【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023年廣東）負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》中，如果把收入5元記作+5元，那么支出5元記作( )
A. ?5元B. 0元C. +5元D. +10元
【變式演練】
1．（2023年浙江）某一天，哈爾濱、北京、杭州、金華四個(gè)城市的最低氣溫分別是?20℃，?10℃，0℃，2℃，其中最低氣溫是( )
A. ?20℃B. ?10℃C. 0℃D. 2℃
2．（2023年江蘇）下列數(shù)中，屬于負(fù)數(shù)的是( )
A. 2023B. ?2023C. 12023D. 0
題型02 相反數(shù)、絕對(duì)值與倒數(shù)
【解題策略】
【典例分析】
例1．（相反數(shù)）（2023年安徽）?5的相反數(shù)是( )
A. ?5B. ?15C. 15D. 5
例2．（絕對(duì)值）（2023年湖北）?2023的絕對(duì)值等于( )
A. 2023B. ?2023C. 12023D. ?12023
例3．（倒數(shù)）（2023年四川）?2023的倒數(shù)為( )
A. 2023B. 12023C. ?2023D. ?12023
【變式演練】
1．（2023年遼寧）2023的相反數(shù)是( )
A. ?12023B. 12023C. ?2023D. 2023
2．（2023年遼寧）?2023的絕對(duì)值是( )
A. 2023B. ?2023C. 12023D. ?12023
3．（2023年湖北）1? 2的絕對(duì)值是( )
A. 1? 2B. 2?1C. 1+ 2D. ±( 2?1)
4．（2023年遼寧）?12的倒數(shù)是( )
A. ?2B. 2C. ?12D. 12
題型03 科學(xué)計(jì)數(shù)法
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023年·湖南）新時(shí)代我國(guó)教育事業(yè)取得了歷史性成就，目前我國(guó)已建成世界上規(guī)模最大的教育體系，教育現(xiàn)代化發(fā)展總體水平跨入世界中上國(guó)家行列，其中高等教育在學(xué)總規(guī)模達(dá)到4430萬(wàn)人，處于高等教育普及化階段.4430萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 443×105B. 4.43×107C. 4.43×108D. 0.443×108
例2．（2023年·山東）芯片內(nèi)部有數(shù)以?xún)|計(jì)的晶體管，為追求更高質(zhì)量的芯片和更低的電力功耗，需要設(shè)計(jì)體積更小的晶體管．目前，某品牌手機(jī)自主研發(fā)了最新型號(hào)芯片，其晶體管柵極的寬度為0.000000014米，將數(shù)據(jù)0.000000014用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 1.4×10?8B. 14×10?7C. 0.14×10?6D. 1.4×10?9
【變式演練】
1．（2023·福建）黨的二十大報(bào)告指出，我國(guó)建成世界上規(guī)模最大的教育體系、社會(huì)保障體系、醫(yī)療衛(wèi)生體系，教育普及水平實(shí)現(xiàn)歷史性跨越，基本養(yǎng)老保險(xiǎn)覆蓋十億四千萬(wàn)人，基本醫(yī)療保險(xiǎn)參保率穩(wěn)定在百分之九十五.將數(shù)據(jù)1040000000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 104×107B. 10.4×108C. 1.04×109D. 0.104×1010
2．（2023·四川）納米是表示微小距離的單位，1納米=0.000001毫米，而1毫米相當(dāng)于我們通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1納米是多么的小.中科院物理所研究員解思深領(lǐng)導(dǎo)的研究組研制出世界上最細(xì)的碳納米管一一直徑0.5納米.0.5納米相當(dāng)于0.0000005毫米，數(shù)據(jù)0.0000005用科學(xué)記數(shù)法可以表示為( )
A. 0.5×10?6B. 0.5×10?7C. 5×10?6D. 5×10?7
題型04 平方根、算術(shù)平方根、立方根
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023年·江蘇）4的平方根是______；8的立方根是______．
例2．（2023年·江蘇）實(shí)數(shù)9的算術(shù)平方根是( )
A. 3B. ±3C. 19D. ?9
【變式演練】
1．（2023·廣東）若x+3是4的平方根，y?1為?8的立方根，則x+y= ______ ．
2．（2023·山東）面積為9的正方形，其邊長(zhǎng)等于( )
A. 9的平方根B. 9的算術(shù)平方根
C. 9的立方根D. 9的算術(shù)平方根
題型05 二次根式有意義的條件
【解題策略】
一、二次根式及相關(guān)概念
1．二次根式：形如(a ≥0 )的式子叫做二次根式．
2．最簡(jiǎn)二次根式：最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿(mǎn)足以下條件：
（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；
（2）數(shù)被開(kāi)方數(shù)不含分母，被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因或因式．
3．同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成 最簡(jiǎn)二次根式 后，如果 被開(kāi)方數(shù) 相同，這幾個(gè)二次根式稱(chēng)為同類(lèi)二次根式．如eq \r(8)與eq \r(2)是同類(lèi)二次根式．同類(lèi)二次根式可以合并，合并同類(lèi)二次根式與合并同類(lèi)項(xiàng)類(lèi)似．
二、二次根式的性質(zhì)
（1）()2＝a(a≥0)．
（2）＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a（a≥0），,－a（a0)．
（5）雙重非負(fù)性：二次根式?eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(被開(kāi)方數(shù)a≥0,\r(a)≥0))
【典例分析】
例1．（2023年江蘇）若 x?3 有意義，則x的取值范圍是______；
【變式演練】
（2023年黑龍江）若式子 x+5x有意義，則x的取值范圍是______．
題型06 二次根式的估值
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023年·江蘇）如圖，數(shù)軸上A，B，C，D，E五個(gè)點(diǎn)分別表示數(shù)1，2，3，4，5，則表示數(shù) 10的點(diǎn)應(yīng)在( )
A. 線(xiàn)段AB上B. 線(xiàn)段BC上C. 線(xiàn)段CD上D. 線(xiàn)段DE上
【變式演練】
（2023年·北京）寫(xiě)出比 2大且比 15小的整數(shù) ．
題型07 分式的相關(guān)概念及性質(zhì)
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023·湖南模擬）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
例2．（2023·四川涼山）分式有意義的條件是（ ）
A．x＝－3B．x≠－3C．x≠3D．x≠0
【變式演練】
1．（2023年浙江模擬）分式的值為零，則x的值為………………………………………………（ ）
A.2 B.﹣2 C.±2 D.任意實(shí)數(shù)
題型08 因式分解
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023年·湖南）44.2a2與4ab的公因式為_(kāi)_____ ．
例2．（2023年·遼寧）因式分解：a3?a= ．
例3．（2023年·浙江）分解因式：x2?y2= ．
【變式演練】
1．（2023年·湖南）分解因式：a3+2a2b+ab2= ______ ．
2．（2023年·黑龍江）因式分解：x2+xy?xz?yz= ______ ．
3．（2023年·湖南）因式分解：x2?2x+1=_______．
題型09 數(shù)式規(guī)律與圖形規(guī)律
【解題策略】
【典例分析】
例1．(2023年云南9題)按照一定規(guī)律排列的單項(xiàng)第n個(gè)單項(xiàng)式是( )


例2．(2023·山東省棗莊市)按一定規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：12，?35，12，?717，926，?1137，….則按此規(guī)律排列的第10個(gè)數(shù)是( )
A. ?19101B. 21101C. ?1982D. 2182
例3．(2023·山西省)如圖是一組有規(guī)律的圖案，它由若干個(gè)大小相同的圓片組成．第1個(gè)圖案中有4個(gè)白色圓片，第2個(gè)圖案中有6個(gè)白色圓片，第3個(gè)圖案中有8個(gè)白色圓片，第4個(gè)圖案中有10個(gè)白色圓片，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有 個(gè)白色圓片(用含n的代數(shù)式表示)．
例4．(2023·四川省)觀察下列等式：
2+22=23?2;
2+22+23=24?2;
2+22+23+24=25?2;
2+22+23+24+25=26?2;?
已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：220，221，222，223，224，?，238，239，240，若220=m，則220+221+222+223+224+?+238+239+240=__________(結(jié)果用含m的式子表示)．
【變式演練】
1.（2023年云南模擬）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是( )
A. n2an+1B. n2an?1C. nnan+1D. (n+1)2an
2．(2023·江蘇省泰州市)按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：12，16，112，120，…，1a，190，1b(其中a，b為整數(shù))，則a+b的值為( )
A. 182B. 172C. 242D. 200
3．(2023·全國(guó))按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：5a，8a2，11a3，14a4，….則按此規(guī)律排列的第n個(gè)單項(xiàng)式為_(kāi)_____ .(用含有n的代數(shù)式表示)
4.(2023·貴州省六盤(pán)水市)如圖，每個(gè)圖案均由邊長(zhǎng)相等的黑、白兩色正方形按規(guī)律拼接而成，照此規(guī)律，第n個(gè)圖案中白色正方形比黑色正方形多______個(gè).(用含n的代數(shù)式表示)
……
1．（2023年四川）如果向東走10m記作+10m，那么向西走8m記作( )
A. ?10mB. +10mC. ?8mD. +8m
2．（2023年福建）某倉(cāng)庫(kù)記賬員為方便記賬，將進(jìn)貨10件記作+10，那么出貨5件應(yīng)記作______ ．
3．（2023年甘肅）近年來(lái)，我國(guó)科技工作者踐行“科技強(qiáng)國(guó)”使命，不斷取得世界級(jí)的科技成果.如由我國(guó)制的中國(guó)首臺(tái)作業(yè)型全海深自主遙控潛水器“海斗一號(hào)”，最大下潛深度10907米，填補(bǔ)了中國(guó)水下萬(wàn)米作業(yè)型無(wú)人潛水器的空白；由我國(guó)自主研發(fā)的極目一號(hào)Ⅲ型浮空艇“大白鯨”，升空高度至海拔9050米，創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界記錄.如果把海平面以上9050米記作“+9050米”，那么海平面以下10907米記作“______ ．
4．（2023年遼寧）?0.5的倒數(shù)是( )
A. ?2B. ?5C. 0.5D. ?12
5．（2023·浙江）實(shí)數(shù)?3的相反數(shù)是( )
A. ?13B. 13C. 3D. ?3
6．（2023·上海）計(jì)算：?｜?2｜= _________．
7．（2023·河南）2022年河南省出版的4.59億冊(cè)圖書(shū)，為貫徹落實(shí)黨的二十大關(guān)于深化全民閱讀活動(dòng)的重要精神，建設(shè)學(xué)習(xí)型社會(huì)提供了豐富的圖書(shū)資源.數(shù)據(jù)“4.59億”用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 4.59×107B. 45.9×108C. 4.59×108D. 0.459×109
8．（2023·黑龍江）納米是非常小的長(zhǎng)度單位，1nm=0.000000001m，把0.000000001用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 1×10?9B. 1×10?8C. 1×108D. 1×109
9．（2023·四川）?8的立方根為( )
A. ±4B. ±2C. ?2D. 不存在
10．（2023年遼寧）若代數(shù)式 x+2x?1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．
11．（2023年上海）當(dāng)x_________時(shí)，二次根式 1x?2有意義．
12．（2023·北京）估計(jì) 11的值在( )
A. 1和2之間B. 2和3之間C. 3和4之間D. 4和5之間
12．（2023·江蘇）不論x取何值，下列代數(shù)式的值不可能為0的是（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·陜西）分解因式：3x2?12=__▲__．
14．（2023·遼寧）因式分解：3x2?9x=______．
15．（2023·云南）分解因式：x2?4=____．
16．（2023·浙江）分解因式：x2?9= ．
17．（2023·湖南）分解因式：2x2?4x+2=__________．
18．（2023·內(nèi)蒙古）分解因式x3?9x=________．
19. (2023·安徽省)
觀察以下等式：
第1個(gè)等式：11+02+11×02=1，
第2個(gè)等式：12+13+12×13=1，
第3個(gè)等式：13+24+13×24=1，
第4個(gè)等式：14+35+14×35=1，
第5個(gè)等式：15+46+15×46=1，
…
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
(1)寫(xiě)出第6個(gè)等式：________________；
(2)寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：________________(用含n的等式表示)，并證明．
20.(2023·安徽省宣城市)
觀察下列各式：
1+112+122= 94=32=112=1+11×2=1+1?12，
1+122+132= 4936=76=116=1+12×3=1+12?13，
1+132+142= 169144=1312=1112=1+13×4=1+13?14，
請(qǐng)你根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，解答下列問(wèn)題：
(1)歸納規(guī)律： 1+1n2+1(n+1)2= ______ ；(n≥1，且n為整數(shù))(直接寫(xiě)出結(jié)果)
(2)利用規(guī)律計(jì)算 1+112+122+ 1+122+132+ 1+132+142+…+ 1+120192+120202．
21.(2022年云南8題）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n個(gè)單項(xiàng)式是( )
A. (2n?1)xnB. (2n+1)xnC. (n?1)xnD. (n+1)xn
（1）實(shí)數(shù)的分類(lèi)：

（2）正負(fù)數(shù)的意義：
正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)
負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上“－”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù)
意義：用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示一對(duì)具有相反意義的量，如規(guī)定“盈(+)”則“虧(一)”，“上升(+)”則“下降(-)”等.
相反數(shù)：只有符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)叫做相反數(shù)
①a的相反數(shù)為-a；；
②若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0（反之亦成立）；
③a-b的相反數(shù)為：-（a-b）或b-a。
絕對(duì)值：表示數(shù)軸上一個(gè)數(shù)a到原點(diǎn)的距離，即
①，故去卻絕對(duì)值要先判斷式子的正負(fù)；
②，故絕對(duì)值是它本身的數(shù)是0和正數(shù)；
③若，則a=0且b=0(a、b可以是多項(xiàng)式）。
倒數(shù)：若a·b=1，則a與b互為倒數(shù)
①.0沒(méi)有倒數(shù)；
②每一個(gè)數(shù)的倒數(shù)和它本身的符號(hào)相同；
科學(xué)記數(shù)法
把一個(gè)數(shù)N表示成a×10n(1≤a＜10，n是整數(shù))的形式叫科學(xué)記數(shù)法．當(dāng)N≥1時(shí)，n等于原數(shù)N的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)N＜1時(shí)，n是一個(gè)負(fù)整數(shù)，它的絕對(duì)值等于原數(shù)中左起第一個(gè)非零數(shù)字前零的個(gè)數(shù)(含整數(shù)位上的零)．
科學(xué)記數(shù)法的表示方法：一般形式:a×10n.
1．a(chǎn)值的確定:1≤|a|

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