1.理解并掌握有理數(shù)的乘方，冪，底數(shù)，指數(shù)的概念及意義.
2.會(huì)求有理數(shù)的正整數(shù)指數(shù)冪.
3.熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算（含乘方）順序和法則.
4.感受發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，從而增進(jìn)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.
【思考1】手工拉面是我國(guó)的傳統(tǒng)面食，制作時(shí)，拉面師傅將一團(tuán)和好的面，揉搓成1根長(zhǎng)條后，手握兩端用力拉長(zhǎng)，然后將長(zhǎng)條對(duì)折，再拉長(zhǎng)，再對(duì)折(每次對(duì)折稱為一扣)，如此反復(fù)操作，連續(xù)拉扣若干次后，便成了許多細(xì)細(xì)|的面條.你能算出拉扣7次后共有多少根面條嗎？
【乘方的趣事】關(guān)于國(guó)際象棋的起源，有一個(gè)傳說(shuō)：在古時(shí)候， 在某個(gè)王國(guó)里有一位聰明的大臣，他發(fā)明了國(guó)際象棋，獻(xiàn)給了國(guó)王，國(guó)王從此迷上了下棋。為了對(duì)聰明的大臣表示感謝，國(guó)王答應(yīng)滿足這個(gè)大臣的一個(gè)要求。大臣說(shuō)：“第1格放1粒小麥，第2格放2粒小麥，第3格放4粒小麥，然后是8粒、16粒、32粒..，一直到第64格……即每一個(gè)次序在后的格子中放的小麥都必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)目的兩倍，直到最后一個(gè)格子放滿為止”。國(guó)王哈哈大笑，慷慨地答應(yīng)了大臣的要求。然而，國(guó)王最終發(fā)現(xiàn)，按照與大臣的約定，全印度的麥子竟然連棋盤一小半格子數(shù)目都不夠。大臣索要的麥粒數(shù)目實(shí)際上是天文數(shù)字，總數(shù)將是一個(gè)十九位數(shù)，折算重量約為2000多億噸，即使現(xiàn)代，全球小麥的年產(chǎn)量也不過(guò)是數(shù)億噸。
1. 有理數(shù)的乘方
乘方的概念：求個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．
一般地，個(gè)相同的因數(shù)相乘，即，記作，讀作“的次方”；
在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)；當(dāng)看作的次方的結(jié)果時(shí)，讀作的次冪．
注意：①乘方運(yùn)算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表沒(méi)有；
②乘方運(yùn)算，代表的是多個(gè)相同因數(shù)相乘，要與乘法運(yùn)算區(qū)分開(kāi)來(lái)；
③在運(yùn)算時(shí)要注意看清楚底數(shù)和指數(shù)到底是誰(shuí)；
④帶分?jǐn)?shù)的乘方運(yùn)算，一定要先化成假分?jǐn)?shù)后再運(yùn)算．
2．有理數(shù)指數(shù)冪的符號(hào)規(guī)律：
1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；
2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0．
注意:除0以外的任何數(shù)的“0次冪”結(jié)果為1.
考點(diǎn)1、有理數(shù)乘方的概念
【解題技巧】有理數(shù)乘方的概念
求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪．
即有：.在中，叫做底數(shù)， n叫做指數(shù).
例1．（2022秋·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，底數(shù)是______，指數(shù)是______.計(jì)算：______.
例2．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┯?jì)算的結(jié)果，正確的是（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）代數(shù)式可以表示為（ ）
A．B．C．D．n2
變式2．（2023春·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┤魹檎麛?shù)，則的意義為（ ）
A．3個(gè)相加B．5個(gè)相加C．3個(gè)相乘D．8個(gè)相乘
變式3．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)統(tǒng)考期末）表示的意義是( )
A．與相乘B．與相加C．個(gè)相乘D．個(gè)相加
考點(diǎn)2、有理數(shù)乘方的運(yùn)算
【解題技巧】有理數(shù)乘方的運(yùn)算
（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；（2）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；
（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0；
（4）有理數(shù)的乘方運(yùn)算與有理數(shù)的加減乘除運(yùn)算一樣，首先應(yīng)確定冪的符號(hào)，然后再計(jì)算冪的絕對(duì)值．
例1．（2023秋·河北石家莊·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則（ ）
A．2B．3C．4D．5
例2．（2023春·浙江衢州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知在，，，這4個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
變式1．（2023春·上海靜安·七年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇街校_的是 ）
A． B． C． D．
變式2．（2023·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？计谥校┰谟欣頂?shù)、、、中負(fù)數(shù)有（ ）個(gè)
A．4B．3C．2D．1
考點(diǎn)3、乘方運(yùn)算的符號(hào)規(guī)律
【解題技巧】乘方的符號(hào)規(guī)律：
1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)，即“奇負(fù)偶正”；
2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；3）0的任何正整數(shù)次冪都是0．
例1．（2022秋·江蘇南京·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知為正整數(shù)，計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A．1B．-1C．0D．2
例2．（2022·河北·石家莊模擬預(yù)測(cè)）若非零數(shù)a，b互為相反數(shù)，下列四組數(shù)中，互為相反數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
①與；②與；③與；④與
A．0B．1C．2D．3
變式1.（2022·浙江寧波·七年級(jí)期中）下列各組數(shù)中，結(jié)果相等的是（ ）
A．52與25 B．﹣22與（﹣2）2 C．﹣34與（﹣3）4 D．（﹣1）2與（﹣1）20
變式2．（2022·河南漯河·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算的值，結(jié)果正確的是（ ）
A．1B．C．0D．或0
考點(diǎn)4、有理數(shù)乘方的簡(jiǎn)算
【解題技巧】性質(zhì)：
例1．（2022秋·廣東東莞·七年級(jí)期中），由此你能算出（ ）
A．6B．8C．D．十分麻煩
例2．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）閱讀計(jì)算：
閱讀下列各式：（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…
回答下列三個(gè)問(wèn)題：(1)驗(yàn)證：（4×0.25）100＝ ；4100×0.25100＝ ．
(2)通過(guò)上述驗(yàn)證，歸納得出：（ ）n＝ ；（ ）n＝ ．
(3)請(qǐng)應(yīng)用上述性質(zhì)計(jì)算：（﹣0.125）2015×22014×42014．
變式1．（2022秋·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
變式2．（2022秋·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）計(jì)算下面兩組算式：
①與； ②與；
（2）根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果想開(kāi)去：等于什么?（直接寫(xiě)出結(jié)果）
（3）猜想與驗(yàn)證：當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，等于什么?請(qǐng)你利用乘方的意義說(shuō)明理由．
（4）利用上述結(jié)論，求的值．
考點(diǎn)5、含乘方的混合運(yùn)算
【解題技巧】有理數(shù)混合運(yùn)算的順序：(1)先乘方，再乘除，最后加減；(2)同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；(3)如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．
例1．（2023春·上海徐匯·七年級(jí)校考階段練習(xí)）
例2．（2022春·廣東江門·七年級(jí)臺(tái)山市新寧中學(xué)?？计谥校┯?jì)算：．
例3．（2022·廣東清遠(yuǎn)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：．
變式1．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）計(jì)算：．
變式2．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考三模）計(jì)算
變式3．（2023·廣西貴港·統(tǒng)考三模）計(jì)算：
考點(diǎn)6、有理數(shù)乘方的應(yīng)用（進(jìn)制問(wèn)題與末位數(shù)字問(wèn)題）
【解題技巧】此類題型通常乘方運(yùn)算種的冪比較大，且無(wú)簡(jiǎn)單計(jì)算方法，直接計(jì)算幾乎無(wú)法進(jìn)行。但此類題型也并非需要求解出最終的結(jié)果，往往只需要求解這組數(shù)的末尾數(shù)字。因此，在解這類時(shí)，我們只需要關(guān)注末位數(shù)字，通過(guò)多計(jì)算幾組末尾數(shù)字，找出末尾數(shù)字的變化規(guī)律。最后依舊變化規(guī)律，分析出最終結(jié)果。
例1．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）觀察下列等式：，，，，，，…，根據(jù)其中的規(guī)律可得的結(jié)果的個(gè)位數(shù)字是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2022秋·江蘇·七年級(jí)期末）我國(guó)古代《易經(jīng)》一書(shū)中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．一書(shū)生用此方法來(lái)記錄自己讀書(shū)的天數(shù)，如圖1，他在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進(jìn)一，表示的天數(shù)為51天（），按同樣的方法，圖2表示的天數(shù)是 _____．
變式1．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）觀察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38 =6561，…，根據(jù)上述算式中的規(guī)律，221+311的末位數(shù)字是（ ）
A．3B．5C．7D．9
變式2．（2023·浙江溫州·?？级＃┪覈?guó)古代《易經(jīng)》一書(shū)中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．母親甲在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來(lái)記錄孩子1出生后的天數(shù)，如圖1所示，孩子1出生后的天數(shù)是（天），母親乙按照母親甲的做法記錄孩子2出生后的天數(shù)，如圖2所示，則孩子2出生后的天數(shù)比孩子1 出生后的天數(shù)（ ）

A．少41天B．少42天C．多41天D．多42天
考點(diǎn)7、有理數(shù)乘方的應(yīng)用（實(shí)際問(wèn)題）
【解題技巧】此類題型的難點(diǎn)在于分析問(wèn)題，建立乘方的數(shù)學(xué)模型?；静襟E為：首先從特殊情形入手，逐步分析、歸納，找出變化規(guī)律；然后根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出乘方數(shù)學(xué)模型；最后根據(jù)題干要求計(jì)算結(jié)果。
例1．（2022秋·江蘇常州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將一根繩子對(duì)折一次后從中間剪一刀，繩子變成3段；對(duì)折兩次后從中間剪一刀，繩子變成5段：將這根繩子對(duì)折n次后從中間剪一刀，繩子變成_____段．
例2．（2022秋·福建廈門·七年級(jí)?？计谥校┢吣昙?jí)某班的學(xué)生共有49人，軍訓(xùn)時(shí)排列成的方陣，做了一個(gè)游戲，起初全體學(xué)生站立，教官每次任意點(diǎn)n個(gè)不同學(xué)號(hào)的學(xué)生，被點(diǎn)到的學(xué)生，站立的蹲下，蹲下的站立，且學(xué)生都正確完成指令同一名學(xué)生可以多次被點(diǎn)，則m次點(diǎn)名后，（n，m為正整數(shù)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，無(wú)論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為奇數(shù)個(gè)
B．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，無(wú)論m何值，對(duì)下的學(xué)生人數(shù)不可能為偶數(shù)個(gè)
C．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，無(wú)論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為偶數(shù)個(gè)
D．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，無(wú)論m何值，蹲下的學(xué)生人數(shù)不可能為奇數(shù)個(gè)
變式1．（2022秋·浙江紹興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）某種細(xì)胞每過(guò)秒便由個(gè)分裂成個(gè)．經(jīng)過(guò)分鐘，這種細(xì)胞由個(gè)分裂成（ ）個(gè)．
A．B．C．D．
變式2．（2023秋·安徽亳州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一條長(zhǎng)的鋼絲，第一次剪的去鋼絲的，第二次剪去剩下鋼絲的，如此剪下去，第次剪完后剩下鋼絲的長(zhǎng)度是（ ）
A．B．C．D．
變式3．（2023·廣東東莞·九年級(jí)東莞市東華初級(jí)中學(xué)?？计谥校┠彻珗@將免費(fèi)開(kāi)放一天，早晨6時(shí)30分有2人進(jìn)公園，第一個(gè)30min內(nèi)有4人進(jìn)去并出來(lái)1人，第二個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去8人并出來(lái)2人，第三個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去16人并出來(lái)3人，第四個(gè)30min內(nèi)進(jìn)去32人并出來(lái)4人，······按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，到上午11時(shí)30分公園內(nèi)的人數(shù)是（ ）
A．B．4039C．8124D．16304
考點(diǎn)7、有理數(shù)乘方的新定義問(wèn)題
【解題技巧】“新定義”型問(wèn)題是指在問(wèn)題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒(méi)有學(xué)過(guò)的一些概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀懂題意并結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識(shí)銜接“新知識(shí)”;（3）定義新概念.這類試題考查考生對(duì)“新定義”的理解和認(rèn)識(shí)，以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，解題時(shí)需要將“新定義”的知識(shí)與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題.
例1．（2022秋·湖南邵陽(yáng)·七年級(jí)校聯(lián)考期中）定義一種運(yùn)算符號(hào)“★”：，如：，那么的結(jié)果是_______．
例2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考一模）定義運(yùn)算：若，則，例如，則．運(yùn)用以上定義，計(jì)算：（ ）
A．B．2C．1D．4
變式1．（2020秋·浙江金華·七年級(jí)?？计谥校┒x一種對(duì)正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為3n＋5；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行．例如，取n＝26，則：
若n＝449，則第2020次“F運(yùn)算”的結(jié)果是______．
變式2．（2023秋·湖南常德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，記作，已知，記作，已知，記作，那么：（1）______；（2）( )．
A級(jí)（基礎(chǔ)過(guò)關(guān)）
1．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）下面對(duì)的描述正確的是（ ）
A．個(gè)相乘所得的積 B．后面有個(gè) C．后面有個(gè) D．后面有個(gè)
2．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）算式可以表示為（ ）
A．B．C．D．
3．（2022秋·廣東深圳·七年級(jí)?？计谥校┫铝懈鲾?shù)，，，，中，負(fù)數(shù)有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
4．（2022秋·成都市七年級(jí)期中）接近于（ ）
A．一張紙的厚度 B．姚明的身高 C．三層樓的高度 D．珠穆朗瑪峰的高度
5．（2023·安徽合肥·校考模擬預(yù)測(cè)）式子與的正確判斷是（ ）
A．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，這兩個(gè)式子互為相反數(shù)B．這兩個(gè)式子是相等的
C．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，它們互為相反數(shù)D．為偶數(shù)時(shí)它們相等
6．（2023春·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若一個(gè)冪的底數(shù)為5，指數(shù)為3，則這個(gè)冪寫(xiě)作______（只寫(xiě)形式，不計(jì)算結(jié)果）
7．（2022·綿陽(yáng)·七年級(jí)期中）當(dāng)自然數(shù)的個(gè)位數(shù)分別為0，1，2，…，9時(shí)，的個(gè)位數(shù)如表所示：
在10，11，12，13這四個(gè)數(shù)中，當(dāng)____________時(shí)，和數(shù)能被5整除．
8．（2023春·廣西南寧·九年級(jí)南寧三中校考階段練習(xí)）計(jì)算：．
9．（2022秋·廣東揭陽(yáng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）
10．（2022秋·河北保定·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：(1) (2)
11．（2023秋·貴州銅仁·七年級(jí)期末）計(jì)算：(1) (2)
B級(jí)（能力提升）
1．（2023春·福建福州·九年級(jí)?？计谥校┫铝羞\(yùn)算中，結(jié)果可以為的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·浙江杭州·七年級(jí)?？计谥校┫铝懈魇剑孩侃乤；②﹣|x|；③﹣；④；⑤，其中值一定是負(fù)數(shù)的有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
3．（2022秋·山東德州·七年級(jí)校考期中）定義：如果（，且），那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作．例如：因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以．下列說(shuō)法：①；②；③若，則；④；正確的序號(hào)有（ ）
A．①③B．②③C．①②③D．②③④
4．（2022秋·全國(guó)·七年級(jí)期末）現(xiàn)有價(jià)格相同的6種不同商品，從今天開(kāi)始每天分別降價(jià)10％或漲價(jià)10％，若干天后，這6種商品的價(jià)格互不相同，設(shè)最高價(jià)格和最低價(jià)格的比值為，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·上海徐匯·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）對(duì)1，3，5，5四個(gè)數(shù)進(jìn)行“加、減、乘、除、乘方”混合運(yùn)算（每個(gè)數(shù)只能使用一次），其計(jì)算結(jié)果為24，請(qǐng)列出算式：______（填一個(gè)算式即可）
6．（2023秋·山東淄博·六年級(jí)統(tǒng)考期末）把一張厚度為的紙對(duì)折8次后，厚度為_(kāi)_____________．
7．（2023秋·山東淄博·六年級(jí)?？计谀┪覈?guó)古代《易經(jīng)》一書(shū)中記載：遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過(guò)在繩子上打結(jié)來(lái)記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”．如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿七進(jìn)一，用來(lái)記錄孩子自出生后的天數(shù)．由圖可知，孩子自出生后的天數(shù)是_______．
8．（2022秋·上?！て吣昙?jí)校考期中）為計(jì)算，可令，則，因此，根據(jù)以上解題過(guò)程，猜想： ____________________
9．（2022秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)期中）對(duì)于任何數(shù)，規(guī)定一種新運(yùn)算，例如：．(1)按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你計(jì)算的值；
(2)按照這個(gè)規(guī)定，請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)x、y滿足時(shí)，求的值．
10．（2022秋·遼寧撫順·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）在下表中，給出了國(guó)外四個(gè)城市與北京的時(shí)差
下面的五個(gè)時(shí)鐘顯示了同一天同一時(shí)刻國(guó)外四個(gè)城市時(shí)間和北京時(shí)間，
①若北京時(shí)間是11月12日上午9點(diǎn)10分，那么倫敦時(shí)間為 ；
②從左到右五個(gè)時(shí)鐘對(duì)應(yīng)的城市分別為：A： ；B： ；C： ；D： ；E： ．
（2）閱讀下列材料，并解決后面的問(wèn)題．
材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘：記為．如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為（即）．一般地，若（且），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為（即）．如，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為（即）．直接寫(xiě)出之間滿足的關(guān)系式．
11．（2023秋·浙江金華·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)“二十四點(diǎn)”游戲規(guī)則，3，4，，10每個(gè)數(shù)都必須用且只能用一次，用有理數(shù)的運(yùn)算符號(hào)（+或-或×或÷或乘方）連接，運(yùn)算符號(hào)不一定全用，使其結(jié)果等于24，請(qǐng)寫(xiě)出兩個(gè)不同的算式．
12．（2023春·浙江衢州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算題，要求寫(xiě)出具體計(jì)算過(guò)程：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6)．
13．（2022秋·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)數(shù)學(xué)游戲活動(dòng)，分別代表一種運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果隨著運(yùn)算順序的變化而變化．（提示：①每次游戲都涉及四種運(yùn)算；②運(yùn)算過(guò)程中自動(dòng)添加必要的括號(hào)）
(1)4經(jīng)過(guò)的順序運(yùn)算后，結(jié)果是多少?
(2)-2經(jīng)過(guò)、的順序運(yùn)算后，結(jié)果是，則被遮擋部分的運(yùn)算順序應(yīng)是________．
14．（2022秋·福建廈門·七年級(jí)大同中學(xué)?？计谥校├脠D1的二維碼可以進(jìn)行身份識(shí)別，某校建立了一個(gè)身份識(shí)別系統(tǒng)，圖2是某個(gè)學(xué)生的識(shí)別圖條，黑色小正方形表示1，白色小正方形表表示0，將第一行數(shù)字從左到右一次記為，那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級(jí)序號(hào)，其序號(hào)為，（規(guī)定）如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0，1，0，1，序號(hào)為，表示該生為5班的學(xué)生．
(1)圖3中所來(lái)示學(xué)生所在班級(jí)序號(hào)是_____________．
(2)我校兩校區(qū)七年級(jí)共有18個(gè)班，班級(jí)編號(hào)從1至18，問(wèn)是否能用該系統(tǒng)全部識(shí)別？若能，請(qǐng)說(shuō)明原因，并在圖4的第一行表示出班級(jí)編號(hào)為18的班級(jí)．若不能，請(qǐng)你運(yùn)用數(shù)字“”、“”，結(jié)合“+”、“”、“×”、“÷”或乘方運(yùn)算（每個(gè)數(shù)字和符號(hào)使用次數(shù)不限）對(duì)該系統(tǒng)規(guī)則進(jìn)行改編，并求出改編后的新系統(tǒng)規(guī)則可表示的班級(jí)編號(hào)范圍．
C級(jí)（培優(yōu)拓展）
1．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考二模）在算式中的“”里填入一個(gè)運(yùn)算符號(hào)，使得它的結(jié)果最?。? ）
A．B．C．D．
2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）應(yīng)等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川成都·七年級(jí)校考階段練習(xí)）若a，b為有理數(shù)，下列判斷正確的個(gè)數(shù)是（ ）
（1）總是正數(shù)；（2）總是正數(shù)；（3）的最大值為5；（4）的最大值是3．
A．1B．2C．3D．4
4．（2022春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如果ab＝c，那么我們規(guī)定[a，c]＝b．例如：因?yàn)?3＝8，所以[2，8]＝3．若[3，5]＝n，[9，m]＝n；則[3，m+2]＝_______．
5．（2022秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┮阎猘，b，c，d表示4個(gè)不同的正整數(shù)，滿足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，則a+2b+3c+4d的最大值是_____．
6．（2022秋·浙江·七年級(jí)期末）把一張紙片剪成4塊，再?gòu)乃玫募埰腥稳∪舾蓧K，每塊剪成4塊，像這樣依次地進(jìn)行下去，到剪完某一次為止，那么2018、2019、2020、2021這四個(gè)數(shù)中______可能是剪出的紙片數(shù)．
7．（2022秋·廣東·七年級(jí)期中）數(shù)學(xué)真奇妙，小慧同學(xué)研究有兩個(gè)有理數(shù)a和b，若計(jì)算a+b，a-b，ab，的值，發(fā)現(xiàn)有三個(gè)結(jié)果恰好相同，小慧突發(fā)靈感，想考考大家，請(qǐng)你們求_____________
8．（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在一次數(shù)學(xué)課上，張老師對(duì)大家說(shuō)：“你任意想一個(gè)非零有理數(shù)，然后按下列步驟操作，去運(yùn)算出最后結(jié)果．”
操作步驟如下：第一步：計(jì)算這個(gè)數(shù)與1的和的平方，減去這個(gè)數(shù)與1的差的平方；
第二步：把第一步得到的數(shù)乘以25；第三步：把第二步得到的數(shù)除以你想的這個(gè)數(shù)．
(1)若嘟嘟同學(xué)心里想的是數(shù)，請(qǐng)你計(jì)算出最后結(jié)果；
(2)老師說(shuō)：“同學(xué)們，無(wú)論你們心里想的是什么非零數(shù)，按照以上步驟進(jìn)行操作，得到的最后結(jié)果都相等．”雯雯想驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，于是，設(shè)心里想的數(shù)是，請(qǐng)你幫雯雯完成這個(gè)驗(yàn)證過(guò)程．
9．（2023秋·江西宜春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，解決問(wèn)題：我們學(xué)習(xí)了乘方的定義和意義，根據(jù)乘方和乘法兩種運(yùn)算之間的轉(zhuǎn)化了解到：；；觀察上述算式，；可以得到：；類比上述式子，你能夠得到：
(1) ， ；
(2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整數(shù)）；我們把類似于am和an這樣的式子叫同底數(shù)冪；因此可以得到“同底數(shù)冪的乘法”法則：“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”；
(3)知識(shí)運(yùn)用： ， ；(4)已知，則的值是 ．
10．（2022秋·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）先閱讀下列材料，再解答后面的問(wèn)題
材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘，記為an． 如，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為(即)．
一般地，若(且)，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記為(即)． 如，則4叫做以3為底的對(duì)數(shù)，記為(即)．
問(wèn)題：(1)計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：=_________，=_________，=_________．
(2)通過(guò)觀察（1），思考：、、之間滿足怎樣的關(guān)系式？
(3)由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？＝______（且）．
(4)利用（3）的結(jié)論計(jì)算＝______．
11．（2022秋·廣東惠州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）有一種“24點(diǎn)”的游戲，規(guī)則為：將4個(gè)給定的有理數(shù)進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算（每個(gè)數(shù)只能用一次），使其結(jié)果為24，例如1，2，3，4可做如下運(yùn)算：
(1)現(xiàn)有4個(gè)有理數(shù)：，3，4，10，運(yùn)用上述規(guī)則，寫(xiě)出一個(gè)算式，使其結(jié)果為24：_________
(2)現(xiàn)有4個(gè)有理數(shù)：1，2，4，，在上述規(guī)則的基礎(chǔ)上，再多給你一種乘方運(yùn)算，請(qǐng)你寫(xiě)出一個(gè)含乘方的算式，使其結(jié)果為24：________________
12．（2023秋·江西宜春·七年級(jí)統(tǒng)考期末）類比乘方運(yùn)算，我們規(guī)定：求n個(gè)相同有理數(shù)（均不為0）的商的運(yùn)算叫做除方．例如，記作，讀作“2的引4次商”；一般地，把（，，且為整數(shù)）記作，讀作“a的引n次商”．
(1)直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：______，______；
(2)歸納：負(fù)數(shù)的引正奇數(shù)次商是______數(shù)，負(fù)數(shù)的引正偶數(shù)次商是______數(shù)（填“正或負(fù)”）；
(3)計(jì)算：．
13．（2022秋·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）曹沖稱象是我國(guó)歷史上著名的故事，大家都說(shuō)曹沖聰明．他到底聰明在何處呢？我們都知道，曹沖稱得是石塊而不是大象，并且確信，石塊的質(zhì)量就是大象的體重．曹沖的聰明就在于，他用化歸思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)變了；借助于船這種工具，將大象的體重轉(zhuǎn)變?yōu)橐粔K塊石塊的重量．轉(zhuǎn)變就是化歸的實(shí)質(zhì)．化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式．從字面上看，化歸就是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思．例如：我們?cè)谄吣昙?jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章中引入“相反數(shù)”這個(gè)概念后，正負(fù)數(shù)的減法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的加法了；而引入“倒數(shù)”這個(gè)概念后，正負(fù)數(shù)的除法就化歸為已經(jīng)解決的正負(fù)數(shù)的乘法了．
下面我們?cè)偻ㄟ^(guò)具體實(shí)例體會(huì)一下化歸思想的運(yùn)用：
數(shù)學(xué)問(wèn)題，計(jì)算(其中是正整數(shù)，且，)．
探究問(wèn)題：為解決上面的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過(guò)不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來(lái)，并采取一般問(wèn)題特殊化的策略來(lái)進(jìn)行探究．
探究一：計(jì)算．
第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．
根據(jù)第n次分割圖可得等式：．
探究二：計(jì)算．
第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，……，
……
第n次分別，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為，最后空白部分的面積是．
根據(jù)第n次分制圖可得等式：，
兩邊同除2，得，
探究三：計(jì)算．
(仿照上述方法，在圖①中只畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫(xiě)出探究過(guò)程)
解決問(wèn)題．計(jì)算．
(在圖②中只畫(huà)出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并完成以下填空)．
(1)根據(jù)第n次分割圖可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓廣應(yīng)用：計(jì)算___________．
14．（2022秋·浙江紹興·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，計(jì)算機(jī)程序使用的是二進(jìn)制數(shù)（只有數(shù)碼0和，它們兩者之間可以互相換算，如將，換算成十進(jìn)制數(shù)為：
；；
兩個(gè)二進(jìn)制數(shù)可以相加減，相加減時(shí)，將對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)相加減．與十進(jìn)制中的“逢十進(jìn)一”、“退一還十”相類似，應(yīng)用“逢二進(jìn)一”、“退一還二”的運(yùn)算法則，如：；，用豎式運(yùn)算如右側(cè)所示．．
(1)按此方式，將二進(jìn)制換算成十進(jìn)制數(shù)的結(jié)果是 ．(2)計(jì)算： （結(jié)果仍用二進(jìn)制數(shù)表示）； （結(jié)果用十進(jìn)制數(shù)表示）．
個(gè)位數(shù)
0
1
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6
1
······
城市
悉尼
羅馬
倫敦
紐約
時(shí)差/小時(shí)
2
－7
－8
－13

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