【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023·山東模擬）對于某些三角形，我們可以直接用面積公式或是用割補法等來求它們的面積，下面我們研究一種求面積的新方法：如圖1所示，分別過三角形的頂點A、C作水平線的鉛垂線l1、l2，l1、l2之間的距離d叫做水平寬；如圖1所示，過點B作水平線的鉛垂線交AC于點D，稱線段BD的長叫做這個三角形的鉛垂高；
結(jié)論提煉：容易證明，“三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半”，即“S=12d?”．
嘗試應(yīng)用：
已知：如圖2，點A?5,3、B4,0、C0,6，則△ABC的水平寬為______，鉛垂高為______，所以△ABC的面積為______．
學(xué)以致用：
如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的解析式為：y=?x2+2x+3，點B為拋物線的頂點，圖象與y軸交于點A，與x軸交于E、C兩點，BD為△ABC的鉛垂高，延長BD交x軸于點F，則頂點B坐標(biāo)為______，鉛垂高BD=______，△ABC的面積為______．
【答案】嘗試應(yīng)用：9，143，21；學(xué)以致用：1，4，2，3
【分析】嘗試應(yīng)用：先求出直線l1即為直線x=?5，直線l2即為直線x=4，則d=9，即△ABC的水平寬為9，求出直線AB的解析式為y=?13x+43，則D0，43，即可得到?=143，即鉛垂高為143，則S△ABC=12d?=12×9×143=21；
學(xué)以致用：先把拋物線解析式化為頂點式求出點B的坐標(biāo)，再求出A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AC的解析式和水平寬，從而得到點D的坐標(biāo)，求出BD的長即可求出△ABC的面積．
【詳解】解：嘗試應(yīng)用：∵點A?5,3、B4,0，
∴直線l1即為直線x=?5，直線l2即為直線x=4，
∴d=4??5=9，即△ABC的水平寬為9，
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
∴?5k+b=34k+b=0，
∴k=?13b=43，
∴直線AB的解析式為y=?13x+43，
在y=?13x+43中，當(dāng)x=0時，y=43，
∴D0，43，
∵C0,6，
∴OC=6，
∴?=6?43=143，即鉛垂高為143，
∴S△ABC=12d?=12×9×143=21；
故答案為：9，143，21；
學(xué)以致用：∵拋物線解析式為y=?x2+2x+3=?x?12+4，
∴頂點B的坐標(biāo)為1，4；
令x=0，則y=3；令y=0，則?x2+2x+3=0，解得x=?1或x=3，
∴A0，3，C3，0，
∴直線l1即為直線x=0，直線l2即為直線x=3，
∴d=3?0=3，即△ABC的水平寬為3，
設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1，
∴3k+b=0b=3，
∴k=?1b=3，
∴直線AC的解析式為y=?x+3，
在y=?x+3中，當(dāng)x=1時，y=2，
∴D1，2，
∴BD=2，
∴S△ABC=12d?BD=12×3×2=3；
故答案為：1，4，2，3．
【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何綜合，二次函數(shù)與幾何綜合，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
【變式演練】
1．（2023·黑龍江）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點A?1,0，B4,0，與y軸交于點C．

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式，并直接寫出頂點P的坐標(biāo)；
(2)求△BCP的面積．
注：拋物線y=ax2+bx+ca≠0的對稱軸是直線x=?b2a，頂點坐標(biāo)是?b2a,4ac?b24a．
【答案】(1)拋物線對應(yīng)的解析式y(tǒng)=x2?3x?4，P32,?254
(2)S△BCP=152
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達(dá)式，再根據(jù)解析式求點P的坐標(biāo)即可；
（2）求出點C0,?4和拋物線頂點P32,?254，A?1,0，B4,0利用S△BCP=S△OCP+S△OBP?S△BOC即可得到答案．
【詳解】（1）∵拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A?1,0，B4,0，
∴1?b+c=016+4b+c=0，
解這個方程組，得b=?3c=?4．
∴拋物線對應(yīng)的解析式y(tǒng)=x2?3x?4．
∵P點是拋物線的頂點坐標(biāo)，
∴P?b2a,4ac?b24a，即：?b2a=??32×1=32，4ac?b24a=4×1×?4??324×1=?254，
∴P32,?254．
（2）如圖，連接OP．

∵A?1,0，B4,0，C0,?4，P32,?254，
∴S△OCP=12×4×32=3，
S△OBP=12×4×254=252，
S△BOC=12×4×4=8．
∵S△BCP=S△OCP+S△OBP?S△BOC，
∴S△BCP=3+252?8=152．
【點睛】此題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識，掌握數(shù)形結(jié)合的思想和割補法求三角形面積是解題的關(guān)鍵．
題型02 二次函數(shù)中三角形面積比值問題
【解題策略】
類型一：等底或等高
S△ABCS△BCD=AEDF S△ABCS△ACD=BCCD
結(jié)論：①當(dāng)?shù)紫嗟?，則面積比=高之比 ②當(dāng)高相等，則面積比=底邊之比
類型二：斜轉(zhuǎn)直
【典例分析】
例1．（2024·云南模擬）
在平面直角坐標(biāo)系中，A(?1,0)，B(3,0)．
(1)若拋物線過A、B兩點，且與y軸交于點(0,?3)，求此拋物線的頂點坐標(biāo)；
(2)如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過A、B兩點的拋物線如果與y軸負(fù)半軸交于點C，M為拋物線的頂點，那么△ACM與△ACB的面積比不變，請你求出這個比值．
【答案】解：(1)設(shè)過拋物線A，B兩點，且與y軸交于點(0,?3)，的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，
把A(?1,0)，B(3,0)，點(0,?3)代入
得a?b+c=09a+3b+c=0c=?3，
解得a=1b=?2c=?3，
故此拋物線的解析式為y=x2?2x?3，頂點坐標(biāo)為(1,?4)；
(2)由題意，設(shè)y=a(x+1)(x?3)，即y=ax2?2ax?3a，
∴A(?1,0)，B(3,0)，C(0,?3a)，M(1,?4a)，
∴S△ACB=12×4×|?3a|=6|a|，
而a>0，
∴S△ACB=6a．
作MD⊥x軸于D，
又S△ACM=S△ACO+SOCMD?S△AMD=12?1?3a+12(3a+4a)?12?2?4a=a，
∴S△ACM：S△ACB=1：6；
【解析】(1)由于拋物線過A，B兩點，且與y軸交于點(0,?3)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再求出頂點坐標(biāo)；
(2)先設(shè)出過A，B兩點拋物線的解析式，作MD⊥x軸于D，再分別求出A、B、C、M各點的坐標(biāo)，再根據(jù)圖形求各三角形的面積，最后由三角形之間的和差關(guān)系△ACM的面積進(jìn)行計算；
考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，及三角形的面積，注意某個圖形無法解答時，常常放到其他圖形中，利用圖形間的“和差”關(guān)系求解．
例2．（2023·遼寧模擬）平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y=x2先向右平移72個單位長度，再向上平移74個單位長度，得到新的拋物線C2，其頂點為A，C1，C2相交于點B，過點A作AC⊥x軸于點C，連接BC交OA于點D．

(1)點A的坐標(biāo)是________；
(2)如圖，求△OBD面積與△OCD面積的比值；
(3)在y軸上有兩點E0，n，G0,n+32，過點E作x軸的平行線交直線AO于點F，以EF，EG為鄰邊作矩形EFHG，直線FH分別交拋物線C1，C2于點P，Q．若拋物線C在矩形EFHG內(nèi)部（不含邊界）的部分對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而增大，且拋物線C2，在矩形EFHG內(nèi)部（不含邊界）的部分對應(yīng)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，求PQ的取值范圍．
【答案】(1)72,74
(2)S△OBDS△OCD=127
(3)72

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