【解題策略】
【典例分析】
【例1】（2023·云南模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D是AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°．
(1)求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積．
【變式演練】
1.（2023·湖北）如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，∠ABC=60°，直線(xiàn)AD//BC，AB=AD，點(diǎn)O在BD上．
(1)判斷直線(xiàn)AD與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．
題型02 利用平行證垂直【連半徑，證垂直】
【解題策略】
【典例分析】
【例1】（2023·江蘇）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，C是BD?的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．
(1)求證：CE是⊙O的切線(xiàn)．
(2)若BC=6，AC=8，求CE，DE的長(zhǎng)．
【變式演練】
1.（2023·廣西）如圖，在△ABC中，AC=AB，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作ED⊥AC點(diǎn)E，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．
(1)求證：EF是⊙O的切線(xiàn)； (2)若DF=4，tan∠BDF=12，求AC的長(zhǎng)．
題型03 利用三角形全等證垂直【連半徑，證垂直】
【解題策略】
【典例分析】
【例1】（2023·內(nèi)蒙古）如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接OE，DE．
(1)求證：DE是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若sinC=45，DE=5，求AD的長(zhǎng)；
(3)求證：2DE2=CD·OE．
【變式演練】
1.（2023·浙江模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AC=BC，E是OB的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使EF=CE.連接AF交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，BF．
(1)求證：直線(xiàn)BF是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若AB=2，求BD的長(zhǎng)；
(3)在(2)的條件下，連接AC，求cs∠ACF的值．
2.（2023·江蘇模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，AD和BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD與⊙O有公共點(diǎn)E，且AD=DE．
(1)求證：CD是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若AB=12，BC=4，求AD的長(zhǎng)．
題型04 利用相似證垂直【連半徑，證垂直】
【解題策略】
【典例分析】
【例1】（2023·江蘇模擬）如圖，O為線(xiàn)段PB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的⊙O交PB于點(diǎn)A，點(diǎn)C在⊙O上，連接PC，滿(mǎn)足PC2=PA·PB．
(1)求證：PC是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若AB=3PA，求ACBC的值．
【變式演練】
1.（2023·江蘇模擬）如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上異于點(diǎn)B、C的點(diǎn)．⊙O外的點(diǎn)E在射線(xiàn)CB上，直線(xiàn)EA與CD垂直，垂足為D，且DA·AC=DC·AB．
(1)求證：直線(xiàn)EA是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若BC=BE，S△ACD=mS△BAE，求常數(shù)m的值．
題型05 利用等腰三角形性質(zhì)證垂直【連半徑，證垂直】
【解題策略】
【典例分析】
【例1】（2023·江蘇模擬）如圖，已知直線(xiàn)AB經(jīng)過(guò)⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，求證：直線(xiàn)AB是⊙O的切線(xiàn)．
【變式演練】
（2023·江蘇模擬）如圖，若等腰三角形△ABC中，AB=AC，O是底邊BC的中點(diǎn)，⊙O與腰AB相切于點(diǎn)D，求證：AC與⊙O相切．
題型06 利用等角轉(zhuǎn)換證垂直【作垂直，證半徑】
【解題策略】
【典例分析】
【例1】（2023·寧夏模擬）
如圖△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點(diǎn)E．
(1)求證：⊙D與AC相切；
(2)若AC=5，BC=3，試求AE的長(zhǎng)．
【變式演練】
1.（2023·湖北模擬）
如圖，OC是∠AOB的平分線(xiàn)，P是OC上一點(diǎn)，⊙P與OA相切于D，求證：OB與⊙P相切．
2.（2023·江蘇模擬）
如圖，ΔABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點(diǎn)E．
(1)求證：⊙D與AC相切；
(2)若AC=5，BC=4，試求AE的長(zhǎng)．
1.（2023·山東）
如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BD是⊙O的直徑，AB=AC，AE//BC，E為BD的延長(zhǎng)線(xiàn)與AE的交點(diǎn)．
(1)求證：AE是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若∠ABC=75°，BC=2，求CD的長(zhǎng)．
2.（2023·北京）
如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的一條弦，AB⊥CD,連接AC,OD.
(1)求證：∠BOD=2∠A;
(2)連接DB，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DB,交DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DO,交AC于點(diǎn)F，若F為AC的中點(diǎn)，求證：直線(xiàn)CE為⊙O的切線(xiàn)．
3.（2023·江西）
如圖，在△ABC中，AB=4，∠C=64°，以AB為直徑的⊙O與AC相交于點(diǎn)D，E為ABD上一點(diǎn)，且∠ADE=40°．
(1)求BE的長(zhǎng)；
(2)若∠EAD=76°，求證：CB為⊙O的切線(xiàn)．
4.（2023·四川）
如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，DE⊥AP，垂足為點(diǎn)E，∠EAD=∠FAD．
(1)求證：AE是⊙O的切線(xiàn)；
(2)若PA=4，PD=2，求⊙O的半徑和DE的長(zhǎng)．
5.（2023·甘肅）
如圖，AB為⊙O的直徑，如果圓上的點(diǎn)D恰使∠ADC=∠B，求證：直線(xiàn)CD與⊙O相切．
6.（2023·湖南）
如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，D是⊙O上的一點(diǎn)，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足為E，AB與CD相交于點(diǎn)F．
(1)求證：CE是⊙O的切線(xiàn)；
(2)當(dāng)⊙O的半徑為5，sinB=35時(shí)，求CE的長(zhǎng)．
方法技巧
1.切線(xiàn)的判定：常用方法→ 有切點(diǎn)，連半徑，證垂直！
無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑！
☆特別地：
題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來(lái)的，故有“想證⊥，先找⊥”
2.切線(xiàn)的性質(zhì)：常用方法→見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直！
因切線(xiàn)所得結(jié)論必為⊥，故常以直角三角形來(lái)展開(kāi)后續(xù)問(wèn)題
3.常見(jiàn)手法有全等轉(zhuǎn)化；平行轉(zhuǎn)化；直徑轉(zhuǎn)化；中線(xiàn)轉(zhuǎn)化等；有時(shí)可通過(guò)計(jì)算結(jié)合相似、勾股定理證垂直；
4.若：已知∠1+∠2=90°，又可證明∠2=∠3，則可以推出∠1+∠3=90°.
方法技巧
1.切線(xiàn)的判定：常用方法→ 有切點(diǎn)，連半徑，證垂直！
無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑！
☆特別地：
題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來(lái)的，故有“想證⊥，先找⊥”
2.切線(xiàn)的性質(zhì)：常用方法→見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直！
因切線(xiàn)所得結(jié)論必為⊥，故常以直角三角形來(lái)展開(kāi)后續(xù)問(wèn)題
3.垂直于同一直線(xiàn)的兩直線(xiàn)互相平行。
方法技巧
切線(xiàn)的判定：常用方法→ 有切點(diǎn)，連半徑，證垂直！
無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑！
☆特別地：
題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來(lái)的，故有“想證⊥，先找⊥”
切線(xiàn)的性質(zhì)：常用方法→見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直！
因切線(xiàn)所得結(jié)論必為⊥，故常以直角三角形來(lái)展開(kāi)后續(xù)問(wèn)題
3.關(guān)鍵：有兩個(gè)三角形全等，得出角相等。
方法技巧
1.切線(xiàn)的判定：常用方法→ 有切點(diǎn)，連半徑，證垂直！
無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑！
☆特別地：
題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來(lái)的，故有“想證⊥，先找⊥”
2.切線(xiàn)的性質(zhì)：常用方法→見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直！
因切線(xiàn)所得結(jié)論必為⊥，故常以直角三角形來(lái)展開(kāi)后續(xù)問(wèn)題
方法技巧
1.切線(xiàn)的判定：常用方法→ 有切點(diǎn)，連半徑，證垂直！
無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑！
☆特別地：
題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來(lái)的，故有“想證⊥，先找⊥”
2.切線(xiàn)的性質(zhì)：常用方法→見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直！
因切線(xiàn)所得結(jié)論必為⊥，故常以直角三角形來(lái)展開(kāi)后續(xù)問(wèn)題
方法技巧
1.切線(xiàn)的判定：常用方法→ 有切點(diǎn)，連半徑，證垂直！
無(wú)切點(diǎn)，作垂直，證半徑！
☆特別地：
題目中所需證的垂直，一般是由已知垂直轉(zhuǎn)化而來(lái)的，故有“想證⊥，先找⊥”
2.切線(xiàn)的性質(zhì)：常用方法→見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直！
因切線(xiàn)所得結(jié)論必為⊥，故常以直角三角形來(lái)展開(kāi)后續(xù)問(wèn)題
3.若切點(diǎn)不明確，則“作垂直，證半徑”。常見(jiàn)手法有角平分線(xiàn)定理；等腰三角形三線(xiàn)合一，隱藏角平分線(xiàn)；
總而言之，要完成兩個(gè)層次的證明：
①直線(xiàn)所垂直的是圓的半徑（過(guò)圓上一點(diǎn)）；
②直線(xiàn)與半徑的關(guān)系是互相垂直。在證明中的關(guān)鍵是要處理好弧、弦、角之間的相互轉(zhuǎn)化,要善于進(jìn)行由此及彼的聯(lián)想、要總結(jié)常添加的輔助線(xiàn).

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