【解題策略】
問題總結:
1) 兩定一動:動點可在直線上、拋物線上;
2）一定兩動:兩動點必有關聯(lián)，可表示線段長度列方程求解;
3）三動點:分析可能存在的特殊邊、角，以此為突破口.
【典例分析】
例1．（2022·貴州）如圖，拋物線y=ax2+2x+c的對稱軸是直線x=1，與x軸交于點A，B3,0，與y軸交于點C，連接AC．
(1)求此拋物線的解析式；
(2)已知點D是第一象限內拋物線上的一個動點，過點D作DM⊥x軸，垂足為點M，DM交直線BC于點N，是否存在這樣的點N，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出點N的坐標，若不存在，請說明理由；
(3)已知點E是拋物線對稱軸上的點，在坐標平面內是否存在點F，使以點B、C、E、F為頂點的四邊形為矩形，若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y=?x2+2x+3
(2)存在這樣的點N（2，1）或5,?5+3或52,12，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形
(3)存在點F的坐標為（4，1）或（-2，1）或2,3+172或2,3?172．
【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸是直線x=1，可得a=-1，再把點B3,0代入，即可求解；
（2）先求出AC2=OA2+OC2=10，設點N（m，-m+3），可得AN2=2m2?4m+10，CN2=2m2，再分三種情況討論：當AC=AN時，當AC=CN時，當AN=CN時，即可求解；
（3）設點E（1，n），點F（s，t），然后分兩種情況討論：當BC為邊時，當BC為對角線時，即可求解．
【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+2x+c的對稱軸是直線x=1，
∴?22a=1，解得：a=-1，
∵拋物線過點B3,0，
∴?9+6+c=0，解得：c=3，
∴拋物線解析式為y=?x2+2x+3；
（2）解：存在這樣的點N，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形．理由如下：
令y=0，則?x2+2x+3=0，
解得：x1=3,x2=?1，
∴點A的坐標為（-1，0），
∴OA=1，
當x=0時，y=3，
∴點C的坐標為（0，3），即OC=3，
∴AC2=OA2+OC2=10，
設直線BC的解析式為y=kx+bk≠0，
把點B（3，0），C（0，3）代入得：
3k+b=0b=3，解得：k=?1b=3，
∴直線BC的解析式為y=?x+3，
設點N（m，-m+3），
∴MN=-m+3，AM=m+1，
∴AN2=?m+32+m+12=2m2?4m+10，CN2=m2+?m+3?32=2m2，
當AC=AN時，2m2?4m+10=10，
解得：m=2或0（舍去），
∴此時點N（2，1）；
當AC=CN時，2m2=10，
解得：m=5或?5（舍去），
∴此時點N5,?5+3；
當AN=CN時，2m2=2m2?4m+10，
解得：m=52，
∴此時點N52,12；
綜上所述，存在這樣的點N（2，1）或5,?5+3或52,12，使得以A，C，N為頂點的三角形是等腰三角形；
（3）解：存在，理由如下：
∵點B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC，
∴BC=32，
設點E（1，n），點F（s，t），
當BC為邊時，點C向右平移3個單位向下平移3個單位得到點B，同樣E（F）向右平移3個單位向下平移3個單位得到點F（E），且BE=CF（CE=BF），如圖，
∴1+3=sn?3=t1?32+n2=s2+t?32或s+3=1t?3=n1?02+n?32=(s?3)2+t?02，
解得：n=4s=4t=1或n=?2s=?2t=1，
∴此時點F的坐標為（4，1）或（-2，1）；
當BC為對角線時，BC=EF，且EF與BC的中點重合，如圖，
1+s2=32n+t2=321?s2+n?t2=32，解得：n=3+172s=2t=3?172或n=3?172s=2t=3+172，
∴此時點F的坐標為2,3+172或2,3?172；
綜上所述，存在點F的坐標為（4，1）或（-2，1）或2,3+172或2,3?172．
【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質，等腰三角形的性質，矩形的性質，并利用分類討論思想解答是解題的關鍵是解題的關鍵．
【變式演練】
1.（2023·廣東模擬）如圖，點A、B在x軸正半軸上，點C、D在y軸正半軸上，且OB=OC=3, OA=1, OD=2，過A、B、C三點的拋物線上有一點E，使得AE⊥AD．
(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式．
(2)求點E的坐標．
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP為等腰三角形，若存在，直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y=x2?4x+3
(2)點E的坐標為72,54
(3)點P的坐標為2，2或2，3+6或2，3?6或2，3或2,?3
【分析】
本題主要考查運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與幾何綜合等知識以及等腰三角形的性質：
（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把點A1，0，B3，0，C0,3代入函數(shù)解析式，求出a,b,c的值即可；
（2）過點E作EF⊥x軸于點F，設Ea,a2?4a+3，證明△EFA∽△AOD，得EFAF=AOOD，代入相關數(shù)據(jù)得a2?4a+3a?1=12，求出a的值，再進行判斷即可；
（3）由y=x2?4x+3得對稱軸為直線x=2，設P2,t，分PC=AC,PA=AC,PC=AP三種情況討論求解即可．
【詳解】（1）解：OB=OC=3, OA=1，
∴A1，0，B3，0，C0,3
∵A、B、C三點在拋物線上，
∴a+b+c=09a+3a+c=0c=3，
解得，a=1b=?4c=3，
∴拋物線的解析式為：y=x2?4x+3；
（2）解：過點E作EF⊥x軸于點F，如圖，
∴∠EAF+∠AEF=90°,
∵DA⊥EA，
∴∠DAE=90°,
∴∠DAO+∠EAF=90°,
∴∠DAO=∠AEF,
又∠EFA=∠AOD=90°,
∴△EFA∽△AOD，
∴EFAF=AOOD，
設Ea,a2?4a+3，
∴AF=a?1,EF=a2?4a+3，
∵AO=1,OD=2,
∴a2?4a+3a?1=12，
解得，a=72或a=1，
經(jīng)檢驗，a=72是原方程的解，a=1是增根，
∴a=72，
∴a2?4a+3=54，
∴點E的坐標為72,54；
（3）解：由y=x2?4x+3=x+22?1知，拋物線的對稱軸為直線x=2，
設點P2,t，
∵A1，0，C0,3，
∴PC2=2?02+t?32=t2?6t+13，AP2=2?12+0?t2=t2+1，AC2=1?02+3?02=10，
∵△ACP是等腰三角形，
∴分三種情況討論：①當PC=AP時，即PC2=AP2，
∴t2?6t+13=t2+1，
解得，t=2，
∴點P的坐標為2，2；
②當PC=AC時，即PC2=AC2，
∴t2?6t+13=10，
解得，t=3+6或t=3?6
∴點P的坐標為2，3+6或2，3?6；
③當AP=AC時，即AP2=AC2，
∴t2+1=10，
解得，t=3或t=?3，
∴點P的坐標為2，3或2,?3；
綜上，點P的坐標為2，2或2，3+6或2，3?6或2，3或2,?3．
2．（2023·甘肅模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其中B4,0,C0,?8 ，連接AC，BC．點E是線段OB上一動點（不與O、B兩點重合），過點E作x軸的垂線l，與直線l交于點D，與拋物線交于點P．

(1)求拋物線的表達式，及直線BC的表達式；
(2)過點P作PF⊥BC，垂足為F，求Rt△PFD周長的最大值；
(3)點Q在y軸上，點H在拋物線對稱軸上，是否存在點Q、H使得△AQH為等腰直角三角形，且∠QAH=90°，若存在，求出點Q、H的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)拋物線表達式： y=x2?2x?8，直線BC的表達式： y=2x?8；
(2)△PFD周長最大值為4+1255；
(3)存在，Q0,1，H1,?1或Q0,?1，H1,1．
【分析】
本題考查二次函數(shù)的綜合應用，解直角三角形，全等三角形的判定和性質，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．
（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）設Pn,n2?2n?8，求出PD的長，利用三角函數(shù)值，表示出PF,DF的長，將Rt△PFD的周長轉化為二次函數(shù)求最值，即可；
（3）分Q在x軸上方和下方，兩種情況，構造全等三角形，進行求解即可．
【詳解】（1）解：把B4,0,C0,?8代入y=x2+bx+c，得：
16+4b+c=0c=?8，解得：b=?2c=?8，
∴y=x2?2x?8；
設直線BC的解析式為：y=kx?8，把：B4,0，代入得：k=2，
∴y=2x?8；
（2）∵B4,0,C0,?8，
∴OB=4,OC=8，
∴BC=45，
∴sin∠OBC=OCBC=255，cs∠OBC=OBBC=55，
∵PE⊥x軸，PF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFP，
又∵∠FDP=∠BDE，
∴∠FPD=∠OBC，
∴PF=PD?cs∠FPD=PD?cs∠OBC=55PD，DF=PD?sin∠FPD=PD?sin∠OBC=255PD，
∴Rt△PDF的周長=PD+DF+PF=355+1PD，
∴當PD最大時，Rt△PDF的周長最大，
設Pn,n2?2n?8，則：Dn,2n?8，
∴PD=2n?8?n2+2n+8=?n2+4n=?n?22+4，
∴當n=2時，PD有最大值為4，
此時：Rt△PDF的周長最大為4+1255；
（3）存在；
∵y=x2?2x?8，
∴對稱軸為：x=??22×1=1，當y=0時，x2?2x?8=0，解得：x1=4,x2=?2，
∴A?2,0，
∴OA=2，
設Q0,m，H1,t，
①當點Q在x軸上方時，如圖：

過點Q作QN∥x軸，交對稱軸于N，過點A作AW⊥QN，則：∠AWQ=∠QNH=90°，AW=OQ=m,QW=OA=2，
∵△AQH為等腰直角三角形，∠AQH=90°，
∴AQ=QH，∠AQW=∠QHN=90°?∠HQN，
∴△AWQ≌△QNH，
∴HN=QW=2,AW=QN=1，
∴m=1,1?t=2，
∴t=?1，
∴Q0,1，H1,?1；
②當點Q在x軸下方時，

同法可得：Q0,?1，H1,1；
綜上：Q0,1，H1,?1或Q0,?1，H1,1
題型02 二次函數(shù)中直角三角形存在性問題
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023·四川）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于B4,0，C?2,0兩點．與y軸交于點A0,?2．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；
(2)若點P是直線AB下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交AB于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與12PK+PD的最大值及此時點P的坐標；
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得△MAB是以AB為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y=14x2?12x?2
(2)存在，12PK+PD的最大值為258，P32,?3516
(3)1,6或1,?4
【分析】（1）將A、B、C代入拋物線解析式求解即可；
（2）可求直線AB的解析式為y=12x?2，設Pm,14m2?12m?2（0

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