二次函數(shù)綜合題是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，幾乎每年中考倒數(shù)第二題解答題都會(huì)出現(xiàn)，主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何知識(shí)相互結(jié)合，對(duì)幾何圖形的性質(zhì)要求熟練掌握，并且能運(yùn)用到平面直角坐標(biāo)系中。
1 二次函數(shù)與平行四邊形
平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問題一般分為三個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（簡(jiǎn)稱三定一動(dòng)）和兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（兩定兩動(dòng)）這兩種題型,可以利用對(duì)角線或邊的變化而進(jìn)行分類討論；求解的方法主要有代數(shù)方法（利用解析式,兩點(diǎn)間距離公式,中點(diǎn)坐標(biāo)）,幾何方法（構(gòu)造全等三角形,相似三角形）等。
2 二次函數(shù)與等腰三角形
處理二次函數(shù)中的等腰三角形，常用的模型有兩種：一種是“兩圓一線”，另一種是“暴力法”（用兩點(diǎn)間距離公式硬算）
3 二次函數(shù)與相似三角形
常需要分類討論，一般是固定一個(gè)三角形，讓另外一個(gè)三角形動(dòng)來(lái)處理。常用處理方式有兩種：
1.導(dǎo)邊處理（“SAS”法）
第一步:先找到一組關(guān)鍵的等角,有時(shí)明顯,有時(shí)隱蔽；
第二步,以這兩個(gè)相等角的鄰邊分兩種情況對(duì)應(yīng)比例列方程.
2.導(dǎo)角處理（“AA”法）
第一步:先找到一組關(guān)鍵的等角；
第二步,另兩個(gè)內(nèi)角分兩類對(duì)應(yīng)相等.
4 二次函數(shù)綜合題中線段問題的解題通法
1.線段的數(shù)量關(guān)系問題:
（1）在圖中找出對(duì)應(yīng)線段,弄清已知點(diǎn)和未知點(diǎn),再聯(lián)系函數(shù)設(shè)出只含有一個(gè)參數(shù)的未知點(diǎn)的坐標(biāo),然后用參數(shù)表示出線段的長(zhǎng)度;
（2）結(jié)合已知條件,列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的等式,求出參數(shù)值(注意排除不符合題意的數(shù)值).
2.線段的最值問題:
（1）一條線段的最值問題,根據(jù)1（1）中所得的線段長(zhǎng)度的式子,通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值,繼而得到線段的最值;
(2)兩條線段和或差的最值問題,一般利用軸對(duì)稱模型解決.
3.周長(zhǎng)的最值問題:
一般利用轉(zhuǎn)化思想,將求周長(zhǎng)的最值轉(zhuǎn)化為求不定線段和的問題.
、
一、解答題
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的正、負(fù)半軸分別交于點(diǎn)B、A，與y軸交于點(diǎn)C，已知，，．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸分別與x軸、交于點(diǎn)E、F，求的長(zhǎng)；
(3)在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)，如果點(diǎn)P在該拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)和相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)
2．在平面直角坐標(biāo)系(如圖)中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，與軸的交點(diǎn)為．
(1)試求這個(gè)拋物線的表達(dá)式；
(2)如果這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)為，連接，，求；
(3)如果這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC，的余切值為，，點(diǎn)P在拋物線上，且.
(1)求上述拋物線的表達(dá)式；
(2)平移上述拋物線，所得新拋物線過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)P，新拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．
①求新拋物線的對(duì)稱軸；
②點(diǎn)F在新拋物線對(duì)稱軸上，且，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線線經(jīng)過(guò)，點(diǎn)C是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，與y軸的正半軸交于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)C到x軸的距離；
(3)如果過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，連接，當(dāng)時(shí)，在中是否存在大小保持不變的角？如果存在，請(qǐng)指出并求其度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)（在的右側(cè)），直線與軸相交于點(diǎn)，是直線上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，求的正弦值；
(3)若軸交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
6．如圖，拋物線與軸相交于A、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)是上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求這個(gè)拋物線的解析式；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
7．如圖，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，若恰好在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)過(guò)點(diǎn)P作軸分別交直線，拋物線于點(diǎn)Q，C，連接．若以點(diǎn)B、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與相似，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸：
(2)分別聯(lián)結(jié)、、，直線與線段交于點(diǎn)，當(dāng)此直線將四邊形的面積平分時(shí)，求的值；
(3)設(shè)點(diǎn)為該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)求拋物線C的表達(dá)式；
(2)將拋物線C沿直線翻折，得到的新拋物線記為，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)將拋物線C沿直線翻折，得到的圖象記為，設(shè)C與圍成的封閉圖形為M，在圖形M上內(nèi)接一個(gè)面積為4的正方形（四個(gè)頂點(diǎn)均在M上），且這個(gè)正方形的邊分別與坐標(biāo)軸平行．求n的值．
10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、O重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l與拋物線交于點(diǎn)E，連接、．
(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)連接交直線l于點(diǎn)D，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D為中點(diǎn)時(shí)，求的值；
(3)如圖2，當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，聯(lián)結(jié)，在拋物線上是否存在點(diǎn)G，使得，如存在求出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，如不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
11．已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，且與y軸的公共點(diǎn)為點(diǎn)C，設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為D．
(1)求拋物線的表達(dá)式，并求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
(3)連接，點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，若，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
12．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．其對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，連接，，已知．
(1)求m的值；
(2)求的正切值；
(3)若點(diǎn)P在線段上，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)連接、，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，如果是以為腰的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)是拋物線上一點(diǎn)，且位于直線上方，過(guò)點(diǎn)作軸、軸，分別交直線于點(diǎn)、．
①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線的對(duì)稱軸沿x軸的正方向平移，平移后交x軸于點(diǎn)D，交線段于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作直線的垂線，垂足為點(diǎn)G.
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)以點(diǎn)G為圓心，為半徑畫；以點(diǎn)E為圓心，為半徑畫.當(dāng)與內(nèi)切時(shí).①試證明與的數(shù)量關(guān)系；②求點(diǎn)F的坐標(biāo).
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PEx軸，交直線AB于點(diǎn)E．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖1，在拋物線上有一點(diǎn)F，使得∠CBF＝∠OAC，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
(3)如圖2，當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)為+8時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且與y軸交于點(diǎn)A．
(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，交線段OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，如果，求證：；
(3)若點(diǎn)F是線段AB（不包含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上述拋物線上，求直線的解析式．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸是直線，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，．
（1）求拋物線的解析式．
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)拋物線上的一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且在直線BC的下方，求使的面積為最大整數(shù)時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
19．如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
(1)求這條拋物線的表達(dá)式；
(2)直線x＝t與該拋物線交于點(diǎn)C，與線段AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），與x軸交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AC、BC．
①當(dāng)＝時(shí)，求t的值；
②當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，求ABC的面積．
20．已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn) ，點(diǎn)是該拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)與線段相交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn)，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)與線段交于點(diǎn)，如果，求線段的長(zhǎng)度．
21．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）及y軸上的點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線為，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）連接．若點(diǎn)P為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作 軸交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作交y軸于點(diǎn)G．點(diǎn)H，K分別在對(duì)稱軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，連接．
①求的周長(zhǎng)為最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②在①的條件下，求的最小值及點(diǎn)H的坐標(biāo)．
22．如圖，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，拋物線的對(duì)稱軸與BC相交于點(diǎn)E,與x軸相交于點(diǎn)F.
（1）求線段的長(zhǎng)．
（2）聯(lián)結(jié)，若點(diǎn)G在拋物線的對(duì)稱軸上，且與相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
（3）設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一點(diǎn)，且時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
23．已知拋物線過(guò)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)A在直線上且在第一象限內(nèi)，過(guò)A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．
①若A與Q重合，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；
②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo)．
24．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：；
（2）設(shè)點(diǎn)是拋物線上兩點(diǎn)之間的動(dòng)點(diǎn)，連接．在的條件下：
①若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若，且的最大值為，直接寫出的值．
25．如圖，已知拋物線y＝x2+m與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x+4與y軸和x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)E在x軸上，以CD為對(duì)角線作?CEDF．
（1）當(dāng)點(diǎn)C在∠ABO的平分線上時(shí)，求上述拋物線的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，如果?CEDF的頂點(diǎn)F正好落在y軸上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)E是BO的中點(diǎn)，且?CEDF是菱形，求m的值．
26．如圖1，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），點(diǎn)D（﹣1，m）在邊BC上，將△ABD沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．
(1)如圖2，當(dāng)m＝3時(shí)，拋物線過(guò)點(diǎn)A、E、C，求拋物線解析式；
(2)如圖3，隨著m的變化，點(diǎn)E正好落在y軸上，求∠BAD的余切值；
(3)若點(diǎn)E橫坐標(biāo)坐標(biāo)為1，拋物線y＝ax2＋2ax＋10（a≠0且a為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，求a的取值范圍．
一、解答題
1． (2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交線段于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)P作，垂足為點(diǎn)M．
(1)求這條拋物線的表達(dá)式；
(2)設(shè)的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，如果，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如果以N為圓心，為半徑的圓與以為直徑的圓內(nèi)切，求m的值．
2． (2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
(1)求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，直線交y軸于點(diǎn)F．
①用m的代數(shù)式表示直線的截距；
②在的面積與的面積相等的條件下探究：在y軸右側(cè)存在這樣一條直線，滿足：以該直線上的任意一點(diǎn)及點(diǎn)C、F三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積都等于面積，試用規(guī)范、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)符合條件的直線．
3． (2023·上海虹口·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)連接、，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，如果是以為腰的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
4． (2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)是拋物線上一點(diǎn)，且位于直線上方，過(guò)點(diǎn)作軸、軸，分別交直線于點(diǎn)、．
①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值．
5． (2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知：在直角坐標(biāo)系中直線與軸、軸相交于點(diǎn)、，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如果直線與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；
(3)是線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，與軸相交于點(diǎn)，把沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，如果點(diǎn)在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
6． (2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），頂點(diǎn)為H（2，4），對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C、P是拋物線上的點(diǎn)，且都在第一象限內(nèi)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱軸左側(cè)，∠CHB＝∠CAO，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，已知點(diǎn)P位于對(duì)稱軸的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)P作PQCH，交對(duì)稱軸l于點(diǎn)Q，且，求直線PQ的表達(dá)式．
7． (2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B頂點(diǎn)為C．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)將拋物線沿y軸向上平移，平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為D，如果，求平移的距離；
(3)設(shè)拋物線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，將拋物線向左平移3個(gè)單位，如果點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q落在內(nèi)，求m的取值范圍．
8． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且AB＝4．
(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式，并直接寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)E是二次函數(shù)圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作直線軸交拋物線于點(diǎn)F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），點(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為G，如果四邊形DEGF是正方形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)若射線AC與射線BD相交于點(diǎn)H，求∠AHB的大?。?br>專題10 二次函數(shù)壓軸題

二次函數(shù)綜合題是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，幾乎每年中考倒數(shù)第二題解答題都會(huì)出現(xiàn)，主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何知識(shí)相互結(jié)合，對(duì)幾何圖形的性質(zhì)要求熟練掌握，并且能運(yùn)用到平面直角坐標(biāo)系中。
1 二次函數(shù)與平行四邊形
平行四邊形動(dòng)點(diǎn)問題一般分為三個(gè)定點(diǎn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（簡(jiǎn)稱三定一動(dòng)）和兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（兩定兩動(dòng)）這兩種題型,可以利用對(duì)角線或邊的變化而進(jìn)行分類討論；求解的方法主要有代數(shù)方法（利用解析式,兩點(diǎn)間距離公式,中點(diǎn)坐標(biāo)）,幾何方法（構(gòu)造全等三角形,相似三角形）等。
2 二次函數(shù)與等腰三角形
處理二次函數(shù)中的等腰三角形，常用的模型有兩種：一種是“兩圓一線”，另一種是“暴力法”（用兩點(diǎn)間距離公式硬算）
3 二次函數(shù)與相似三角形
常需要分類討論，一般是固定一個(gè)三角形，讓另外一個(gè)三角形動(dòng)來(lái)處理。常用處理方式有兩種：
1.導(dǎo)邊處理（“SAS”法）
第一步:先找到一組關(guān)鍵的等角,有時(shí)明顯,有時(shí)隱蔽；
第二步,以這兩個(gè)相等角的鄰邊分兩種情況對(duì)應(yīng)比例列方程.
2.導(dǎo)角處理（“AA”法）
第一步:先找到一組關(guān)鍵的等角；
第二步,另兩個(gè)內(nèi)角分兩類對(duì)應(yīng)相等.
4 二次函數(shù)綜合題中線段問題的解題通法
1.線段的數(shù)量關(guān)系問題:
（1）在圖中找出對(duì)應(yīng)線段,弄清已知點(diǎn)和未知點(diǎn),再聯(lián)系函數(shù)設(shè)出只含有一個(gè)參數(shù)的未知點(diǎn)的坐標(biāo),然后用參數(shù)表示出線段的長(zhǎng)度;
（2）結(jié)合已知條件,列出滿足線段數(shù)量關(guān)系的等式,求出參數(shù)值(注意排除不符合題意的數(shù)值).
2.線段的最值問題:
（1）一條線段的最值問題,根據(jù)1（1）中所得的線段長(zhǎng)度的式子,通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值,繼而得到線段的最值;
(2)兩條線段和或差的最值問題,一般利用軸對(duì)稱模型解決.
3.周長(zhǎng)的最值問題:
一般利用轉(zhuǎn)化思想,將求周長(zhǎng)的最值轉(zhuǎn)化為求不定線段和的問題.
、
一、解答題
1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的正、負(fù)半軸分別交于點(diǎn)B、A，與y軸交于點(diǎn)C，已知，，．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸分別與x軸、交于點(diǎn)E、F，求的長(zhǎng)；
(3)在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)，如果點(diǎn)P在該拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)和相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)
【答案】(1)
(2)
(3)P的坐標(biāo)為：或．
【分析】（1）先利用拋物線的解析式求解C的坐標(biāo)，再求解B的坐標(biāo)，A的坐標(biāo)，設(shè)設(shè)拋物線為，把代入即可；
（2）先求解拋物線的對(duì)稱軸為直線，再求解直線為，可得F的坐標(biāo)，從而可得答案；
（3）如圖，過(guò)作于，證明，可得，而，可得，則，當(dāng)和相似時(shí)，顯然與對(duì)稱軸沒有交點(diǎn)，不在的下方，只能在的上方，且與是對(duì)應(yīng)角，再分兩種情況分別求解即可．
【解析】（1）解：∵拋物線，
當(dāng)，則，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
設(shè)拋物線為，把代入得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為：．
（2）∵，，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∵，，
設(shè)直線為，
∴，解得：，
∴直線為，
當(dāng)時(shí)，，即，
∴．
（3）如圖，過(guò)作于，
∵，，，
∴，，，，
∴，則，
∴，而，
∴，
而，
∴，
∴，
當(dāng)和相似時(shí)，顯然與對(duì)稱軸沒有交點(diǎn)，
∴不在的下方，只能在的上方，且與是對(duì)應(yīng)角，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)，
∴，
∴，解得：，
∴．
綜上：P的坐標(biāo)為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，求解一次函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的證明與是對(duì)應(yīng)角是解（3）的關(guān)鍵．
2．在平面直角坐標(biāo)系(如圖)中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，與軸的交點(diǎn)為．
(1)試求這個(gè)拋物線的表達(dá)式；
(2)如果這個(gè)拋物線的頂點(diǎn)為，連接，，求；
(3)如果這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸與直線交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)、，代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）根據(jù)題意作出圖形，如圖，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，得出，，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解；
（3）連接，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，求得直線的解析式，設(shè)，根據(jù)勾股定理求得的值，進(jìn)而即可求解．
【解析】（1）解：將點(diǎn)、，代入，得
解得：
∴這個(gè)拋物線的表達(dá)式為；
（2）解：∵,
則點(diǎn)，
令，解得：，則,
∴軸，
如圖，過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，
則，
∴，，
在中，；
（3）解：如圖所示，
連接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵
∴，
即
∵,，，
∴,
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
設(shè)過(guò)點(diǎn),的直線解析式為，
則
解得：
∴直線的解析式為,
設(shè)點(diǎn)，
∵
∴
解得：或
∵點(diǎn)在線段上
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，角度問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，求正切，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
3．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)BC，的余切值為，，點(diǎn)P在拋物線上，且.
(1)求上述拋物線的表達(dá)式；
(2)平移上述拋物線，所得新拋物線過(guò)點(diǎn)O和點(diǎn)P，新拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E．
①求新拋物線的對(duì)稱軸；
②點(diǎn)F在新拋物線對(duì)稱軸上，且，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)①對(duì)稱軸為直線；②
【分析】（1）先通過(guò)解直角三角形求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）①設(shè)平移后的解析式為，求出點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；②過(guò)點(diǎn)P作軸于N，則，通過(guò)證明，利用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解析】（1）∵拋物線（），當(dāng)時(shí)，，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把A、B的坐標(biāo)代入，得，
解得，
∴拋物線解析式為；
（2）①設(shè)平移后的解析式為，
∵，
∴P在的中垂線上，
∴，
將坐標(biāo)代入，得，
∴，
∴新的拋物線的解析式為，
∴對(duì)稱軸為直線；
②過(guò)點(diǎn)P作軸于N，則，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與角相等的問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
4．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線線經(jīng)過(guò)，點(diǎn)C是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，與y軸的正半軸交于點(diǎn)D．設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)C到x軸的距離；
(3)如果過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E，連接，當(dāng)時(shí)，在中是否存在大小保持不變的角？如果存在，請(qǐng)指出并求其度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A作y的垂線，垂足為點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)，證明，求出，，然后分兩種情況進(jìn)行討論，求出結(jié)果即可；
（3）過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，垂足為點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，求出，得出，在中，根據(jù)，，得出，即可得出答案．
【解析】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)和，
∴，
∴，
∴該拋物線的表達(dá)式為．
（2）解：過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)A作y的垂線，垂足為點(diǎn)M，如圖所示：
設(shè)點(diǎn)，
∵，
∴，，
∵軸，軸，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
令代入得：，
則，
此時(shí)點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，不符合題意，舍去；
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，
將，代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
令代入得：，
則，符合題意，
則點(diǎn)C到x軸的距離為．
（3）解：存在，．
過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作的垂線，垂足為點(diǎn)Q，如圖所示：
由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∵軸，得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴
∵軸，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，三角形相似的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．
5．如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，與軸交于、兩點(diǎn)（在的右側(cè)），直線與軸相交于點(diǎn)，是直線上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接，求的正弦值；
(3)若軸交于點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)；
(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解拋物線的表達(dá)式；
（2）如下圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，先求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，從而求得 ，，，利用待定系數(shù)法求得直線為：，進(jìn)而求得，，，根據(jù)面積公式即可求得，從而即可得解；
（3）先證，得，，進(jìn)而得，利用面積求得，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，進(jìn)而有方程，解方程即可得解．
【解析】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，
∴，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式；
（2）解：如下圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，
在拋物線中，令，則，
解得，，
∴，
又∵，
∴，，，
設(shè)直線為：，
∵過(guò)和，
∴，
解得，
∴直線為：，
令，則，解得，
∴，
∴，，
∴，即
∴，
∴；
（3）解：∵軸， 軸，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴即，
∴，
∵，
∴，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，
∵軸，
∴，
解得，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)、相似三角形的判定及性質(zhì)以及正弦，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，拋物線與軸相交于A、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)是上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求這個(gè)拋物線的解析式；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【分析】(1)利用待定系數(shù)法列方程組求解拋物線的解析式即可；
(2)連接，設(shè)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求得、，再根據(jù)，列方程求解即可；
(3)過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于F， 設(shè)與交于點(diǎn)G，首先根據(jù)矩形的性質(zhì)及，即可證得，據(jù)此即可證得，可得，再由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，即可求得直線的解析式為，設(shè)，則，則， ，可得，，即可得方程，解方程即可求解．
【解析】（1）解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的對(duì)稱軸為直線，
，
解得：.，
所以，拋物線的解析式為：；
（2）解：如圖：連接，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，
設(shè)，
，
∵點(diǎn)D是上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
，
，
令，則，
，
．
，
．
，的面積為，
，
∴，
整理得：．
解得：或，
的坐標(biāo)為或；
（3）解：存在點(diǎn)，使得，理由如下：
如圖：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于F， 設(shè)與交于點(diǎn)G，
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
設(shè)的解析式為：，
，
解得：，
∴直線的解析式為：，
設(shè)，則，則， ，
∵點(diǎn)D是上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
，
，，
，
，
，
整理得：，
解得，(不合題意，舍去)
，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形，不規(guī)則圖形面積的求法，一元二次方程的解法，全等三角形的判定及性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想及正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．
7．如圖，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于點(diǎn)，，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)．
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，若恰好在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)過(guò)點(diǎn)P作軸分別交直線，拋物線于點(diǎn)Q，C，連接．若以點(diǎn)B、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與相似，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)或
(3)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【分析】（1）將，代入，即可求解．
（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線交于點(diǎn)N，可證明，則，將D點(diǎn)代入拋物線解析式得，求得或．
（3）分當(dāng)和時(shí)，兩種情況討論，據(jù)此求解即可．
【解析】（1）解：將，代入，
∴，，
∴．
（2）解：設(shè)，
如圖，過(guò)點(diǎn)D作x軸垂線交于點(diǎn)N，
∵，
∴,，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，解得或，
∴或．
（3）解：∵，
∴是直角三角形，且，
∵以點(diǎn)B、Q、C為頂點(diǎn)的三角形與相似，
∴也是直角三角形，
顯然，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖，
∵拋物線的對(duì)稱軸為，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖，設(shè)與x軸交于點(diǎn)E，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立，解得或，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)．
(1)求該拋物線的表達(dá)式，并寫出該拋物線的對(duì)稱軸：
(2)分別聯(lián)結(jié)、、，直線與線段交于點(diǎn)，當(dāng)此直線將四邊形的面積平分時(shí)，求的值；
(3)設(shè)點(diǎn)為該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，進(jìn)而求出對(duì)稱軸即可；
（2）求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線與交于點(diǎn)，分別用含的式子表示出的坐標(biāo)，利用直線將四邊形的面積平分，得到列式求解即可；
（3）分，三種情況討論求解即可．
【解析】（1）解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)，
設(shè)：，
則：，
解得：，
∴，
∴對(duì)稱軸為：；
（2）解：∵，
當(dāng)時(shí)：；
∴，
∴，
∵、、
∴，，，
∵直線與線段交于點(diǎn)，且平分四邊形的面積，
∴直線與線段相交，設(shè)交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
∴，
∴，
∴，
即：，
∴，即：，
解得：；
（3）解：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，此時(shí)：；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：；
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
∴，解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴
③當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的解析式為：，
則：，解得：；
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
∴，解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴
綜上：點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是梯形時(shí)，的坐標(biāo)為：或或．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用．正確的求出二次函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
(1)求拋物線C的表達(dá)式；
(2)將拋物線C沿直線翻折，得到的新拋物線記為，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(3)將拋物線C沿直線翻折，得到的圖象記為，設(shè)C與圍成的封閉圖形為M，在圖形M上內(nèi)接一個(gè)面積為4的正方形（四個(gè)頂點(diǎn)均在M上），且這個(gè)正方形的邊分別與坐標(biāo)軸平行．求n的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）把點(diǎn)代入，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得．
（2）把拋物線C的表達(dá)式化成頂點(diǎn)式，求得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后求得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）由拋物線C的頂點(diǎn)式求得對(duì)稱軸，然后根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)求得B的坐標(biāo)，進(jìn)而得出，解得．
【解析】（1）∵拋物線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
∴．
∴．
∴拋物線C的表達(dá)式為．
（2）∵拋物線C：，
∴拋物線C的頂點(diǎn)為，如圖1，
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為．
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．
（3）∵拋物線C：，
∴拋物線的對(duì)稱軸為，
∵正方形的邊長(zhǎng)為2，
∴正方形的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，如圖2．
∴ ．
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、O重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l與拋物線交于點(diǎn)E，連接、．
(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(2)連接交直線l于點(diǎn)D，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D為中點(diǎn)時(shí)，求的值；
(3)如圖2，當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，聯(lián)結(jié)，在拋物線上是否存在點(diǎn)G，使得，如存在求出點(diǎn)G的橫坐標(biāo)，如不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為
(2)的值為．
(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)是．
【分析】（1）將代入，求得，則拋物線的表達(dá)式為；可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
（2）先求得直線的表達(dá)式為，設(shè)，則，，即可由，列方程得，求得，則，，即可由“等底三角形面積的比等于高的比”求得的值為；
（3）設(shè)交于點(diǎn)H，作軸于點(diǎn)K，先證明，得，求得，再求得直線的表達(dá)式為，將該表達(dá)式與拋物線的表達(dá)式聯(lián)立方程組，解該方程組求出符合題意的解即可．
【解析】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，
∴，
解得，
∴拋物線的表達(dá)式為；
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
（2）如圖1，設(shè)直線的表達(dá)式為，則， 解得，
∴，
設(shè)，則，，
當(dāng)點(diǎn)D為的中點(diǎn)時(shí)，則，
∴ ，
解得，（不符合題意，舍去），
∴， ∴，，
∴ ，
∴的值為．
（3）存在， 如圖2，設(shè)交于點(diǎn)H，作軸于點(diǎn)K，
∵軸，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，由得，，
∴，
∴，
∵，
∴， ∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，
∴，
設(shè)直線的表達(dá)式為，則，
解得，
∴，
解方程組 ，
得 ，（不符合題意，舍去），
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)是．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．
11．已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，且與y軸的公共點(diǎn)為點(diǎn)C，設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為D．
(1)求拋物線的表達(dá)式，并求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)若點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；
(3)連接，點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，若，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)進(jìn)而得到，如圖所示，取中點(diǎn)E，作直線OE，則是線段的垂直平分線，，即可推出點(diǎn)P即為直線與拋物線的交點(diǎn)，據(jù)此求解即可；
（3）如圖所示，連接，先利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即，證明，求出，則，
同理可求出直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，則，據(jù)此求解即可．
【解析】（1）解：由題意得：，
∴，
∴拋物線解析式為，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為
（2）解：令，則，
∴，
∴，
如圖所示，取中點(diǎn)E，作直線OE，
∴是線段的垂直平分線，，
∵，
∴點(diǎn)P即為直線與拋物線的交點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯(lián)立得，
解得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
（3）解：如圖所示，連接，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
同理可求出直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
∴，
解得（負(fù)值舍去），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，線段垂直平分線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．其對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，連接，，已知．
(1)求m的值；
(2)求的正切值；
(3)若點(diǎn)P在線段上，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由題意易得點(diǎn)，則有，即，然后代入函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；
（2）連接，由（1）可知二次函數(shù)解析式為，則有，然后可得，進(jìn)而問題可求解；
（3）分別過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，由（1）（2）可知，，然后可得，，進(jìn)而根據(jù)解直角三角形可進(jìn)行求解．
【解析】（1）解：由題意可令，代入二次函數(shù)得：，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
解得：，
（2）解：連接，如圖所示：
由（1）可知二次函數(shù)解析式為，
∴頂點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：，
∴，
∵，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（3）解：分別過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，如圖所示：
由（1）（2）可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合及解直角三角形，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)連接、，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，如果是以為腰的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由拋物線，得拋物線過(guò)點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式，將代入上述解析式，求得a的值，整理化簡(jiǎn)即可．
（2）由（1）中條件求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)及C點(diǎn)坐標(biāo)，再算得，設(shè)點(diǎn)P在射線DE上，連接PB，設(shè)DP交x軸于點(diǎn)F，設(shè)，則，令，解得關(guān)于p的方程即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）由直線BC解析式為，設(shè)，其中，同理，設(shè)，其中，分兩種情況分別討論，求解即可．
【解析】（1）解：∵拋物線，
∴拋物線過(guò)點(diǎn)．
∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴將點(diǎn)代入中，
得 ，解得，
故拋物線解析式為，
∴拋物線解析式為．
（2）解：連接、，設(shè)點(diǎn)P在射線DE上，連接PB，設(shè)DP交x軸于點(diǎn)F，
∵拋物線解析式為，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，
∴，．
∵，，
∴直線BC為：，
∵交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
設(shè)，
∵，點(diǎn)P在射線DE上，
∴，
∵DP交x軸于點(diǎn)F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）解：∵直線BC為：，，
又∵點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，
∴設(shè)，其中，
又∵，點(diǎn)是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，
∴設(shè)，其中．
∵是以為腰的等腰直角三角形，
∴分兩種情況進(jìn)行討論：
①如圖1，當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NK⊥DE于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)M作ML⊥DE于點(diǎn)L，
∵，
∴，
∵M(jìn)L⊥DE，
∴，
∵，
∴．
∵NK⊥DE，ML⊥DE，
∴，
∵是以為腰的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，．
∵，，，
∴，
解得或，
∵，，
∴舍去，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為．
②如圖2，當(dāng)，時(shí)，
∵是以為腰的等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴當(dāng)，解得，
∵，
∴，即．
∵是以為腰的等腰直角三角形，
∴，
∵直線BC為：，，
又∵點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為．
綜上，滿足題意的M點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)相關(guān)的綜合運(yùn)用，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)是拋物線上一點(diǎn)，且位于直線上方，過(guò)點(diǎn)作軸、軸，分別交直線于點(diǎn)、．
①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由求，，將A、B代入即可求解；
（2）設(shè)①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由軸，軸，可得，，當(dāng)時(shí)，即可求解；
②過(guò)點(diǎn)作軸，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，可得，由軸，軸，得，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，由，即可求解；
【解析】（1）解：將代入得，y=8，
將y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以，，
，在拋物線上，
∴，解得
拋物線的解析式
（2）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
軸，且點(diǎn)在直線上，
點(diǎn)的坐標(biāo)為
，，
，，
軸，軸，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，
，解得
點(diǎn)的坐標(biāo)為
②過(guò)點(diǎn)作軸，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則.
當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，可得
軸，軸，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
∵，
∴△OCD∽△OPE，
，
即，
.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用、三角形的相似，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C.將拋物線的對(duì)稱軸沿x軸的正方向平移，平移后交x軸于點(diǎn)D，交線段于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作直線的垂線，垂足為點(diǎn)G.
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)以點(diǎn)G為圓心，為半徑畫；以點(diǎn)E為圓心，為半徑畫.當(dāng)與內(nèi)切時(shí).①試證明與的數(shù)量關(guān)系；②求點(diǎn)F的坐標(biāo).
【答案】(1)
(2)①，證明見解析；②
【分析】（1）將拋物線的解析式可以寫成的形式，與對(duì)比即可求出a，b的值，進(jìn)而求出拋物線的表達(dá)式；
（2）①畫出大致圖形，證明點(diǎn)B是與內(nèi)切時(shí)的切點(diǎn)，即可得到；②設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，用含m的代數(shù)式分別表示出和，列等式即可求出m的值．
【解析】（1）解：∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，
∴拋物線的解析式可以寫成的形式，
即，
∴，，
∴，，
∴拋物線的表達(dá)式為．
（2）解：由題意作圖如下，
①∵的圓心為G，的圓心為E，
∴GE是與圓心的連線，
∵兩圓相切時(shí)，圓心的連線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，
∴當(dāng)與內(nèi)切時(shí)，GE經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，
∵點(diǎn)B是線段GE延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且在上，
∴點(diǎn)B是與內(nèi)切時(shí)的切點(diǎn)，
∴點(diǎn)B在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的上，
∴，
②在中，
令得，
∴拋物線與y軸交于點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
設(shè)直線BC的解析式為，
將和的坐標(biāo)代入，
得，
∴，
∴設(shè)直線BC的解析式為．
∵點(diǎn)F在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為，
由題意軸，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為，
∵點(diǎn)F在BC的上方，
∴，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴．
∵點(diǎn)E在線段BC上，
∴，
∴,
∵，
∴，
整理得，，
解得或3，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)，B重合，此時(shí)不存在，
故不合題意，應(yīng)舍去，
∴，
當(dāng)時(shí)， ，
∴求點(diǎn)F的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題考查求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，圓與圓的位置關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，三角函數(shù)解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，證明點(diǎn)B是與內(nèi)切時(shí)的切點(diǎn)，進(jìn)而得到是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，﹣1），B（4，1）．直線AB交x軸于點(diǎn)C，P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PEx軸，交直線AB于點(diǎn)E．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖1，在拋物線上有一點(diǎn)F，使得∠CBF＝∠OAC，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
(3)如圖2，當(dāng)△PDE的周長(zhǎng)為+8時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)（，）
(3)（2，-4）
【分析】（1）直接把A（0，﹣1），B（4，1）代入到拋物線解析式中求解即可；
（2）如圖2-1所示，當(dāng)點(diǎn)F在直線AB下方時(shí)，可證得OA∥BF，即BF⊥x軸，這種情況不存在；如圖2-2所示，當(dāng)點(diǎn)F在直線AB的上方時(shí)，設(shè)直線BF與y軸交于點(diǎn)E， 由∠OAC=∠CBF，得到EA=EB，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，m），則，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4），然后求出直線BE的解析式為，聯(lián)立，即可求出點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）；
（3）先求出點(diǎn)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），則OC=2，OA=1，，△AOC的周長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，根據(jù)PE∥x軸，得到∠OCA=∠DEP，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，然后求出直線AB的解析式為得到點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ，則；證明△PDE∽△AOC，得到，則，由此求解即可．
【解析】（1）解：把A（0，﹣1），B（4，1）代入到拋物線解析式中得：
∴，
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖2-1所示，當(dāng)點(diǎn)F在直線AB下方時(shí)，
∵∠OAC=∠CBF，
∴OA∥BF，即BF⊥x軸，
∴這種情況不存在；
如圖2-2所示，當(dāng)點(diǎn)F在直線AB的上方時(shí)，設(shè)直線BF與y軸交于點(diǎn)E，
∵∠OAC=∠CBF，
∴EA=EB，
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，m），
∴，
解得，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，4），
設(shè)直線BE的解析式為，
∴，
∴，
∴直線BE的解析式為，
聯(lián)立，
解得或，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，）
（3）解：∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
又∵直線AB與x軸的交點(diǎn)為C，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0），
∴OC=2，OA=1，
∴，
∴△AOC的周長(zhǎng)，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，
∵PE∥x軸，
∴∠OCA=∠DEP，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為，
設(shè)直線AB的解析式為，
∴，
∴，
∴直線AB的解析式為
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ，
∴，
∵PD⊥AB，
∴∠PDE=∠AOC=90°，
∴△PDE∽△AOC，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-4）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，兩點(diǎn)距離公式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)問題，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且與y軸交于點(diǎn)A．
(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，交線段OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，如果，求證：；
(3)若點(diǎn)F是線段AB（不包含端點(diǎn)）上的一點(diǎn)，且點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)恰好在上述拋物線上，求直線的解析式．
【答案】(1)拋物線的解析式為；點(diǎn)A的坐標(biāo)
(2)證明見解析
(3)直線的解析式為：
【分析】（1）將，代入拋物線解析式得到二元一次方程組，解得m、n的值，即可得到拋物線解析式，再令，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，通過(guò)坐標(biāo)證明為直角三角形，且，利用及角的關(guān)系證明，結(jié)合，即可證明兩個(gè)三角形相似；
（3）作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B’，則A、F’、B’三點(diǎn)共線，先求直線A B’的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求得F’的坐標(biāo)，再求直線BB’的解析式，利用及求得的F’的坐標(biāo)，即可求的解析式．
【解析】（1）解：將，代入拋物線解析式，得：
，解得
∴拋物線的解析式為
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)
（2）如圖所示，點(diǎn)P是y軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，交線段OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q
∵，，
∴
∴
即為直角三角形，且
∵，
∴OA=OC
∴
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P只能在點(diǎn)B的右側(cè)，
∴
∴
∵
∴
又∵
∴
（3）如圖所示，作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B’，則A、F’、B’三點(diǎn)共線
∵，點(diǎn)B’和點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱，
∴
設(shè)直線A B’的解析式為：，代入得：
解得：
∴直線A B’的解析式為：
聯(lián)立
解得：（舍去）
則
設(shè)直線BB’的解析式為：，代入，得：
，解得
∴直線BB’的解析式為：
由題意可知
∴設(shè)直線的解析式為：，代入得：
解得：
∴直線的解析式為：．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題．涉及勾股定理的逆定理，相似三角形的判定，待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，難度較大，綜合性強(qiáng)．
18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的對(duì)稱軸是直線，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，．
（1）求拋物線的解析式．
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)拋物線上的一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，且在直線BC的下方，求使的面積為最大整數(shù)時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）存在當(dāng)是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，點(diǎn)或；（3）使的面積為最大整數(shù)時(shí)點(diǎn)或．
【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，由題意易得，然后根據(jù)對(duì)稱軸為直線及點(diǎn)可求解；
（2）由題意可分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可分別求解點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，交BC于點(diǎn)M，由題意易求直線BC的解析式，然后可得點(diǎn)M的坐標(biāo)及線段PM的長(zhǎng)，根據(jù)鉛垂法可求出△BCP的面積，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求解．
【解析】解：（1）∵，，
∴，
∴，
設(shè)拋物線的解析式為，則有：
，解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）存在點(diǎn)Q，使得是以BC為直角邊的直角三角形，理由如下：
①當(dāng)時(shí)，如圖所示：
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥y軸于點(diǎn)H，
∵，，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△HCQ是等腰直角三角形，
∴，
設(shè)點(diǎn)，則有，
∴，解得：（不符合題意，舍去），
∴點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，如圖所示：
過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，然后過(guò)點(diǎn)Q、C分別作QE⊥BE于點(diǎn)E，CF⊥BE于點(diǎn)F，
∴，
∴△BFC是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴△QEB是等腰直角三角形，
∴，
設(shè)點(diǎn)，則有，
∴，解得：（不符合題意，舍去），
∴點(diǎn)；
綜上所述：當(dāng)是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，點(diǎn)或；
（3）由（1）可知：，，
設(shè)直線BC的解析式為，則有：
，解得：，
∴直線BC的解析式為，
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，交BC于點(diǎn)M，如圖所示：
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，開口向下，
∴，
∴的面積為最大整數(shù)時(shí)的值為3，
∴，
解得：，
∴點(diǎn)或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，已知直線y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．
(1)求這條拋物線的表達(dá)式；
(2)直線x＝t與該拋物線交于點(diǎn)C，與線段AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、B不重合），與x軸交于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)AC、BC．
①當(dāng)＝時(shí)，求t的值；
②當(dāng)CD平分∠ACB時(shí)，求ABC的面積．
【答案】(1)
(2)①2；②
【分析】（1）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；
（2）①證明△ADE∽△BDC，由相似三角形的性質(zhì)得出∠DAE＝∠DBC，證出AE∥BC，得出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則可求出答案；
②設(shè)C（t，），過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，得出tan∠BCH＝tan∠ACE，則，解方程求出t的值，則可求出答案．
【解析】（1）解：由y=-x+2可得：
當(dāng)x=0時(shí)，y=2；當(dāng)y=0時(shí)，x=3，
∴A（3，0），B（0，2），
把A、B的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=-x2+x+2；
（2）①如圖1，
∵DE∥OB，
∴，
∵，
∴，
又∵∠ADE=∠BDC，
∴△ADE∽△BDC，
∴∠DAE=∠DBC，
∴AE∥BC，
∴C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，
∴2=-x2+x+2，
∴x=0或x=2，
∴C（2，2），
∴t=2；
②如圖2，設(shè)C（t，-t2+t+2），
過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CE于點(diǎn)H，
∵∠BCH=∠ACE，
∴tan∠BCH=tan∠ACE，
∴，
∴，
∴t=，
∴C（，），
∴S△ACB=S△ACE+S梯形BOCE-S△ABO
=．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，平行線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
20．已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn) ，點(diǎn)是該拋物線在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)與線段相交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與線段交于點(diǎn)，如果點(diǎn)與點(diǎn)重合，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)與線段交于點(diǎn)，如果，求線段的長(zhǎng)度．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)和點(diǎn)代入，即可求解；
（2）分別求出和直線的解析式為，可得，，再求直線的解析式為，聯(lián)立，即可求點(diǎn)；
（3）設(shè)，則，則，用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，聯(lián)立，可求出，，直線與軸交點(diǎn)，則，再由，可得，則有方程，求出，即可求．
（1）
解：將點(diǎn)和點(diǎn)代入，
，
，
；
（2）
解：，
對(duì)稱軸為直線，
令，則，
解得或，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
，
，，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
，
聯(lián)立，
或（舍，
；
（3）
解：
設(shè)，則，
，
設(shè)直線的解析式為，
，
，
，
聯(lián)立，
，
，，
直線與軸交點(diǎn)，
，
，
，
軸，
，
，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，會(huì)求二次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，本題計(jì)算量較大，準(zhǔn)確的計(jì)算也是解題的關(guān)鍵．
21．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)x軸上的點(diǎn)和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）及y軸上的點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的直線為，頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）連接．若點(diǎn)P為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作 軸交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作交y軸于點(diǎn)G．點(diǎn)H，K分別在對(duì)稱軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，連接．
①求的周長(zhǎng)為最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②在①的條件下，求的最小值及點(diǎn)H的坐標(biāo)．
【答案】（1） ；（2）①；②的最小值為10，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為
【分析】（1）先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，可得到n，進(jìn)而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入，即可求解；
（2）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而得到PE，再根據(jù)△PFE∽△BOC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；
②如圖，將直線OG繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線l，作 ，垂直分別為 ，則∠MGO=60°， 從而得到 ， ，從而得到當(dāng)點(diǎn)H位于拋物線對(duì)稱軸與OP的交點(diǎn)時(shí)，最小，最小值為PM，然后證得點(diǎn)P、O、M三點(diǎn)共線，即可求解．
【解析】解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)y軸上的點(diǎn)C，
∴當(dāng) 時(shí)， ，
∴點(diǎn) ，
將點(diǎn) ，代入，得： ，
∴直線BC的解析式為 ，
當(dāng) 時(shí)， ，
∴點(diǎn)B（4,0），
將點(diǎn)，B（4,0），代入，得：
，解得： ，
∴拋物線解析式為 ；
（2）①設(shè) ，則 ，
∴ ，
設(shè)△PEF的周長(zhǎng)為m，
∵，
∴∠PEF=∠BCO，
∵∠PFO=∠BCO=90°，
∴△PFE∽△BOC，
∴ ，
∵點(diǎn)B（4,0）， ，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴，
∴當(dāng) 時(shí)，m最大，此時(shí) ，
即的周長(zhǎng)為最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
②拋物線的對(duì)稱軸為 ，
如圖，將直線OG繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到直線l，作 ，垂直分別為 ，則∠MGO=60°，
∴ ， ，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)H位于拋物線對(duì)稱軸與OP的交點(diǎn)時(shí)，最小，最小值為PM，
∵∠MGO=60°，
∴∠MOG=30°，
∵，
∴ ， ，
∴∠POB=60°，
∴∠MOG+∠BOG+∠POB=180°，
∴點(diǎn)P、O、M三點(diǎn)共線，
設(shè)直線AC的解析式為 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴直線AC的解析式為 ，
∵，
∴可設(shè)直線BG的解析式為 ，
把點(diǎn)B（4,0），代入得： ，
∴直線BG的解析式為 ，
∴點(diǎn) ，
∴ ，
∴，
∴PM=10，
∴的最小值為10，
∵∠POB=60°，拋物線對(duì)稱軸為 ，
∴此時(shí)點(diǎn)H的縱坐標(biāo)為 ，
∴的最小值為10，此時(shí)點(diǎn)H的坐標(biāo)為 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．
22．如圖，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，拋物線的對(duì)稱軸與BC相交于點(diǎn)E,與x軸相交于點(diǎn)F.
（1）求線段的長(zhǎng)．
（2）聯(lián)結(jié)，若點(diǎn)G在拋物線的對(duì)稱軸上，且與相似，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
（3）設(shè)點(diǎn)P為x軸上的一點(diǎn)，且時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】（1）2；（2）或；（3）或
【分析】（1）根據(jù)拋物線的解析式可求得與坐標(biāo)軸的坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而易得OB=OC，由EF⊥OB即可求得EF的長(zhǎng)，從而求得DE的長(zhǎng)；
（2）設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，x)，分兩種情況考慮：△COE∽△EGB和△COE∽△EBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得x的值，從而可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況考慮：點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)和點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，由D(1，4)，則，得出∠α =∠DOF，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求得∠DPO=∠ADO，進(jìn)而可得△ADP∽△AOD，由相似三角形的性質(zhì)可求得OP的長(zhǎng)，從而求得P點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)， 作點(diǎn)P關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)也滿足題意．
【解析】（1）當(dāng)時(shí)，解方程得：
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（-1，0）、B(3，0)
∴OB=3
∵在中，當(dāng)x=0時(shí)，
∴拋物線與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)
∴OC=3
∵
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(1，4)
∴DF=4，OF=1
∵OB=OC=3，OC⊥OB
∴∠OCB=∠OBC=45°
∵EF⊥OB
∴∠FEB=∠OBC=45°
∴EF=BF=OB-OF=3-1=2
∴DE=DF-EF=4-2=2
（2）設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，x)
在Rt△OBC及Rt△FBE中，由勾股定理得：，
∴
①若△COE∽△EGB
則有，∠GEB=∠OCE=45°
即OC?BE=CE?EG
∴點(diǎn)G只能在點(diǎn)E下方
∵由（1）可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，2)
∴EG=2-x
∴
解得：x=-4
即點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1，-4)
②若△COE∽△EBG
則有，∠BEG=∠OCE=45°
即OC?EG=CE?BE
∴點(diǎn)G只能在點(diǎn)E下方
∴EG=2-x
∴
解得：
即點(diǎn)G的坐標(biāo)為
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)為或
（3）①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，連接DP、DA、DO
∵，
∴∠DOF=∠α=∠DAO+∠DPO，∠DOF=∠PDO+∠DPO
∴∠DAO=∠PDO
∴△OAD∽△ODP
∴，即
∵
∵OA=1
∴OP=17
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-17，0)
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，作點(diǎn)P(-17，0)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，則
∴
此時(shí)點(diǎn)滿足題意，且其坐標(biāo)為(19，0)
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或
【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求得三角形相似是關(guān)鍵．注意分類討論．
23．已知拋物線過(guò)點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)A在直線上且在第一象限內(nèi)，過(guò)A作軸于B，以為斜邊在其左側(cè)作等腰直角．
①若A與Q重合，求C到拋物線對(duì)稱軸的距離；
②若C落在拋物線上，求C的坐標(biāo)．
【答案】（1）；（2）①1；②點(diǎn)C的坐標(biāo)是
【分析】(1)將兩點(diǎn)分別代入，得,解方程組即可;
（2）①根據(jù)AB=4,斜邊上的高為2,Q的橫坐標(biāo)為1,計(jì)算點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1,即到y(tǒng)軸的距離為1；②根據(jù)直線PQ的解析式，設(shè)點(diǎn)A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代數(shù)式表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求解即可.
【解析】解：（1）將兩點(diǎn)分別代入，得
解得．
所以拋物線的解析式是．
（2）①如圖2，拋物線的對(duì)稱軸是y軸，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)重合時(shí)，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴點(diǎn)C到拋物線的對(duì)稱軸的距離等于1．
②如圖3，設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+b，由，得
解得
∴直線的解析式為，
設(shè)，
∴，
所以．
所以．
將點(diǎn)代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（與點(diǎn)P重合，舍去）．
當(dāng)時(shí)，．
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)是．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線解析式的確定，一次函數(shù)解析式的確定，等腰直角三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，熟練掌握待定系數(shù)法，靈活用解析式表示點(diǎn)的坐標(biāo)，熟練解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
24．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．
（1）求證：；
（2）設(shè)點(diǎn)是拋物線上兩點(diǎn)之間的動(dòng)點(diǎn)，連接．在的條件下：
①若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若，且的最大值為，直接寫出的值．
【答案】（1）見解析；（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②或
【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入解析式，確定b=c-1，根據(jù)對(duì)稱軸為x=，確定，得到c-1=m-1即c=m，問題得證；
（2）①過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，交BC于點(diǎn)D，確定直線BC的解析式，用x表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)E的坐標(biāo)，根據(jù)面積關(guān)系建立方程求解即可；
②根據(jù)拋物線確定對(duì)稱軸為x=1,分對(duì)稱軸在取值范圍內(nèi)，取值范圍的左邊和右邊三種情形求解．
【解析】解：（1）把A（-1，0）代入解析式，得-1-b+c=0即b=c-1．
∵y=-+bx+c的對(duì)稱軸為x=，A（-1，0），B（m，0）是對(duì)稱點(diǎn)，
∴，
∴b=m-1，
∴m-1=c-1，
∴m=c，
∵OB=m，OC=c，
∴OB=OC；
（2）①當(dāng)m=3時(shí)，b=m-1=2，c=m=3，
∴拋物線的解析式為y=-+2x+3，
∴B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3；
∵A（-1，0），
∴AB=4，
∴,
∴，
過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，交BC于點(diǎn)E，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t，根據(jù)題意，得，
解得，
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，-+2x+3），點(diǎn)D的坐標(biāo)（x，0），點(diǎn)E的坐標(biāo)（x，-x+3），
∴PE=（-+2x+3）-（-x+3）=-+3x，
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥PE，垂足為F，
則，
∴
∴，
解得x=1或x=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）
②∵拋物線y=-+2x+3=，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y有最大值，且為4，
當(dāng)n≤1≤n+2時(shí)即-1≤n≤1時(shí)，函數(shù)有最大值4，故2n=4，解得n=2，
不符合題意，故n=2舍去；
當(dāng)1＜n≤x≤n+2時(shí)即取值范圍在對(duì)稱軸右邊，
∵拋物線開口向下，
∴在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=n時(shí)，函數(shù)有最大值，此時(shí)函數(shù)值為y=-+2n+3，
∴-+2n+3=2n，
解得n=或n= -（舍去）；
當(dāng)n≤x≤n+2＜1時(shí)即取值范圍在對(duì)稱軸左邊，
∵拋物線開口向下，
∴在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=n+2時(shí)，函數(shù)有最大值，此時(shí)函數(shù)值為y=-+2（n+2）+3，
∴-+2（n+2）+3，
解得n=或n=（舍去）；
∴n的值為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的確定，二次函數(shù)的增減性，對(duì)稱軸，線段與點(diǎn)的關(guān)系，熟練掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)的增減性，靈活運(yùn)用分類思想是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，已知拋物線y＝x2+m與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x+4與y軸和x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)E在x軸上，以CD為對(duì)角線作?CEDF．
（1）當(dāng)點(diǎn)C在∠ABO的平分線上時(shí)，求上述拋物線的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，如果?CEDF的頂點(diǎn)F正好落在y軸上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)E是BO的中點(diǎn)，且?CEDF是菱形，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）0
【分析】（1）在Rt△ADC中，設(shè)OC=x，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解；
（2）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），如果?CEDF的頂點(diǎn)F正好落在y軸上，則DE∥y軸，且DE＝CF，進(jìn)而求解；
（3）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），由DE＝CE，即可求解．
【解析】解：（1）對(duì)于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，則y＝4，
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，4）、（3，0），
由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)知，OA＝4，OB＝3，則AB＝5，
連接BC，如下圖，
∵點(diǎn)C在∠ABO的平分線上，則OC＝CD，
∵BC＝BC，
∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL），
故BD＝OB＝3，則AD＝5﹣3＝2，
設(shè)OC＝CD＝x，則AC＝4﹣x，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），
則拋物線的表達(dá)式為y＝x2+；
（2）如上圖，過(guò)點(diǎn)C作CH∥x軸交AB于點(diǎn)H，則∠ABO＝∠AHC，
由AB得表達(dá)式知，tan∠ABO＝＝tan∠DHC，則tan∠DCH＝，
故直線CD的表達(dá)式為y＝x+②，
聯(lián)立①②并解得，故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），
如果?CEDF的頂點(diǎn)F正好落在y軸上，則DE∥y軸，且DE＝CF，
故DE＝y(tǒng)D＝，
則yF＝y(tǒng)C+DE＝，
故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，）；
（3）∵點(diǎn)E是BO的中點(diǎn)，故點(diǎn)E（，0），
由（2）知，直線CD的表達(dá)式為y＝x+m③，
聯(lián)立①③并解得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），
而點(diǎn)E、C的坐標(biāo)分別為（，0）、（0，m），
∵?CEDF是菱形，則DE＝CE，
即（﹣）2+（）2＝（）2+m2，
即9m2﹣36m＝0，
解得m＝4（舍去）或0，
故m＝0．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、解直角三角形等．
26．如圖1，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），點(diǎn)D（﹣1，m）在邊BC上，將△ABD沿AD折疊壓平，使點(diǎn)B落在坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E．
(1)如圖2，當(dāng)m＝3時(shí)，拋物線過(guò)點(diǎn)A、E、C，求拋物線解析式；
(2)如圖3，隨著m的變化，點(diǎn)E正好落在y軸上，求∠BAD的余切值；
(3)若點(diǎn)E橫坐標(biāo)坐標(biāo)為1，拋物線y＝ax2＋2ax＋10（a≠0且a為常數(shù)）的頂點(diǎn)落在△ADE的內(nèi)部，求a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)C的坐標(biāo)和矩形的性質(zhì)可以得到點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）由折疊的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出，從而得進(jìn)而可得結(jié)論；
（3）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)則∠分別求出，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線和的解析式，再求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，把代入兩直線解析式，從而可進(jìn)一步得出結(jié)論．
(1)
解：如圖1，
在矩形中，////
當(dāng)時(shí)，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
由折疊得，
∴
∴四邊形是菱形，
∵∠，
∴四邊形是正方形，
∴點(diǎn)在軸上，
∴
∴；
設(shè)拋物線的解析式為：
把代入得，
解得，
∴所以，經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的拋物線的解析式為：
(2)
解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，
由折疊得，∠，
∴∠
∵
∴∠
在中，由勾股定理得，，
∴
∴在中，
∴
∴
在中，
(3)
解：如圖 3，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)則∠
∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴
∴
由折疊得，∠
∴∠
∵∠，
∴∠
在中，由勾股定理得，
∴
在中，，
∴
∴
∴；
設(shè)直線的解析式為，
將代入，得：
解得，
∴直線的解析式為
設(shè)直線的解析式為
把代入得，
解得，
∴直線的解析式為；
又拋物線
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，代入，得：
當(dāng)時(shí)，代入得
∵拋物線的頂點(diǎn)在△內(nèi)部，
∴
即
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，是一道有關(guān)折疊的問題，主要考查二次函數(shù)、矩形、解直角三角形等知識(shí)，試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．
一、解答題
1． (2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交線段于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)P作，垂足為點(diǎn)M．
(1)求這條拋物線的表達(dá)式；
(2)設(shè)的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，如果，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如果以N為圓心，為半徑的圓與以為直徑的圓內(nèi)切，求m的值．
【答案】(1)
(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是
(3)當(dāng)與內(nèi)切時(shí)，
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線解析式；
（2）先證明，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可得出：．利用待定系數(shù)法可得直線的解析式為．設(shè)點(diǎn)，，則，，建立方程求解即可得出答案；
（3）設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn) 的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，運(yùn)用勾股定理可得，根據(jù)兩圓內(nèi)切建立方程求解即可得出答案．
【解析】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)
∴
∴
∴；
（2）解：∵軸，
∴，
又∵，
∴，
∴．即．
又∵，
∴，
設(shè)直線，又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)，
∴∴，
∴，
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)，
∵點(diǎn)N在直線上，
設(shè)點(diǎn)，
∴，
又，
∴．解之得（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是；
（3）解：設(shè)的中點(diǎn)為點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)，
又點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，
在中，
∴，
當(dāng)與內(nèi)切時(shí)，，
∴，
解之得：，
∴當(dāng)與內(nèi)切時(shí)，．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，兩圓內(nèi)切的性質(zhì)等，本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，第（2）問運(yùn)用相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比建立方程求解是解題關(guān)鍵，第（3）問根據(jù)圓與圓內(nèi)切的性質(zhì)建立方程求解是解題關(guān)鍵．
、
2． (2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
(1)求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)E是第一象限內(nèi)拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，直線交y軸于點(diǎn)F．
①用m的代數(shù)式表示直線的截距；
②在的面積與的面積相等的條件下探究：在y軸右側(cè)存在這樣一條直線，滿足：以該直線上的任意一點(diǎn)及點(diǎn)C、F三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積都等于面積，試用規(guī)范、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)符合條件的直線．
【答案】(1)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為
(2)①直線的截距是；②符合條件的直線應(yīng)該是經(jīng)過(guò)點(diǎn)E且垂直于x軸的直線，為直線和直線
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式，再利用配方法將拋物線表達(dá)式化為頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）①設(shè)點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，即可得出答案；
②當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線于點(diǎn)，則，可得，再求得，根據(jù)題意可得：，解得，故符合條件的直線為；當(dāng)點(diǎn)在軸與對(duì)稱軸之間時(shí)，過(guò)點(diǎn)作平行軸的直線交于點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，可得，進(jìn)而可得，建立方程求解即可得出符合條件的直線為．
【解析】（1）解：拋物線與軸交于點(diǎn)、，
，
解得：，
拋物線的表達(dá)式為，
，
頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）解：①設(shè)點(diǎn)，直線的解析式為，
則，
解得：，
直線的解析式為，
直線的截距為；
②拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，
拋物線對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，設(shè)拋物線對(duì)稱軸交直線于點(diǎn)，如圖1，
則，
，
，
由①知：直線的截距為，即，
又，
，
，
由題意：，
，
解得：或，
，
，
根據(jù)同底等高的三角形面積相等可得：過(guò)點(diǎn)且平行軸的直線上任意一點(diǎn)及點(diǎn)、三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積都等于面積，
符合條件的直線為；
當(dāng)點(diǎn)在軸與對(duì)稱軸之間時(shí)，過(guò)點(diǎn)作平行軸的直線交于點(diǎn)，如圖2，
、，
直線的解析式為，
，
．
，
，
，
解得：（舍去）或，
符合條件的直線為，
綜上所述，符合條件的直線為或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，拋物線的頂點(diǎn)式、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸，直線的截距，三角形面積等，運(yùn)用等底等高的三角形面積相等解決問題是解題關(guān)鍵．
3． (2023·上海虹口·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，連接交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)連接、，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，如果是以為腰的等腰直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由拋物線，得拋物線過(guò)點(diǎn)，設(shè)拋物線解析式，將代入上述解析式，求得a的值，整理化簡(jiǎn)即可．
（2）由（1）中條件求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)及C點(diǎn)坐標(biāo)，再算得，設(shè)點(diǎn)P在射線DE上，連接PB，設(shè)DP交x軸于點(diǎn)F，設(shè)，則，令，解得關(guān)于p的方程即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）由直線BC解析式為，設(shè)，其中，同理，設(shè)，其中，分兩種情況分別討論，求解即可．
【解析】（1）解：∵拋物線，
∴拋物線過(guò)點(diǎn)．
∵拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴將點(diǎn)代入中，
得 ，解得，
故拋物線解析式為，
∴拋物線解析式為．
（2）解：連接、，設(shè)點(diǎn)P在射線DE上，連接PB，設(shè)DP交x軸于點(diǎn)F，
∵拋物線解析式為，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，
∴，．
∵，，
∴直線BC為：，
∵交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
設(shè)，
∵，點(diǎn)P在射線DE上，
∴，
∵DP交x軸于點(diǎn)F，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
故P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）解：∵直線BC為：，，
又∵點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，
∴設(shè)，其中，
又∵，點(diǎn)是對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，
∴設(shè)，其中．
∵是以為腰的等腰直角三角形，
∴分兩種情況進(jìn)行討論：
①如圖1，當(dāng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)N作NK⊥DE于點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)M作ML⊥DE于點(diǎn)L，
∵，
∴，
∵M(jìn)L⊥DE，
∴，
∵，
∴．
∵NK⊥DE，ML⊥DE，
∴，
∵是以為腰的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，．
∵，，，
∴，
解得或，
∵，，
∴舍去，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為．
②如圖2，當(dāng)，時(shí)，
∵是以為腰的等腰直角三角形，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴當(dāng)，解得，
∵，
∴，即．
∵是以為腰的等腰直角三角形，
∴，
∵直線BC為：，，
又∵點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，
∴M點(diǎn)坐標(biāo)為．
綜上，滿足題意的M點(diǎn)坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)相關(guān)的綜合運(yùn)用，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
4． (2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與軸交于點(diǎn)A、與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)是拋物線上一點(diǎn)，且位于直線上方，過(guò)點(diǎn)作軸、軸，分別交直線于點(diǎn)、．
①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
②連接交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由求，，將A、B代入即可求解；
（2）設(shè)①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由軸，軸，可得，，當(dāng)時(shí)，即可求解；
②過(guò)點(diǎn)作軸，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，可得，由軸，軸，得，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，由，即可求解；
【解析】（1）解：將代入得，y=8，
將y=0代入得0=2x+8，解得：x=-4，
所以，，
，在拋物線上，
∴，解得
拋物線的解析式
（2）①設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
軸，且點(diǎn)在直線上，
點(diǎn)的坐標(biāo)為
，，
，，
軸，軸，
，，
，
，
當(dāng)時(shí)，
，解得
點(diǎn)的坐標(biāo)為
②過(guò)點(diǎn)作軸，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，則.
當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，可得
軸，軸，
，
點(diǎn)是的中點(diǎn)
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，
∵，
∴△OCD∽△OPE，
，
即，
.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合應(yīng)用、三角形的相似，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
5． (2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知：在直角坐標(biāo)系中直線與軸、軸相交于點(diǎn)、，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如果直線與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)；
(3)是線段上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的平行線，與軸相交于點(diǎn)，把沿直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，如果點(diǎn)在拋物線上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)點(diǎn)是坐標(biāo)是
【分析】（1）先根據(jù)直線求出點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，再運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；
（2）求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，代入y=-x+4，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再運(yùn)用勾股定理求解即可；
（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明四邊形為正方形，得點(diǎn)坐標(biāo)是，從而可得方程，求解方程即可得到答案．
【解析】（1）直線與軸、軸相交于點(diǎn)、，
當(dāng)y=0，則-x+4=0，解得，x=4，
當(dāng)x=0，則y=4，
∴、.，
代入得，
，
解得，，，
∴拋物線的解析式為.
（2）∵
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
當(dāng)x=1時(shí)，
∴，
∴.
（3）如圖，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴四邊形為矩形，
∵，
∴四邊形為正方形，
∴，
∴點(diǎn)是坐標(biāo)是，
∴，
解得：，（不合題意，舍去），
∴點(diǎn)是坐標(biāo)是
【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，矩形的判定和正方形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是抓住圖形中某些特殊的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
6． (2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0），頂點(diǎn)為H（2，4），對(duì)稱軸l與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C、P是拋物線上的點(diǎn)，且都在第一象限內(nèi)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)當(dāng)點(diǎn)C位于對(duì)稱軸左側(cè)，∠CHB＝∠CAO，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)在（2）的條件下，已知點(diǎn)P位于對(duì)稱軸的右側(cè)，過(guò)點(diǎn)P作PQCH，交對(duì)稱軸l于點(diǎn)Q，且，求直線PQ的表達(dá)式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根據(jù)題意將拋物線表達(dá)式設(shè)為頂點(diǎn)式，將A、H坐標(biāo)代入即可求出；
（2）過(guò)點(diǎn)C向?qū)ΨQ軸和x軸作垂線，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)角度相等，所以正切值相等，分別在兩個(gè)直角三角形中構(gòu)造線段等比例關(guān)系，以m表示各線段長(zhǎng)度，代入等比例式中，求出m即可；
（3）分別作OM、AN垂直于PQ，OM、AN即為兩個(gè)三角形的高，因?yàn)榈譖Q相同，所以兩三角形面積比等于OM與AN的比，延長(zhǎng)PQ交x軸于點(diǎn)D，則，得到三角形相似，繼而得到OM與AN的比等于OD與AD的比，從而求出D點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镻QCH，先求出CH表達(dá)式為，則可將PQ的表達(dá)式設(shè)為形式，將D點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出表達(dá)式．
【解析】（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，
∴設(shè)，
∴，
解得：，
∴，
∴拋物線的表達(dá)式為．
（2）分別過(guò)點(diǎn)C作，軸，垂足為點(diǎn)G、F，
設(shè)，
則：，，，，
∵，
∴，
∴．
∴，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，m=1是方程的解，
則，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為．
（3）延長(zhǎng)PQ交x軸于點(diǎn)D．分別過(guò)點(diǎn)O、A作直線PQ的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N．
∵點(diǎn)C坐標(biāo)為，點(diǎn)H坐標(biāo)為，
∴設(shè)直線CH的表達(dá)式為，將C、H坐標(biāo)代入得 ，
解得，
∴直線CH表達(dá)式為：，
①當(dāng)、在直線PQ的兩側(cè)時(shí)，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為．
又∵，
∴設(shè)直線PQ的表達(dá)式為，
將D點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
解得，
∴PQ表達(dá)式為；
②當(dāng)、在直線PQ的同側(cè)時(shí)，
∵，
∴△ODM∽△ADN，
∴，
∴，
∴，
∴此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴設(shè)直線PQ的表達(dá)式為，
將代入解得，
∴直線PQ的表達(dá)式為
綜上所述，滿足條件的直線PQ的表達(dá)式為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題，需熟練掌握二次函數(shù)數(shù)形結(jié)合的綜合應(yīng)用．
7． (2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B頂點(diǎn)為C．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)將拋物線沿y軸向上平移，平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為D，如果，求平移的距離；
(3)設(shè)拋物線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，將拋物線向左平移3個(gè)單位，如果點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q落在內(nèi)，求m的取值范圍．
【答案】(1)拋物線的解析式為
(2)平移的距離為
(3)m的取值范圍為
【分析】（1）由直線解析式可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后再代入二次函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DC于點(diǎn)E，由（1）可得：，拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后可得，進(jìn)而問題可求解；
（3）由（1）可知點(diǎn)，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，則有點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后根據(jù)圖象的平移可進(jìn)行求解．
【解析】（1）解：令x=0時(shí)，則有，即點(diǎn)，
令y=0時(shí)，則有，解得：，即點(diǎn)，
把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得：
，解得：，
∴拋物線的解析式為；
（2）解：由題意可得如下圖象：
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DC于點(diǎn)E，
由（1）可得：，拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平移距離；
（3）解：由（1）可知點(diǎn)，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵將拋物線向左平移3個(gè)單位，且點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q落在內(nèi)，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且AB＝4．
(1)求這個(gè)函數(shù)的解析式，并直接寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)點(diǎn)E是二次函數(shù)圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作直線軸交拋物線于點(diǎn)F（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)），點(diǎn)D關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為G，如果四邊形DEGF是正方形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(3)若射線AC與射線BD相交于點(diǎn)H，求∠AHB的大?。?br>【答案】(1)；D（1，4）；
(2)E（0，3）；
(3)．
【分析】（1）先求出拋物線對(duì)稱軸，再根據(jù)AB= 4求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再代入函數(shù)關(guān)系式求出m的值，再求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接DG交EF于點(diǎn)Q，先證明四邊形DEGF是菱形，設(shè)E（n，-n2+ 2n + 3），
再根據(jù)四邊形DEGF是正方形得到EQ = DQ，據(jù)此求出n的值，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）連接AC，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥x軸于M，先求出AC的長(zhǎng)，得到∠ABC = 45°，求出直線AC與直線BD的函數(shù)關(guān)系式，再聯(lián)立方程組求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，再求出AH的長(zhǎng)，得到，從而證得，可得結(jié)果．
【解析】（1）∵拋物線為的對(duì)稱軸為直線，AB= 4，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴把B（3，0）代入得，
9m-6m +3 = 0，
解得：m=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x +3；
∵拋物線為，
∴頂點(diǎn)D（1，4）；
（2）如圖1，連接DG交EF于點(diǎn)Q，
∵D（1，4），D與G關(guān)于EF對(duì)稱，
∴EF垂直平分DG，
∴DE = EC，DF = FG，
∵EF//c軸，DG⊥x軸，點(diǎn)E、F關(guān)于直線DG對(duì)稱，
∴DE = DF，線段DG在拋物線的對(duì)稱軸上，
∴DE = DF= FG = EG，
∴四邊形DEGF是菱形；
設(shè)E（n，-n2+ 2n + 3），
∴EQ = 1-n，DQ =4-（-n2 + 2n + 3）=n2- 2n+1，
又∵四邊形DEGF是正方形，
∴EQ = DQ，
即，
解得n = 0或n = 1（舍去），
∴．E（0，3）；
（3）如圖2，連接AC，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥x軸于M，
∵拋物線為y =-x2 + 2x + 3，
∴C（0，3），
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AO = 1，AB = 4，OC = 3，OB = 3，
∴
∴OB = OC，
∴∠ABC = 45°，
設(shè)直線AC的解析式為y=rx +3（r≠ 0），
則0=-r+ 3，
∴r = 3，
∴直線AC的解析式為y= 3x+3，
設(shè)直線BD的解析式為y =ka +b（k≠0），
則，
解得，
∴直線BD的解析式為y=-2x +6，
解方程組，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，菱形的性質(zhì)及判定，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

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