二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考的重點(diǎn)。這部分知識(shí)命題形式比較靈活，既有填空題、選擇題，又有解答題，而且常與方程、幾何、銳角的三角比在一起，顯現(xiàn)在解答題中。因此，熟練把握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，會(huì)靈活運(yùn)用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式是解決綜合應(yīng)用題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。
一、二次函數(shù)的概念
概念：一般地，形如?=??2+??+?（? ， ? ， ?是常數(shù)，?≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。
注意：二次項(xiàng)系數(shù)?≠0，而? ， ?可以為零．
二次函數(shù)?=???+??+?的結(jié)構(gòu)特征：
等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．
? ，? ，?是常數(shù)，?是二次項(xiàng)系數(shù)，?是一次項(xiàng)系數(shù)，?是常數(shù)項(xiàng)．
用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：
(1)一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.
(2)頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.
(3)交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.
一、單選題
1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列各點(diǎn)中，在二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（ ）
A．B．C．D．
3．若函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，則（ ）
A．B．3C．3或D．2
4．已知拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，則n的值為（ ）
A．B．C．2D．4
5．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，則該函數(shù)的解析式為（ ）
A．B．C．D．
6．將拋物線沿y軸折疊后得到的新拋物線的解析式為（ ）
A．B．C．D．
7．小宇利用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)的圖象時(shí)，先取自變量x的一些值，計(jì)算出相應(yīng)的函數(shù)值y，如下表所示：
接著，他在描點(diǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，表格中有一組數(shù)據(jù)計(jì)算錯(cuò)誤，他計(jì)算錯(cuò)誤的一組數(shù)據(jù)是（ ）A． B． C． D．
8．二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且）中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．這個(gè)函數(shù)的圖像與x軸無(wú)交點(diǎn)
C．二次函數(shù)有最小值D．當(dāng)，y的值隨x值得增大而減小
二、填空題
9．已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m的值為_(kāi)_____．
10．寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上，且與y軸的負(fù)半軸相交的拋物線的解析式：____________．
11．函數(shù)的圖象是拋物線，則k的值是______．
12．已知函數(shù)為二次函數(shù)，則的值為_(kāi)_____．
13．已知拋物線的圖象經(jīng)過(guò)，，則此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_________．
二、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
1. 二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象是對(duì)稱軸平行于y軸的一條拋物線
拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).
①?zèng)Q定拋物線的開(kāi)口方向：
當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.
②平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.
③頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、
開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同
求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸：
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸是直線
2. 二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)對(duì)應(yīng)在它的圖象上，有如下性質(zhì)：
4. 二次函數(shù)y=x2+bx+c（≠0）的系數(shù)，b，c，△與拋物線的關(guān)系
一、單選題
1．將拋物線y＝4﹣（x+1）2向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（0，6）D．（1，﹣3）
2．拋物線y＝x2+x+2，點(diǎn)（2，a），（﹣1，b），（3，c），則a、b、c的大小關(guān)系是（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞c
C．a(chǎn)＞b＞cD．無(wú)法比較大小
3．若二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．以上都不對(duì)
4．下列關(guān)于二次函數(shù)的說(shuō)法，正確的是（ ）
A．對(duì)稱軸是直線B．當(dāng)時(shí)有最小值
C．頂點(diǎn)坐標(biāo)是D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減少
5．一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=a+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見(jiàn)到如下文字：已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)……求證這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)一定不具有的性質(zhì)是（ ）
A．過(guò)點(diǎn)(3，0)B．頂點(diǎn)是(-2，2)
C．在軸上截得的線段的長(zhǎng)是2D．與軸的交點(diǎn)是(0，3)
7．足球運(yùn)動(dòng)員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過(guò)的時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系如表：
下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度超過(guò)20m；②足球飛行路線的對(duì)稱軸是直線t＝；③點(diǎn)（9，0）在該拋物線上；④足球被踢出5s～7s時(shí)，距離地面的高度逐漸下降．其中正確的結(jié)論是（ ）A．②③B．①②③C．①②③④D．②③④
8．小明在研究拋物線（h為常數(shù)）時(shí)，得到如下結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，y的值都小于0
B．該拋物線的頂點(diǎn)始終在直線上
C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，則
D．該拋物線上有兩點(diǎn)，，若，，則
9．如圖，拋物線（a＞0）與y軸交于點(diǎn)B，直線y＝x經(jīng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BA∥x軸，與拋物線交于點(diǎn)C，與直線y＝x交于點(diǎn)A，若點(diǎn)C恰為線段AB中點(diǎn)，則線段OA長(zhǎng)度為（ ）
A．B．3C．D．
10．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸交于點(diǎn)A（－1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，2）與（0，3）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，則y1＞y2；④ ；⑤c－3a＞0，其中正確結(jié)論有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
二、填空題
11．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 _____．
12．已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．
13．已知二次函數(shù)y＝（x+m）2+2，當(dāng)x＞2時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______．
14．將拋物線以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180度得到的拋物線解析式為_(kāi)__________．
15．如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為，則他距籃筐中心的水平距離是_________．
16．已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和，如圖所示，則使不等式成立的的取值范圍是_____________．
17．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)C作軸，交該圖像于點(diǎn)D．若、，則的面積為_(kāi)_______．
18．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”如：、都是“整點(diǎn)”．當(dāng)拋物線與其關(guān)于軸對(duì)稱拋物線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有個(gè)整點(diǎn)時(shí)，的取值范圍______．
三、解答題
19．如圖，拋物線的圖像經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，請(qǐng)判斷點(diǎn)是否在拋物線上．
20．如圖，直線與x軸交于點(diǎn)B．拋物線與該直線交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D（0，4），頂點(diǎn)為C．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
(2)求二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，并結(jié)合圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍．
21．二次函數(shù)．
(1)求該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；
(2)若圖象過(guò)點(diǎn)，且，求的取值范圍；
(3)若點(diǎn)在該二次函數(shù)圖象上，且，求的取值范圍．
22．“燃情冰雪，一起向未來(lái)”，北京冬奧會(huì)于2022年2月4日如約而至，某商家看準(zhǔn)商機(jī)，進(jìn)行冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”紀(jì)念品的銷售，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元．規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且不高于60元．銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)，由于銷售火爆，商家決定提價(jià)銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10個(gè)．
(1)求當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品的銷售單價(jià)是多少元時(shí)，商家每天獲利2640元；
(2)將紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)w元最大？最大利潤(rùn)是多少元？
23．如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)．
(1)A點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________；B點(diǎn)坐標(biāo)是________________；
(2)求直線BC的解析式；
(3)點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），是否存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請(qǐng)求出△PBC的最大面積，若不存在，試說(shuō)明理由；
(4)若點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)．
三、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
1、列二次函數(shù)解應(yīng)用題
列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式．對(duì)于應(yīng)用題要注意以下步驟：
(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．
(2)設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確．
(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．
(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問(wèn)題。
(5)檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問(wèn)題的答案．
(6)寫(xiě)出答案．
要點(diǎn)：
常見(jiàn)的問(wèn)題：求最大(小)值(如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問(wèn)題等.解決這些實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.
2、建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題
一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問(wèn)題．
要點(diǎn)：
(1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問(wèn)題.在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.
(2)對(duì)于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個(gè)方面的問(wèn)題：
①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；
②學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中建立二次函數(shù)的模型；
③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.
一、單選題
1．從高處自由下落的物體，下落距離s與下落時(shí)間t的平方成正比．若某一物體從125米高度自由下落，5秒落地，則下落1秒時(shí)，距離地面的高度為（ ）
A．5米B．25米C．100米D．120米
2．我校辦公樓前的花園是一道美麗的風(fēng)景，現(xiàn)計(jì)劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以水平地面為軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是（ ）
A．4.5米B．5米C．6.25米D．7米
3．2019年在武漢市舉行了軍運(yùn)會(huì)．在軍運(yùn)會(huì)比賽中，某次羽毛球的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分（如圖），其中出球點(diǎn)離地面點(diǎn)的距離是米，球落地點(diǎn)到點(diǎn)的距離是（ ）
A．1米B．3米C．5米D．米
4．如圖，在水平地面點(diǎn)A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球在地面上的落點(diǎn)為B，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，小明在直線上點(diǎn)C（靠點(diǎn)B一側(cè)）右側(cè)豎直向上擺放若干個(gè)無(wú)蓋的、直徑為0.5米，高為0.3米的圓柱形桶（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)）．已知米，米，網(wǎng)球飛行的最大高度米，若要使網(wǎng)球能落入桶內(nèi)，則至少需擺放圓柱形桶（ ）．
A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)
5．單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái)．運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．如圖記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的與的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為（ ）．
A．4mB．7mC．8mD．10m
6．洗手盤(pán)臺(tái)面上有一瓶洗手液．當(dāng)同學(xué)用一定的力按住頂部下壓如圖位置時(shí)，洗手液從噴口流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口為該拋物線的頂點(diǎn)．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形．同學(xué)測(cè)得：洗手液瓶子的底面直徑，噴嘴位置點(diǎn)距臺(tái)面的距離為，且、、三點(diǎn)共線．在距離臺(tái)面處接洗手液時(shí)，手心到直線的水平距離為，不去接則洗手液落在臺(tái)面的位置距的水平面是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7．如圖，一拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為米時(shí)，水面寬度為米；那么當(dāng)水位上升米后，水面的寬度為_(kāi)__________米．（結(jié)果可帶根號(hào)）
8．兩輛車A和B，從相同標(biāo)記處同時(shí)出發(fā)，沿直線同方向行駛，并且由出發(fā)點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)，行駛的距離x與行駛時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系分別為：和，求：
（1）它們剛離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)時(shí)，行駛在前面的一輛車是_____；
（2）它們出發(fā)后，B車相對(duì)A車速度為零的時(shí)刻是_____．
9．小亮和小明在籃球場(chǎng)練習(xí)投籃，小亮投籃時(shí)籃球出手的高度是1.7米，籃球的運(yùn)行路線是拋物線的一部分，籃球運(yùn)行的水平距離為3米時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)的高度是3.5米，籃筐的高度是3.05米，結(jié)果小亮恰好命中籃筐，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(籃球和籃筐均看作一個(gè)點(diǎn))，y軸經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)，解答下列問(wèn)題．
（1）小亮投籃時(shí)籃球運(yùn)行路線所在拋物線的解析式為_(kāi)_________；
（2）小亮投籃時(shí)與籃筐的水平距離L為_(kāi)_________；
（3）小亮投籃后籃球被籃筐彈了出來(lái)，恰被離籃筐水平距離為5米處的小明跳起來(lái)接?。阎@球彈出后運(yùn)行路線也是拋物線的一部分(兩拋物線在同一平面內(nèi))，運(yùn)行的水平距離為2米時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，小明接球的高度為2.3米．則籃球彈出后最高點(diǎn)的高度為_(kāi)_________；
三、解答題
10．如圖，有長(zhǎng)為的籬笆，現(xiàn)一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度a為5m），設(shè)花圃的寬為xm，面積為．
(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及x值的取值范圍；
(2)要圍成面積為的花圃，的長(zhǎng)是多少米？
(3)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)是多少米時(shí)，圍成的花圃面積最大？
11．某商人將進(jìn)價(jià)為每件8元的某種商品按每件10元出售，每天可銷出100件．他想采用提高售價(jià)的辦法來(lái)增加利潤(rùn)．經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這種商品每件每提價(jià)1元，每天的銷售量就會(huì)減少10件．請(qǐng)問(wèn)每件售價(jià)提高多少元時(shí)，才能使一天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
12．某公司研發(fā)了一款成本為元的新型產(chǎn)品，投放市場(chǎng)進(jìn)行銷售．按照物價(jià)部門(mén)規(guī)定，銷售單價(jià)不低于成本且不高于元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．
(1)求每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？
13．圖1是一個(gè)傾斜角為的斜坡的橫截面．斜坡頂端B與地面的距離為3米．為了對(duì)這個(gè)斜坡上的綠地進(jìn)行噴灌，在斜坡底端安裝了一個(gè)噴頭A，與噴頭A的水平距離為6米，噴頭A噴出的水珠在空中走過(guò)的曲線可以看作拋物線的一部分．設(shè)噴出水珠的豎直高度為y (單位：米)(水珠的豎直高度 是指水珠與水平地面的距離)，水珠與噴頭A的水平距離為x(單位：米)，y與x之間近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，圖2記錄了x與y的相關(guān)數(shù)據(jù)，其中當(dāng)水珠與噴頭A的水平距離為4米時(shí)，噴出的水珠達(dá)到最大高度4米．
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)斜坡上有一棵高1.9米的樹(shù)，它與噴頭A的水平距離為2米，通過(guò)計(jì)算判斷從A噴出的水珠能否越過(guò)這棵樹(shù)．
一、單選題
1．二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
2．下列拋物線中，對(duì)稱軸是y軸的拋物線是（ ）
A． B． C． D．
3．將拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
4．下列函數(shù)中，當(dāng)＞0時(shí)，值隨值增大而減小的是（ ）
A．B．C．D．
5．在下列函數(shù)中，同時(shí)具備以下三個(gè)特征的是（ ）
①圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②圖像經(jīng)過(guò)第三象限；③當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大
A．B．C．D．
6．將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得新拋物線和原拋物線相比，不變的是（ ）
A．對(duì)稱軸B．開(kāi)口方向C．和y軸的交點(diǎn)D．頂點(diǎn)．
7．小明準(zhǔn)備畫(huà)一個(gè)二次函數(shù)的圖像，他首先列表（如下），但在填寫(xiě)函數(shù)值時(shí)，不小心把其中一個(gè)蘸上了墨水（表中），那么這個(gè)被蘸上了墨水的函數(shù)值是（ ）
A．-1B．3C．4D．0
8．二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值
9．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），與y軸交于（0，2），且頂點(diǎn)在第一象限，那么下列結(jié)論：①a+c=b；②x=-1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc>0；④c﹣a＞2，其中正確的結(jié)論為（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
10．下列關(guān)于二次函數(shù)y=x2﹣3的圖象與性質(zhì)的描述，不正確的是( )
A．該函數(shù)圖象的開(kāi)口向上
B．函數(shù)值y隨著自變量x的值的增大而增大
C．該函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱
D．該函數(shù)圖象可由函數(shù)y=x2的圖象平移得到
二、填空題
11．如果二次函數(shù)的圖像在y軸的右側(cè)部分是下降的，寫(xiě)出符合條件的一個(gè)a的值是________．
12．將拋物線向左平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位后，所得拋物線為，則拋物線解析式為_(kāi)_______．
13．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______．
14．如果拋物線有最高點(diǎn)，那么的取值范圍是________．
15．如果拋物線的對(duì)稱軸是直線，那么______0.（從＜，＝，＞中選擇）
16．一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形，如果它的邊長(zhǎng)增加厘米，則面積隨之增加y平方厘米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為_(kāi)___．
17．如圖，點(diǎn)A在直線y＝x上，如果把拋物線y＝x2沿OA方向平移5個(gè)單位，那么平移后的拋物線的表達(dá)式為_(kāi)____．
18．當(dāng)兩條曲線關(guān)于某直線對(duì)稱時(shí)，我們把這兩條曲線叫做關(guān)于直線的對(duì)稱曲線，如果拋物線與拋物線關(guān)于直線的對(duì)稱曲線，那么拋物線的表達(dá)式為_(kāi)______________________．
三、解答題
19．已知拋物線．
（1）請(qǐng)用配方法求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如果該拋物線沿軸向左平移個(gè)單位后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求的值．
20．已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）把表達(dá)式化成的形式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸．
21．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象上部分點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）滿足下表：
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）用配方法求出這個(gè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸．
22．我們已經(jīng)知道二次函數(shù)的圖像是一條拋物線．研究二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，我們主要關(guān)注拋物線的對(duì)稱軸、拋物線的開(kāi)口方向、拋物線的最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)）的坐標(biāo)、拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線的上升或下降情況（沿x軸的正方向看）．
已知一個(gè)二次函數(shù)的大致圖像如圖所示．
（1）你可以獲得該二次函數(shù)的哪些信息？（寫(xiě)出四條信息即可）
（2）依據(jù)目前的信息，你可以求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式嗎？如果可以，請(qǐng)求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；如果不可以，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件，并求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B頂點(diǎn)為C．
(1)求該拋物線的表達(dá)式；
(2)將拋物線沿y軸向上平移，平移后所得新拋物線頂點(diǎn)為D，如果，求平移的距離；
(3)設(shè)拋物線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，將拋物線向左平移3個(gè)單位，如果點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q落在內(nèi)，求m的取值范圍．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
4
0
﹣1
0
3
…
x
……
0
1
3
4
……
y
……
6
m
……
二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)
拋物線
開(kāi)口方向
當(dāng)>0時(shí)開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；
當(dāng)＜0時(shí)開(kāi)口向下，并無(wú)限向下延伸。
頂點(diǎn)坐標(biāo)
（0，0）
（0，c）
（-m，0）
（-m，k）
（，）
對(duì)稱軸
y軸
y軸
直線x=-m
直線x=-m
直線
最值
＞0
X=0時(shí)
X=0時(shí)
X=-m時(shí)
X=-m時(shí)
時(shí)，
＜0
X=0時(shí)
X=0時(shí)
X=-m時(shí)
X=-m時(shí)
時(shí)，
增減性
＞0
在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小
在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大
＜0
在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大
在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大
決定開(kāi)口方向：當(dāng)＞0時(shí)開(kāi)口向上，＜0時(shí)開(kāi)口向下。
，b
、 b同時(shí)決定對(duì)稱軸位置：、b同號(hào)時(shí)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)
、b異號(hào)時(shí)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)
b=0時(shí) 對(duì)稱軸是y軸
c
c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)：c＞0時(shí)拋物線交y軸的正半軸
c=0時(shí)拋物線過(guò)原點(diǎn)
c＜0時(shí)拋物線交y軸的負(fù)半軸
△
△決定拋物線與x軸的交點(diǎn)：△＞0時(shí)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
△=0時(shí)拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)
△＜0時(shí)拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
0
…
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣4
﹣2
2
8
…
專題09 二次函數(shù)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是歷年中考的重點(diǎn)。這部分知識(shí)命題形式比較靈活，既有填空題、選擇題，又有解答題，而且常與方程、幾何、銳角的三角比在一起，顯現(xiàn)在解答題中。因此，熟練把握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，會(huì)靈活運(yùn)用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式是解決綜合應(yīng)用題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。
一、二次函數(shù)的概念
概念：一般地，形如?=??2+??+?（? ， ? ， ?是常數(shù)，?≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。
注意：二次項(xiàng)系數(shù)?≠0，而? ， ?可以為零．
二次函數(shù)?=???+??+?的結(jié)構(gòu)特征：
等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．
? ，? ，?是常數(shù)，?是二次項(xiàng)系數(shù)，?是一次項(xiàng)系數(shù)，?是常數(shù)項(xiàng)．
用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：
(1)一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.
(2)頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.
(3)交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：.
一、單選題
1．下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一判斷即可．
【解析】解：A、未知數(shù)的最高次不是2，不是二次函數(shù)，不符合題意；
B、未知數(shù)的最高次不是2，不是二次函數(shù)，不符合題意；
C、未知數(shù)的最高次不是2，不是二次函數(shù)，不符合題意；
D、是二次函數(shù)，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)．
2．下列各點(diǎn)中，在二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把選項(xiàng)坐標(biāo)代入二次函數(shù)驗(yàn)證即可．
【解析】A． ，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B． ，選項(xiàng)正確，符合題意；
C． ，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D． ，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)，解題的關(guān)鍵是把選項(xiàng)坐標(biāo)代入二次函數(shù)驗(yàn)證．
3．若函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，則（ ）
A．B．3C．3或D．2
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．
【解析】解：∵函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，
∴，
∴，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟知形如的函數(shù)是二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．
4．已知拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，則n的值為（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【分析】將代入解析式，求出值，再將代入解析式，求出值即可．
【解析】解：將代入函數(shù)解析式，得：，
解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，，即：；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查求二次函數(shù)的函數(shù)值．解題的關(guān)鍵的是利用待定系數(shù)法，正確的求出二次函數(shù)解析式．
5．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)，則該函數(shù)的解析式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，可以設(shè)二次函數(shù)一般式求出解析式
【解析】解：設(shè)
把，，分別代入得
，
解得，
∴該函數(shù)的解析式是：，
故選：A
【點(diǎn)睛】此題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握用二次函數(shù)一般式求出解析式是解題關(guān)鍵．
6．將拋物線沿y軸折疊后得到的新拋物線的解析式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同，據(jù)此解答即可．
【解析】解：根據(jù)題意，得
翻折后拋物線的解析式的解析式為：．
即．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換．總結(jié)：關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)坐標(biāo)互為相反數(shù)．關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)坐標(biāo)互為相反數(shù)．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)．
7．小宇利用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)的圖象時(shí)，先取自變量x的一些值，計(jì)算出相應(yīng)的函數(shù)值y，如下表所示：
接著，他在描點(diǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)，表格中有一組數(shù)據(jù)計(jì)算錯(cuò)誤，他計(jì)算錯(cuò)誤的一組數(shù)據(jù)是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用表中數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對(duì)稱軸為直線，則頂點(diǎn)坐標(biāo)為，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，進(jìn)行驗(yàn)證．
【解析】∵和時(shí)，；
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線為，
把，代入得，
∴，
∴該二次函數(shù)解析式為，
當(dāng)時(shí)，，
∴，錯(cuò)誤．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象，找出圖表數(shù)據(jù)特點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性解答即可，注意進(jìn)行驗(yàn)證，以確保判定的正確性．
8．二次函數(shù)（a，b，c為常數(shù)，且）中的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如表，下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．這個(gè)函數(shù)的圖像與x軸無(wú)交點(diǎn)
C．二次函數(shù)有最小值D．當(dāng)，y的值隨x值得增大而減小
【答案】D
【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出二次函數(shù)的表達(dá)式，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．
【解析】解：∵根據(jù)二次函數(shù)的x與y的部分對(duì)應(yīng)值圖，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，解得：，
∴，
令，則，故A錯(cuò)誤；
∵，
∴這個(gè)函數(shù)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
函數(shù)有最小值為，故C錯(cuò)誤，
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向上，
∴當(dāng)，y的值隨x值得增大而減小，
即當(dāng)，y的值隨x值得增大而減小，故D正確，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與不等式，有一定難度．熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．已知關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m的值為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，把代入函數(shù)表達(dá)式，即可求出m的值，再根據(jù)二次函數(shù)的定義，排除不符合題意的m的值即可．
【解析】解：把代入得：，
解得：，
∵為二次函數(shù)，
∴，即，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的定義，圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，是本題的關(guān)鍵．
10．寫(xiě)出一個(gè)開(kāi)口向上，且與y軸的負(fù)半軸相交的拋物線的解析式：____________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，所寫(xiě)出的函數(shù)解析式滿足，即可．
【解析】解：開(kāi)口向下，并且與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸的拋物線的表達(dá)式可以是．
故答案為：(答案不唯一)．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．本題屬于開(kāi)放性試題，答案不唯一．
11．函數(shù)的圖象是拋物線，則k的值是______．
【答案】1
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解．
【解析】解：∵函數(shù)的圖象是拋物線，
∴，
解得：．
∴．
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握形如的函數(shù)關(guān)系，稱為y關(guān)于x的二次函數(shù)，其圖象為拋物線是解題的關(guān)鍵．
12．已知函數(shù)為二次函數(shù)，則的值為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，即可得到答案．
【解析】解：依題意，得
解得
故答案為
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，正確把握二次函數(shù)次數(shù)與系數(shù)的值是解題關(guān)鍵．
13．已知拋物線的圖象經(jīng)過(guò)，，則此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_________．
【答案】
【分析】利用待定系數(shù)法求解析式，再將其化為頂點(diǎn)式，即可求解．
【解析】∵拋物線的圖象經(jīng)過(guò)，，
，
解得：
∴，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．
二、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)
1. 二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象是對(duì)稱軸平行于y軸的一條拋物線
拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).
①?zèng)Q定拋物線的開(kāi)口方向：
當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.
②平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.
③頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、
開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同
求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸：
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸是直線
2. 二次函數(shù)的性質(zhì)
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質(zhì)對(duì)應(yīng)在它的圖象上，有如下性質(zhì)：
3. 二次函數(shù)y=x2+bx+c（≠0）的系數(shù)，b，c，△與拋物線的關(guān)系
一、單選題
1．將拋物線y＝4﹣（x+1）2向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ ）
A．（﹣2，2）B．（﹣1，1）C．（0，6）D．（1，﹣3）
【答案】B
【分析】由題意可確定平移后的拋物線的函數(shù)解析式，再逐一判斷即可．
【解析】拋物線y＝4﹣（x+1）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?1，4)，拋物線y＝4﹣（x+1）2向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，則平移后的拋物線解析式為；
當(dāng)x=?2時(shí)， ，即點(diǎn)（﹣2，2）不在拋物線上；
當(dāng)x=?1時(shí)， ，即點(diǎn)（﹣1，1）在拋物線上；
當(dāng)x=0時(shí)， ，即點(diǎn)（0，6）不在拋物線上；
當(dāng)x=1時(shí)， ，即點(diǎn)（1，3）不在拋物線上；
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移、點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的平移關(guān)鍵是抓住拋物線頂點(diǎn)的平移．
2．拋物線y＝x2+x+2，點(diǎn)（2，a），（﹣1，b），（3，c），則a、b、c的大小關(guān)系是（ ）
A．c＞a＞bB．b＞a＞c
C．a(chǎn)＞b＞cD．無(wú)法比較大小
【答案】A
【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線的對(duì)稱軸為直線，然后比較三個(gè)點(diǎn)都直線的遠(yuǎn)近得到、、的大小關(guān)系．
【解析】解：二次函數(shù)的解析式為，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，
、，，
點(diǎn)離直線最遠(yuǎn)，離直線最近，
而拋物線開(kāi)口向上，
；
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．
3．若二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．0B．1C．2D．以上都不對(duì)
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程的判別式，即可得出結(jié)論．
【解析】∵二次函數(shù)，
∴，
∵，
∴，即，
∴二次函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)判別式，進(jìn)行判斷二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，正確掌握方法是解題的關(guān)鍵．
4．下列關(guān)于二次函數(shù)的說(shuō)法，正確的是（ ）
A．對(duì)稱軸是直線B．當(dāng)時(shí)有最小值
C．頂點(diǎn)坐標(biāo)是D．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減少
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解析】解：由二次函數(shù)可知對(duì)稱軸是直線，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；
由二次函數(shù)可知開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)有最小值，故選項(xiàng)B正確，符合題意；
由二次函數(shù)可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-5），故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；
由二次函數(shù)可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-5），對(duì)稱軸是直線，當(dāng)x＜3時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸以及二次函數(shù)的增減性．
5．一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=a+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由一次函數(shù)y=ax+b圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象相比較看是否一致．
【解析】解：A. 由拋物線可知，a＜0，x=-＜0，得b＞0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B. 由拋物線可知，a＜0，x=-＜0，得b＜0，由直線可知，a＜0，b＜0，故本選項(xiàng)正確；
C. 由拋物線可知，a＞0，x=-＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D. 由拋物線可知，a＜0，x=-＜0，得b＜0，由直線可知，a＜0，b＞0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象，掌握拋物線和直線的性質(zhì)，用假設(shè)法來(lái)搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法．
6．由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見(jiàn)到如下文字：已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(1，0)……求證這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)一定不具有的性質(zhì)是（ ）
A．過(guò)點(diǎn)(3，0)B．頂點(diǎn)是(-2，2)
C．在軸上截得的線段的長(zhǎng)是2D．與軸的交點(diǎn)是(0，3)
【答案】B
【分析】由題目條件可知該二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸為x=2，可求得拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，則可判斷A、C；由拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)應(yīng)為對(duì)稱軸，即可判斷B；把x=0代入可求得y=c，由c的值有可能為3，故可判斷D正確．
【解析】解：由題可知拋物線與x軸的一交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，拋物線對(duì)稱軸為x=2，
∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，
∴在x軸上截得的線段長(zhǎng)是3-1=2，
∴A、C正確，不符合題意；
∵該二次函數(shù)圖象對(duì)稱軸為x=2，
∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)應(yīng)為2，
∴B一定不正確，符合題意；
把x=0代入可求得y=c，
∴當(dāng)c=3時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)，
∴D有可能正確，不符合題意．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．掌握函數(shù)圖象上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)一定也在二次函數(shù)的圖象上是解題關(guān)鍵．
7．足球運(yùn)動(dòng)員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h（單位：m）與足球被踢出后經(jīng)過(guò)的時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系如表：
下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度超過(guò)20m；②足球飛行路線的對(duì)稱軸是直線t＝；③點(diǎn)（9，0）在該拋物線上；④足球被踢出5s～7s時(shí)，距離地面的高度逐漸下降．其中正確的結(jié)論是（ ）A．②③B．①②③C．①②③④D．②③④
【答案】C
【分析】由題意，拋物線經(jīng)過(guò)（0，0），（9，0），所以可以假設(shè)拋物線的解析式為h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，可得h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判斷．
【解析】解：由題意，拋物線的解析式為h＝at（t﹣9），把（1，8）代入可得a＝﹣1，
∴h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距離地面的最大高度為20.25m＞20m，故①正確，
∴拋物線的對(duì)稱軸t＝4.5，故②正確，
∵t＝9時(shí)，h＝0，
∴點(diǎn)（9，0）在該拋物線上，故③正確，
∵當(dāng)t＝5時(shí)，h＝20，當(dāng)t＝7時(shí)，h＝14，
∴足球被踢出5s～7s時(shí)，距離地面的高度逐漸下降，故④正確．
∴正確的有①②③④，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
8．小明在研究拋物線（h為常數(shù)）時(shí)，得到如下結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．無(wú)論x取何實(shí)數(shù)，y的值都小于0
B．該拋物線的頂點(diǎn)始終在直線上
C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，則
D．該拋物線上有兩點(diǎn)，，若，，則
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷即可．
【解析】解：A．，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， ，故錯(cuò)誤；
B．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；
C．拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，，故正確；
D．拋物線上有兩點(diǎn)，，若，，，點(diǎn)A到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)B到對(duì)稱軸的距離，，故錯(cuò)誤．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．如圖，拋物線（a＞0）與y軸交于點(diǎn)B，直線y＝x經(jīng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BA∥x軸，與拋物線交于點(diǎn)C，與直線y＝x交于點(diǎn)A，若點(diǎn)C恰為線段AB中點(diǎn)，則線段OA長(zhǎng)度為（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】先根據(jù)拋物線頂點(diǎn)為，直線y＝x經(jīng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)D，求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A在直線y＝x上建立關(guān)于a的方程，求出a值，最后求得OA長(zhǎng)度．
【解析】拋物線頂點(diǎn)為，直線y＝x經(jīng)過(guò)拋物線頂點(diǎn)D，
，
又點(diǎn)C恰為線段AB中點(diǎn)
，；
又點(diǎn)A在直線y＝x上，
，
解得：或（舍去）；
，
．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)、正比例函數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用各性質(zhì)．
10．如圖，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像與x軸交于點(diǎn)A（－1，0），與y軸的交點(diǎn)B在（0，2）與（0，3）之間（不包括這兩點(diǎn)），對(duì)稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：①abc＜0；②9a＋3b＋c＞0；③若點(diǎn)，點(diǎn)是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，則y1＞y2；④ ；⑤c－3a＞0，其中正確結(jié)論有（ ）
A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線開(kāi)口方向，對(duì)稱軸位置，拋物線與y軸交點(diǎn)位置可判斷①，由拋物線與x軸交點(diǎn)（-1，0）及拋物線對(duì)稱軸可得拋物線與x軸另一交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得x=3時(shí)y＞0，進(jìn)而判斷②，根據(jù)M，N兩點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸的距離判斷③，由拋物線對(duì)稱軸可得b=-4a，再根據(jù)x=-1時(shí)y=0及2＜c＜3可判斷④，根據(jù)x=1時(shí)y＞0可判斷⑤．
【解析】解：∵拋物線開(kāi)口向下，
∴a＜0，
∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=-＞0，
∴b＞0．
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正確．
∵拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），對(duì)稱軸為直線x=2，
∴拋物線與x軸另一交點(diǎn)為（5，0），
∴當(dāng)x=3時(shí)，y=9a+3b+c＞0，②正確．
∵，拋物線開(kāi)口向下，
∴y1＜y2，③錯(cuò)誤．
∵-=2，
∴b=-4a，
∴x=-1時(shí)，y=a+4a+c=5a+c=0，
∵2＜c＜3，
∴-3＜5a＜-2，
解得，
∴④正確，
∵x=1時(shí)，y=a+b+c=-3a+c＞0，
∴c-3a＞0，⑤正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．
二、填空題
11．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 _____．
【答案】（，-）
【分析】直接利用配方法求出二次函數(shù)頂點(diǎn)式，進(jìn)而得出答案．
【解析】解：∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，-）．
故答案為：（，-）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確得出頂點(diǎn)式是解題關(guān)鍵．
12．已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．
【答案】2019
【分析】先將點(diǎn)（m，0）代入函數(shù)解析式，然后求代數(shù)式的值即可得出結(jié)果．
【解析】解：將（m，0）代入函數(shù)解析式得，m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴-3m2+3m+2022
=-3（m2-m）+2022
=-3+2022
=2019．
故答案為：2019．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是將點(diǎn)（m，0）代入函數(shù)解析式得到有關(guān)m的代數(shù)式的值．
13．已知二次函數(shù)y＝（x+m）2+2，當(dāng)x＞2時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_______．
【答案】m≥﹣2
【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式確定對(duì)稱軸，根據(jù)二次函數(shù)開(kāi)口朝上，依題意，可知在對(duì)稱軸的右側(cè)y的值隨x值的增大而增大，進(jìn)而求得的取值范圍．
【解析】解：二次函數(shù)y＝（x+m）2+2的對(duì)稱軸為直線x＝﹣m，且開(kāi)口朝上
∵當(dāng)x＞2時(shí)，y的值隨x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，
解得m≥﹣2．
故答案為：m≥﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)解析式求得開(kāi)口方向和對(duì)稱軸是解題的關(guān)鍵．
14．將拋物線以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)180度得到的拋物線解析式為_(kāi)__________．
【答案】
【分析】求出繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度所得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫(xiě)出即可．
【解析】解：∵拋物線的頂點(diǎn)為，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后變?yōu)椋议_(kāi)口相反，
∴得到的拋物線解析式為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)及平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
15．如圖，一位籃球運(yùn)動(dòng)員投籃，球沿拋物線運(yùn)行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為，則他距籃筐中心的水平距離是_________．
【答案】4
【分析】將代入中可求出x，結(jié)合圖形可知，即可求出OH．
【解析】解：當(dāng)時(shí)，，解得：或，
結(jié)合圖形可知：，
故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用：投球問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)圖形確定x的值．
16．已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和，如圖所示，則使不等式成立的的取值范圍是_____________．
【答案】
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得．
【解析】解：二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和，
由圖象可得：使不等式成立的的取值范圍是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用兩函數(shù)的圖象和交點(diǎn)求不等式的解集，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．
17．如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)C作軸，交該圖像于點(diǎn)D．若、，則的面積為_(kāi)_______．
【答案】20
【分析】由拋物線的對(duì)稱性及點(diǎn)D，B的坐標(biāo)可得點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，進(jìn)而求解．
【解析】解：∵CD∥x軸，點(diǎn)A，B為拋物線與x軸交點(diǎn)，
∴A，B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，C，D關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，
∵D（6，4），
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，4），
∴拋物線對(duì)稱軸為直線x=3，
由B（8，0）可得點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，0），
∴S△ABC=AB?OC=×10×4=20，
故答案為：20．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
18．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)滿足橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，則把點(diǎn)叫做“整點(diǎn)”如：、都是“整點(diǎn)”．當(dāng)拋物線與其關(guān)于軸對(duì)稱拋物線圍成的封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有個(gè)整點(diǎn)時(shí)，的取值范圍______．
【答案】
【分析】通過(guò)拋物線的解析式可得對(duì)稱軸為，過(guò)點(diǎn)，對(duì)分情況討論或，分別求解即可．
【解析】解：由可得，過(guò)點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下，如下圖：
此時(shí)整點(diǎn)有等等，顯然超過(guò)9個(gè)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上，如下圖：
要保證封閉區(qū)域內(nèi)（包括邊界）共有個(gè)整點(diǎn)，需要滿足
，，此時(shí)整數(shù)點(diǎn)為，，
即，解得
故答案為
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的新定義問(wèn)題，涉及了二次函數(shù)的性質(zhì)與一元一次不等式組的求解，解題的關(guān)鍵是理解題意，并列出不等式組．
三、解答題
19．如圖，拋物線的圖像經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)點(diǎn)先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，請(qǐng)判斷點(diǎn)是否在拋物線上．
【答案】(1)
(2)不在，過(guò)程見(jiàn)解析
【分析】（1）把點(diǎn)、代入，利用待定系數(shù)法即可得出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)平移規(guī)律，先確定點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入（1）中所得二次函數(shù)解析式進(jìn)行計(jì)算，將所得的函數(shù)值與點(diǎn)的縱坐標(biāo)比較即可作出判斷．
（1）
解：∵拋物線的圖像經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為．
（2）
∵點(diǎn)先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴點(diǎn)不在拋物線上．
【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，點(diǎn)坐標(biāo)平移的變化規(guī)律．點(diǎn)的坐標(biāo)平移變化規(guī)律：（1）將點(diǎn)左右平移縱坐標(biāo)不變，上下平移橫坐標(biāo)不變；（2）將點(diǎn)向右（或向上）)平移幾個(gè)單位長(zhǎng)度橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）就增加幾個(gè)單位長(zhǎng)度；將點(diǎn)向左（或向下）平移幾個(gè)單位長(zhǎng)度橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）就減少幾個(gè)單位長(zhǎng)度．理解和掌握點(diǎn)的坐標(biāo)平移變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
20．如圖，直線與x軸交于點(diǎn)B．拋物線與該直線交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D（0，4），頂點(diǎn)為C．
(1)求拋物線的函數(shù)解析式，并求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
(2)求二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，并結(jié)合圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍．
【答案】(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)（－1，），y2＝－
(2)x≤－2或x=4
【分析】（1）根據(jù)直線與x軸交于點(diǎn)B，可以求得y=0時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值，從而可以得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)D和點(diǎn)B，即可求得該拋物線的解析式，然后與直線聯(lián)立方程組，即可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）求得的拋物線解析式，可以求得二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后結(jié)合圖像，可以寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，x的取值范圍．
（1）
由直線＝－與x軸交于點(diǎn)B，可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）．
把點(diǎn)B（4，0）與點(diǎn)D（0，4）代入＝－得
解得，
∴＝－，
∵點(diǎn)A為直線與拋物線的交點(diǎn)，
∴解方程－＝－
得x=－1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)（－1，）；
（2）
當(dāng)=0時(shí)，－=0，
解得，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-2，0），
結(jié)合圖像，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是x≤－2或x=4．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答是解答本題的關(guān)鍵．
21．二次函數(shù)．
(1)求該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；
(2)若圖象過(guò)點(diǎn)，且，求的取值范圍；
(3)若點(diǎn)在該二次函數(shù)圖象上，且，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)時(shí)，；時(shí)或
【分析】（1）根據(jù)計(jì)算即可；
（2）將代入二次函數(shù)解析式中得的表達(dá)式，從而得到的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到的取值范圍；
（3）二次函數(shù)的圖象分開(kāi)口向上和開(kāi)口向下兩種情況，分別計(jì)算的取值范圍即可．
【解析】（1）解：對(duì)稱軸為直線；
（2）解：將代入二次函數(shù)解析式中得：
，
∴，
∵二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不等于，
∴，
∴，
∴；
∵，且，
∴當(dāng)時(shí)，，
∴，
綜上所述，；
（3）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，
點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
∵，
∴；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線，
點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，
∵，
∴或
綜上所述，時(shí)，；時(shí)或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，第（3）問(wèn)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
22．“燃情冰雪，一起向未來(lái)”，北京冬奧會(huì)于2022年2月4日如約而至，某商家看準(zhǔn)商機(jī)，進(jìn)行冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”紀(jì)念品的銷售，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元．規(guī)定銷售單價(jià)不低于44元，且不高于60元．銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)，由于銷售火爆，商家決定提價(jià)銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10個(gè)．
(1)求當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品的銷售單價(jià)是多少元時(shí)，商家每天獲利2640元；
(2)將紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)w元最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品的銷售單價(jià)是52元時(shí)，商家每天獲利2640元
(2)當(dāng)紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為57元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)w最大，最大利潤(rùn)是2890元
【分析】（1）設(shè)每件紀(jì)念品銷售價(jià)上漲x元，根據(jù)題意列出一元二次方程，解出方程，根據(jù)銷售單價(jià)不高于60元即可求解．
（2）根據(jù)題意列出銷售利潤(rùn)w與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的增減性即可求解．
【解析】（1）解：設(shè)每件紀(jì)念品銷售價(jià)上漲x元，
由題意得：（x+4）（300–10x）＝2640，
整理得：x2﹣26x+144＝0，即（x–8）（x–18）=0，
解得：x1＝8，x2＝18，
∵銷售單價(jià)不高于60元，
∴x＝8，
答：當(dāng)每個(gè)紀(jì)念品的銷售單價(jià)是52元時(shí)，商家每天獲利2640元．
（2）根據(jù)題意得：
w＝（x+4）（300–10x），
＝–10x2+260x+1200
＝–10（x–13）2+2890，
∵–10＜0，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=13，
∴當(dāng)x＝13時(shí)，w最大且最大值為2890，
∵，
所以，當(dāng)紀(jì)念品的銷售單價(jià)定為57元時(shí)，商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)w最大，最大利潤(rùn)是2890元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程及函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
23．如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（B點(diǎn)在A點(diǎn)的右側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)．
(1)A點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________；B點(diǎn)坐標(biāo)是________________；
(2)求直線BC的解析式；
(3)點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），是否存在點(diǎn)P，使△PBC的面積最大．若存在，請(qǐng)求出△PBC的最大面積，若不存在，試說(shuō)明理由；
(4)若點(diǎn)M在x軸上，點(diǎn)N在拋物線上，以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)，
(2)直線的解析式為
(3)存在點(diǎn)，使的面積最大，最大面積是16，理由見(jiàn)詳解
(4)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，
【分析】（1）由拋物線的對(duì)稱軸為直線，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出值，進(jìn)而可得出拋物線的解析式，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即可求出點(diǎn)、的坐標(biāo)；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式，
（3）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，，利用三角形的面積公式即可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問(wèn)題；
【解析】（1）解：拋物線的對(duì)稱軸是直線，
，解得：，
拋物線的解析式為．
當(dāng)時(shí)，，
解得：，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為，．
（2）解：當(dāng)時(shí)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的解析式為．
將、代入，
，解得：，
直線的解析式為．
（3）解：假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖所示．
，
．
，
當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大面積是16．
，
存在點(diǎn)，使的面積最大，最大面積是16．
（4）解：如圖，
當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，由點(diǎn)可知點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為4，
∴或，
解得：，
當(dāng)，時(shí)，則有，
∴，
∴，
同理可得當(dāng)，，，，可得，，，，
當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，則有，
∴，
∴，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出的值；（2）根據(jù)三角形的面積公式找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)的長(zhǎng)度，找出關(guān)于的含絕對(duì)值符號(hào)的一元二次方程；（4）用分類討論的思想解決問(wèn)題即可．
三、二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
1、列二次函數(shù)解應(yīng)用題
列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式．對(duì)于應(yīng)用題要注意以下步驟：
(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．
(2)設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確．
(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．
(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問(wèn)題。
(5)檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問(wèn)題的答案．
(6)寫(xiě)出答案．
要點(diǎn)：
常見(jiàn)的問(wèn)題：求最大(小)值(如求最大利潤(rùn)、最大面積、最小周長(zhǎng)等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問(wèn)題等.解決這些實(shí)際問(wèn)題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.
2、建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問(wèn)題
一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問(wèn)題．
要點(diǎn)：
(1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問(wèn)題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問(wèn)題.在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.
(2)對(duì)于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個(gè)方面的問(wèn)題：
①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；
②學(xué)會(huì)從實(shí)際問(wèn)題中建立二次函數(shù)的模型；
③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.
一、單選題
1．從高處自由下落的物體，下落距離s與下落時(shí)間t的平方成正比．若某一物體從125米高度自由下落，5秒落地，則下落1秒時(shí)，距離地面的高度為（ ）
A．5米B．25米C．100米D．120米
【答案】D
【分析】設(shè)，再利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，再把代入函數(shù)解析式計(jì)算下落的距離，從而可得答案．
【解析】解：∵下落距離s與下落時(shí)間t的平方成正比，
∴設(shè)，
當(dāng)時(shí)，，
∴，解得：，
∴，
當(dāng)時(shí)，則，
此時(shí)距離地面的高度為（米）．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正比例的含義，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，熟練的求解二次函數(shù)的解析式是解本題的關(guān)鍵．
2．我校辦公樓前的花園是一道美麗的風(fēng)景，現(xiàn)計(jì)劃在花園里再加上一噴水裝置，水從地面噴出，如圖，以水平地面為軸，出水點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線（單位：米）的一部分，則水噴出的最大高度是（ ）
A．4.5米B．5米C．6.25米D．7米
【答案】C
【分析】將拋物線解析式配方為頂點(diǎn)式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)解題即可．
【解析】解：，
所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
即水噴出的最大高度是，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的配方是解題的關(guān)鍵．
3．2019年在武漢市舉行了軍運(yùn)會(huì)．在軍運(yùn)會(huì)比賽中，某次羽毛球的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分（如圖），其中出球點(diǎn)離地面點(diǎn)的距離是米，球落地點(diǎn)到點(diǎn)的距離是（ ）
A．1米B．3米C．5米D．米
【答案】C
【分析】令求得x的值即可求解．
【解析】解：令，則，
解得：，（舍去），
∴球落地點(diǎn)A到O點(diǎn)的距離是5米．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，利用函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．如圖，在水平地面點(diǎn)A處有一網(wǎng)球發(fā)射器向空中發(fā)射網(wǎng)球，網(wǎng)球在地面上的落點(diǎn)為B，網(wǎng)球飛行路線是一條拋物線，小明在直線上點(diǎn)C（靠點(diǎn)B一側(cè)）右側(cè)豎直向上擺放若干個(gè)無(wú)蓋的、直徑為0.5米，高為0.3米的圓柱形桶（網(wǎng)球的體積和圓柱形桶的厚度忽略不計(jì)）．已知米，米，網(wǎng)球飛行的最大高度米，若要使網(wǎng)球能落入桶內(nèi)，則至少需擺放圓柱形桶（ ）．
A．4個(gè)B．5個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)
【答案】B
【分析】先以所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，二次函數(shù)的圖像過(guò)M、A、B根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，當(dāng)桶的左側(cè)最高點(diǎn)位于拋物線以下，右側(cè)最高點(diǎn)位于拋物線以上時(shí)，求才能落進(jìn)桶內(nèi)，分別計(jì)算出和時(shí)y的值，然后與桶高比較，可求出m的取值范圍，從而求出m的最小值．
【解析】解：先以所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，二次函數(shù)的圖像過(guò)、，設(shè)拋物線的解析式為;
∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴，，
拋物線的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∵桶高，
∴有，
解得
∴m的值為5或6或7時(shí)，網(wǎng)球能落入桶中，
∴至少要擺5個(gè)桶；
故答案是：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求能否落入桶內(nèi)時(shí)高度的比較關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
5．單板滑雪大跳臺(tái)是北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目之一，舉辦場(chǎng)地為首鋼滑雪大跳臺(tái)．運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分．從起跳到著陸的過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度（單位：m）與水平距離（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系．如圖記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的與的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為（ ）．
A．4mB．7mC．8mD．10m
【答案】C
【分析】將點(diǎn)分別代入函數(shù)解析式，求得系數(shù)的值；然后由拋物線的對(duì)稱軸公式可以得到答案．
【解析】解：根據(jù)題意知，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
則，
解得：
∴拋物線為
所以，該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)．
即該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí)，水平距離為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立二次函數(shù)的模型再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵．
6．洗手盤(pán)臺(tái)面上有一瓶洗手液．當(dāng)同學(xué)用一定的力按住頂部下壓如圖位置時(shí)，洗手液從噴口流出，路線近似呈拋物線狀，且噴口為該拋物線的頂點(diǎn)．洗手液瓶子的截面圖下面部分是矩形．同學(xué)測(cè)得：洗手液瓶子的底面直徑，噴嘴位置點(diǎn)距臺(tái)面的距離為，且、、三點(diǎn)共線．在距離臺(tái)面處接洗手液時(shí)，手心到直線的水平距離為，不去接則洗手液落在臺(tái)面的位置距的水平面是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為，利用待定系數(shù)法求拋物線解析式進(jìn)而求解．
【解析】解：如圖：
根據(jù)題意，得，
設(shè)拋物線解析式為，
把點(diǎn)代入得：，
解得：，
所以拋物線解析式為，
當(dāng)時(shí)，即，
解得： 或（舍去），
又，
所以洗手液落在臺(tái)面的位置距的水平距離是．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是明確待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．
二、填空題
7．如圖，一拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為米時(shí)，水面寬度為米；那么當(dāng)水位上升米后，水面的寬度為_(kāi)__________米．（結(jié)果可帶根號(hào)）
【答案】
【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示（見(jiàn)詳解），可知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別是，，且對(duì)稱軸為，此時(shí)拋物線的最大值為，由此即可求出拋物線的解析式，當(dāng)水位上升米時(shí)，求函數(shù)自變量的值，由此即可求解．
【解析】解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，
∴拋物線過(guò)點(diǎn)，，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的解析為，將頂點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，即，
∴，則拋物線的解析式為：，
當(dāng)水位上升米，即時(shí)，，
整理得，，解方程得，，，
∴水面的寬度為：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，理解和掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．兩輛車A和B，從相同標(biāo)記處同時(shí)出發(fā)，沿直線同方向行駛，并且由出發(fā)點(diǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)，行駛的距離x與行駛時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系分別為：和，求：
（1）它們剛離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)時(shí)，行駛在前面的一輛車是_____；
（2）它們出發(fā)后，B車相對(duì)A車速度為零的時(shí)刻是_____．
【答案】 B車 2
【分析】（1）由已知行駛的距離x與行駛時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系可表示出速度與時(shí)間的關(guān)系式，比較剛離開(kāi)時(shí)即時(shí)，兩車的速度大小即可得到答案；（2）B車相對(duì)A車速度為零的時(shí)刻即是A車速度等于B速度的時(shí)刻，列出方程求解即可．
【解析】（1）由已知得，A車的速度與時(shí)間關(guān)系式為，B車的速度與時(shí)間關(guān)系式為
它們剛離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)時(shí)，B車速度大于A車速度（時(shí)，）
行駛在前面的一輛車是B車
故答案為：B車
（2）B車相對(duì)A車速度為零的時(shí)刻即是A車速度等于B車速度的時(shí)刻
，即
解得或（舍去）
故答案為：2
【點(diǎn)睛】本題考查變速運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)距離與速度的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由已知的行駛的距離x與行駛時(shí)間t關(guān)系式求出速度與時(shí)間的關(guān)系式．
9．小亮和小明在籃球場(chǎng)練習(xí)投籃，小亮投籃時(shí)籃球出手的高度是1.7米，籃球的運(yùn)行路線是拋物線的一部分，籃球運(yùn)行的水平距離為3米時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)的高度是3.5米，籃筐的高度是3.05米，結(jié)果小亮恰好命中籃筐，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(籃球和籃筐均看作一個(gè)點(diǎn))，y軸經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)，解答下列問(wèn)題．
（1）小亮投籃時(shí)籃球運(yùn)行路線所在拋物線的解析式為_(kāi)_________；
（2）小亮投籃時(shí)與籃筐的水平距離L為_(kāi)_________；
（3）小亮投籃后籃球被籃筐彈了出來(lái)，恰被離籃筐水平距離為5米處的小明跳起來(lái)接?。阎@球彈出后運(yùn)行路線也是拋物線的一部分(兩拋物線在同一平面內(nèi))，運(yùn)行的水平距離為2米時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，小明接球的高度為2.3米．則籃球彈出后最高點(diǎn)的高度為_(kāi)_________；
【答案】 4.5米 3.65米
【分析】（1）由題意可設(shè)小亮投籃時(shí)籃球運(yùn)行路線所在拋物線的解析式為，再代入，可直接求解析式；
（2）令，代入，即可求出答案；
（3）根據(jù)題意設(shè)籃球彈出后運(yùn)行路線所在拋物線，再代入，即可求出答案．
【解析】（1）由題意可設(shè)小亮投籃時(shí)籃球運(yùn)行路線所在拋物線的解析式為，代入，
，
∴，
∴，
故答案為：；
（2）令，則，
∴，
根據(jù)圖象可得，籃筐在第一象限，
∴，
則，
故答案為：4.5米；
（3）∵籃球彈出后運(yùn)行得水平距離為2米時(shí)到達(dá)最高點(diǎn)，且籃筐到y(tǒng)軸得距離為1.5米，∴籃球彈出后運(yùn)行路線所在拋物線的對(duì)稱軸時(shí)直線，
故可設(shè)該拋物線的解析式為，
∵小明到籃筐的水平距離為5米，籃筐到y(tǒng)軸的距離為1.5米，
∴小明到y(tǒng)軸的距離為3.5米，故拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
又知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
故有，
∴，
即，
∴籃球彈出后最高點(diǎn)的高度為3.65米．
故答案為：3.65米．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義、性質(zhì)以及在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用．
三、解答題
10．如圖，有長(zhǎng)為的籬笆，現(xiàn)一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度a為5m），設(shè)花圃的寬為xm，面積為．
(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及x值的取值范圍；
(2)要圍成面積為的花圃，的長(zhǎng)是多少米？
(3)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)是多少米時(shí)，圍成的花圃面積最大？
【答案】(1)，
(2)3米
(3)m
【分析】（1）根據(jù)列得函數(shù)關(guān)系式，利用求出x值的取值范圍；
（2）利用（1）得到，求解即可；
（3）將函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【解析】（1）解：由題意，得：，
∴；
∵，
即，
解得：，
∴x值的取值范圍為：；
（2）當(dāng)時(shí)，
即，
解得：，
∵，
∴，
即的長(zhǎng)是3米；
（3），
∵，拋物線開(kāi)口向下，
∴拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，S取的最大值，
∴當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)是m時(shí)，圍成的花圃面積最大．
【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求二次函數(shù)的解析式，最值問(wèn)題，一元二次方程的應(yīng)用，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
11．某商人將進(jìn)價(jià)為每件8元的某種商品按每件10元出售，每天可銷出100件．他想采用提高售價(jià)的辦法來(lái)增加利潤(rùn)．經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這種商品每件每提價(jià)1元，每天的銷售量就會(huì)減少10件．請(qǐng)問(wèn)每件售價(jià)提高多少元時(shí)，才能使一天的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】每件售價(jià)提高4元時(shí)，才能使一天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是360元．
【分析】設(shè)每件售價(jià)提高x元，每天的利潤(rùn)為y元，依題意可列出關(guān)于x與y的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【解析】解：設(shè)每件售價(jià)提高x元，每天的利潤(rùn)為y元，則每件的利潤(rùn)為元，每天的銷售量為件，
∴，
解得：．
依題意有：．
∵，
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，
∴每件售價(jià)提高4元時(shí)，才能使一天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是360元．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．讀懂題意，找出等量關(guān)系，列出方程是解題關(guān)鍵．
12．某公司研發(fā)了一款成本為元的新型產(chǎn)品，投放市場(chǎng)進(jìn)行銷售．按照物價(jià)部門(mén)規(guī)定，銷售單價(jià)不低于成本且不高于元，調(diào)研發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．
(1)求每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；
(2)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)
(2)銷售單價(jià)為元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元
【分析】（1）由待定系數(shù)法可得函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為w元，由題意得二次函數(shù)，寫(xiě)成頂點(diǎn)式，可求得答案．
【解析】（1）解：設(shè)，
將點(diǎn)代入得：，
解得，
∴每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)每天獲得的利潤(rùn)為w元，
由題意得，
∵按照物價(jià)部門(mén)規(guī)定，銷售單價(jià)不低于成本且不高于元，
∴
∵，拋物線開(kāi)口向下，
∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，，
∴銷售單價(jià)為65元時(shí)，每天獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
13．圖1是一個(gè)傾斜角為的斜坡的橫截面．斜坡頂端B與地面的距離為3米．為了對(duì)這個(gè)斜坡上的綠地進(jìn)行噴灌，在斜坡底端安裝了一個(gè)噴頭A，與噴頭A的水平距離為6米，噴頭A噴出的水珠在空中走過(guò)的曲線可以看作拋物線的一部分．設(shè)噴出水珠的豎直高度為y (單位：米)(水珠的豎直高度 是指水珠與水平地面的距離)，水珠與噴頭A的水平距離為x(單位：米)，y與x之間近似滿足二次函數(shù)關(guān)系，圖2記錄了x與y的相關(guān)數(shù)據(jù)，其中當(dāng)水珠與噴頭A的水平距離為4米時(shí)，噴出的水珠達(dá)到最大高度4米．
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)斜坡上有一棵高1.9米的樹(shù)，它與噴頭A的水平距離為2米，通過(guò)計(jì)算判斷從A噴出的水珠能否越過(guò)這棵樹(shù)．
【答案】(1)
(2)能越過(guò)
【分析】（1）由圖象知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且圖象過(guò)點(diǎn)，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，利用待定系數(shù)法求解可得；
（2）代入求得y的值后與比較大小后即可確定正確的結(jié)論．
【解析】（1）解：由圖象知，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且圖象過(guò)點(diǎn)，
設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為，將代入，
∴，
解得，
∴
（2）當(dāng)時(shí)，，
∵，且，
∴水珠能越過(guò)這棵樹(shù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其平移規(guī)律等知識(shí)點(diǎn)．
一、單選題
1． (2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的解析式即可直接得出此二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解析】
二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，懂得從二次函數(shù)頂點(diǎn)式的表達(dá)式中解出頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
2．（2017·上海松江·統(tǒng)考一模）下列拋物線中，對(duì)稱軸是y軸的拋物線是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【解析】解：對(duì)于二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，
若對(duì)稱軸是y軸的拋物線，則，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3． (2023·上海嘉定·?？级＃佄锞€繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開(kāi)口向上，拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，開(kāi)口向下，拋物線的開(kāi)口大小不變，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，由此即可得．
【解析】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開(kāi)口向上，
則將拋物線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開(kāi)口向下，拋物線的開(kāi)口大小不變，
所以旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到旋轉(zhuǎn)后的拋物線的開(kāi)口方向相反，開(kāi)口大小不變．
4． (2023·上海黃浦·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)中，當(dāng)＞0時(shí)，值隨值增大而減小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)在一次函數(shù)y=kx+b中，k大于0時(shí)，y隨x增大而增大，k小于0時(shí)，y隨x增大而減?。辉诜幢壤瘮?shù)(x>0)中，k大于0時(shí)，函數(shù)圖像在第一象限，y隨x增大而減小，k小于0時(shí)，函數(shù)圖像在第三象限，y隨x增大而增大；在二次函數(shù)y=ax2+h中，a大于0時(shí)，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小，在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解析】A.，x系數(shù)為大于0，y隨x增大而增大，與題意不符，錯(cuò)誤；
B.y=-x+1，x系數(shù)為-1小于0，y隨x增大而減小，與題意相符，正確；
C.，因?yàn)?20，函數(shù)圖像在第三象限，y隨x增大而增大，與題意不符，錯(cuò)誤；
D.，x2系數(shù)為1大于0，對(duì)稱軸為x軸，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖像在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大，與題意不符，錯(cuò)誤；
故選 B．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握各種函數(shù)的圖像及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5． (2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）在下列函數(shù)中，同時(shí)具備以下三個(gè)特征的是（ ）
①圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②圖像經(jīng)過(guò)第三象限；③當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)、正比例函數(shù)、一次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【解析】A.，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；圖像經(jīng)過(guò)第三、四象限；對(duì)稱軸為軸，開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而增大；所以同時(shí)具備①②③三個(gè)特征,符合題意；
B. 圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，故不符合題意；
C. 圖像經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，故不符合題意；
D. ，當(dāng)時(shí)，y的值隨x的值增大而減小，故不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、正比例函數(shù)、一次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
6． (2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得新拋物線和原拋物線相比，不變的是（ ）
A．對(duì)稱軸B．開(kāi)口方向C．和y軸的交點(diǎn)D．頂點(diǎn)．
【答案】B
【分析】求出平移后的拋物線，再比較對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，開(kāi)口方向，與y軸交點(diǎn)，進(jìn)而求解．
【解析】的對(duì)稱軸為y軸，開(kāi)口向上，與y軸交點(diǎn)（0，0），頂點(diǎn)（0,0）
將拋物線向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后解析式為：
∴平移后對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，與y軸交點(diǎn)（0，4），頂點(diǎn)（1,2）
∴開(kāi)口方向不變
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律．
7． (2023·上海黃浦·統(tǒng)考一模）小明準(zhǔn)備畫(huà)一個(gè)二次函數(shù)的圖像，他首先列表（如下），但在填寫(xiě)函數(shù)值時(shí)，不小心把其中一個(gè)蘸上了墨水（表中），那么這個(gè)被蘸上了墨水的函數(shù)值是（ ）
A．-1B．3C．4D．0
【答案】D
【分析】利用拋物線的對(duì)稱性即可求出拋物線的對(duì)稱軸，再利用拋物線的對(duì)稱性即可求出結(jié)論．
【解析】解：由表格可知：拋物線過(guò)（0，3）、（2，3）、（3，0）
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x==1
而
∴x=-1對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)與x=3對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)相等，都是0
∴這個(gè)被蘸上了墨水的函數(shù)值是0
故選D．
【點(diǎn)睛】此題考查的是拋物線對(duì)稱性的應(yīng)用，掌握利用拋物線的對(duì)稱性求對(duì)稱軸是解題關(guān)鍵．
8． (2023·上?！ざ＃┒魏瘮?shù)的圖象如圖所示，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．B．
C．D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值
【答案】D
【分析】由圖象可知，，當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為直線，對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：由圖象可知，，選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤，故不符合題意；
當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，故不符合題意；
該拋物線的對(duì)稱軸為直線，該函數(shù)在對(duì)稱軸處取最小值，選項(xiàng)D正確，故符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．
9． (2023·上海楊浦·?？家荒＃┤鐖D，已知拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），與y軸交于（0，2），且頂點(diǎn)在第一象限，那么下列結(jié)論：①a+c=b；②x=-1是方程ax2+bx+c＝0的解；③abc>0；④c﹣a＞2，其中正確的結(jié)論為（）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】C
【分析】將點(diǎn)代入解析式可判斷①；由對(duì)稱性可得另一個(gè)交點(diǎn)為，可判斷②；由開(kāi)口方向可判斷，根據(jù)對(duì)稱軸，可判斷，根據(jù)即可判斷③，由可判斷④．
【解析】解：①拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
，
，故①正確；
②拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
故②正確；
③由拋物線開(kāi)口向下可得由對(duì)稱軸為x>0，
，
與軸交于（0，2），，
abc0時(shí)開(kāi)口向上，并向上無(wú)限延伸；
當(dāng)＜0時(shí)開(kāi)口向下，并無(wú)限向下延伸。
頂點(diǎn)坐標(biāo)
（0，0）
（0，c）
（-m，0）
（-m，k）
（，）
對(duì)稱軸
y軸
y軸
直線x=-m
直線x=-m
直線
最值
＞0
X=0時(shí)
X=0時(shí)
X=-m時(shí)
X=-m時(shí)
時(shí)，
＜0
X=0時(shí)
X=0時(shí)
X=-m時(shí)
X=-m時(shí)
時(shí)，
增減性
＞0
在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小
在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大
＜0
在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大
在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大
決定開(kāi)口方向：當(dāng)＞0時(shí)開(kāi)口向上，＜0時(shí)開(kāi)口向下。
，b
、 b同時(shí)決定對(duì)稱軸位置：、b同號(hào)時(shí)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)
、b異號(hào)時(shí)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)
b=0時(shí) 對(duì)稱軸是y軸
c
c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)：c＞0時(shí)拋物線交y軸的正半軸
c=0時(shí)拋物線過(guò)原點(diǎn)
c＜0時(shí)拋物線交y軸的負(fù)半軸
△
△決定拋物線與x軸的交點(diǎn)：△＞0時(shí)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
△=0時(shí)拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)
△＜0時(shí)拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)
t
0
1
2
3
4
5
6
7
…
h
0
8
14
18
20
20
18
14
…
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
0
…
x
…
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣4
﹣2
2
8
…

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