【解題策略】
知識點撥
多邊形的有關(guān)計算公式有很多，一定要牢記，代錯公式容易導致錯誤：
①n邊形內(nèi)角和＝（n－2）×180°（n≥3）.
②從n邊形的一個頂點可以引出（n-3）條對角線，n個頂點可以引出n（n-3）條對角線，但是每條對角線計算了兩次，因此n邊形共有n(n?3)2 條對角線.
③n邊形的邊數(shù)＝（內(nèi)角和÷180°）＋2.
④n邊形的外角和是360°.
⑤n邊形的外角和加內(nèi)角和＝n×180°.
⑥在n邊形內(nèi)任取一點O，連接O與各個頂點，把n邊形分成n個三角形；在n邊形的任意一邊上任取一點O，連接O點與其不相鄰的其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n－1）個三角形；連接n邊形的任一頂點A與其不相鄰的各個頂點的線段，把n邊形分成（n－2）個三角形．
方法總結(jié)
1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.
2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.
3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個內(nèi)角的度數(shù)．
4）任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān).
5）正n邊形的每個內(nèi)角為為（n?2）×180°n，每一個外角為360°n．
6）正n邊形有n條對稱軸．
7）對于正n邊形，當n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．
【典例分析】
例1．（2023·湖南）（求內(nèi)角和）七邊形的內(nèi)角和為( )
A. 540°B. 720°C. 900°D. 1 080°
【答案】C
【解析】【分析】
本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理．熟記“n邊形的內(nèi)角和為(n?2)·180°”是解題的關(guān)鍵．利用多邊形的內(nèi)角和=(n?2)·180°即可解決問題．
【解答】
解：根據(jù)多邊形的內(nèi)角和可得：
(7?2)×180°=900°．
故選C．
例2．（2023·福建）（求外角和）四邊形的外角和度數(shù)是 ．
【答案】360°
【解析】【分析】
本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，掌握多邊形的外角和都是360°是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形的外角和都是360°即可得出答案．
【解答】
解：四邊形的外角和度數(shù)是360°，
故答案為：360°．
例3．（2023·湖南）（判定多邊形的形狀）如果一個多邊形每一個外角都是60°，那么這個多邊形的邊數(shù)為______ ．
【答案】6
【解析】解：多邊形的邊數(shù)是：360°÷60°=6，
∴這個多邊形的邊數(shù)是6．
故答案為：6．
根據(jù)多邊形的外角和是360度即可求得外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．
本題主要考查了多邊形的外角和定理，掌握多邊形的外角和是360°是解題關(guān)鍵．
【變式演練】
1.（2023·北京）（求內(nèi)角和）若正多邊形的一個外角是60°，則該正多邊形的內(nèi)角和為( )
A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°
【答案】C
【解析】【分析】根據(jù)正多邊形的外角度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式即可求出多邊形的內(nèi)角和．
【詳解】由題意，正多邊形的邊數(shù)為 n=360°60°=6 ，
其內(nèi)角和為 n?2?180°=720° ．
故選C．
【點睛】考查多邊形的內(nèi)角和與外角和公式，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．
2.（2023·甘肅）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中，如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角∠1=( )
A. 45°B. 60°C. 110°D. 135°
【答案】A
【解析】解：∵正八邊形的外角和為360°，
∴每一個外角為360°÷8=45°．
故選：A．
由多邊形的外角和定理直接可求出結(jié)論．
本題考查了多邊形外角和定理，掌握外角和定理是解題的關(guān)鍵．
3.（2023·湖北）五邊形的外角和為( )
A. 180°B. 360 °
C. 540°D. 720°
【答案】B
【解析】【分析】
此題考查了多邊形內(nèi)角與外角，比較簡單，只要識記多邊形的外角和是360°即可．多邊形外角和都等于360°，則四邊形的外角和為360度．
【解答】
解：∵多邊形外角和=360°，
∴四邊形的外角和為360°．
故選：B．
題型02 平行四邊形的性質(zhì)與判定求解技巧
【解題策略】
平行四邊形的性質(zhì)：1)對邊平行且相等； 2)對角相等、鄰角互補； 3)對角線互相平分；
4)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心.
【解題技巧】
1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半．
2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關(guān)系，所以經(jīng)常需結(jié)合三角形全等來解題．
3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長．
4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質(zhì)結(jié)合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．
5）如圖②，已知點E為AD上一點，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．
6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．
平行四邊形的判定定理：
①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．
④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．
⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
【解題技巧】
一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：
1）當已知條件中有關(guān)于所證四邊形的角時，可用“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明；
2）當已知條件中有關(guān)于所證四邊形的邊時，可選擇“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明；
3）當已知條件中有關(guān)于所證四邊形的對角線時，可選擇“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明．
【典例分析】
例1.（2023·天津）（平行四邊形的性質(zhì)）如圖，□ABCD的頂點A，B，C的坐標分別是(0,1)，(?2,?2)，(2,?2)，則頂點D的坐標是( )
A. (?4,1)B. (4,?2)C. (4,1)D. (2,1)
【答案】C
【解析】解：∵B(?2,?2)，C(2,?2)，
∴BC=2?(?2)=2+2=4，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC=4，
∵點A的坐標為(0,1)，
∴點D的坐標為(4,1)，
故選：C．
首先根據(jù)B、C兩點的坐標確定線段BC的長，然后根據(jù)A點的坐標向右平移線段BC的長度即可求得點D的坐標．
考查了平行四邊形的性質(zhì)及坐標與圖形性質(zhì)的知識，解題的關(guān)鍵是求得線段BC的長，難度不大．
例2.（2024·陜西模擬）如圖， 菱形ABCD中， 對角線AC、BD交于點O，EF⊥BD， 垂足為點H，EF分別交AD、DC及BC的延長線于點E、M、F，且ED：CF=1：2，則DH：DB的值為（ ）
A．14B．15C．25D．16
【答案】D
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判斷，先由菱形的性質(zhì)得到AD∥BC，AC⊥BD，AD=BC，再證明AC∥EF，進而證明四邊形AEFC是平行 四邊形，得到AE=CF，由此可得到DE：BF=1:5，再證明△DEH∽△BFH，得到DHBH=DEBF=15，則DH：DB=16．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AC⊥BD，AD=BC，
∵EF⊥BD，
∴AC∥EF，
∴四邊形AEFC是平行 四邊形，
∴AE=CF，
∵ED：CF=1：2，
∴ED：AE=1:2，
∴ED:AD=ED：BC=1:3，
∴DE：BF=1:5，
∵AD∥BC
∴△DEH∽△BFH，
∴DHBH=DEBF=15，
∴DH：DB=16，
故選：D．
【變式演練】
1.（2023·河北）（平行四邊形的判定）綜合實踐課上，嘉嘉畫出△ABD，利用尺規(guī)作圖找一點C，使得四邊形ABCD為平行四邊形.(1)～(3)是其作圖過程．
(1)作BD的垂直平分線交BD于點O；
(2)連接AO，在AO的延長線上截取OC=AO；
(3)連接DC，BC，則四邊形ABCD即為所求．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是( )
A. 兩組對邊分別平行B. 兩組對邊分別相等
C. 對角線互相平分D. 一組對邊平行且相等
【答案】C
【解析】【分析】
根據(jù)：“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”證明即可．
本題考查了作線段的垂直平分線，作一條線段等于已知線段，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：由作圖得：DO=BO，AO=CO，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
故選：C．
2．（2023·江蘇）【閱讀理解】如圖1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2a2+b2．
【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2，四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b，則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷，并說明理由．
【拓展提升】如圖3，已知BO為△ABC的一條中線，AB=a,BC=b,AC=c．求證：BO2=a2+b22?c24．
【嘗試應用】如圖4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，點P在邊AD上，則PB2+PC2的最小值為_______．
【答案】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由見解析；拓展提升：證明見解析；嘗試應用：200
【分析】探究發(fā)現(xiàn)：作AE⊥BC于點E，作DF⊥BC交BC的延長線于點F，則∠AEB=∠CFD=90°，證明Rt△ABE≌Rt△DCFHL，BE=CF，利用勾股定理進行計算即可得到答案；
拓展提升：延長BO到點C，使OD=BO，證明四邊形ABCD是平行四邊形，由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC2+BD2=2AB2+BC2，則c2+2BO2=2a2+b2，得到c2+4BO2=2a2+b2，即可得到結(jié)論；
嘗試應用：由四邊形ABCD是矩形，AB=8,BC=12，得到AB=CD=8,BC=AD=12，∠A=∠D=90°，設(shè)AP=x，PD=12?x，由勾股定理得到PB2+PC2=2x?62+200，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立，理由如下：
作AE⊥BC于點E，作DF⊥BC交BC的延長線于點F，則∠AEB=∠CFD=90°，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，若AB=a,BC=b，
∴AB=DC=a,AD∥BC,AD=BC=b，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCFHL，
∴BE=CF，
∴AC2+BD2=AE2+CE2+BF2+DF2
=AB2?BE2+BC?BE2+BC+CF2+DF2
=AB2?BE2+BC2?2BC?BE+BE2+BC2+2BC?BE+BE2+AE2
=AB2+BC2+BC2+BE2+AE2
=AB2+BC2+BC2+AB2
=2AB2+BC2
=2a2+b2；
拓展提升：延長BO到點C，使OD=BO，

∵BO為△ABC的一條中線，
∴OA=CO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=a,BC=b,AC=c．
∴由【探究發(fā)現(xiàn)】可知，AC2+BD2=2AB2+BC2，
∴c2+2BO2=2a2+b2，
∴c2+4BO2=2a2+b2，
∴BO2=a2+b22?c24；
嘗試應用：∵四邊形ABCD是矩形，AB=8,BC=12，
∴AB=CD=8,BC=AD=12，∠A=∠D=90°，
設(shè)AP=x，則PD=AD?AP=12?x，
∴PB2+PC2=AP2+AB2+PD2+CD2=x2+82+12?x2+82
=2x2?24x+272=2x?62+200，
∵2>0，
∴拋物線開口向上，
∴當x=6時，PB2+PC2的最小值是200
故答案為：200
【點睛】此題考查了二次函數(shù)的應用、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理和數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
題型03 如何構(gòu)建三角形中位線解決四邊形問題
【解題策略】
構(gòu)造三角形中位線的常用方法：
1）連接兩點構(gòu)造三角形中位線;
2) 已知中點，取另一條線段的中點構(gòu)造中位線.
3) 利用角平分線+垂直構(gòu)造三角形的中位線.
【典例分析】
例1.（2023·四川）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∠ADC的平分線與邊AB相交于點P，E是PD中點，若AD=4，CD=6，則EO的長為( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】解：在平行四邊形ABCD中，AB//DC，AB=CD，OD=OB，
∴∠CDP=∠APD，
∵DP平分∠ADC，
∴∠CDP=∠ADP，
∴∠ADP=∠APD，
∴AP=AD=4，
∵CD=6，
∴AB=6，
∴PB=AB?AP=6?4=2，
∵E是PD的中點，O是BD的中點，
∴EO是△DPB的中位線，
∴EO=12PB=1，
故選：A．
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB//DC，AB=CD，OD=OB，可得∠CDP=∠APD，根據(jù)DP平分∠ADC，可得∠CDP=∠ADP，從而可得∠ADP=∠APD，可得AP=AD=4，進一步可得PB的長，再根據(jù)三角形中位線定理可得EO=12PB，即可求出EO的長．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．
例2．（2023·廣西）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的動點，M，N分別是EF，AF的中點，則MN的最大值為 ．

【答案】2
【分析】首先證明出MN是△AEF的中位線，得到MN=12AE，然后由正方形的性質(zhì)和勾股定理得到AE=AB2+BE2=4+BE2，證明出當BE最大時，AE最大，此時MN最大，進而得到當點E和點C重合時，BE最大，即BC的長度，最后代入求解即可．
【詳解】如圖所示，連接AE，

∵M，N分別是EF，AF的中點，
∴MN是△AEF的中位線，
∴MN=12AE，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AE=AB2+BE2=4+BE2，
∴當BE最大時，AE最大，此時MN最大，
∵點E是BC上的動點，
∴當點E和點C重合時，BE最大，即BC的長度，
∴此時AE=4+22=22，
∴MN=12AE=2，
∴MN的最大值為2．
故答案為：2．
【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．
【變式演練】
1．（2023·山東）如圖，四邊形EFGH頂點是四邊形ABCD各邊中點，若把EFGH涂滿紅油漆需要10桶，那么要把其余部分涂滿黑顏色，需要 桶
【答案】10
【分析】本題考查的是中點四邊形，中位線定理和相似三角形的面積比等于相似比的平方；根據(jù)題意得出S四邊形EFGH=12S四邊形ABCD，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，連接AC,BD，
∵E,F分別是AD,AB的中點，
∴EF∥BD，EFBD=12
∴△AEF∽△ADB
∴S△AEF=14S△ABD，同理可得S△CGH=14S△BCD，
則S△AEF+S△CGH=14S四邊形ABCD
同理可得S△DEH+S△BGF=14S四邊形ABCD
∴S四邊形EFGH=12S四邊形ABCD
若把EFGH涂滿紅油漆需要10桶，那么要把其余部分涂滿黑顏色，需要10桶,
故答案為：10．
2．（2023·安徽）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC=6，延長BC到點D，CD=4，點E是AD的中點，BE交AC于點F，則△AEF的面積為 ．

【答案】154
【分析】利用三角形的面積公式求出△ACD的面積，進而求出△ABD的面積，利用中線平分面積，得到△ABE的面積，取AC的中點G，連接EG，得到EG∥CD,EG=12CD，推出△BFC∽△EFG，求出EFBF的值，利用同高三角形點面積比等于底邊比，進行求解即可．
【詳解】解：∵∠ABC=90°,AB=BC=6，CD=4，
∴S△ABD=12AB?BC+CD=30，
∵點E是AD的中點，
∴S△ABE=12S△ABD=15，
取AC的中點G，連接EG，則：EG∥CD,EG=12CD=2，

∴△BFC∽△EFG，
∴EFBF=EGBC=26=13，
∴EFBE=14，
∴S△AEF:S△ABE=EF:BE=1:4，
∴S△AEF=14S△ABE=154；
故答案為：154．
【點睛】本題考查三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形的中位線和相似三角形．
題型04 平行四邊形的多結(jié)論問題
【典例分析】
例1．（2023·山東）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O．點E為BC的中點，連接EO并延長交AD于點F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列結(jié)論：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四邊形AECF是菱形；④S△BOE=14S△ABC．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【分析】通過判定ΔABE為等邊三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性質(zhì)求得∠EAC=30°，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．
【詳解】解：∵點E為BC的中點，
∴BC=2BE=2CE，
又∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴ΔABE是等邊三角形，
∴∠BAE=∠BEA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
即AB⊥AC，故①正確；
在平行四邊形ABCD中，AD//BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠CAD=∠ACB，
在ΔAOF和ΔCOE中，
∠CAD=∠ACBOA=OC∠AOF=∠COE，
∴ΔAOF?ΔCOE(ASA)，
∴AF=CE，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵AB⊥AC，點E為BC的中點，
∴AE=CE，
∴平行四邊形AECF是菱形，故③正確；
∴AC⊥EF，
在RtΔCOE中，∠ACE=30°，
∴OE=12CE=14BC=14AD，故②正確；
在平行四邊形ABCD中，OA=OC，
又∵點E為BC的中點，
∴SΔBOE=12SΔBOC=14SΔABC，故④正確；
綜上所述：正確的結(jié)論有4個，
故選：A．
【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．
例2．（2023·江蘇模擬）如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，對角線AC與BD交于點O，AF⊥BD于點F，CE⊥BD于點E，連接AE，CF.若DE=BF，則下列結(jié)論：
①CF=AE;
②OE=OF;
③四邊形ABCD是平行四邊形;
④圖中共有四對全等三角形．
其中正確的是( )
A. ① ③ ④B. ① ② ④C. ① ② ③D. ② ③ ④
【答案】C
【解析】在Rt△DCE和Rt△BAF中，CD=AB,DE=BF,
∴Rt△DCE≌Rt△BAF(HL)，
∴CE=AF，
∵CE⊥BD，AF⊥BD，
∴CE//AF，∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴CF=AE，故 ①正確;
∵四邊形AECF是平行四邊形，∴OE=OF，故 ②正確;
∵DE=BF，∴DE?EF=BF?EF，
即DF=BE，∴DF+OF=BE+OE，即DO=BO，
∵四邊形AECF是平行四邊形，∴AO=CO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，故 ③正確;由題意可得
△DCF≌△BAE，△CDO≌△ABO，△CDE≌△ABF，
△DCB≌△BAD，△CFO≌△AEO，△CFB≌△AED，
△CFE≌△AEF，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，
△DOA≌△BOC，△DCA≌△BAC，△AFC≌△CEA，共
12對全等三角形，故 ④錯誤．∴正確的結(jié)論是 ① ② ③，故選C．
【變式演練】
1.（2023·山東模擬）如圖，已知△ABC是邊長為3的等邊三角形，點D是邊BC上的一點，且BD=1，以AD為邊作等邊△ADE，過點E作EF/?/BC，交AC于點F，連接BF，CE，則下列結(jié)論：
①△ABD≌△ACE；②四邊形BDEF是平行四邊形；③S四邊形BDEF= 32；④S△AEF= 3.其中正確的有( )
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【答案】C
【解析】解：作CH⊥EF于H．
∵△ABC，△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD與△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，故①正確；
∴BD=EC=1，∠ACE=∠ABD=60°，
∵EF/?/BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∴△EFC是等邊三角形，
∴CH= 32，EF=EC=BD，
∵EF/?/BD，
∴四邊形BDEF是平行四邊形，故②正確，
∵S平行四邊形BDEF=BD?CH= 32，故③正確，
∵AC=BC=3，BD=CF=1，
∴CD=2BD，AF=2CF，
∵S△ABD=12×1×3 32=3 34，
∴S△AEF=23×S△AEC=23×S△ABD= 32，故④錯誤，
∴①②③都正確，
故選：C．
連接EC，作CH⊥EF于H.首先證明△BAD≌△CAE(SAS)，根據(jù)SAS可證明△ABD≌△BCF，再證明△EFC是等邊三角形即可解決問題．
本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是準確尋找全等三角形解決問題．
2.（2023·福建模擬）如圖，矩形ABCD中，BC=2AB，對角線AC、BD交于點O，CE平分∠BCD交AD于點E，F(xiàn)為CE上一點，G為AD延長線上一點，連接DF、FG、DF的延長線交AC于點H，F(xiàn)G交CD于點M，且∠ACB=∠CDH=∠AGF，以下結(jié)論：①DH⊥AC；②ΔAOB是等邊三角形；③FD+FG=AC；④GF//BD；⑤MG=12AG其中正確結(jié)論的序號是
( )
A. ①③④B. ①③⑤C. ②④⑤D. ①③④⑤
【答案】A
【解析】【分析】
本題主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握利用平行四邊形的性質(zhì)證明線段相等思路與方法；由余角的性質(zhì)可得∠DHC=90°，即DH⊥AC，即可對結(jié)論①作出判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OA=OB，根據(jù)BC=2AB得出∠ACB≠30°，∠BAC≠60°，即可對結(jié)論②作出判斷；延長GF交BC于點N，先證四邊形BDGN是平行四邊形，可得BD=NG=AC，由“AAS”可證△CDF≌△CNF，得出DF=NF，即可對結(jié)論③作出判斷；由NG/?/BD，即可對結(jié)論④作出判斷；首先由△CDF≌△CNF(AAS)可得CD=CN，設(shè)AB=k(k>0)，則CD=CN=AB=k，BC=2AB=2k，BN=BC?CN=2k?k=k，根據(jù)四邊形BDGN是平行四邊形，得出DG=BN=k，進而得出DG=CN，AG=AD+DG=2k+k=3k，然后證明△MDG=≌△MCNASA，得出MG=MN=12GN=12BD=12AC，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，根據(jù)勾股定理可得AC= AB2+BC2= k2+2k2= 5k，進一步得出MG=12AC= 52k，即可對結(jié)論⑤作出判斷．
【解答】
解：①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∴∠BCA+∠ACD=90°，
∵∠ACB=∠CDH，
∴∠CDH+∠ACD=90°，
∴∠DHC=180°?(∠CDH+∠ACD)=90°，
∴DH⊥AC，故結(jié)論①正確；
②∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，BC=2AB，AC= AB2+BC2= AB2+2AB2= 5AB，
∴∠ACB≠30°，∠BAC≠60°，
∴△OAB是等腰三角形，但不是等邊三角形.故結(jié)論②錯誤；
③延長GF交BC于點N，如圖：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OC，DG/?/BC，AC=BD，AD=BC，
∴∠OBC=∠OCB，∠AGF=∠CNG，
∵∠ACB=∠CDH=∠AGF，
∴∠CNG=∠OBC，∠CDH=∠CNM，
∴NG//BD，
又∵DG//BN，
∴四邊形BDGN是平行四邊形，
∴NG=BD=AC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠FCD=∠FCN，
在△CDF和△CNF中，
∠CDF=∠CNF∠FCD=∠FCNCF=CF,
∴△CDF≌△CNF(AAS)，
∴FD=FN，
∴NG=FN+FG=FD+FG，
∴FD+FG=AC.故結(jié)論③正確；
∵NG//BD，
∴GF//BD，故結(jié)論④正確；
由△CDF≌△CNF(AAS)可得CD=CN，
設(shè)AB=k(k>0)，則CD=CN=AB=k，BC=2AB=2k，
∴BN=BC?CN=2k?k=k，
∵四邊形BDGN是平行四邊形，
∴DG=BN=k，
∴DG=CN，AG=AD+DG=2k+k=3k，
∵DG//CN，
∴∠MDG=∠MCN，∠MGD=∠MNC，
在△MDG和△MCN中，
∠MDG=∠MCNDG=CN∠MGD=∠MNC,
∴△MDG=≌△MCNASA，
∴MG=MN=12GN=12BD=12AC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，根據(jù)勾股定理可得AC= AB2+BC2= k2+2k2= 5k，
∴MG=12AC= 52k，
∴MGAG= 52k3k= 56，
∴MG= 56AG．
故結(jié)論⑤錯誤；
綜上所述，正確結(jié)論的序號是①③④．
故選：A．
題型05 梯形的相關(guān)計算問題
【解題策略】
等腰梯形性質(zhì)：1）等腰梯形的兩底平行，兩腰相等；
2）等腰梯形的同一底邊上的兩個角相等；
3）等腰梯形的兩條對角線相等；
4）等腰梯形是軸對稱圖形（底邊的中垂線就是它的對稱軸）.
等腰梯形判定：1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；
2）同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；
3）對角線相等的梯形是等腰梯形.
【解題思路】判定一個四邊形是等腰梯形,必須先判定四邊形是梯形,再證明同一底邊上的兩個角相等或兩腰相等或兩條對角線相等.
梯形的面積公式：S=12×（上底+下底）×高
解決梯形問題的常用方法（如下圖所示）：
1）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中；
2）“平移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中.
3）“延長兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個三角形.
4）“等積變形”：連接梯形上底一端點和另一腰中點，并延長交下底的延長線于一點，構(gòu)成三角形．并且這個三角形面積與原來的梯形面積相等.
5）平移腰.過上底端點作一腰的平行線，構(gòu)造一個平行四邊形和三角形.
6）過上底中點平移兩腰.構(gòu)造兩個平行四邊形和一個三角形.
【典例分析】
例1.（2023·黑龍江模擬）如圖，四邊形ABDC中，∠ABC=∠BCD=90°，∠ACD=2∠D，AC+1=BC+CD，AB=3，則線段BD的長 ．
【答案】25
【分析】作∠BDE=∠BDC， DE交AB延長線于點E，作DF⊥AE于點F，得到四邊形BCDF是矩形，四邊形ACDE是等腰梯形，設(shè)BC=x，CD=y，則DF=x，BF=y，推出AC=x+y?1=DE=BE，得到BE=BF+EF=y+3，解方程x+y?1=y+3，求得x=4，在Rt△ABC和Rt△ADC中，利用勾股定理即可求解．
【詳解】解：作∠BDE=∠BDC， DE交AB延長線于點E，作DF⊥AE于點F，
則∠CDE=2∠BDC=∠ACD，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AE∥CD，且四邊形BCDF是矩形，
∴∠A+∠ACD=180°，∠E+∠CDE=180°，
∴∠E=∠A，
∴四邊形ACDE是等腰梯形，則AC=DE，EF=AB=3，
∵AE∥CD，∠BDE=∠BDC，
∴∠BDE=∠BDC=∠DBE，
∴BE=DE，
設(shè)BC=x，CD=y，則DF=x，BF=y，
∵AC+1=BC+CD，
∴AC=x+y?1=DE=BE，
而BE=BF+EF=y+3，
∴x+y?1=y+3，
∴x=4，即BC=4，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=32+42=5=x+y?1，
∴y=2，即CD=2，
在Rt△ADC中，CD=2，BC=4，
∴BD=22+42=25．
故答案為：25．
【點睛】本題考查了勾股定理，矩形、梯形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．
【變式演練】
1.（2023·上海模擬）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，點E為BC延長線上一點，∠ADB=∠CDE，點F在BD上，聯(lián)結(jié)CF．

(1)求證：AD?DE=AC?DC；
(2)如果AD?CE=DF?DB，求證：四邊形DFCE為梯形．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）根據(jù)題意得四邊形ABCD是等腰梯形，由等腰梯形的性質(zhì)和已知條件可證明△DAB∽△DCE，根據(jù)相似比及等量替換即可求解；
（2）由（1）中相似三角形可得對應邊的相似比，根據(jù)給定條件和等腰梯形的性質(zhì)，可證明△DBC∽△DCF，可得對應角相等，根據(jù)平行的性質(zhì)和相似的性質(zhì)，對相關(guān)角度進行等量替換，即可證明FC∥DE，即可證明結(jié)論成立．
【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，AB=CD
∴四邊形ABCD是等腰梯形
∴∠DAB=∠ADC,AC=DB
∵AD∥BC
∴∠DCE=∠ADC
∴∠DAB=∠DCE
又∵∠ADB=∠CDE
∴△DAB∽△DCE
∴ADDC=DBDE，即AD?DE=DB?DC
又∵AC=DB
∴AD?DE=AC?DC
（2）∴△DAB∽△DCE
∴ADDC=ABCE，即AD?CE=AB?DC
∵AD?CE=DF?DB
∴AB?DC=DF?DB
∵AB=CD
∴CD?CD=DF?DB，即DCDB=DFDC，
又∵∠CDF=∠BDC
∴△DBC∽△DCF
∴∠DBC=∠DCF
∵AD∥BC
∴∠DBC=∠ADB
∵∠ADB=∠EDC
∴∠DCF=∠EDC
∴FC∥DE
∵FC≠DE
∴四邊形DFCE為梯形．
【點睛】本題主要考查等腰梯形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)證明三角形相似，得出對應邊成比例，由對應邊成比例及夾角相等亦可得出三角形相似．
、
1．（2023·山東）如圖，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=44°，則∠2的度數(shù)為（ ）

A．14°B．16°C．24°D．26°
【答案】B
【分析】如圖，求出正六邊形的一個內(nèi)角和一個外角的度數(shù)，得到∠4=60°,∠2+∠5=120°，平行線的性質(zhì)，得到∠3=∠1=44°，三角形的外角的性質(zhì)，得到∠5=∠3+∠4=104°，進而求出∠2的度數(shù)．
【詳解】解：如圖：

∵正六邊形的一個外角的度數(shù)為：360°6=60°，
∴正六邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為：180°?60°=120°，
即：∠4=60°,∠2+∠5=120°，
∵一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，∠1=44°，
∴∠3=∠1=44°，
∴∠5=∠3+∠4=104°，
∴∠2=120°?∠5=16°；
故選B．
【點睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和、外角和的綜合應用，平行線的性質(zhì)．熟練掌握多邊形的外角和是360°，是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·西藏）如圖，兩張寬為3的長方形紙條疊放在一起，已知∠ABC=60°，則陰影部分的面積是（ ）

A．92B．33C．932D．63
【答案】D
【分析】首先過點B作BE⊥AD于點E，BF⊥CD于點F，由題意可得四邊形ABCD是平行四邊形，繼而求得AB=BC的長，判定四邊形ABCD是菱形，則可求得答案．
【詳解】過點B作BE⊥AD于點E，BF⊥CD于點F，

根據(jù)題意得：AD∥BC，AB∥CD，BE=BF=3，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AB=2AE，BC=2CF，
∵AB2=AE2+BE2，BE=3，
∴AB=23，
同理： BC=23，
∴AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AD=23，
∴S菱形ABCD=AD×BE=63．
故選：D．
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵在于掌握菱形判定定理和作輔助線．
3.（2023·吉林）（平行四邊形的判定）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是( )
A. AB // DC，AD // BCB. AB=DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB=DC，AD // BC
【答案】D
【解析】【分析】
本題考查了平行四邊形的判定：(1)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．(3)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．(4)兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．(5)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．根據(jù)平行四邊形判定定理進行判斷．
【解答】
解：A.由“AB//DC，AD//BC”可知，四邊形ABCD的兩組對邊互相平行，則該四邊形是平行四邊形．故本選項不符合題意；
B.由“AB=DC，AD=BC”可知，四邊形ABCD的兩組對邊相等，則該四邊形是平行四邊形．故本選項不符合題意；
C.由“AO=CO，BO=DO”可知，四邊形ABCD的兩條對角線互相平分，則該四邊形是平行四邊形．故本選項不符合題意；
D.由“AB=DC，AD // BC”可知，四邊形ABCD的一組對邊平行，另一組對邊相等，據(jù)此不能判定該四邊形是平行四邊形．故本選項符合題意；
故選D．
4．（2023·山東）如圖，點C為線段AB上一點，分別以AC,BC為等腰三角形的底邊，在AB的同側(cè)作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在線段EC上取一點F，使EF=AD，連接BF,DE．

(1)如圖1，求證：DE=BF；
(2)如圖2，若AD=2，BF的延長線恰好經(jīng)過DE的中點G，求BE的長．
【答案】(1)見解析
(2)BE=2+22．
【分析】（1）證明CD∥BE，推出∠DCE=∠BEF，利用SAS證明△DCE≌△FEB即可證明結(jié)論成立；
（2）取CE的中點H，連接GH，證明GH是△FCD的中位線，設(shè)BE=a，則FH=12a?2，證明△FGH∽△FBE，得到GHBE=FHEF，即a2?4a?4=0，解方程即可求解．
【詳解】（1）證明：∵等腰△ACD和等腰△BCE，
∴AD=CD，EC=EB，∠A=∠DCA，
∵∠A=∠CBE，
∴∠DCA=∠CBE，
∴CD∥BE，
∴∠DCE=∠BEF，
∵EF=AD，
∴EF=CD，
在△DCE和△FEB中，CD=EF∠DCE=∠FEBEC=EB，
∴△DCE≌△FEBSAS，
∴DE=BF；
（2）解：取CE的中點H，連接GH，

∵點G是DE的中點，
∴GH是△FCD的中位線，
∴GH=12CD=12AD=1，GH∥CD，
設(shè)BE=a，則CH=EH=12CE=12BE=12a，
∵EF=AD=2，
∴FH=12a?2，
∵CD∥BE，
∴GH∥BE，
∴△FGH∽△FBE，
∴GHBE=FHEF，即1a=12a?22，
整理得a2?4a?4=0，
解得a=2+22（負值已舍），
經(jīng)檢驗a=2+22是所列方程的解，且符合題意，
∴BE=2+22．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題．
5.（2023·湖北）在平面直角坐標系中，已知A(?2,3)，B(2,?1)，C(4,4)，若以點A、B、C、D為頂點四邊形是平行四邊形，則點D的坐標為______．
【答案】(8,0)或(?4,?2)或(0,8)
【解析】解：分三種情況：①BC為對角線時，點D的坐標為(8,0)
②AB為對角線時，點D的坐標為(?4,?2)，
③AC為對角線時，點D的坐標為(0,8)
綜上所述，點D的坐標可能是(8,0)或(?4,?2)或(0,8)
故答案為：(8,0)或(?4,?2)或(0,8)．
分三種情況：①BC為對角線時，②AB為對角線時，③AC為對角線時；由平行四邊形的性質(zhì)容易得出點D的坐標．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
6．（2023·上海）已知在梯形ABCD中，連接AC，BD，且AC⊥BD，設(shè)AB=a,CD=b．下列兩個說法：
①AC=22a+b；②AD=22a2+b2
則下列說法正確的是（ ）
A．①正確②錯誤B．①錯誤②正確C．①②均正確D．①②均錯誤
【答案】D
【分析】根據(jù)已知及結(jié)論，作出圖形，進而可知當梯形ABCD為等腰梯形，即AD=BC，AB∥CD時，①AC=22a+b；②AD=22a2+b2，其余情況得不出這樣的結(jié)論，從而得到答案．
【詳解】解：過B作BE∥CA，交BC延長線于E，如圖所示：

若梯形ABCD為等腰梯形，即AD=BC，AB∥CD時，
∴四邊形ACEB是平行四邊形，
∴CE=AB,AC=BE，
∵AB∥DC，
∴∠DAB=∠CBA，
∵AB=AB，
∴△DAB≌△CBASAS
∴AC=BD，即BD=BE，
又∵ AC⊥BD，
∴ BE⊥BD，
在Rt△BDE中，BD=BE，AB=a,CD=b，則DE=DC+CE=b+a，
∴AC=BE=DE2=22DE=22a+b，此時①正確；
過B作BF⊥DE于F，如圖所示：

在Rt△BFC中，BD=BE，AB=a,CD=b，DE=b+a，則BF=FE=12DE=12a+b，F(xiàn)C=FE?CE=12a+b?a=12b?a，
∴BC=BF2+FC2=a+b22+b?a22 =22a2+b2，此時②正確；
而題中，梯形ABCD是否為等腰梯形，并未確定；梯形ABCD是AB∥CD還是AD∥BC，并未確定，
∴無法保證①②正確，
故選：D．
【點睛】本題考查梯形中求線段長，涉及梯形性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)幾何判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．

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