【解題策略】
類型01 一線兩定點形成的最短路徑型
【典例分析】
例1．（2023·浙江模擬）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點A在x軸的正半軸上，頂點B的坐標為(3，)，點C的坐標為(，0)，點P為斜邊OB上的一動點，則PA＋PC的最小值為 ．

【變式演練】
1.（2023·福建模擬）在菱形ABCD中，對角線AC＝6，BD＝8，點E、F、P分別是邊AB、BC、AC上的動點，PE＋PF的最小值是 ．
類型02 一定點與兩直線上的動點形成的路徑最短型
【典例分析】
例1．（2023·云南模擬）如圖，∠AOB＝30°，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分∠AOB，且OP＝6，當△PMN的周長取最小值時，四邊形PMON的面積為 ．
類型03 “兩定點＋兩定直線”型
【典例分析】
例1．（2023·湖南模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點，點M，N分別為BC，CD上的動點，求四邊形EFNM周長的最小值．
【方法剖析】
類型04 “兩定點＋一定直線”型
【典例分析】
例1.（2023·遼寧模擬）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝6，AD⊥BC，E是線段AC上的一點，M是線段AD上的一點，AE＝2，求EM＋MC的最小值．
題型02 垂線段最短問題
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2023·遼寧模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，點D是斜邊BC上的一個動點，過點D分別作DM⊥AB于點M，DN⊥AC于點N，連接MN，則線段MN的最小值為（ ）
A．B．C．3D．4
【變式演練】
1.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，點E是AB上任意一點．若CD＝5，則DE的最小值等于（ ）
A．2.5B．4C．5D．10
2.如圖,在AABC中,CACB=90°,AC=BC=4,點D是BC邊的中點,點P是AC邊上一個動點,連接PD,以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ,連接CQ.則CQ的最小值是( ）
A. 32 B.1 C. 2 D.32
題型03 旋轉最值問題
【解題策略】
【典例分析】
例1．（2024·湖北模擬）如圖，在中，，P是內一點，求的最小值為 ．
【變式演練】
1．（2023·江蘇模擬）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為 ．
1.（2023·山東）如圖，矩形中，，點P在對角線上，過點P作，交邊于點M，N，過點M作交于點E，連接．下列結論：①；②四邊形的面積不變；③當時，；④的最小值是20．其中所有正確結論的序號是 ．

2.（2023·江蘇如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在BC上，CE＝2．點M是對角線BD上的一個動點，則EM+CM的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3.（2023山東如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M是對角線BD上的一個動點，CF＝BF，則MA+MF的最小值為（ ）
A．1B．C．D．2
4.（2023·黑龍江）如圖，是邊長為的等邊三角形，點為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是 ．

1、“將軍飲馬”模型
2、線段差最大值問題模型：
問題
作法
圖形
原理
在直線l1，l2上分別求點M，N，使四邊形PQMN的周長最小
分別作點Q，P關于直線l1，l2的對稱點Q′和P′，連接Q′P′，與兩直線交點即為M，N
兩點之間，線段最短．四邊形PQMN周長的最小值為線段P′Q′＋PQ的長。
問題
作法
圖形
原理
在直線l上求一點P，使PA＋PB的值最小
連接AB，與直線l的交點即為點P
兩點之間，線段最短，PA＋PB的最小值為AB
在直線l上求一點P，使PA＋PB的值最小
作B關于直線l的對稱點B′，連接AB′，與直線l的交點即為P(也可作點A關于直線l的對稱點)
兩點之間，線段最短，PA＋PB的最小值為AB′

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