正比例函數(shù)和反比例函數(shù)是本市中考的重要知識點，函數(shù)定義域，函數(shù)法則的函數(shù)值是本市的特色中考考點，中考中多以選擇題、填空題、解答題多以函數(shù)的應用形式出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能以及基本的數(shù)學思想方法．掌握函數(shù)的有關概念和本質(zhì)，函數(shù)的圖像和性質(zhì)的結(jié)合，函數(shù)的應用（實際應用和幾何應用），難度系數(shù)簡單-中等。。
一、 平面直角坐標系的基礎
有序數(shù)對概念：有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫做有序數(shù)對，記作（a ，b）。
【注意】a、b的先后順序?qū)ξ恢玫挠绊憽?br>平面直角坐標系的概念：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直并且原點重合的數(shù)軸，這樣就建立了平面直角坐標系。
兩軸的定義：水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，通常取向右為正方向；豎直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，通常取向上方向為正方向。
平面直角坐標系原點：兩坐標軸交點為其原點。
坐標平面：坐標系所在的平面叫坐標平面。
象限的概念：x軸和y軸把平面直角坐標系分成四部分，每個部分稱為象限。按逆時針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐標軸上的點不屬于任何象限。
點的坐標：對于坐標軸內(nèi)任意一點A，過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應的數(shù)a、b分別叫做點A的橫坐標和縱坐標，有序數(shù)對A(a，b)叫做點A的坐標，記作A(a，b)。
二 、點的坐標的有關性質(zhì)
性質(zhì)一 各象限內(nèi)點的坐標的符號特征
性質(zhì)二 坐標軸上的點的坐標特征
1.軸上的點，縱坐標等于0；
2.軸上的點，橫坐標等于0；
3.原點位置的點，橫、縱坐標都為0.
性質(zhì)三 象限角的平分線上的點的坐標
1．若點P（）在第一、三象限的角平分線上，則，即橫、縱坐標相等；








2．若點P（）在第二、四象限的角平分線上，則，即橫、縱坐標互為相反數(shù)；
在第一、三象限的角平分線上 在第二、四象限的角平分線上
性質(zhì)四 與坐標軸平行的直線上的點的坐標特征
1.在與軸平行的直線上， 所有點的縱坐標相等；




點A、B的縱坐標都等于；



2.在與軸平行的直線上，所有點的橫坐標相等；


點C、D的橫坐標都等于；
性質(zhì)五 點到坐標軸距離
在平面直角坐標系中，已知點P，則
1.點P到軸的距離為；
2.點P到軸的距離為；
3.點P到原點O的距離為PO＝

性質(zhì)六 平面直角坐標系內(nèi)平移變化
性質(zhì)七 對稱點的坐標




點P關于軸的對稱點為， 即橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)；
2.點P關于軸的對稱點為， 即縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)；




3.點P關于原點的對稱點為，即橫、縱坐標都互為相反數(shù)；




一、單選題
1．與平面直角坐標系中的點具有一一對應關系的是（ ）
A．實數(shù)B．有理數(shù)
C．有序?qū)崝?shù)對D．有序有理數(shù)對
2．已知點在第二象限，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．已知點與點在同一條平行于軸的直線上，且到軸的距離等于4，則點的坐標是（ ）
A．或B．或C．或D．或
4．在平面直角坐標系中，將點向右平移3單位長度，再向上平移4個單位長度正好與原點重合，那么點A的坐標是（ ）
A．B．C．D．
5．已知點A（m，2）與點B（1，n）關于y軸對稱，那么m+n的值等于（ ）
A．﹣1B．1C．﹣2D．2
6．在平面直角坐標系中，將點繞原點旋轉(zhuǎn)，得到的點的坐標為（ ）
A．B．C．D．
7．如圖，三角形ABC的面積等于（ ）
A．12B． C．13D．
8．已知點在軸上，則點的坐標是（ ）
A．B．C．D．
9．△ABC三個頂點坐標A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，0），將點B向右平移2個長度單位后，再向上平移5個長度單位到D，若設△ABC面積為S1，△ADC的面積為S2，則S1與S2大小關系為（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不能確定
10．如圖，點A(O，1)、點A1(2，0)、點A2(3，2)、點A3(5，1)、…，按照這樣的規(guī)律下去，點A2021的坐標為 ( )
A． (2023，2021)B．(3032，1010)C．(3033， 1011)D． (2023，1012)
二、填空題
11．如圖，已知雷達探測器在一次探測中發(fā)現(xiàn)了兩個目標，、，其中的位置可以表示成，那么可以表示為______．
12．已知點P(﹣2，4)與點Q關于原點對稱，那么點Q的坐標是__________．
13．在平面直角坐標系中，點A的坐標是(2，﹣1)，若軸，且AB＝9，則點B的坐標是 ___．
14．如圖，點是棋盤上象的第一跳后的位置，象走的規(guī)則是沿“田”形對角線走．
請指出：（1）象是從點________跳到A點；
（2）象下一跳的可能位置是__________．
15．在平面直角坐標系中，已知點A的坐標是，點P的坐標為，若為直角三角形，則的值為 _____．
三、解答題
16．已知點Q，試分別根據(jù)下列條件，回答問題．
(1)若點Q在y軸上，求點Q的坐標．
(2)若點Q在（即第一象限）角平分線上，求點Q的坐標．
17．已知點P(2m-6，m+1)，試分別根據(jù)下列條件直接寫出點P的坐標．
(1)點P在y軸上；
(2)點P的縱坐標比橫坐標大5；
(3)點P到x軸的距離與到y(tǒng)軸距離相等．
18．如圖，在平面直角坐標系中．
(1)求出的面積；
(2)在圖中作出關于y軸對稱的圖形，并寫出，的坐標；
(3)在x軸上找一點P，使得點P到B、C兩點的距離之和最小．
19．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，的頂點B在x軸的正半軸上，點A在y軸正半軸上，△AOB的面積為4，且.
(1)求點B的坐標；
(2)過點A作的垂線，點C在直線的下方垂直y軸于點D，當時，求點C的坐標：
(3)在（2）的條件下，連接，點E為的中點，求點E的坐標.
一、函數(shù)
1、函數(shù)的相關概念
在某個變化過程中有兩個變量，設為x和y,如果在變量x的允許取值范圍內(nèi)，變量y隨著x的變化而變化，那么變量y叫做變量x的函數(shù) ，x叫做自變量 。
2、函數(shù)的定義域與函數(shù)值
①定義域：函數(shù)的自變量的允許取值的范圍（簡稱自變量的取值范圍）。
常見函數(shù)的定義域：
（1）函數(shù)解析式為整式時，定義域為一切實數(shù)；
（2）函數(shù)解析式為分式時，定義域是使分母不等于0的實數(shù)；
（3）函數(shù)解析式是無理式時，偶次根式的被開方數(shù)必須是非負數(shù)；奇次根式的定義域為一切實數(shù)
（4）在實際生活中有意義。
②函數(shù)記號與函數(shù)值：
函數(shù)記號：y是x的函數(shù)用記號y=f（x）表示；
函數(shù)值：在函數(shù)記號y=f（x）表示時，f（a）表示當x=a時的函數(shù)值。
二、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)
1.正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的定義：
①正比例函數(shù)的定義：定義域是一切實數(shù)的函數(shù)y=kx(k是不等于零的常數(shù))叫做正比例函數(shù)，其中常數(shù)k叫做比例系數(shù).
注意：正比例函數(shù)的定義域是一切實數(shù).
②反比例函數(shù)的定義： 定義域為不等于零的一切實數(shù)的函數(shù)，（ k為不等于零的常數(shù)）叫做反比例函數(shù)，其中k也叫比例系數(shù).
要點：
（1）在中，自變量是分式的分母，當時，分式無意義，所以自變量的取值范圍是函數(shù)的取值范圍是.故函數(shù)圖象與軸、軸無交點；
（2） ()可以寫成()的形式，自變量的指數(shù)是－1，在解決有關自變量指數(shù)問題時應特別注意系數(shù)這一條件.
（3） ()也可以寫成的形式，用它可以迅速地求出反比例函數(shù)的比例系數(shù)，從而得到反比例函數(shù)的解析式.
2、正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)
要點：（1）若點()在反比例函數(shù)的圖象上，則點()也在此圖象上，所以反比例函數(shù)的圖象關于原點對稱；
（2）在反比例函數(shù)(為常數(shù)，) 中，由于，所以兩個分支都無限接近但永遠不能達到軸和軸．
3、過雙曲線() 中k的幾何意義
①過雙曲線() 上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.
②過雙曲線（k≠0）上任意一點作一坐標軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.
三、函數(shù)的表示方法
函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.
1、解析法
把兩個變量之間的依賴關系用數(shù)學式子來表達，這種表示函數(shù)的方法叫做解析法．這種數(shù)學式子也就是函數(shù)解析式．如、，再如S=200t、、……
2、列表法
這種把兩個變量之間的依賴關系用表格來表達，這種表示函數(shù)的方法叫做列表法．
3、圖象法
這種把兩個變量之間的依賴關系用圖像來表示，這種表示函數(shù)的方法叫做圖像法．
要點：由函數(shù)解析式畫出圖象的一般步驟：列表、描點、連線.列表時，自變量的取值時，既要使自變量的取值有一定的代表性，又不至于使自變量或?qū)暮瘮?shù)值太大或太小，以便于描點和全面反映圖象情況.
一、單選題
1．下列各圖象中，不能表示y是x的函數(shù)的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列說法不成立的是（ ）．
A．在中，與x成正比B．在中，與x成反比
C．若，則x，y成正比D．若，則x，y成反比
3．關于函數(shù)y＝﹣x，以下說法錯誤的是（ ）
A．圖象經(jīng)過原點B．圖象經(jīng)過第二、四象限
C．圖象經(jīng)過點D．y的值隨x的增大而增大
4．關于反比例函數(shù)，下列說法中錯誤的是（ ）
A．它的圖象是雙曲線
B．它的圖象在第一、三象限
C．的值隨的值增大而減小
D．若點在它的圖象上，則點也在它的圖象上
5．已知4個正比例函數(shù)y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的圖像如圖，則下列結(jié)論成立的是（ ）
A．k1＞k2＞k3＞k4B．k1＞k2＞k4＞k3
C．k2＞k1＞k3＞k4D．k4＞k3＞k2＞k1
6．在函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象上有三點，則函數(shù)值的大小關系是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函數(shù)y＝kx（k≠0）中y隨x的增大而增大，那么它和函數(shù)在同一直角坐標平面內(nèi)的大致圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．一列貨運火車從北京站出發(fā)，勻加速行駛一段時間后開始勻速行駛，過了一段時間，火車到達下一個車站停下，裝完貨之后又勻加速行駛，一段時間后再次開始勻速行駛，那么火車的速度v與行駛時間t之間的函數(shù)圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
9．甲、乙二人沿相同的路線由A到B勻速行進，A，B兩地間的路程為20km．他們行進的路程與甲出發(fā)后的時間t（h）之間的函數(shù)圖象如圖所示．根據(jù)圖中信息，下列說法中，不正確的是（ ）
A．甲的速度是5；B．乙的速度是10
C．乙比甲晚出發(fā)1hD．從A到B，甲比乙多用了1h
10．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，點A、B、C為反比例函數(shù)y=（k＞0）上不同的三點，連接OA、OB、OC，過點A作AD⊥y軸于點D，過點B、C分別作BE，CF垂直x軸于點E、F，OC與BE相交于點M，記△AOD、△BOM、四邊形CMEF的面積分別為S1、S2、S3，則（ ）
A．S1=S2+S3B．S2=S3
C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32
二、填空題
11．函數(shù)的定義域是______．
12．已知：，那么_______________．
13．已知函數(shù)，當______．時，這個函數(shù)為正比例函數(shù)．
14．已知正比例函數(shù)，如果它的圖像經(jīng)過第二、四象限，則的取值范圍是________．
15．已知反比例函數(shù)的圖像上兩點、，當時，有，則的取值范圍是______．
16．在描述某一個反比例函數(shù)的性質(zhì)時，甲同學說：“從這個反比例函數(shù)圖像上任意一點向x軸、y軸作垂線，與兩坐標軸所圍成的長方形的面積為2022.”乙同學說：“這個反比例函數(shù)在同一個象限內(nèi)，y的值隨著x的值增大而增大.”根據(jù)這兩位同學所描述，此反比例函數(shù)的解析式是_______.
17．如圖，在平面直角坐標中，點、點，線段繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點的對應點恰好落在反比例函數(shù)的圖像上，則______．
18．如圖，點A是射線上一點，過點A作軸于點B，以為邊在其右側(cè)作正方形，過點A的雙曲線交邊于點E，若，則的值是______．
三、解答題
19．已知，并且與x成正比例，與成反比例．當時，；當時，，求：y關于x的函數(shù)解析式．
20．若和是關于的方程的兩個不相等實數(shù)根，且是非負整數(shù)．
(1)求的值；
(2)反比例函數(shù)圖象過點（其中），求的值．
21．某校科技小組進行野外考察，途中遇到一片爛泥濕地，為了安全、迅速通過這片濕地，他們沿著前進路線鋪了若干塊木塊，構(gòu)筑成一條臨時近道．木板對地面的壓強P（Pa）是木板面積S（m2）的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．
(1)求出P與S之間的函數(shù)表達式；
(2)如果要求壓強不超過3000Pa，木板的面積至少要多大？
22．如圖，在平面直角坐標系中，的邊在x軸正半軸上，，，C為斜邊的中點，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像經(jīng)過點C，交邊于點D．
(1)這個反比例函數(shù)的解析式；
(2)連結(jié)，求的值．
23．已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點．
(1)試確定此反比例函數(shù)的解析式；
(2)點是坐標原點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．判斷點是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；
(3)已知點也在此反比例函數(shù)的圖象上（其中），過點作軸的垂線，交軸于點．若線段上存在一點，使得的面積是，設點的縱坐標為，求的值．
一、單選題
1． (2023·上海普陀·統(tǒng)考一模）如果點在軸上，那么點所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．（2017·上海徐匯·統(tǒng)考二模）已知點M(1－2m，m－1)在第四象限內(nèi)，那么m的取值范圍是( )
A．m＞1B．m＜C．＜m＜1D．m＜或m＞1
3． (2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC與△EFB全等，那么點F的坐標可以是（ ）
A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）
4． (2023·上海楊浦·校考一模）在平面直角坐標系xOy中，已知點P（1，2），點P與原點O的連線與x軸的正半軸的夾角為α（0°

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