以圓為背景的綜合問題是中考壓軸題的命題趨勢之一，按往年命題趨勢猜測，很大概率會和平行線段分線段成比例 (2023年），梯形，特殊平行四邊形（最新熱點）等知識點結(jié)合，主要考查學(xué)生挖掘信息的能力，難題分解能力，數(shù)學(xué)綜合能力
考點一
定圓結(jié)合直角三角形，考察函數(shù)關(guān)系，圓心距，存在性問題；
考點二
定圓結(jié)合直角三角形；三角形相似，線段與周長的函數(shù)關(guān)系；
考點三
定圓結(jié)合直角三角形；考察函數(shù)關(guān)系，三角形面積比值問題；
考點四
定圓結(jié)合平行線，弧中點，考察函數(shù)關(guān)系，與圓相切問題；
考點五
動圓結(jié)合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函數(shù)關(guān)系；
考點六
動圓結(jié)合內(nèi)切直角三角形，三角形相似，線段比，圓位置關(guān)系；
考點七
動圓結(jié)合定圓，考察函數(shù)關(guān)系，與圓有關(guān)的位置關(guān)系；
考點八
動圓結(jié)合定圓，函數(shù)關(guān)系，四邊形，正多邊形結(jié)合的問題。
一、解答題
1． (2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）在半圓O中，AB為直徑，AC，AD為兩條弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．
(1)如圖1，求證：等于；
(2)如圖2，點F在直徑AB上，DF交AC于點E，若AE＝DE，求證：AC＝2DF；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的長．
2． (2023春·上海徐匯·九年級統(tǒng)考階段練習）已知：⊙O的半徑為3，弦，垂足為，點E在⊙O上，，射線與射線相交于點．設(shè)，，
(1)求與之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；
(2)當為直角三角形時，求的長；
(3)如果，求的長．
3．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是上任一點（點P與點A、B重合），連接AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．
(1)求∠APC和∠BPC的度數(shù)；
(2)求證：△ACM≌△BCP；
(3)若PA＝1，PB＝2，求四邊形PBCM的面積；
(4)在（3）的條件下，求的長度．
4． (2023秋·上海金山·九年級期末）定理：一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．如圖1，∠A＝∠O．
已知：如圖2，AC是⊙O的一條弦，點D在⊙O上（與A、C不重合），聯(lián)結(jié)DE交射線AO于點E，聯(lián)結(jié)OD，⊙O的半徑為5，tan∠OAC＝．
(1)求弦AC的長．
(2)當點E在線段OA上時，若△DOE與△AEC相似，求∠DCA的正切值．
(3)當OE＝1時，求點A與點D之間的距離（直接寫出答案）．
5． (2023·上?！そy(tǒng)考二模）如圖，已知扇形的半徑，，點、分別在半徑、上（點不與點重合），聯(lián)結(jié)．點是弧上一點，．
（1）當，以為半徑的圓與圓相切時，求的長；
（2）當點與點重合，點為弧的中點時，求的度數(shù)；
（3）如果，且四邊形是梯形，求的值．
6． (2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知：在半徑為2的扇形中，，點C是上的一個動點，直線與直線相交于點D．
（1）如圖1，當是等腰三角形時，求的大?。ㄓ煤琺的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，當，點C是的中點時，連接，求的值；
（3）將沿所在的直線折疊，當折疊后的圓弧與所在的直線相切于點，且時，求線段AD的長．
7． (2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知⊙O的直徑AB＝4，點P為弧AB上一點，聯(lián)結(jié)PA、PO，點C為劣弧AP上一點（點C不與點A、P重合），聯(lián)結(jié)BC交PA、PO于點D、E．
（1）如圖，當cs∠CBO＝時，求BC的長；
（2）當點C為劣弧AP的中點，且△EDP與△AOP相似時，求∠ABC的度數(shù)；
（3）當AD＝2DP，且△BEO為直角三角形時，求四邊形AOED的面積．

8． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，已知在四邊形中，，，以為直徑的交邊于、兩點，，，設(shè)的半徑長為．
（1）聯(lián)結(jié)，當時，求的半徑長；
（2）過點作，垂足為點，設(shè)，試用的代數(shù)式表示；
（3）設(shè)點為的中點，聯(lián)結(jié)、，是否能成為等腰三角形？如果能，試求出的值；如不能，試說明理由．
9． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB＝6，點C在半圓O上．過點A作AD⊥OC，垂足為點D，AD的延長線與弦BC交于點E，與半圓O交于點F（點F不與點B重合）．
（1）當點F為的中點時，求弦BC的長；
（2）設(shè)OD＝x，＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當△AOD與△CDE相似時，求線段OD的長．
10． (2023·上海·九年級專題練習）如圖，已知半圓⊙O的直徑AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E為弧CD的中點，點P在弦CD上，聯(lián)結(jié)PE，過點E作PE的垂線交弦CD于點G，交射線OB于點F．
（1）當點F與點B重合時，求CP的長；
（2）設(shè)CP＝x，OF＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
（3）如果GP＝GF，求△EPF的面積．
一、解答題
1． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，sin∠BAC＝．點D在邊AB上（不與點A、B重合），以AD為半徑的⊙A與射線AC相交于點E，射線DE與射線BC相交于點F，射線AF與⊙A交于點G．
（1）如圖，設(shè)AD＝x，用x的代數(shù)式表示DE的長；
（2）如果點E是的中點，求∠DFA的余切值；
（3）如果△AFD為直角三角形，求DE的長．
2． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，cs∠BAC，點O是邊AC上一個動點（不與A、C重合），以點O為圓心，AO為半徑作⊙O，⊙O與射線AB交于點D，以點C為圓心，CD為半徑作⊙C，設(shè)OA＝x．
（1）如圖2，當點D與點B重合時，求x的值；
（2）當點D在線段AB上，如果⊙C與AB的另一個交點E在線段AD上時，設(shè)AE＝y(tǒng)，試求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）在點O的運動過程中，如果⊙C與線段AB只有一個公共點，請直接寫出x的取值范圍．
3．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）在下列正多邊形中，是中心，定義：為相應(yīng)正多邊形的基本三角形．如圖1，是正三角形的基本三角形；如圖2，是正方形的基本三角形；如圖3，為正邊形…的基本三角形．將基本繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角度得．
（1）若線段與線段相交點，則：
圖1中的取值范圍是________；
圖3中的取值范圍是________；
（2）在圖1中，求證
（3）在圖2中，正方形邊長為4，，邊上的一點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，若有最小值時，求出該最小值及此時的長度；
（4）如圖3，當時，直接寫出的值．
4．（2023春·上海·九年級專題練習）如圖，已知圓O是正六邊形ABCDEF外接圓，直徑BE=8，點G、H分別在射線CD、EF上（點G不與點C、D重合），且∠GBH=60°，設(shè)CG=x，EH=y．
（1）如圖①，當直線BG經(jīng)過弧CD的中點Q時，求∠CBG的度數(shù)；
（2）如圖②，當點G在邊CD上時，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）聯(lián)結(jié)AH、EG，如果△AFH與△DEG相似，求CG的長．
5． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）在圓O中，弦AB與CD相交于點E，且弧AC與弧BD相等．點D在劣弧AB上，聯(lián)結(jié)CO并延長交線段AB于點F，聯(lián)結(jié)OA、OB．當OA＝，且tan∠OAB＝．
（1）求弦CD的長；
（2）如果△AOF是直角三角形，求線段EF的長；
（3）如果S△CEF＝4S△BOF，求線段AF的長．
6． (2023春·上海閔行·九年級校考期中）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=CD=6．動點P在射線BA上，以BP為半徑的⊙P交邊BC于點E（點E與點C不重合），聯(lián)結(jié)PE、PC．設(shè)BP= x，PC= y．
（1）求證：PE∥DC；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）聯(lián)結(jié)PD，當∠PDC=∠B時，以D為圓心半徑為的⊙D與⊙P相交，求的取值范圍．
7． (2023春·上海徐匯·九年級位育中學(xué)校考階段練習）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=，點O是AB邊上動點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O與邊BC的另一交點為D，過點D作AB的垂線，交⊙O于點E，聯(lián)結(jié)BE、AE
（1）如圖（1），當AE∥BC時，求⊙O的半徑長；
（2）設(shè)BO=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）若以A為圓心的⊙A與⊙O有公共點D、E，當⊙A恰好也過點C時，求DE的長．
8． (2023·上海·九年級專題練習）已知：如圖，在半徑為2的扇形中，°，點C在半徑OB上，AC的垂直平分線交OA于點D，交弧AB于點E，聯(lián)結(jié)．
（1）若C是半徑OB中點，求的正弦值；
（2）若E是弧AB的中點，求證：；
（3）聯(lián)結(jié)CE，當△DCE是以CD為腰的等腰三角形時，求CD的長．
9．（2018·上海金山·統(tǒng)考二模）如圖，已知在梯形ABCD中，，P是線段BC上一點，以P為圓心，PA為半徑的與射線AD的另一個交點為Q，射線PQ與射線CD相交于點E，設(shè).
（1）求證：；
（2）如果點Q在線段AD上（與點A、D不重合），設(shè)的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）如果與相似，求BP的長.
10．（2017·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點O是邊BC上的動點，以點O為圓心，OB為半徑作圓O，交AB邊于點D，過點D作∠ODP＝∠B，交邊AC于點P，交圓O與點E．設(shè)OB＝x．
（1）當點P與點C重合時，求PD的長；
（2）設(shè)AP﹣EP＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的解析式及定義域；
（3）聯(lián)結(jié)OP，當OP⊥OD時，試判斷以點P為圓心，PC為半徑的圓P與圓O的位置關(guān)系．
11．（2017·上海長寧·統(tǒng)考二模）如圖，△ABC的邊AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，已知AC＝6cm，BC＝8cm，點P、Q分別在邊AB、BC上，且點P不與點A、B重合，BQ＝k?AP（k＞0），聯(lián)接PC、PQ．
（1）求⊙O的半徑長；
（2）當k＝2時，設(shè)AP＝x，△CPQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）如果△CPQ與△ABC相似，且∠ACB＝∠CPQ，求k的值．
12． (2023·上海·九年級專題練習）△ABC中，∠ACB＝90°，tanB＝，AB＝5，點O為邊AB上一動點，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓交射線BC于點E，以A為圓心，OB為半徑的圓交射線AC于點G．
(1)如圖1，當點E、G分別在邊BC、AC上，且CE＝CG時，請判斷圓A與圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)當圓O與圓A存在公共弦MN時(如圖2)，設(shè)OB＝x，MN＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
(3)設(shè)圓A與邊AB的交點為F，聯(lián)結(jié)OE、EF，當△OEF為以O(shè)E為腰的等腰三角形時，求圓O的半徑長．
13． (2023·上?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考專題練習）已知AB是圓O的一條弦，P是圓O上一點，過點O作MN⊥AP，垂足為點M，并交射線AB于點N，圓O的半徑為5，AB＝8．
（1）當P是優(yōu)弧的中點時（如圖），求弦AP的長；
（2）當點N與點B重合時，試判斷：以圓O為圓心，為半徑的圓與直線AP的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）當∠BNO＝∠BON，且圓N與圓O相切時，求圓N半徑的長．
14． (2023·上海·九年級統(tǒng)考專題練習）如圖，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝3，AB＝4，點P為射線BC上一動點，以P為圓心，BP長為半徑作⊙P，交射線BC于點Q，聯(lián)結(jié)BD、AQ相交于點G，⊙P與線段BD、AQ分別相交于點E、F．
（1）如果BE＝FQ，求⊙P的半徑；
（2）設(shè)BP＝x，F(xiàn)Q＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）聯(lián)結(jié)PE、PF，如果四邊形EGFP是梯形，求BE的長．
15． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點P在邊AC上（點P與點A不重合），以點P為圓心，PA為半徑作⊙P交邊AB于另一點D，ED⊥DP，交邊BC于點E．
（1）求證：BE=DE；
（2）若BE=x，AD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域；
（3）延長ED交CA的延長線于點F，聯(lián)結(jié)BP，若△BDP與△DAF相似，求線段AD的長．
16． (2023·上海·九年級專題練習）如圖已知：是圓的直徑，，點為圓上異于點、的一點，點為弦的中點.
（1）如果交于點，求：的值；
（2）如果于點，求的正弦值；
（3）如果，為上一動點，過作，交于點，與射線交于圓內(nèi)點，請完成下列探究.
探究一：設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)解析式及其定義域.
探究二：如果點在以為圓心，為半徑的圓上，寫出此時的長度.
17． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，在中，，,點是邊上一動點（不與點重合），以長為半徑的與邊的另一個交點為，過點作于點.
當與邊相切時，求的半徑；
聯(lián)結(jié)交于點，設(shè)的長為，的長為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫出的取值范圍；
在的條件下，當以長為直徑的與相交于邊上的點時，求相交所得的公共弦的長.
18． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，已知△ABC，AB=，，∠B=45°，點D在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD， 以點A為圓心，AD為半徑畫圓，與邊AC交于點E，點F在圓A上，且AF⊥AD．
（1）設(shè)BD為x，點D、F之間的距離為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（2）如果E是的中點，求的值；
（3）聯(lián)結(jié)CF，如果四邊形ADCF是梯形，求BD的長 ．
19． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖1，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過O點作OF⊥AB交⊙O于點D，交AC于點E，交BC的延長線于點F，點G是EF的中點，連接CG
(1)判斷CG與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)求證：2OB2＝BC?BF；
(3)如圖2，當∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5時，求DE的長．
20． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知⊙O的直徑AB=2，弦AC與弦BD交于點E．且OD⊥AC，垂足為點F．
（1）如圖1，如果AC=BD，求弦AC的長；
（2）如圖2，如果E為弦BD的中點，求∠ABD的余切值；
（3）聯(lián)結(jié)BC、CD、DA，如果BC是⊙O的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是⊙O的內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊，求△ACD的面積．
21． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，DC=5，以CD為半徑的⊙C與以AB為半徑的⊙B相交于點E、F，且點E在BD上，聯(lián)結(jié)EF交BC于點G．
（1）設(shè)BC與⊙C相交于點M，當BM=AD時，求⊙B的半徑；
（2）設(shè)BC=x，EF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；
（3）當BC=10時，點P為平面內(nèi)一點，若⊙P與⊙C相交于點D、E，且以A、E、P、D為頂點的四邊形是梯形，請直接寫出⊙P的面積．（結(jié)果保留π）
專題18 圓壓軸題

以圓為背景的綜合問題是中考壓軸題的命題趨勢之一，按往年命題趨勢猜測，很大概率會和平行線段分線段成比例 (2023年），梯形，特殊平行四邊形（最新熱點）等知識點結(jié)合，主要考查學(xué)生挖掘信息的能力，難題分解能力，數(shù)學(xué)綜合能力
考點一
定圓結(jié)合直角三角形，考察函數(shù)關(guān)系，圓心距，存在性問題；
考點二
定圓結(jié)合直角三角形；三角形相似，線段與周長的函數(shù)關(guān)系；
考點三
定圓結(jié)合直角三角形；考察函數(shù)關(guān)系，三角形面積比值問題；
考點四
定圓結(jié)合平行線，弧中點，考察函數(shù)關(guān)系，與圓相切問題；
考點五
動圓結(jié)合三角形，考察三角形相似，考察三角形相似，函數(shù)關(guān)系；
考點六
動圓結(jié)合內(nèi)切直角三角形，三角形相似，線段比，圓位置關(guān)系；
考點七
動圓結(jié)合定圓，考察函數(shù)關(guān)系，與圓有關(guān)的位置關(guān)系；
考點八
動圓結(jié)合定圓，函數(shù)關(guān)系，四邊形，正多邊形結(jié)合的問題。
一、解答題
1． (2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）在半圓O中，AB為直徑，AC，AD為兩條弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．
(1)如圖1，求證：等于；
(2)如圖2，點F在直徑AB上，DF交AC于點E，若AE＝DE，求證：AC＝2DF；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】(1)連接BD、CD，先證∠DBA=∠DAC，再證∠DCA=∠DAC，可得出AD=CD，即可推出結(jié)論；
(2)連接BD、CD，過點D作DG⊥AC于點G，則∠DGA=90°，可證得DG垂直平分AC，得出AC=2AG，再證△ADF≌△DAG，推出AG=DF，即可得出AC=2DF；
(3)取BC中點H，連接OH、OD，則BH=CH=BC=3，OH⊥BC，證Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3，OD=OA=5，則在Rt△OED中，求出DE的長，在Rt△AED中，可求出AD的長．
（1）
證明：如圖：連接BD、CD
AB為直徑
∠ADB=90°
∠DBA+∠DAB=90°
∠DAC＋∠DAB＝90°
∠DAC=∠DBA
又∠DCA=∠DBA
∠DAC=∠DCA
AD=CD
=
（2）
證明：如圖：連接BD、CD，過點D作DG⊥AC于點G

由(1)知AD=CD
垂直平分AC



∠DAC＋∠DAB＝90°
∠ADF＋∠DAB＝90°

又


（3）
解：取BC的中點H，連接OH、OD，則BH=CH=BC=3，


是中位線

由(2)知AC=2DF


Rt△OFD≌Rt△BHO(HL)


在中，
在中，
【點睛】本題考查了圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是第(2)問能夠證明∠AFD=90°，第(3)問能夠通過作適當?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形等．
2． (2023春·上海徐匯·九年級統(tǒng)考階段練習）已知：⊙O的半徑為3，弦，垂足為，點E在⊙O上，，射線與射線相交于點．設(shè)，，
(1)求與之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；
(2)當為直角三角形時，求的長；
(3)如果，求的長．
【答案】(1)，函數(shù)定義域為（0＜＜6）
(2)或3
(3) 或
【分析】(1) 過點O作OH⊥CE，垂足為H，先利用垂徑定理得到，，然后利用勾股定理求得OD=，最后通過證△ODB≌△EHO即可得到EH=OD ，求得結(jié)論；
(2) 當△OEF為直角三角形時，存在以下兩種情況：①若∠OFE＝90o；②若∠EOF＝90o 分別求解即可；
(3)分兩種情況 ①當CF＝OF＝OB–BF＝2時，可得：△CFO∽△COE； ②當CF＝OF＝OB+BF＝4時，可得：△CFO∽△COE，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
（1）
過點O作OH⊥CE，垂足為H，
∵在圓O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=，CE=，
∴，，
∵在Rt△ODB中，，OB=3 ，
∴OD=，
∵OC=OE，
∴∠ECO=∠CEO，
∵∠ECO＝∠BOC，
∴∠CEO=∠BOC，
又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB
∴△ODB≌△EHO
∴EH=OD ，
∴，
∴ 函數(shù)定義域為（0＜＜6）
（2）
當△OEF為直角三角形時，存在以下兩種情況：
①若∠OFE＝90o，則∠COF＝∠OCF＝45o
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=45°
又∵OA=OB
∴∠OAB= ∠ABO=45°，
∴∠AOB=90°
∴△OAB是等腰直角三角形
∴
②若∠EOF＝90o ，
則∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30o
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=60°
又∵OA=OB
∴△OAB是等邊三角形
∴AB=OB=3
（3）
①當CF＝OF＝OB–BF＝2時，
可得：△CFO∽△COE，CE＝，
∴EF＝CE–CF＝．
②當CF＝OF＝OB+BF＝4時，
可得：△CFO∽△COE，CE＝，
∴EF＝CF–CE＝．
【點睛】本題考查了有關(guān)圓的知識的綜合題，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是上任一點（點P與點A、B重合），連接AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．
(1)求∠APC和∠BPC的度數(shù)；
(2)求證：△ACM≌△BCP；
(3)若PA＝1，PB＝2，求四邊形PBCM的面積；
(4)在（3）的條件下，求的長度．
【答案】(1)∠APC＝60°，∠BPC＝60°
(2)見解析
(3)
(4)
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，根據(jù)圓周角定理即可得到∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，求得∠M=∠BPC=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠PAC+∠PCB=180°，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）作PH⊥CM于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM=CP，AM=BP，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PH，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（4）過點B作BQ⊥AP，交AP的延長線于點Q，過點A作AN⊥BC于點N，連接OB，求得∠PBQ=30°，得到PQ，根據(jù)勾股定理得到BQ和AN，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．
【解析】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵，，
∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）證明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四點共圓，
∴∠PAC+∠PCB=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°，
∴∠MAC=∠PBC，
∵AC=BC，
在△ACM和△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）解：∵CM∥BP，
∴四邊形PBCM為梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP，AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM為等邊三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=，
∴S四邊形PBCM=（PB+CM）×PH=（2+3）×=；
（4）解：過點B作BQ⊥AP，交AP的延長線于點Q，過點A作AN⊥BC于點N，連接OB，
∵∠APC=∠BPC=60°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=PB=1，
在Rt△BPQ中，BQ=，
在Rt△AQB中，AB=，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AN經(jīng)過圓心O，
∴BN=AB=，
∴AN=，
在Rt△BON中，設(shè)BO=x，則ON=?x，
∴()2+(?x)2＝x2，
解得：x=，
∵∠BOA=∠BCA=120°，
∴的長度為．
【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
4． (2023秋·上海金山·九年級期末）定理：一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．如圖1，∠A＝∠O．
已知：如圖2，AC是⊙O的一條弦，點D在⊙O上（與A、C不重合），聯(lián)結(jié)DE交射線AO于點E，聯(lián)結(jié)OD，⊙O的半徑為5，tan∠OAC＝．
(1)求弦AC的長．
(2)當點E在線段OA上時，若△DOE與△AEC相似，求∠DCA的正切值．
(3)當OE＝1時，求點A與點D之間的距離（直接寫出答案）．
【答案】(1)8
(2)
(3)或．
【分析】（1）過點O作OH⊥AC于點H，由垂徑定理可得AH＝CH＝AC，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求解；
（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求AG，EG，CG的長，即可求解；
（3）分兩種情況討論，由相似三角形和勾股定理可求解．
（1）
如圖2，過點O作OH⊥AC于點H，
由垂徑定理得：AH＝CH＝AC，
在Rt△OAH中，，
∴設(shè)OH＝3x，AH＝4x，
∵OH2+AH2＝OA2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），
∴OH＝3，AH＝4，
∴AC＝2AH＝8；
（2）
如圖2，過點O作OH⊥AC于H，過E作EG⊥AC于G，
∵∠DEO＝∠AEC，
∴當△DOE與△AEC相似時可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；
，
∴∠ACD≠∠DOE
∴當△DOE與△AEC相似時，不存在∠DOE＝∠ACD情況，
∴當△DOE與△AEC相似時，∠DOE＝∠A，
∴OD∥AC，
∴，
∵OD＝OA＝5，AC＝8，
∴，
∴，
∵∠AGE＝∠AHO＝90°，
∴GE∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在Rt△CEG中，；
（3）
當點E在線段OA上時，如圖3，過點E作EG⊥AC于G，過點O作OH⊥AC于H，延長AO交⊙O于M，連接AD，DM，
由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8，
∵OE＝1，
∴AE＝4，ME＝6，
∵EG∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴AG＝，EG＝，
∴GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直徑，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝2；
當點E在線段AO的延長線上時，如圖4，延長AO交⊙O于M，連接AD，DM，過點E作EG⊥AC于G，
同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直徑，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝，
綜上所述：AD的長是或
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，正切的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
5． (2023·上海·統(tǒng)考二模）如圖，已知扇形的半徑，，點、分別在半徑、上（點不與點重合），聯(lián)結(jié)．點是弧上一點，．
（1）當，以為半徑的圓與圓相切時，求的長；
（2）當點與點重合，點為弧的中點時，求的度數(shù)；
（3）如果，且四邊形是梯形，求的值．
【答案】（1）；（2）67.5°；（3）或
【分析】（1）由題意∠COD＝90°，ct∠ODC＝，可以假設(shè)OD＝3k，OC＝4k，則CD＝5k，證明AC＝OC＝4k＝2，推出k＝，繼而可得結(jié)論．
（2）如圖2中，連接OP，過點P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用全等三角形的性質(zhì)證明△PCB是等腰直角三角形，可得結(jié)論．
（3）分兩種情形：如圖3?1中，當OC∥PD時，如圖3?2中，當PC∥OD時，分別求解即可．
【解析】解：（1）如圖1中，
∵∠COD＝90°，ct∠ODC＝，
∴設(shè)OD＝3k，OC＝4k，則CD＝5k，
∵以CD為半徑的圓D與圓O相切，
∴CD＝DB＝5k，
∴OB＝OD＋DB＝3k＋5k＝4，
∴k＝，
∴CD＝；
（2）如圖2中，連接OP，過點P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵，
∴∠AOP＝∠POB，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，
∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），
∴∠EPC＝∠FPB，
∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPF＝∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝∠PBC＝45°，
∵OP＝OB，∠POB＝45°，
∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，
∴∠CBO＝67.5°?45°＝22.5°，
∴∠OCD＝90°?22.5°＝67.5°；
（3）如圖3?1中，當OC∥PD時，過點C作CE⊥PD，連接OP，
∵OC∥PD，
∴∠PDO＝∠AOD＝90°，
∵CE⊥PD，
∴∠CED＝90°，
∴四邊形OCED是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
設(shè)PC＝PD＝x，EC＝OD＝y(tǒng)，
則有x2＋y2＝16，x2＝y(tǒng)2＋(x?2)2，可得x＝2?2，（不合題意的已經(jīng)舍棄），
∴PD＝2?2，
∴S△PCDS△OCD＝PDOC＝，
如圖3?2中，當PC∥OD時，過點D作DE⊥CP，連接OP，
∵PC∥OD，
∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，
∴四邊形OCED是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
∵OP＝4，OC＝2，
∴PC＝=，
∴PD＝PC＝，
∴PE＝=，
∴EC＝OD＝-，
∴，
綜上所述，的值為：或．
【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了兩圓的位置關(guān)系，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題．
6． (2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知：在半徑為2的扇形中，，點C是上的一個動點，直線與直線相交于點D．
（1）如圖1，當是等腰三角形時，求的大?。ㄓ煤琺的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，當，點C是的中點時，連接，求的值；
（3）將沿所在的直線折疊，當折疊后的圓弧與所在的直線相切于點，且時，求線段AD的長．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）C在弧線上，所以為銳角，為鈍角，則是等腰三角形，僅有這一種情況，扇形中，，由邊相等得對應(yīng)角相等，三角形內(nèi)角和為，可得；
（2）過D作的延長線于M，連接，C為中點，可知邊相等得對應(yīng)角相等，即可求得，為的外角，可得由角相等可推出，在中，由勾股定理知在等腰直角中，根據(jù)等高三角形的面積比等于底的比可得結(jié)果；
（3）E為弧與切點，知A、E、C在半徑為2的另一個圓上，在中，由勾股定理知，得四邊形是菱形，由菱形對角線性質(zhì)，可以推出，得，在中，由勾股定理得，即可求出的長．
【解析】解：（1）C在弧線上，
∴為銳角，
∴為鈍角，
則是等腰三角形時，僅有這一種情況，
∴，
連接則，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴；

（2）過D作延長線于M，連接，
∵C為 中點，
∴，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B（勾股定理），
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴

（3）圖2如下：
∵E為弧線與切點，
∴A、E、C在半徑為2的另一個圓上，
∵，
∴（勾股定理），
又∵，
∴四邊形是菱形，
∴且互相平分，
且共角，
∴，
∴且，
∴，
∴（的勾股定理）
∴．
【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理等是解題關(guān)鍵．
7． (2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知⊙O的直徑AB＝4，點P為弧AB上一點，聯(lián)結(jié)PA、PO，點C為劣弧AP上一點（點C不與點A、P重合），聯(lián)結(jié)BC交PA、PO于點D、E．
（1）如圖，當cs∠CBO＝時，求BC的長；
（2）當點C為劣弧AP的中點，且△EDP與△AOP相似時，求∠ABC的度數(shù)；
（3）當AD＝2DP，且△BEO為直角三角形時，求四邊形AOED的面積．

【答案】（1）；（2）18°；（3） 或
【分析】（1）解法一：如圖1，過點O作OG⊥BC于點G，根據(jù)垂徑定理和余弦的定義可得BC的長；解法二：如圖2，連接AC，根據(jù)圓周角定理可得∠ACB＝90°，根據(jù)cs∠CBO＝可得BC的長；
（2）如圖3，如圖3，連接OC，根據(jù)題意可知：△EDP與△AOP相似只存在一種情況：△DPE∽△OPA，得∠DPE＝∠PAO，設(shè)∠ABC＝α，則∠AOC＝∠COP＝2α，在△OEB中根據(jù)三角形外角的性質(zhì)列方程可得結(jié)論；
（3）當△BEO為直角三角形時，∠OBE不可能是直角，所以分兩種情況：①如圖4，當∠EOB＝90°時，作輔助線，作平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理計算AH，OH，BH的長，根據(jù)面積差可得結(jié)論；②如圖5，當∠OEB＝90°時，連接AC，證明∠ABC＝30°，分別計算各邊的長，根據(jù)面積差可得結(jié)論．
【解析】解：（1）解法一：如圖1，過點O作OG⊥BC于點G，
∴BG＝BC，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∵cs∠CBO＝，
∴BG＝，
∴BC＝2BG＝；
解法二：如圖2，連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴cs∠ABC＝，
∴，
∴BC＝；
（2）如圖3，連接OC，

∵∠P＝∠P，△EDP與△AOP相似，
∴△DPE∽△OPA，
∴∠DPE＝∠PAO，
∵C是的中點，
∴∠AOC＝∠COP，
設(shè)∠ABC＝α，則∠AOC＝∠COP＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝α，
∵C是的中點，
∴OC⊥AP，
∴∠PAO＝90°﹣2α，
∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α，
在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC，
∴4α＝90°﹣2α+α，
∴α＝18°，
∴∠ABC＝18°；
（3）分兩種情況：
①如圖4，當∠EOB＝90°時，過D作DH⊥AB于H，

∴DH∥PO，
∴，
∵AD＝2PD，
∴AH＝2HO，
∵AB＝4，
∴AH＝，OH＝，BH＝，
∵AO＝OP，∠AOP＝90°，
∴∠A＝45°，
∴AH＝DH＝，
∵OE∥DH，
∴，即，
∴OE＝1，
∴S四邊形AOED＝S△ABD﹣S△OEB
＝
＝；
②如圖5，當∠OEB＝90°時，連接AC，

∵∠C＝∠OEB＝90°，
∴AC∥OE，CE＝BE，
∵AD＝2DP，
同理得AC＝2PE，
∵AO＝BO，
∴AC＝2OE，
∴OE＝PE＝OP，
∴AC＝AB，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝4，
∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝，BC＝，
∴CE＝，
∵AC∥PE，
∴，
∵CD+DE＝，
∴CD＝，
∴S四邊形AOED＝S△ABC﹣S△OEB﹣S△ACD
＝，
＝．
綜上，四邊形AOED的面積是或．
【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)等．（1）中能借助定理構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵；（2）能借助相似三角形以及圓周角定理表示相關(guān)角是解題關(guān)鍵；（3）中注意分類討論和正確構(gòu)造圖形．
8． (2023·上海·九年級專題練習）如圖，已知在四邊形中，，，以為直徑的交邊于、兩點，，，設(shè)的半徑長為．
（1）聯(lián)結(jié)，當時，求的半徑長；
（2）過點作，垂足為點，設(shè)，試用的代數(shù)式表示；
（3）設(shè)點為的中點，聯(lián)結(jié)、，是否能成為等腰三角形？如果能，試求出的值；如不能，試說明理由．
【答案】（1）3；（2）；（3）能成為等腰三角形，
【分析】（1）證為梯形的中位線，得出即可；
（2）連接、，過點作于，則，由勾股定理得出，由四邊形的面積的面積的面積的面積，進而得出答案；
（3）證是梯形的中位線，得出，， ，由勾股定理得，分三種情況，分別求解即可．
【解析】解：（1）∵，，
∴為梯形的中位線，
∴，即的半徑長為3；
（2）連接、，過點作于，如圖1所示：
∵，，且，
∴四邊形為矩形，
則，
∴，
∴，
∵四邊形的面積的面積的面積的面積，
∴，
整理得：；
（3）能成為等腰三角形，理由如下：
∵點為的中點，，
∴是梯形的中位線，
∴，，
，
由勾股定理得：，
分三種情況：
①時，則，無解；
②時，如圖2所示：
，解得：；
③時，作于，如圖3所示：
，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分線，
由題意知：，
又，
∴，
則此時圓和相切，不合題意；
綜上所述，能成為等腰三角形，．
【點睛】本題考查了垂徑定理、梯形中位線定理、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握垂徑定理和梯形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
9． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB＝6，點C在半圓O上．過點A作AD⊥OC，垂足為點D，AD的延長線與弦BC交于點E，與半圓O交于點F（點F不與點B重合）．
（1）當點F為的中點時，求弦BC的長；
（2）設(shè)OD＝x，＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當△AOD與△CDE相似時，求線段OD的長．
【答案】（1）3；（2）y＝；（3）
【分析】（1）連結(jié)OF，交BC于點H．得出∠BOF＝∠COF．則∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH，BC的長；
（2）連結(jié)BF．證得OD∥BF，則，即，得出，則得出結(jié)論；
（3）分兩種情況：①當∠DCE＝∠DOA時，AB∥CB，不符合題意，舍去，②當∠DCE＝∠DAO時，連結(jié)OF，證得∠OAF＝30°，得出OD＝，則答案得出．
【解析】解：（1）如圖1，連結(jié)OF，交BC于點H．
∵F是中點，
∴OF⊥BC，BC＝2BH．
∴∠BOF＝∠COF．
∵OA＝OF，OC⊥AF，
∴∠AOC＝∠COF，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，
∵AB＝6，
∴OB＝3，
∴BH＝，
∴BC＝2BH＝3；
（2）如圖2，連結(jié)BF．
∵AF⊥OC，垂足為點D，
∴AD＝DF．
又∵OA＝OB，
∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．
∴，
∴，
即，
∴，
∴y＝．
（3）△AOD和△CDE相似，分兩種情況：①當∠DCE＝∠DOA時，AB∥CB，不符合題意，舍去．
②當∠DCE＝∠DAO時，連結(jié)OF．
∵OA＝OF，OB＝OC，
∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．
∵∠DCE＝∠DAO，
∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．
∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，
∴∠OAF＝30°，
∴OD＝．
即線段OD的長為．
【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造基本圖形解決問題．
10． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，已知半圓⊙O的直徑AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E為弧CD的中點，點P在弦CD上，聯(lián)結(jié)PE，過點E作PE的垂線交弦CD于點G，交射線OB于點F．
（1）當點F與點B重合時，求CP的長；
（2）設(shè)CP＝x，OF＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
（3）如果GP＝GF，求△EPF的面積．
【答案】（1）CP＝2；（2）；（3）
【分析】（1）如圖1，連接EO，交弦CD于點H，根據(jù)垂徑定理得EO⊥AB，由勾股定理計算，可得EH的長，證明∠HPE＝∠HGE＝45°，則PE＝GE．從而可得結(jié)論；
（2）如圖2，連接OE，證明△PEH∽△EFO，列比例式可得結(jié)論；
（3）如圖3，作PQ⊥AB，分別計算PE和EF的長，利用三角形面積公式可得結(jié)論．
【解析】（1）連接EO，交弦CD于點H，
∵E為弧CD的中點，
∴EO⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OH⊥CD，
∴CH＝，
連接CO，
∵AB＝10，CD＝8，
∴CO＝5，CH＝4，
∴，
∴EH＝EO﹣OH＝2，
∵點F與點B重合，
∴∠OBE＝∠HGE＝45°，
∵PE⊥BE，
∴∠HPE＝∠HGE＝45°，
∴PE＝GE，
∴PH＝HG＝2，
∴CP＝CH﹣PH＝4﹣2＝2；
（2）如圖2，連接OE，交CD于H，
∵∠PEH+∠OEF＝90°，∠OFE+∠OEF＝90°，
∴∠PEH＝∠OFE，
∵∠PHE＝∠EOF＝90°，
∴△PEH∽△EFO，
∴，
∵EH＝2，F(xiàn)O＝y(tǒng)，PH＝4﹣x，EO＝5，
∴，
∴．
（3）如圖3，過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，
∵GP＝GF，
∴∠GPF＝∠GFP，
∵CD∥AB，
∴∠GPF＝∠PFQ，
∵PE⊥EF，
∴PQ＝PE，
由（2）可知，△PEH∽△EFO，
∴，
∵PQ＝OH＝3，
∴PE＝3，
∵EH＝2，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形列比例式解決問題，屬于中考壓軸題．
一、解答題
1． (2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）在半圓O中，AB為直徑，AC，AD為兩條弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．
(1)如圖1，求證：等于；
(2)如圖2，點F在直徑AB上，DF交AC于點E，若AE＝DE，求證：AC＝2DF；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的長．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】(1)連接BD、CD，先證∠DBA=∠DAC，再證∠DCA=∠DAC，可得出AD=CD，即可推出結(jié)論；
(2)連接BD、CD，過點D作DG⊥AC于點G，則∠DGA=90°，可證得DG垂直平分AC，得出AC=2AG，再證△ADF≌△DAG，推出AG=DF，即可得出AC=2DF；
(3)取BC中點H，連接OH、OD，則BH=CH=BC=3，OH⊥BC，證Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3，OD=OA=5，則在Rt△OED中，求出DE的長，在Rt△AED中，可求出AD的長．
（1）
證明：如圖：連接BD、CD
AB為直徑
∠ADB=90°
∠DBA+∠DAB=90°
∠DAC＋∠DAB＝90°
∠DAC=∠DBA
又∠DCA=∠DBA
∠DAC=∠DCA
AD=CD
=
（2）
證明：如圖：連接BD、CD，過點D作DG⊥AC于點G

由(1)知AD=CD
垂直平分AC



∠DAC＋∠DAB＝90°
∠ADF＋∠DAB＝90°

又


（3）
解：取BC的中點H，連接OH、OD，則BH=CH=BC=3，


是中位線

由(2)知AC=2DF


Rt△OFD≌Rt△BHO(HL)


在中，
在中，
【點睛】本題考查了圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是第(2)問能夠證明∠AFD=90°，第(3)問能夠通過作適當?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形等．
2． (2023春·上海徐匯·九年級統(tǒng)考階段練習）已知：⊙O的半徑為3，弦，垂足為，點E在⊙O上，，射線與射線相交于點．設(shè)，，
(1)求與之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；
(2)當為直角三角形時，求的長；
(3)如果，求的長．
【答案】(1)，函數(shù)定義域為（0＜＜6）
(2)或3
(3) 或
【分析】(1) 過點O作OH⊥CE，垂足為H，先利用垂徑定理得到，，然后利用勾股定理求得OD=，最后通過證△ODB≌△EHO即可得到EH=OD ，求得結(jié)論；
(2) 當△OEF為直角三角形時，存在以下兩種情況：①若∠OFE＝90o；②若∠EOF＝90o 分別求解即可；
(3)分兩種情況 ①當CF＝OF＝OB–BF＝2時，可得：△CFO∽△COE； ②當CF＝OF＝OB+BF＝4時，可得：△CFO∽△COE，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解．
（1）
過點O作OH⊥CE，垂足為H，
∵在圓O中，OC⊥弦AB，OH⊥弦CE，AB=，CE=，
∴，，
∵在Rt△ODB中，，OB=3 ，
∴OD=，
∵OC=OE，
∴∠ECO=∠CEO，
∵∠ECO＝∠BOC，
∴∠CEO=∠BOC，
又∵∠ODB=∠OHE=90°，OE=OB
∴△ODB≌△EHO
∴EH=OD ，
∴，
∴ 函數(shù)定義域為（0＜＜6）
（2）
當△OEF為直角三角形時，存在以下兩種情況：
①若∠OFE＝90o，則∠COF＝∠OCF＝45o
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=45°
又∵OA=OB
∴∠OAB= ∠ABO=45°，
∴∠AOB=90°
∴△OAB是等腰直角三角形
∴
②若∠EOF＝90o ，
則∠OEF＝∠COF＝∠OCF＝30o
∵∠ODB=90°，
∴∠ABO=60°
又∵OA=OB
∴△OAB是等邊三角形
∴AB=OB=3
（3）
①當CF＝OF＝OB–BF＝2時，
可得：△CFO∽△COE，CE＝，
∴EF＝CE–CF＝．
②當CF＝OF＝OB+BF＝4時，
可得：△CFO∽△COE，CE＝，
∴EF＝CF–CE＝．
【點睛】本題考查了有關(guān)圓的知識的綜合題，分類討論是解決問題的關(guān)鍵．
3．（2023春·上海·九年級專題練習）如圖，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是上任一點（點P與點A、B重合），連接AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．
(1)求∠APC和∠BPC的度數(shù)；
(2)求證：△ACM≌△BCP；
(3)若PA＝1，PB＝2，求四邊形PBCM的面積；
(4)在（3）的條件下，求的長度．
【答案】(1)∠APC＝60°，∠BPC＝60°
(2)見解析
(3)
(4)
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，根據(jù)圓周角定理即可得到∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，求得∠M=∠BPC=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠PAC+∠PCB=180°，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）作PH⊥CM于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM=CP，AM=BP，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PH，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（4）過點B作BQ⊥AP，交AP的延長線于點Q，過點A作AN⊥BC于點N，連接OB，求得∠PBQ=30°，得到PQ，根據(jù)勾股定理得到BQ和AN，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．
【解析】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∵，，
∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；
（2）證明：∵CM∥BP，
∴∠BPM+∠M=180°，
∠PCM=∠BPC，
∵∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠PCM=∠BPC=60°，
∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，
∴∠M=∠BPC=60°，
又∵A、P、B、C四點共圓，
∴∠PAC+∠PCB=180°，
∵∠MAC+∠PAC=180°，
∴∠MAC=∠PBC，
∵AC=BC，
在△ACM和△BCP中，
，
∴△ACM≌△BCP（AAS）；
（3）解：∵CM∥BP，
∴四邊形PBCM為梯形，
作PH⊥CM于H，
∵△ACM≌△BCP，
∴CM=CP，AM=BP，
又∠M=60°，
∴△PCM為等邊三角形，
∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，
在Rt△PMH中，∠MPH=30°，
∴PH=，
∴S四邊形PBCM=（PB+CM）×PH=（2+3）×=；
（4）解：過點B作BQ⊥AP，交AP的延長線于點Q，過點A作AN⊥BC于點N，連接OB，
∵∠APC=∠BPC=60°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=PB=1，
在Rt△BPQ中，BQ=，
在Rt△AQB中，AB=，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AN經(jīng)過圓心O，
∴BN=AB=，
∴AN=，
在Rt△BON中，設(shè)BO=x，則ON=?x，
∴()2+(?x)2＝x2，
解得：x=，
∵∠BOA=∠BCA=120°，
∴的長度為．
【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
4． (2023秋·上海金山·九年級期末）定理：一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半．如圖1，∠A＝∠O．
已知：如圖2，AC是⊙O的一條弦，點D在⊙O上（與A、C不重合），聯(lián)結(jié)DE交射線AO于點E，聯(lián)結(jié)OD，⊙O的半徑為5，tan∠OAC＝．
(1)求弦AC的長．
(2)當點E在線段OA上時，若△DOE與△AEC相似，求∠DCA的正切值．
(3)當OE＝1時，求點A與點D之間的距離（直接寫出答案）．
【答案】(1)8
(2)
(3)或．
【分析】（1）過點O作OH⊥AC于點H，由垂徑定理可得AH＝CH＝AC，由銳角三角函數(shù)和勾股定理可求解；
（2）分兩種情況討論，由相似三角形的性質(zhì)可求AG，EG，CG的長，即可求解；
（3）分兩種情況討論，由相似三角形和勾股定理可求解．
（1）
如圖2，過點O作OH⊥AC于點H，
由垂徑定理得：AH＝CH＝AC，
在Rt△OAH中，，
∴設(shè)OH＝3x，AH＝4x，
∵OH2+AH2＝OA2，
∴（3x）2+（4x）2＝52，
解得：x＝±1，（x＝﹣1舍去），
∴OH＝3，AH＝4，
∴AC＝2AH＝8；
（2）
如圖2，過點O作OH⊥AC于H，過E作EG⊥AC于G，
∵∠DEO＝∠AEC，
∴當△DOE與△AEC相似時可得：∠DOE＝∠A或者∠DOE＝∠ACD；
，
∴∠ACD≠∠DOE
∴當△DOE與△AEC相似時，不存在∠DOE＝∠ACD情況，
∴當△DOE與△AEC相似時，∠DOE＝∠A，
∴OD∥AC，
∴，
∵OD＝OA＝5，AC＝8，
∴，
∴，
∵∠AGE＝∠AHO＝90°，
∴GE∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴，
∴，
∴，，
在Rt△CEG中，；
（3）
當點E在線段OA上時，如圖3，過點E作EG⊥AC于G，過點O作OH⊥AC于H，延長AO交⊙O于M，連接AD，DM，
由（1）可得 OH＝3，AH＝4，AC＝8，
∵OE＝1，
∴AE＝4，ME＝6，
∵EG∥OH，
∴△AEG∽△AOH，
∴，
∴AG＝，EG＝，
∴GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直徑，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝2；
當點E在線段AO的延長線上時，如圖4，延長AO交⊙O于M，連接AD，DM，過點E作EG⊥AC于G，
同理可求EG＝，AG＝，AE＝6，GC＝，
∴EC＝＝＝，
∵AM是直徑，
∴∠ADM＝90°＝∠EGC，
又∵∠M＝∠C，
∴△EGC∽△ADM，
∴，
∴，
∴AD＝，
綜上所述：AD的長是或
【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解直角三角形，求角的正切值，相似三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，正切的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
5． (2023·上?！そy(tǒng)考二模）如圖，已知扇形的半徑，，點、分別在半徑、上（點不與點重合），聯(lián)結(jié)．點是弧上一點，．
（1）當，以為半徑的圓與圓相切時，求的長；
（2）當點與點重合，點為弧的中點時，求的度數(shù)；
（3）如果，且四邊形是梯形，求的值．
【答案】（1）；（2）67.5°；（3）或
【分析】（1）由題意∠COD＝90°，ct∠ODC＝，可以假設(shè)OD＝3k，OC＝4k，則CD＝5k，證明AC＝OC＝4k＝2，推出k＝，繼而可得結(jié)論．
（2）如圖2中，連接OP，過點P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．利用全等三角形的性質(zhì)證明△PCB是等腰直角三角形，可得結(jié)論．
（3）分兩種情形：如圖3?1中，當OC∥PD時，如圖3?2中，當PC∥OD時，分別求解即可．
【解析】解：（1）如圖1中，
∵∠COD＝90°，ct∠ODC＝，
∴設(shè)OD＝3k，OC＝4k，則CD＝5k，
∵以CD為半徑的圓D與圓O相切，
∴CD＝DB＝5k，
∴OB＝OD＋DB＝3k＋5k＝4，
∴k＝，
∴CD＝；
（2）如圖2中，連接OP，過點P作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵，
∴∠AOP＝∠POB，
∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∵∠PEC＝∠PFB＝90°，PD＝PC，
∴Rt△PEC≌Rt△PFB（HL），
∴∠EPC＝∠FPB，
∵∠PEO＝∠EOF＝∠OFP＝90°，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPF＝∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝∠PBC＝45°，
∵OP＝OB，∠POB＝45°，
∴∠OBP＝∠OPB＝67.5°，
∴∠CBO＝67.5°?45°＝22.5°，
∴∠OCD＝90°?22.5°＝67.5°；
（3）如圖3?1中，當OC∥PD時，過點C作CE⊥PD，連接OP，
∵OC∥PD，
∴∠PDO＝∠AOD＝90°，
∵CE⊥PD，
∴∠CED＝90°，
∴四邊形OCED是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
設(shè)PC＝PD＝x，EC＝OD＝y(tǒng)，
則有x2＋y2＝16，x2＝y(tǒng)2＋(x?2)2，可得x＝2?2，（不合題意的已經(jīng)舍棄），
∴PD＝2?2，
∴S△PCDS△OCD＝PDOC＝，
如圖3?2中，當PC∥OD時，過點D作DE⊥CP，連接OP，
∵PC∥OD，
∴∠COD＝∠OCE＝∠CED＝90°，
∴四邊形OCED是矩形，
∴OC＝DE＝2，CE＝OD，
∵OP＝4，OC＝2，
∴PC＝=，
∴PD＝PC＝，
∴PE＝=，
∴EC＝OD＝-，
∴，
綜上所述，的值為：或．
【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了兩圓的位置關(guān)系，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考壓軸題．
6． (2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知：在半徑為2的扇形中，，點C是上的一個動點，直線與直線相交于點D．
（1）如圖1，當是等腰三角形時，求的大小（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，當，點C是的中點時，連接，求的值；
（3）將沿所在的直線折疊，當折疊后的圓弧與所在的直線相切于點，且時，求線段AD的長．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）C在弧線上，所以為銳角，為鈍角，則是等腰三角形，僅有這一種情況，扇形中，，由邊相等得對應(yīng)角相等，三角形內(nèi)角和為，可得；
（2）過D作的延長線于M，連接，C為中點，可知邊相等得對應(yīng)角相等，即可求得，為的外角，可得由角相等可推出，在中，由勾股定理知在等腰直角中，根據(jù)等高三角形的面積比等于底的比可得結(jié)果；
（3）E為弧與切點，知A、E、C在半徑為2的另一個圓上，在中，由勾股定理知，得四邊形是菱形，由菱形對角線性質(zhì)，可以推出，得，在中，由勾股定理得，即可求出的長．
【解析】解：（1）C在弧線上，
∴為銳角，
∴為鈍角，
則是等腰三角形時，僅有這一種情況，
∴，
連接則，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴
在中，，
∴，
∴；

（2）過D作延長線于M，連接，
∵C為 中點，
∴，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴B（勾股定理），
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴

（3）圖2如下：
∵E為弧線與切點，
∴A、E、C在半徑為2的另一個圓上，
∵，
∴（勾股定理），
又∵，
∴四邊形是菱形，
∴且互相平分，
且共角，
∴，
∴且，
∴，
∴（的勾股定理）
∴．
【點睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理等是解題關(guān)鍵．
7． (2023春·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）已知⊙O的直徑AB＝4，點P為弧AB上一點，聯(lián)結(jié)PA、PO，點C為劣弧AP上一點（點C不與點A、P重合），聯(lián)結(jié)BC交PA、PO于點D、E．
（1）如圖，當cs∠CBO＝時，求BC的長；
（2）當點C為劣弧AP的中點，且△EDP與△AOP相似時，求∠ABC的度數(shù)；
（3）當AD＝2DP，且△BEO為直角三角形時，求四邊形AOED的面積．

【答案】（1）；（2）18°；（3） 或
【分析】（1）解法一：如圖1，過點O作OG⊥BC于點G，根據(jù)垂徑定理和余弦的定義可得BC的長；解法二：如圖2，連接AC，根據(jù)圓周角定理可得∠ACB＝90°，根據(jù)cs∠CBO＝可得BC的長；
（2）如圖3，如圖3，連接OC，根據(jù)題意可知：△EDP與△AOP相似只存在一種情況：△DPE∽△OPA，得∠DPE＝∠PAO，設(shè)∠ABC＝α，則∠AOC＝∠COP＝2α，在△OEB中根據(jù)三角形外角的性質(zhì)列方程可得結(jié)論；
（3）當△BEO為直角三角形時，∠OBE不可能是直角，所以分兩種情況：①如圖4，當∠EOB＝90°時，作輔助線，作平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理計算AH，OH，BH的長，根據(jù)面積差可得結(jié)論；②如圖5，當∠OEB＝90°時，連接AC，證明∠ABC＝30°，分別計算各邊的長，根據(jù)面積差可得結(jié)論．
【解析】解：（1）解法一：如圖1，過點O作OG⊥BC于點G，
∴BG＝BC，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∵cs∠CBO＝，
∴BG＝，
∴BC＝2BG＝；
解法二：如圖2，連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴cs∠ABC＝，
∴，
∴BC＝；
（2）如圖3，連接OC，

∵∠P＝∠P，△EDP與△AOP相似，
∴△DPE∽△OPA，
∴∠DPE＝∠PAO，
∵C是的中點，
∴∠AOC＝∠COP，
設(shè)∠ABC＝α，則∠AOC＝∠COP＝2α，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝α，
∵C是的中點，
∴OC⊥AP，
∴∠PAO＝90°﹣2α，
∴∠DEP＝∠OEB＝90°﹣2α，
在△OEB中，∠AOP＝∠OEB+∠ABC，
∴4α＝90°﹣2α+α，
∴α＝18°，
∴∠ABC＝18°；
（3）分兩種情況：
①如圖4，當∠EOB＝90°時，過D作DH⊥AB于H，

∴DH∥PO，
∴，
∵AD＝2PD，
∴AH＝2HO，
∵AB＝4，
∴AH＝，OH＝，BH＝，
∵AO＝OP，∠AOP＝90°，
∴∠A＝45°，
∴AH＝DH＝，
∵OE∥DH，
∴，即，
∴OE＝1，
∴S四邊形AOED＝S△ABD﹣S△OEB
＝
＝；
②如圖5，當∠OEB＝90°時，連接AC，

∵∠C＝∠OEB＝90°，
∴AC∥OE，CE＝BE，
∵AD＝2DP，
同理得AC＝2PE，
∵AO＝BO，
∴AC＝2OE，
∴OE＝PE＝OP，
∴AC＝AB，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝4，
∴OB＝2＝AC，OE＝1，BE＝，BC＝，
∴CE＝，
∵AC∥PE，
∴，
∵CD+DE＝，
∴CD＝，
∴S四邊形AOED＝S△ABC﹣S△OEB﹣S△ACD
＝，
＝．
綜上，四邊形AOED的面積是或．
【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)等．（1）中能借助定理構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵；（2）能借助相似三角形以及圓周角定理表示相關(guān)角是解題關(guān)鍵；（3）中注意分類討論和正確構(gòu)造圖形．
8． (2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習）如圖，已知在四邊形中，，，以為直徑的交邊于、兩點，，，設(shè)的半徑長為．
（1）聯(lián)結(jié)，當時，求的半徑長；
（2）過點作，垂足為點，設(shè)，試用的代數(shù)式表示；
（3）設(shè)點為的中點，聯(lián)結(jié)、，是否能成為等腰三角形？如果能，試求出的值；如不能，試說明理由．
【答案】（1）3；（2）；（3）能成為等腰三角形，
【分析】（1）證為梯形的中位線，得出即可；
（2）連接、，過點作于，則，由勾股定理得出，由四邊形的面積的面積的面積的面積，進而得出答案；
（3）證是梯形的中位線，得出，， ，由勾股定理得，分三種情況，分別求解即可．
【解析】解：（1）∵，，
∴為梯形的中位線，
∴，即的半徑長為3；
（2）連接、，過點作于，如圖1所示：
∵，，且，
∴四邊形為矩形，
則，
∴，
∴，
∵四邊形的面積的面積的面積的面積，
∴，
整理得：；
（3）能成為等腰三角形，理由如下：
∵點為的中點，，
∴是梯形的中位線，
∴，，
，
由勾股定理得：，
分三種情況：
①時，則，無解；
②時，如圖2所示：
，解得：；
③時，作于，如圖3所示：
，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分線，
由題意知：，
又，
∴，
則此時圓和相切，不合題意；
綜上所述，能成為等腰三角形，．
【點睛】本題考查了垂徑定理、梯形中位線定理、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握垂徑定理和梯形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
9． (2023·上海·九年級專題練習）如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB＝6，點C在半圓O上．過點A作AD⊥OC，垂足為點D，AD的延長線與弦BC交于點E，與半圓O交于點F（點F不與點B重合）．
（1）當點F為的中點時，求弦BC的長；
（2）設(shè)OD＝x，＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當△AOD與△CDE相似時，求線段OD的長．
【答案】（1）3；（2）y＝；（3）
【分析】（1）連結(jié)OF，交BC于點H．得出∠BOF＝∠COF．則∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，可求出BH，BC的長；
（2）連結(jié)BF．證得OD∥BF，則，即，得出，則得出結(jié)論；
（3）分兩種情況：①當∠DCE＝∠DOA時，AB∥CB，不符合題意，舍去，②當∠DCE＝∠DAO時，連結(jié)OF，證得∠OAF＝30°，得出OD＝，則答案得出．
【解析】解：（1）如圖1，連結(jié)OF，交BC于點H．
∵F是中點，
∴OF⊥BC，BC＝2BH．
∴∠BOF＝∠COF．
∵OA＝OF，OC⊥AF，
∴∠AOC＝∠COF，
∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，
在Rt△BOH中，sin∠BOH＝，
∵AB＝6，
∴OB＝3，
∴BH＝，
∴BC＝2BH＝3；
（2）如圖2，連結(jié)BF．
∵AF⊥OC，垂足為點D，
∴AD＝DF．
又∵OA＝OB，
∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．
∴，
∴，
即，
∴，
∴y＝．
（3）△AOD和△CDE相似，分兩種情況：①當∠DCE＝∠DOA時，AB∥CB，不符合題意，舍去．
②當∠DCE＝∠DAO時，連結(jié)OF．
∵OA＝OF，OB＝OC，
∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．
∵∠DCE＝∠DAO，
∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．
∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，
∴∠OAF＝30°，
∴OD＝．
即線段OD的長為．
【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造基本圖形解決問題．
10． (2023·上海·九年級專題練習）如圖，已知半圓⊙O的直徑AB＝10，弦CD∥AB，且CD＝8，E為弧CD的中點，點P在弦CD上，聯(lián)結(jié)PE，過點E作PE的垂線交弦CD于點G，交射線OB于點F．
（1）當點F與點B重合時，求CP的長；
（2）設(shè)CP＝x，OF＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域；
（3）如果GP＝GF，求△EPF的面積．
【答案】（1）CP＝2；（2）；（3）
【分析】（1）如圖1，連接EO，交弦CD于點H，根據(jù)垂徑定理得EO⊥AB，由勾股定理計算，可得EH的長，證明∠HPE＝∠HGE＝45°，則PE＝GE．從而可得結(jié)論；
（2）如圖2，連接OE，證明△PEH∽△EFO，列比例式可得結(jié)論；
（3）如圖3，作PQ⊥AB，分別計算PE和EF的長，利用三角形面積公式可得結(jié)論．
【解析】（1）連接EO，交弦CD于點H，
∵E為弧CD的中點，
∴EO⊥AB，
∵CD∥AB，
∴OH⊥CD，
∴CH＝，
連接CO，
∵AB＝10，CD＝8，
∴CO＝5，CH＝4，
∴，
∴EH＝EO﹣OH＝2，
∵點F與點B重合，
∴∠OBE＝∠HGE＝45°，
∵PE⊥BE，
∴∠HPE＝∠HGE＝45°，
∴PE＝GE，
∴PH＝HG＝2，
∴CP＝CH﹣PH＝4﹣2＝2；
（2）如圖2，連接OE，交CD于H，
∵∠PEH+∠OEF＝90°，∠OFE+∠OEF＝90°，
∴∠PEH＝∠OFE，
∵∠PHE＝∠EOF＝90°，
∴△PEH∽△EFO，
∴，
∵EH＝2，F(xiàn)O＝y(tǒng)，PH＝4﹣x，EO＝5，
∴，
∴．
（3）如圖3，過點P作PQ⊥AB，垂足為Q，
∵GP＝GF，
∴∠GPF＝∠GFP，
∵CD∥AB，
∴∠GPF＝∠PFQ，
∵PE⊥EF，
∴PQ＝PE，
由（2）可知，△PEH∽△EFO，
∴，
∵PQ＝OH＝3，
∴PE＝3，
∵EH＝2，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形列比例式解決問題，屬于中考壓軸題．

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