【解題策略】
【典例分析】
【例1】（2023·遼寧模擬）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是BA延長線上一點(diǎn)，直線PE切⊙O于點(diǎn)Q，連接BQ．
(1)∠QBP=25°，求∠P的度數(shù)；
(2)若PA=2，PQ=4，求⊙O的半徑．
【例2】（2023·全國模擬）
如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上一點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB.直線AB與⊙O具有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．
【變式演練】
1.（2023·山西模擬）
如圖，⊙O的直徑AB=6，C為圓周上一點(diǎn)，AC=3，過點(diǎn)C作⊙O的切線l，過點(diǎn)B作l的垂線BD，垂足為D，BD與⊙O交于點(diǎn)E．
(1)求∠AEC的度數(shù)；
(2)求證：四邊形OBEC是菱形．
2.（2023·河北模擬）如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠ACB=2∠BAC．
(1)求證：∠AOB=2∠BOC；
(2)若AB=4，BC= 5.求⊙O的半徑．
題型02 利用勾股定理或三角函數(shù)求線段長（方法一）
【解題策略】
【典例分析】
【例1】（2023·寧夏模擬）如圖△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，以點(diǎn)D為圓心，BD為半徑作⊙D交AB于點(diǎn)E．
(1)求證：⊙D與AC相切；
(2)若AC=5，BC=3，試求AE的長．
【變式演練】
1.（2023·江蘇模擬）
如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，D是AB?的中點(diǎn)，CD與AB交于點(diǎn)E．F是AB延長線上的一點(diǎn)，且CF=EF．
(1)求證：CF為⊙O的切線．
(2)連接BD，取BD的中點(diǎn)G，連接AG.若CF=4，BF=2，求AG的長．
2.（2023·廣東模擬）
如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，D在AB的延長線上，且∠BCD=∠A.
(1)求證：CD是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為3，CD=4，求BD的長．
題型03 利用相似三角形的性質(zhì)求線段長（方法二）
【解題策略】
【典例分析】
【例1】（2023·湖北模擬）如圖，已知Rt△ABC，∠C=90°，D為BC的中點(diǎn)，以AC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)E．
(1)求證：DE是⊙O的切線；
(2)若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的長．
【變式演練】
1.（2023·河南模擬）
如圖，點(diǎn)O在△ABC的邊AB上，⊙O與邊AC相切于點(diǎn)E，與邊BC，AB分別交于點(diǎn)D，F(xiàn)，且DE=EF．
(1)求證：∠C=90°；
(2)當(dāng)BC=3，AC=4時(shí)，求⊙O半徑的長．
2.（2023·江蘇模擬）
如圖，AB 為⊙O直徑，C 為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是BC⌒的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F.
(1)求證：DE 是⊙O的切線；
(2)若OF=4，求AC 的長度．
題型04 利用等面積法求線段長（方法三）
【解題策略】
【典例分析】
【例1】（2023·云南模擬）已知：如圖，AB為⊙O的直徑，AB=AC，⊙O交BC于D，DE⊥AC于E．
(1)請判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明；
(2)連接AD，若⊙O的半徑為52，AD=3，求DE的長．
【變式演練】
1.（2023·福建模擬）如圖，△ABD是⊙O的內(nèi)接三角形，E是弦BD的中點(diǎn)，點(diǎn)C是⊙O外一點(diǎn)，且∠DBC=∠A=60°，連接OE并延長與⊙O相交于點(diǎn)F，與BC相交于點(diǎn)C．
(1)求證：BC是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為6cm，求弦BD的長．
題型05 與圓有關(guān)的陰影部分面積的計(jì)算
【解題策略】
【典例分析】
【例1】（2023·山東模擬）
如圖，四邊形ABCD中，AD // BC，∠BAD=90°，CB=CD，連接BD，以點(diǎn)B為圓心，BA長為半徑作⊙B，交BD于點(diǎn)E．
(1)試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)若AB=2 3，∠BCD=60°，求圖中陰影部分的面積．
【例2】（2023·廣東模擬）
如圖所示，CE是⊙O的直徑，AC為⊙O的切線，D為⊙O上的一點(diǎn)，∠DCE=12∠A，延長AD交CE的延長線于點(diǎn)B，連接CD.若BE=OE=6．
(1)求證：AD為⊙O的切線；
(2)求圖中陰影部分的面積．
【變式演練】
1.（2023·安徽模擬）
如圖，AB為圓O的直徑，C，E為圓O上的兩點(diǎn)，AC平分∠EAB，CF⊥AB于F，CD⊥AE于D．
(1)求證：CD為圓O的切線；
(2)若AD?OA=1.5，AC=3 3，求圖中陰影部分的面積．
2.（2023·遼寧模擬）
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O與BC，AC分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，BO平分∠ABC，連接OA．
(1)求證：AB是⊙O的切線；
(2)若BE=AC=3，⊙O的半徑是1，求圖中陰影部分的面積．
3.（2023·湖北模擬）如圖，PA是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，AC是⊙O的直徑，點(diǎn)B是⊙O的上一點(diǎn)，且OP//BC，OP交⊙O于點(diǎn)D．
(1)求證：PB是⊙O的切線；
(2)若AC=OP=4，求陰影部分的面積．
1.（2023·湖北）如圖，已知AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，AD垂直于過點(diǎn)C的直線，交⊙O于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D，AC平分∠BAD．
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)若AC=8，BC=6，求DE的長．
2.（2023·湖南）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn).在AB的延長線上取一點(diǎn)D，連接CD，使∠BCD=∠A．
(1)求證：直線CD是⊙O的切線；
(2)若∠ACD=120°，CD=2 3，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果用含π的式子表示)．
3.（2023·浙江）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)O在邊AC上，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的半圓與斜邊AB相切于點(diǎn)D，交OA于點(diǎn)E，連結(jié)OB．
(1)求證：BD=BC．
(2)已知OC=1，∠A=30°，求AB的長．
4.（2023·四川）如圖，CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)P是CD延長線上一點(diǎn)，DE⊥AP，垂足為點(diǎn)E，∠EAD=∠FAD．
(1)求證：AE是⊙O的切線；
(2)若PA=4，PD=2，求⊙O的半徑和DE的長．
5.（2023·江蘇）如圖，等腰三角形OAB的頂角∠AOB=120°，⊙O和底邊AB相切于點(diǎn)C，并與兩腰OA，OB分別相交于D，E兩點(diǎn)，連接CD，CE．
(1)求證：四邊形ODCE是菱形；
(2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
6.（2023·四川）如圖，以△ABC的邊AC為直徑作⊙O，交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE/?/AB交⊙O于點(diǎn)E，連接AD，DE，∠B=∠ADE．
(1)求證：AC=BC；
(2)若tanB=2，CD=3，求AB和DE的長．
7.（2023·湖北）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，E在⊙O上，∠CAB=2∠EAB，點(diǎn)F在線段AB的延長線上，且∠AFE=∠ABC．
(1)求證：EF與⊙O相切；
(2)若BF=1，sin∠AFE=45，求BC的長．
8.（2023·山東）如圖，AC為四邊形ABCD的對角線，∠CAD=60°，∠ACD=35°，∠ACB=90°，△ABC的外接圓交CD于點(diǎn)E，AC所對的圓心角的度數(shù)為120°．
(1)求證：AD是△ABC的外接圓的切線；
(2)若△ABC的外接圓的半徑為3，求CE的長．
方法技巧
常見模型（知識提煉）
圖示
技巧點(diǎn)撥
1.有直徑構(gòu)造直角
有30°，構(gòu)造直角三角形.
有直徑，構(gòu)直角.
2.圓中易得等腰三角形
圓中易得等腰三角形；
3.有平行四邊形，易得含60°的菱形
以兩半徑為鄰邊的平行四邊形，必為含60°的菱形.
4.含直徑為腰的等腰三角形，易得三線合一
含直徑為腰的等腰三角形，易得三線合一；
5.有中點(diǎn)，得垂直
有中點(diǎn)，連圓心，構(gòu)垂徑定理.
6.連接圓心的線段易為中位線
連接圓心的線段易為中位線.
方法技巧
（1）勾股定理最簡單的應(yīng)用，就是在一個(gè)直角三角形中已知其中兩條邊的長度，求另外一條邊；
另外，有時(shí)候也結(jié)合勾股定理通過設(shè)未知數(shù)的方法來計(jì)算線段的長度。
比如，在△ABC中，∠C=90度，其中AC+BC=7，AB=5，那么我們就可以設(shè)AC的長度為x，這樣一來，BC就等于7-x，根據(jù)勾股定理就可以建立方程：x2+(7-x)2=25,解這個(gè)方程就可以得到另外兩條邊的長度。
（2）在△ABC中，∠C=90°,
∠A的正弦sin A=,∠A的余弦cs A=,∠A的正切tan A=.
方法技巧
當(dāng)要求的線段在一般三角形中，還可以通過相似三角形的性質(zhì)來求解。初中階段我們常用的相似三角形分為“A”型、 “X”型或一般相似三角形，“A”型和“X”型相似常常伴隨著平行線產(chǎn)生，也就是說如果題目中出現(xiàn)了平行線，那么很可能就會(huì)有相似三角形產(chǎn)生，如果有相似三角形，那就可以利用相似的性質(zhì)進(jìn)行線段長度的求解了；
直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形與原三角形相似.補(bǔ)充:若CD為Rt△ABC斜邊上的高(如圖),則Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD，且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB.
等面積法：
1．解答本考點(diǎn)的有關(guān)題目，關(guān)鍵在于掌握扇形的面積公式同時(shí)注意以下要點(diǎn)：
（1）切線的性質(zhì)和判定；
（2）求不規(guī)則的圖形（陰影部分）的面積，可以設(shè)法轉(zhuǎn)化成幾個(gè)規(guī)則的圖形的面積的和或者差來求.
2．計(jì)算扇形面積的有關(guān)要點(diǎn)
（1）求扇形陰影面積的主要思路是將不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積.
（2）求扇形陰影面積常用的方法：①直接用公式法； ②和差法； ③割補(bǔ)法.
（3）求弧長或扇形的面積問題常結(jié)合圓錐考查，解這類問題只要抓住圓錐側(cè)面展開即為扇形，而這個(gè)扇形的弧長等于原圓錐底面的周長，扇形的半徑等于原圓錐的母線長.注意不要混淆圓錐的底面半徑和圓錐展開后的扇形半徑兩個(gè)概念.
3．方法解讀：
（1）和差法：所求面積的圖形是一個(gè)不規(guī)則圖形，可將其轉(zhuǎn)化變成多個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差，進(jìn)行求解.
① 直接和差法：
S陰影=S△AOB-S扇形COD S陰影=S半圓AB-S△AOB S陰影=S△ACB-S扇形CAD S陰影=S扇形BAD-S半圓AB
S陰影=S扇形EAF-S△ADE
② 構(gòu)造和差法：
S陰影=S扇形AOC+S△BOC S陰影=S△ODC-S扇形DOE
S陰影=S扇形AOB-S△AOB S陰影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD
（2）割補(bǔ)法：直接求面積較復(fù)雜或無法計(jì)算時(shí),可通過旋轉(zhuǎn)、平移、割補(bǔ)等方法,對圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化,為利用公式法或和差法創(chuàng)造條件,從而求解.
① 全等法
S陰影=S△AOB S陰影=S扇形BOC
S陰影=S矩形ACDF S陰影=S正方形PCQE
② 等面積法
S陰影=S扇形COD

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