)絕對值都是非負數(shù)，再由，可得、為異號，或、有一個為0，或同時為0，即當時，成立．
【詳解】∵，∴、為異號，或、有一個為0，或同時為0，
即當時，成立 故選：C．
【點睛】本題考查了絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值具有非負性，進而分析即可．
3．（2023春·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）如圖，數(shù)軸上點A、B、C、D所表示的數(shù)分別是a、b、c、d，若，，則原點的位置在（ ）
A．點A的左邊B．線段上C．線段上D．線段上
【答案】D
【分析】根據(jù)數(shù)軸上點A、B、C、D的位置得出，結(jié)合，得出，或，，再結(jié)合可得出原點的位置在線段上．
【詳解】∵，，∴，或，，
∵，∴，，∴原點的位置在線段上．故選：D．
【點睛】本題考查了數(shù)軸，掌握數(shù)軸上點的特點及有理數(shù)的乘法法則是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·浙江·七年級期中）如果四個互不相同的正整數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A．40B．53C．60D．70
【答案】B
【分析】由題意確定出的值，代入原式計算即可求出值．
【詳解】∵四個互不相同的正整數(shù)，滿足，
∴要求的最大值，即m最大，4-m最小，則有：，，，，
解得：，則．故選：B．
【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
5．（2022秋·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）《算法統(tǒng)宗》是我國明代數(shù)學著作，它記載了多位數(shù)相乘的方法，如圖1給出了的步驟：①將34，25分別寫在方格的上邊和右邊；②把上述各數(shù)字乘積的十位（不足寫0）與個位分別填入小方格中斜線兩側(cè)；③沿斜線方向?qū)?shù)字相加，記錄在方格左邊和下邊；④將所得數(shù)字從左上到右下依次排列（滿十進一）．若圖2中a，b，c，d均為正整數(shù)，且c，d都不大于8，則b的值為________，該圖表示的乘積結(jié)果為_________．
【答案】 2或3 或
【分析】如圖2所示，由題意得，，由此可得，進而求出，；如圖2-1所示，的結(jié)果十位數(shù)為1，則或，由此討論b的值求解即可.
【詳解】解：如圖2所示，由題意得，，
∵都是自然數(shù)，且，∴，∴，∴；
如圖2-1所示，∵的結(jié)果十位數(shù)為1，∴或，
當時，符合題意，此時的乘積為；
當時，符合題意；，此時的乘積為；故答案為：2或3；或
【點睛】此題主要考查有理數(shù)運算的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到運算特點進行求解．
6．（2022秋·廣西南寧·七年級?？茧A段練習）若“”表示一種新運算，規(guī)定，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)新運算可得，再代入，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，
∴．故答案為：
【點睛】此題考查了有理數(shù)的混合運算，弄清題中的新運算是解本題的關(guān)鍵．
7．（2022秋·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┰跀?shù)、1、、5、中任取兩個數(shù)相乘，其中最大的積是______，最小的積是______；任取三個數(shù)相乘，其中最大的積是______，最小的積是______．
【答案】 15 75
【分析】根據(jù)乘法法則，當偶數(shù)個負數(shù)相乘時積為正，當奇數(shù)個負數(shù)相乘時積為負，即可解決最大積和最小積的問題．
【詳解】解：任取兩個數(shù)相乘，其中最大的積是，最小的積是，
任取三個數(shù)相乘，其中最大的積是，最小的積是，
故答案為：15，，75，．
【點睛】本題考查了有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的乘法，解題關(guān)鍵要掌握有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的乘法法則．
8．（2022秋·重慶·七年級期末）對于正整數(shù)n，階乘符號表示從n到1的整數(shù)的乘積（例如：），則滿足方程的N的值為 _______．
【答案】10
【分析】根據(jù)階乘符號表示從n到1的整數(shù)的乘積，進行計算即可．
【詳解】解：∵，∴，
∴，∴，∴，故答案為：10．
【點睛】本題考查了方程的解，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握階乘符號表示從n到1的整數(shù)的乘積，進行計算是解題的關(guān)鍵．
9．（2022秋·福建福州·七年級?？计谥校?）觀察下面的運算過程，寫出或補全每步運算的依據(jù)．
計算：．
解：
（減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的 ① ）
（加法交換律）
（ ② ）
（同號兩數(shù)相加，取相同符號，并把絕對值相加）
．（絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值 ③ 的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值）
（2）計算：．
解法1：；
解法2：．
對比兩種解法，思考并回答以下問題：
從運算順序上比較，解法1是 ④ ；解法2是先去括號，然后再相加減；解法2用到的運算律是 ⑤ ，其中運算更簡便的是 ⑥ ．
【答案】①相反數(shù)；②加法結(jié)合律；③較大；④先計算括號里面的加減計算，再去括號，最后計算乘法；⑤乘法分配律；⑥解法2．
【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)加減計算法則的運算法則求解即可；
（2）根據(jù)兩種解法所給的運算順序進行求解即可．
【詳解】解：（1）．
解：
（減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)）
（加法交換律）
（加法結(jié)合律）
（同號兩數(shù)相加，取相同符號，并把絕對值相加）
．（絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值）
故答案為：相反數(shù)；加法結(jié)合律；較大；
（2）從運算順序上比較，解法1是先計算括號里面的加減計算，再去括號，最后計算乘法；解法2是先去括號，然后再相加減；解法2用到的運算律是乘法分配律，其中運算更簡便的是解法2 ，
故答案為：先計算括號里面的加減計算，再去括號，最后計算乘法；乘法分配律；解法2．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加減簡便計算，有理數(shù)乘法分配律，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．
10．（2023秋·重慶秀山·七年級統(tǒng)考期末）閱讀下列文字，并回答：
每個假分數(shù)可以寫成一個自然數(shù)與一個真分數(shù)的和（例如），這個真分數(shù)的倒數(shù)又可以寫成一個自然數(shù)與一個真分數(shù)的和（如），反復進行同樣的過程，直到真分數(shù)的倒數(shù)是一個自然數(shù)為止（如；），我們把用這種方法得到的自然數(shù)，按照先后順序?qū)懗梢粋€數(shù)組，那么，這個數(shù)組叫做由這個假分數(shù)生成的自然數(shù)組．如：對于假分數(shù)，則，，；，所生成的自然數(shù)組為，請回答：
(1)所生成的自然數(shù)組為{ }
(2)某個假分數(shù)所生成的自然數(shù)組為，這個假分數(shù)為多少？
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根據(jù)生成的自然數(shù)組的定義即可求解；（2）根據(jù)生成的自然數(shù)組的定義逆推即可求解．
【詳解】（1）解：，，，，
∴所生成的自然數(shù)組為．故答案為：．
（2）解：∵，，，，
∴假分數(shù)所生成的自然數(shù)組為．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的加法，解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握生成的自然數(shù)組的定義．
11.（2022·浙江初一期中）計算下列各式：
（1）（﹣4）×1.25×（﹣8）； （2）×（﹣2.4）×；
（3）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）； （4）9×15；
（5）﹣100×﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（6）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
【答案】（1）；（2）-1.2；（3）-84；（4）149；（5）；（6）-1
【分析】（1）把帶分數(shù)化為假分數(shù)，小數(shù)化為分數(shù)，然后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則進行計算即可得解；
（2）根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則進行計算即可得解；（3）利用乘法交換結(jié)合律進行計算即可得解；
（4）把寫成，然后利用乘法分配律進行計算即可得解；（5）逆運用乘法分配律進行計算即可得解；（6）先算小括號里面的，再根據(jù)有理數(shù)的乘法運算法則進行計算即可得解．
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
；
（6）．
【點睛】本題考查有理數(shù)的乘法，利用運算定律可以使計算更加簡便，計算時要注意運算符號的處理．
12．（2022·山東·七年級課時練習）計算：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）7.5；（5）14；（6）0
【分析】（1）先利用乘法分配律去括號，然后合并即可；（2）利用乘法的結(jié)合律進行求解即可；（3）先把帶分數(shù)化成假分數(shù)，然后利用乘法的交換律和分配律求解即可；（4）利用乘法的結(jié)合律求解即可；（5）利用乘法的分配律和結(jié)合律求解即可；（6）利用乘法的結(jié)合律求解即可．
【詳解】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
．
【點睛】本題主要考查了有理數(shù)的乘法運算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．
星期
一
二
三
四
五
六
日
增減
購物金額
優(yōu)惠辦法
購物不超過200元
按原價購買
購物超過200元且不超過500元的部分
按原價打9折
購物超過500元的部分
按原價打8折
與標準重量偏差（單位：千克）
0
1
2
3
袋數(shù)
5
10
3
1
5
6
十進制
0
1
2
…
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
…
十六進制
0
1
2
…
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
…
星期
一
二
三
四
五
六
日
每斤價格相對于標準價格（元）
+3
售出斤數(shù)
20
35
10
30
15
5
50

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