【解題策略】
平行四邊形存在性問(wèn)題通?？煞譃椤叭ㄒ粍?dòng)”和“兩定兩動(dòng)”兩大類問(wèn)題.而且“三定一動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)和“兩定兩動(dòng)”的動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)并不完全一樣,“三定一動(dòng)”中動(dòng)點(diǎn)是在平面中橫縱坐標(biāo)都不確定，需要用兩個(gè)字母表示，這樣的我們姑且稱為“全動(dòng)點(diǎn)”，而有一些動(dòng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸、直線或者拋物線上，用一個(gè)字母即可表示點(diǎn)坐標(biāo)，稱為“半動(dòng)點(diǎn)”.找不同圖形的存在性最多可以有幾個(gè)未知量，都是根據(jù)圖形決定的，像平行四邊形，只能有2個(gè)未知量.究其原因，在于平行四邊形兩大性質(zhì):(1)對(duì)邊平行且相等:(2)對(duì)角線互相平分. 但此兩個(gè)性質(zhì)統(tǒng)一成一個(gè)等式:xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD，兩個(gè)等式，只能允許最多存在兩個(gè)未知數(shù)，即我們剛剛所講的平行四邊形存在性問(wèn)題最多只能存在2個(gè)未知量. 由圖形性質(zhì)可知未知量，由未知量可知?jiǎng)狱c(diǎn)設(shè)計(jì)，由動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)可化解問(wèn)題.
【典例分析】
例1．（2022·四川）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為?1，點(diǎn)M(1,m)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)B(0,1)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P，連結(jié)PA，PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PAB的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式演練】
1．（2024·浙江模擬）如圖，拋物線y=?x2+2x+m(m>0)與y軸交于A點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D．直線y=?12x?2m分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn)，與直線AD相交于E點(diǎn)．
(1)求A、D的坐標(biāo)（用m的代數(shù)式表示）；
(2)將△ACE沿著y軸翻折，若點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)P恰好落在拋物線上，求m的值；
(3)拋物線y=?x2+2x+m(m>0)上是否存在一點(diǎn)P，使得以P、A、C、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求此拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2．（2023·河南模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx?16對(duì)稱軸是直線x=1，且過(guò)點(diǎn)A?2,0．點(diǎn)B為拋物線與x軸另一交點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式．
(2)矩形BCDE的邊BC在x軸正半軸上，邊CD在第四象限．BC=6，CD=4．將矩形BCDE沿x軸負(fù)半軸方向平移得到矩形B'C'D'E'，直線B'E'與直線C'D'分別交拋物線于點(diǎn)M、N．在平移過(guò)程中，是否存在以C'、E'、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求平移距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型02 二次函數(shù)中矩形存在性問(wèn)題
【解題策略】
矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對(duì)角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個(gè)等式:xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD（xA?xC）2+（yA?yC）2=（xB?xD）2+（yB?yD）2 (AC 為對(duì)角線時(shí)).因此在矩形存在性問(wèn)題最多可以有3個(gè)未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解確定了有3個(gè)未知量，則可判斷常見矩形存在性問(wèn)題至少有2個(gè)動(dòng)點(diǎn)，多則可以有3個(gè).
【典例分析】
例1．（2023·山西）綜合與探究
如圖，拋物線y=?x2+bx+c的頂點(diǎn)為D1,4與x軸交于A和B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
(2)如圖1，點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
(3)如圖2，若點(diǎn)M是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使以B、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是以BD為對(duì)角線的矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式演練】
1．（2023·河北模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A?3,0,B2,0．與y軸交于點(diǎn)C，∠CAO=45°，直線y=kx交拋物線于點(diǎn)E，且AE=EC．

(1)求拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)M為直線y=1上一點(diǎn)，點(diǎn)N為直線EC上一點(diǎn)，求CM+MN的最小值；
(3)點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以E，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型03 二次函數(shù)中菱形存在性問(wèn)題
【解題策略】
和平行四邊形相比，菱形多一個(gè)“對(duì)角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實(shí)是等價(jià)的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)需滿足: xA+xC=xB+xDyA+yC=yB+yD（xA?xB）2+（yA?yB）2=（xC?xB）2+（yC?yB）2
解決問(wèn)題的方法也可有如下兩種:
思路 1:先平四，再菱形.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“4+C-B+D”(AC、BD 為對(duì)角線)，再結(jié)合組鄰邊相等，得到方程組，
思路 2:先等腰，再菱形.在構(gòu)成菱形的4個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，必構(gòu)成等三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個(gè)點(diǎn)，再確定第4個(gè)點(diǎn).
【典例分析】
例1．（2023·四川）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為1,0，對(duì)稱軸是直線x=?1，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線AC于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
(2)若點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)O不重合），求四邊形ABCN面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M、N、C、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式演練】
1．（2024·陜西模擬）已知：平面坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)Px,y和點(diǎn)A0,1，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離始終等于點(diǎn)P到x軸的距離．
(1)請(qǐng)你求出點(diǎn)P滿足的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果（1）中求出的函數(shù)圖象記為L(zhǎng)，L'是L沿著水平方向平移得到的，若點(diǎn)M在L上，點(diǎn)N是L平移后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是x軸上的點(diǎn)．是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以M、N、O、Q為頂點(diǎn)的四邊形是有一個(gè)內(nèi)角為60°且的菱形？若存在，請(qǐng)你求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2．（2023·山東模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=?x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C0，3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3,0），點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPC的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC面積的最大值．
(3)連接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP'C為菱形？若存在；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
題型4 二次函數(shù)中正方形存在性問(wèn)題
【解題策略】
思路 1:從判定出發(fā)
1）若已知菱形，則加有一個(gè)角為直角或?qū)蔷€相等:
2）若已知矩形，則加有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直:
3）若已知對(duì)角線互相垂直或平分或相等，則加上其他條件.
思路 2:構(gòu)造三乖直全等
若條件并未給關(guān)于四邊形及對(duì)角線的特殊性，則考慮在構(gòu)成正方形的4個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，必是等腰直角三角形，若已知兩定點(diǎn)，則可通過(guò)構(gòu)造三垂直全等來(lái)求得第3個(gè)點(diǎn)，再求第4點(diǎn).
總結(jié)：構(gòu)造三垂直全等的思路僅適合已知兩定點(diǎn)的情形，若題目給了4個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則考慮矩形的判定出發(fā)，觀察該四邊形是否己為某特殊四邊形，考證還需滿足的其他關(guān)系.（正方形的存在性問(wèn)題在中考中出現(xiàn)得并不多，正方形多以小題壓軸為主）
【典例分析】
例1．（2023·湖南）已知拋物線Q1:y=?x2+bx+c與x軸交于A?3,0,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C0,3．

(1)請(qǐng)求出拋物線Q1的表達(dá)式．
(2)如圖1，在y軸上有一點(diǎn)D0,?1，點(diǎn)E在拋物線Q1上，點(diǎn)F為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)E,F使得四邊形DAEF為正方形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E,F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)如圖2，將拋物線Q1向右平移2個(gè)單位，得到拋物線Q2，拋物線Q2的頂點(diǎn)為K，與x軸正半軸交于點(diǎn)H，拋物線Q1上是否存在點(diǎn)P，使得∠CPK=∠CHK？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式演練】
1．（2023·遼寧模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx?3與x軸交于A(?1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)點(diǎn)D為直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，求四邊形PBDC面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)已知點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)P，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以PC為對(duì)角線的正方形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2．（2023·遼寧模擬）如圖，拋物線y=?14x2+bx+c的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)A1,0，與y軸交于點(diǎn)B0,3，C為該拋物線圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在第一象限，且∠BAC=90°，求tan∠ABC的值；
(3)點(diǎn)D在拋物線上（點(diǎn)D在點(diǎn)C的左側(cè)，不與點(diǎn)B重合），點(diǎn)P在坐標(biāo)平面內(nèi)，問(wèn)是否存在正方形ACPD？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
1．（2023·山東）如圖，一條拋物線y=ax2+bx經(jīng)過(guò)△OAB的三個(gè)頂點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A3,?3，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，對(duì)稱軸是直線x=94，且△OAB的面積為18

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(3)設(shè)C為線段AB的中點(diǎn)，P為直線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，CP，將△ACP沿CP翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A1．問(wèn)是否存在點(diǎn)P，使得以A1，P，C，B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2．（2023·內(nèi)蒙古）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸的交點(diǎn)分別為A和B1,0（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C0,3，點(diǎn)P是直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖1，過(guò)點(diǎn)P作x軸平行線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作y軸平行線交x軸于點(diǎn)D，求PE+PD的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，設(shè)點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形，求出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)．
3．（2023·西藏）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+bx+c與x軸交于A?3,0，B1,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖甲，在y軸上找一點(diǎn)D，使△ACD為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(3)如圖乙，點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，是否存在P、Q兩點(diǎn)使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
4．（2023·遼寧）如圖，拋物線y=?12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B4，0，與y軸交于點(diǎn)C0，4，點(diǎn)E在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)E在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，作EH∥x軸，交拋物線于點(diǎn)H，點(diǎn)H在點(diǎn)E的左側(cè)，以線段EF,EH為鄰邊作矩形EFGH，當(dāng)矩形EFGH的周長(zhǎng)為11時(shí)，求線段EH的長(zhǎng)；
(3)點(diǎn)M在直線AC上，點(diǎn)N在平面內(nèi)，當(dāng)四邊形OENM是正方形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

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