【解題策略】
【典例分析】
例1.（2023·廣東模擬）如圖，已知∠MAN，點(diǎn)B在射線AM上．
(1)尺規(guī)作圖：
①在AN上取一點(diǎn)C，使BC=BA；
②作∠MBC的平分線BD.(保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)在(1)的條件下，求證：BD//AN．
例2.（2023·全國）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°．
(1)在斜邊AC上求作線段AO，使AO=BC，連接OB；(要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)
(2)若OB=2，求AB的長．
【變式演練】
1.（2023·江蘇模擬）如圖，P為∠AOB外一點(diǎn)，用兩種不同的方法過點(diǎn)P作直線l交OA，OB于點(diǎn)M，N，使得PM=MN.(要求：用直尺和圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)
2.（2024·云南模擬）有這樣一個(gè)作圖題目：畫一個(gè)平行四邊形ABCD，使AB=3cm，BC=2cm，AC=4cm．
下面是小紅同學(xué)設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．
作法：如圖，
①作線段AB=3cm，
②以A為圓心，4cm為半徑作弧，以B為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；
③再以C為圓心，3cm為半徑作弧，以A為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D；
④連結(jié)AD，BC，CD．
所以四邊形ABCD即為所求作平行四邊形．
根據(jù)小紅設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程．
(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)
(2)完成下列證明．
證明：
∵以A為圓心，4cm為半徑作弧，以B為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，
∴BC=______cm，AC=______cm．
∵以C為圓心，3cm為半徑作弧，以A為圓心，2cm為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，
∴CD=3cm.AD=2cm．
又∵AB=3cm，
∴AB=CD，AD=______．
∴四邊形ABCD是平行四邊形(______)(填推理依據(jù))．
題型02 作一個(gè)角等于已知角
【解題策略】
【典例分析】
例1.（2023·廣東模擬）作圖與計(jì)算．
(1)已知：如圖，∠α，∠AOB．
求作：以O(shè)A為一邊，在∠AOB的內(nèi)部作∠AOC=∠α(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；
(2)過點(diǎn)O分別引射線OA，OB，OC，且∠AOB=65°，∠BOC=30°，求∠AOC的度數(shù)．
【變式演練】
1.（2023·福建模擬）如圖，點(diǎn)M在∠AOB的邊OB上．
(1)過點(diǎn)M畫線段MC⊥AO，垂足是C；
(2)過點(diǎn)C作∠ACF=∠O.(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡)
題型03 作一個(gè)角的平分線
【解題策略】
【典例分析】
例1.（2023·河南）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AD=AB．
(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線(保留作圖痕跡，不寫作法)；
(2)若(1)中所作的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E，連接DE.求證：DE=BE．
【變式演練】
1..（2023·寧夏模擬）如圖，AE/?/BF，AC平分∠BAE，且交BF于點(diǎn)C．
(1)作∠ABF的平分線交AE于點(diǎn)D(尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法)；
(2)根據(jù)(1)中作圖，連接CD，求證：四邊形ABCD是菱形．
2.（2023·廣東模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．
(1)用尺規(guī)作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D(保留作圖痕跡，不寫作法)；
(2)在(1)的前提下，若AD=10，求CD的長度．
題型04 作一條線段的垂直平分線
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023·陜西）如圖，已知銳角△ABC，∠B=48°.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在△ABC內(nèi)部求作一點(diǎn)P，使PB=PC，且∠PBC=24°.(保留作圖痕跡，不寫作法)
【變式演練】
1.（2023·廣西模擬）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形．
(1)尺規(guī)作圖；作對(duì)角線AC的垂直平分線MN(保留作圖痕跡)；
(2)若直線MN分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求證：四邊形AFCE是菱形．
2.（2023·寧夏模擬）如圖，AD是△ABC的角平分線．
(1)作線段AD的垂直平分線EF，分別交AB、AC于點(diǎn)E、F；(用直尺和圓規(guī)作圖，標(biāo)明字母，保留作圖痕跡，不寫作法．)(2)連接DE、DF，求證：四邊形AEDF是菱形．
題型05 過一點(diǎn)作已知直線的垂線
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023·湖北模擬）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)．
⑴過點(diǎn)E作CD的垂線，垂足為點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)F(尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法)；
⑵根據(jù)(1)中作圖，連接DF，若AC=BC，求證：四邊形DECF是菱形．
【變式演練】
1.（2023·福建模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=22.5°.以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑作圓，延長BA交⊙C于點(diǎn)D．
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)C1；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)的條件下，連接C1D，證明：直線C1D與⊙C相切．
1.（2023·廣東）在所給的圖形中，根據(jù)以下步驟完成作圖：
(1)尺規(guī)作圖：在線段AD的延長線上截取DE=AD；
(2)連接BE，交線段CD于點(diǎn)F；
(3)作射線AF，交線段BC的延長線于點(diǎn)G．
2.（2022·陜西）如圖，已知△ABC，AC>AB，∠C=45°.請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)P，使∠PBC=45°.(保留作圖痕跡．不寫作法)
3.（2021·四川）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3．
(1)尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡．
①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點(diǎn)D；
②過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E．
(2)在(1)作出的圖形中，求DE的長．
4.（2021·山東）如圖，已知△ABC.求作：⊙O，使它經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，并且圓心O在∠A的平分線上．
5.（2020·福建）如圖△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D，求作∠ABC的平分線，分別交AD，AC于P，Q兩點(diǎn)；并證明AP=AQ。(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)
6.（2019·江蘇）如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=8．
(1)用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)
(2)若(1)中所作的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，求BD的長．
7.（2020·廣東）如圖，在△ABC中，AB=BC，∠B=120°．
(1)用直尺和圓規(guī)作出AB的垂直平分線，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N(保留作圖痕跡，不寫作法)；(2)猜想CM與AM之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
8.（2022·廣東）如圖，△ABD中，∠ABD=∠ADB．
(1)作點(diǎn)A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C；(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
(2)在(1)所作的圖中，連接BC，DC，連接AC，交BD于點(diǎn)O．
①求證：四邊形ABCD是菱形；
②取BC的中點(diǎn)E，連接OE，若OE=132，BD=10，求點(diǎn)E到AD的距離．
類型
圖示
步驟
作圖依據(jù)
作一條線段等于已知線段
O A P
（1）畫射線OP
（2）在射線OP上截取OA=a
圓上的點(diǎn)到圓心的距離等于半徑
類型
圖示
步驟
作圖依據(jù)
作一個(gè)角等于已知角
以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C,D
畫一條射線PO，以點(diǎn)P為圓心，OC長為半徑畫弧，交PO于點(diǎn)C′
以P為圓心，CD長為半徑畫弧，與第（2）步中所畫的弧相交于點(diǎn)D′
過點(diǎn)P、P畫射線PB′，則∠B′PO=
∠BOC
三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線
類型
圖示
步驟
作圖依據(jù)
作一個(gè)角的平分線
步驟：
1.以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑畫弧，
分別交OA、OB于點(diǎn)N、M；
2.分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，
相交于點(diǎn)P；
3.畫射線OP,OP即為所求角平分線
三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等；兩點(diǎn)確定一條直線
類型
圖示
步驟
作圖依據(jù)
4.作一條垂直平分線
1. 分別以點(diǎn) A、B 為圓心，以大于 AB 的長為半徑作弧，兩弧相交于 C、D 兩點(diǎn)；
2. 作直線 CD，CD 為所求直線
到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上；兩點(diǎn)確定一條直線
類型
圖示
步驟
作圖依據(jù)
5.過一個(gè)點(diǎn)作已知直線的垂線
點(diǎn)在直線上
以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交直線于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)；
分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，兩弧分別交于點(diǎn)P、C；
作直線PC，直線PC即為所求作的垂線
等腰三角形“三線合一”；兩點(diǎn)確定一條直線
點(diǎn)在直線外
在直線另一側(cè)去點(diǎn)M；
以點(diǎn)P為圓心，PM長為半徑畫弧，交直線l于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)；
分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)Q；
作直線PQ，直線PQ即為所求作的垂線

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