二次根式知識點是中考數(shù)學(xué)的主要考查內(nèi)容之一，常常以客觀題的形式進行考查，重點要求熟練掌握二次根式的定義、性質(zhì)、同類二次根式、最簡二次根式和二次根式的運算，二次根式的運算另一種考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母類型的題目是考查的熱點。
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
2. 最簡二次根式
①被開方數(shù)是整數(shù)或整式；
②被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.
滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.
要點：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.
3.同類二次根式
幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.
要點：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.
二次根式的性質(zhì)

1．含有兩種相同的運算，兩者都需要進行平方和開方。
2．結(jié)果的取值范圍相同，兩者的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)。
3．當(dāng)a≧0時，
5.分母有理化：把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘,若他們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.
常用二次根式的有理化因式：
①與互為有理化因式；
②a＋與a-互為有理化因式；
③＋與-互為有理化因式。
一、單選題
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
3．下列各式中，能與合并的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列式子中二次根式有（ ）
①；②；③﹣；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
A．2個B．3個C．4個D．5個
5．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列各式是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7．下面說法正確的是（ ）
A．是最簡二次根式B．與是同類二次根式
C．形如的式子是二次根式D．
8．實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結(jié)果為（ ）．
A．B．C．D．無法確定
二、填空題
9．當(dāng)m___________時，二次根式有意義．
10．若，則_________．
11．函數(shù)的定義域為________．
12．已知函數(shù)，若，則________．
13．成立的條件是_________．
14．若，化簡___________．
15．已知，化簡二次根式的結(jié)果是______．
16．計算：________．
6.二次根式的運算
①因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方， 那么，就可以用它的算術(shù)平方根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面， 反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．
②二次根式的加減法：將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.
要點：
二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.
③乘除法：
乘除法法則：
要點：
（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.
（2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.
④有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式
一、單選題
1．下列各式的計算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．估算：的值應(yīng)在（ ）
A．0和1之間B．1和2之間C．2和3之間D．3和4之間
3．下列等式：①，②，③，④，⑤．正確的個數(shù)有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
4．二次根式的一個有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式中，是的有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
6．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最簡二次根式
7．已知a＝，b＝2+，則a，b的關(guān)系是（ ）
A．相等B．互為相反數(shù)
C．互為倒數(shù)D．互為有理化因式
8．甲、乙兩位同學(xué)對代數(shù)式，分別作了如下變形：甲：，乙：．關(guān)于這兩種變形過程的說法正確的是（ ）
A．甲、乙都正確B．甲、乙都不正確
C．只有甲正確D．只有乙正確
二、填空題
9．計算：___________．
10．計算：（1）______；（2）______．
（3）______；（4）______．
11．不等式的解集是________.
12．將（，）化為最簡二次根式：_____．
13．若最簡二次根式與是同類二次根式，則______．
14．若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則代數(shù)式的值為________．
15．已知，則______．
16．海倫－秦九韶公式；海倫公式又譯作希倫公式，海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式，表達式為：，它的特點是形式漂亮，便于記憶，而公式里的p為半周長（周長的一半）即：；已知三角形最短邊是3，最長邊是10，第三邊是奇數(shù)，則該三角形的面積是________．
三、解答題
17．計算：
18．計算：．
19．計算：
(1)
(2)
20．計算：
21．已知，求的值．
22．先化簡再求值：，其中， ．
一、單選題
1． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如果m是任意實數(shù)，那么下列代數(shù)式中一定有意義的是（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·上海奉賢·統(tǒng)考三模）在下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)?？级＃┫铝懈魇街?，最簡二次根式是（ ）
A．B．C．D．
4． (2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）下列二次根式的被開方數(shù)中，各因式指數(shù)為1的有（ ）
A．B．
C．D．
5． (2023·上海·統(tǒng)考二模）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）下列二次根式中，最簡二次根式是（ ）
A．B．C．D．
7．（2018·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）下列計算錯誤的是（ ）
A．=±2B．=2C．D．
8．（2018·上海楊浦·統(tǒng)考三模）下列式子中，與互為有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
9．（2018·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）比較大?。?3________-2
10．（2018·上海楊浦·統(tǒng)考一模）化簡：①=_____；②=_____；③=_____．
11．（2018·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）計算：____________．
12．（2017·上海長寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，那么_____．
13． (2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）方程的解為______.
14．（2012·上海黃浦·統(tǒng)考二模）分母有理化：________
15． (2023·上海金山·統(tǒng)考二模）化簡：的結(jié)果是____．
16．（2017·上海寶山·統(tǒng)考二模）計算：=______．
三、解答題
17． (2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）計算：．
18． (2023·上海金山·二模）計算：．
19．（2014·上海浦東新·統(tǒng)考二模）計算：
20． (2023·上?！ど虾Ｊ袑嶒瀸W(xué)校?？级＃┫然?，再求值：其中
21． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）先化簡再求值：（）?，其中a＝2+，b＝2﹣．
類型
法則
逆用法則
二次根式的乘法
積的算術(shù)平方根化簡公式：
二次根式的除法
商的算術(shù)平方根化簡公式：
專題11 二次根式

二次根式知識點是中考數(shù)學(xué)的主要考查內(nèi)容之一，常常以客觀題的形式進行考查，重點要求熟練掌握二次根式的定義、性質(zhì)、同類二次根式、最簡二次根式和二次根式的運算，二次根式的運算另一種考查形式是求二次根式的值，尤其是分母中含有根式或根式中含有字母類型的題目是考查的熱點。
1. 二次根式
形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.
2. 最簡二次根式
①被開方數(shù)是整數(shù)或整式；
②被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.
滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.
要點：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.
3.同類二次根式
幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.
要點：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.
二次根式的性質(zhì)

1．含有兩種相同的運算，兩者都需要進行平方和開方。
2．結(jié)果的取值范圍相同，兩者的結(jié)果都是非負(fù)數(shù)。
3．當(dāng)a≧0時，
5.分母有理化：把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘,若他們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.
常用二次根式的有理化因式：
①與互為有理化因式；
②a＋與a-互為有理化因式；
③＋與-互為有理化因式。
一、單選題
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)二次根式的定義，逐項判斷即可求解．
【詳解】解：A、，有可能小于0，故不一定是二次根式，不合題意；
B、，，故一定是二次根式，符合題意；
C、，若時，無意義，不合題意；
D、是三次根式，故此選項不合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了二次根式的定義，形如的式子叫二次根式，熟練掌握二次根式成立的條件是解答本題的關(guān)鍵．
2．代數(shù)式有意義，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】根據(jù)二次根式和分式有意義的條件列出不等式組解不等式組即可．
【詳解】解：代數(shù)式有意義，
，
解得且，
故D正確．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式和分式有意義的條件列出不等式組．
3．下列各式中，能與合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先將各個選項中的二次根式進行化簡，然后再進行判斷即可．
【詳解】解：A．，故該選項符合題意；
B．，故該選項不符合題意；
C．，故該選項不符合題意；
D．，故該選項不符合題意．
故選：A．
【點睛】本題主要考查同類二次根式，熟練掌握化成最簡二次根式的方法，是解題的關(guān)鍵．
4．下列式子中二次根式有（ ）
①；②；③﹣；④；⑤；⑥；⑦；⑧．
A．2個B．3個C．4個D．5個
【答案】D
【分析】根據(jù)形如的式子叫做二次根式判斷即可．
【詳解】解：二次根式有：①；③﹣；⑤；⑥；⑦共5個，
無意義，不是二次根式；
的根指數(shù)為3，不是二次根式；
∵，
∴，
∴不是二次根式；
故選：D．
【點睛】本題考查了二次根式的定義，掌握形如的式子叫做二次根式是解題的關(guān)鍵．
5．下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把四個選項中的二次根式化簡，再根據(jù)同類二次根式的定義進行判定即可．
【詳解】解：A．與不是同類二次根式；
B．與不是同類二次根式；
C．與不是同類二次根式；
D．與是同類二次根式．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)、同類二次根式等知識點，根據(jù)二次根式的定義化簡二次根式是解題的關(guān)鍵．
6．下列各式是最簡二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)最簡二次根式的意義，逐個進行判斷即可．
【詳解】A．的被開方數(shù)是整數(shù)，且不含有能開得盡方的因數(shù)，因此是最簡二次根式，所以選項A符合題意；
B．，因此不是最簡二次根式，所以選項B不符合題意；
C．，因此不是最簡二次根式，所以選項C不符合題意；
D．不是二次根式，所以選項D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．
7．下面說法正確的是（ ）
A．是最簡二次根式B．與是同類二次根式
C．形如的式子是二次根式D．
【答案】A
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義即可判斷A；根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可判斷B、D；根據(jù)二次根式的定義即可判斷C．
【詳解】解：A、是最簡二次根式，說法正確，符合題意；
B、與不是同類二次根式，說法錯誤，不符合題意；
C、當(dāng)時，形如的式子不是二次根式，說法錯誤，不符合題意；
D、，說法錯誤，不符合題意；
故選A
【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，最簡二次根式的定義，二次根式的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．
8．實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡結(jié)果為（ ）．
A．B．C．D．無法確定
【答案】A
【分析】先根據(jù)點在數(shù)軸上的位置判斷出及的符號，再把原式進行化簡即可．
【詳解】解：∵由圖可知：，
∴，，
∴原式，
故選：A．
【點睛】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，先根據(jù)題意得出a的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．當(dāng)m___________時，二次根式有意義．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0，即可求出m的范圍．
【詳解】解：根據(jù)題意，得：，
解得：．
故答案為：．
【點睛】本題考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
10．若，則_________．
【答案】3
【分析】首先根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可求得，，再把，代入，即可求得其值．
【詳解】解：，
解得，
，
，
，
故答案為：3．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，代數(shù)式求值問題，求得x、y的值是解決本題的關(guān)鍵．
11．函數(shù)的定義域為________．
【答案】且
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)非負(fù)，分母不為零即可確定函數(shù)的定義域．
【詳解】由題意得：且，
且，
故答案為：且．
【點睛】本題考查了求函數(shù)自變量的取值范圍，注意二次根式被開方數(shù)非負(fù)，分母不為零是求函數(shù)自變量取值范圍時常常要考慮的．
12．已知函數(shù)，若，則________．
【答案】
【分析】根據(jù)已知函數(shù)的形式代入求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
解得：．
故答案為：
【點睛】本題主要考查求函數(shù)的自變量的值，理解新定義的函數(shù)形式是解題的關(guān)鍵．
13．成立的條件是_________．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的除法法則和二次根式的性質(zhì)（的條件是且）得出且，求出組成的不等式組的解集即可．
【詳解】解：根據(jù)二次根式的除法法則得出，
解得：，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的除法法則的應(yīng)用，能熟記二次根式的除法法則的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵．
14．若，化簡___________．
【答案】
【分析】首先利用二次根式的性質(zhì)得出，進而化簡求出即可．
【詳解】解：∵ ，有意義，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡求值，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．
15．已知，化簡二次根式的結(jié)果是______．
【答案】
【分析】二次根式有意義，，結(jié)合已知條件得，化簡即可得出最簡形式．
【詳解】解：根據(jù)題意，，
得和同號，
又中，
，
，，
則原式，
故答案為：．
【點睛】主要考查了二次根式的化簡，解題的關(guān)鍵是掌握開平方的結(jié)果為非負(fù)數(shù)．
16．計算：________．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的乘法運算法則進行計算即可．
【詳解】解：，
∵，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的乘法以及二次根式的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)運算法則是解本題的關(guān)鍵．
6.二次根式的運算
①因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方， 那么，就可以用它的算術(shù)平方根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面， 反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．
②二次根式的加減法：將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.
要點：
二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如.
③乘除法：
乘除法法則：
要點：
（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.
（2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.
④有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用于二次根式
一、單選題
1．下列各式的計算正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二次根式的計算法則進行計算即可．
【詳解】解：A. ，故原選項計算錯誤，不符合題意；
B. ，故原選項計算錯誤，不符合題意；
C. ，故原選項計算錯誤，不符合題意；
D. ，故原選項計算正確，符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了二次根式的運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
2．估算：的值應(yīng)在（ ）
A．0和1之間B．1和2之間C．2和3之間D．3和4之間
【答案】C
【分析】先根據(jù)二次根式的乘法法則進行計算，再估算出的范圍，得出答案即可．
【詳解】解：，
∵，
∴，
∴估算的值應(yīng)在2到3之間，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式的乘法運算和估算無理數(shù)的大小，能估算出的范圍是解此題的關(guān)鍵．
3．下列等式：①，②，③，④，⑤．正確的個數(shù)有（ ）
A．4個B．3個C．2個D．1個
【答案】C
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、立方根、二次根式的運算可進行排除選項．
【詳解】解：①，原計算錯誤，②，原計算正確；③，原計算錯誤；④，原計算正確；⑤，原計算錯誤；
∴正確的有2個；
故選C．
【點睛】本題主要考查算術(shù)平方根、立方根、二次根式的運算，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根、二次根式的運算是解題的關(guān)鍵．
4．二次根式的一個有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根號，所以的一個有理化因式是．
【詳解】解：，
故一個有理化因式是，
故選：D．
【點睛】本題考查了二次根式的有理化，根據(jù)二次根式的乘除法法則進行二次根式有理化．本題二次根式有理化主要利用平方公式．
5．下列各式中，是的有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)有理化因式的定義逐個判斷即可。
【詳解】的有理化因式是，
故選：D．
【點睛】本題考查分母有理化，如果兩個根式的積不含有根號，那么這兩個根式叫互為有理化因式，解題的關(guān)鍵是熟知其定義．
6．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的有理化因式可以是
B．
C．不等式（2﹣）x＞1的解集是x＞﹣（2+）
D．是最簡二次根式
【答案】D
【分析】根據(jù)分母有理化，最簡二次根式的定義，不等式的解法以及二次根式的性質(zhì)即可求出答案．
【詳解】解：A、有理化因式可以是，故A不符合題意．
B、原式＝|1﹣|＝﹣1，故B不符合題意．
C、∵（2﹣）x＞1，
∴x＜，
∴x＜﹣2﹣，故C不符合題意．
D、是最簡二次根式，故D符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了分母有理化，解一元一次不等式以及最簡二次根式，本題屬于基礎(chǔ)題型．
7．已知a＝，b＝2+，則a，b的關(guān)系是（ ）
A．相等B．互為相反數(shù)
C．互為倒數(shù)D．互為有理化因式
【答案】A
【分析】求出a與b的值即可求出答案．
【詳解】解：∵a＝＝+2，b＝2+，
∴a＝b，
故選：A．
【點睛】本題考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是求出a與b的值，本題屬于基礎(chǔ)題型．
8．甲、乙兩位同學(xué)對代數(shù)式，分別作了如下變形：甲：，乙：．關(guān)于這兩種變形過程的說法正確的是（ ）
A．甲、乙都正確B．甲、乙都不正確
C．只有甲正確D．只有乙正確
【答案】D
【分析】甲利用分母有理化的知識，可求得；乙先將分子因式分解，然后約分，即可求得．
【詳解】解：甲：當(dāng)時，
，
當(dāng)a=b時，無意義，
乙：，
∴甲錯誤，乙正確，
選項說法錯誤，不符合題意；
選項說法錯誤，不符合題意；
選項說法錯誤，不符合題意；
選項說法正確，符合題意;
故選D．
【點睛】本題考查了分母有理化，因式分解，解題的關(guān)鍵是要全面考慮a與b之間的數(shù)量關(guān)系．
二、填空題
9．計算：___________．
【答案】##
【分析】根據(jù)二次根式除法法則計算即可．
【詳解】解：
故答案為：．
【點睛】本題考查二次根式的除法，熟練掌握二次根式除法法則是解題的關(guān)鍵．
10．計算：（1）______；（2）______．
（3）______；（4）______．
【答案】 2 4 5
【分析】（1）根據(jù)平方差公式和二次根式的運算法則求解即可；
（2）根據(jù)完全平方公式和二次根式的運算法則求解即可；
（3）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和除法運算法則求解即可；
（4）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和乘法運算法則求解即可．
【詳解】解：（1）
故答案為：2；
（2），
故答案為：；
（3），
故答案為：4；
（4）
故答案為：5．
【點睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘法和除法運算法則，平方差公式和完全平方公式等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上運算法則．
11．不等式的解集是________.
【答案】##
【分析】根據(jù)一元一次不等式的解法進行計算即可求解．
【詳解】解： ，
即
∵，
∴
∴；
故答案為：．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式，分母有理化，正確的計算是解題的關(guān)鍵．
12．將（，）化為最簡二次根式：_____．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡即可．
【詳解】解：∵，，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查的是最簡二次根式的概念與化簡，掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
13．若最簡二次根式與是同類二次根式，則______．
【答案】2或0
【分析】根據(jù)二次根式和同類二次根式的定義列方程求出x、y的值，再計算．
【詳解】由題意得，，，
解得，，
∴當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
故答案為2或0．
【點睛】本題考查二次根式和同類二次根式的定義，二次根式省略的根指數(shù)為2，化成最簡二次根式之后，若被開方數(shù)相同，稱為同類二次根式，掌握基本概念是關(guān)鍵．
14．若的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，則代數(shù)式的值為________．
【答案】1
【分析】根據(jù)題意得出，代入代數(shù)式即可求解．
【詳解】解：∵的整數(shù)部分為，小數(shù)部分為，，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算，二次根式的混合運算，求得是解題的關(guān)鍵．
15．已知，則______．
【答案】7
【分析】對已知等式兩邊平方，展開計算即可求解．
【詳解】解：由題意得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：7．
【點睛】本題考查了二次根式的運算，分式的運算，掌握完全平方公式的特征是解題的關(guān)鍵．
16．海倫－秦九韶公式；海倫公式又譯作希倫公式，海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，它是利用三角形的三條邊的邊長直接求三角形面積的公式，表達式為：，它的特點是形式漂亮，便于記憶，而公式里的p為半周長（周長的一半）即：；已知三角形最短邊是3，最長邊是10，第三邊是奇數(shù)，則該三角形的面積是________．
【答案】或
【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求得第三邊的范圍，從而確定第三邊的長度，再根據(jù)海倫－秦九韶公式求得該三角形的面積．
【詳解】解：設(shè)第三邊長是c，則，
即，
又∵第三邊的長是奇數(shù)，
∴或11，
當(dāng)時，，
∴；
當(dāng)時，，
∴；
故答案為：或．
【點睛】此題考查二次根式的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積公式解答．
三、解答題
17．計算：
【答案】0
【分析】根據(jù)二次根式的加減法法則進行計算即可．
【詳解】解：
【點睛】此題考查了二次根式的加減運算，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
18．計算：．
【答案】
【分析】把二次根式化簡成最簡二次根式后，再合并即可．
【詳解】解：原式
【點睛】此題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．
19．計算：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減乘除運算求解即可；
（2）由題意可得：，根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及運算，求解即可．
【詳解】（1）
（2）由題意可得：，
【點睛】此題考查了二次根式的四則運算，涉及了二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的有關(guān)運算．
20．計算：
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和加減法運算法則分別計算、化簡即可．
【詳解】
．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡和計算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運算法則是解題關(guān)鍵．
21．已知，求的值．
【答案】
【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則和二次根式的性質(zhì)把原式進行化簡，再把a的值代入代數(shù)式進行計算即可．
【詳解】解：
∵，
∴，
∴原式
【點睛】本題考查的是分式的化簡求值，二次根式的性質(zhì)，熟知分式混合運算的法則是解答此題的關(guān)鍵．
22．先化簡再求值：，其中， ．
【答案】
【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式把原式的分子、分母變形，再根據(jù)約分法則化簡，利用分母有理化法則把x、y化簡，代入計算即可．
【詳解】解：原式
＝
，
當(dāng)，
時：
原式．
【點睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的乘法法則、平方差公式、完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
一、單選題
1． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如果m是任意實數(shù)，那么下列代數(shù)式中一定有意義的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)二次根式有意義，二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，分式有意義，分母不為零,進行分析即可．
【詳解】解：A、當(dāng)m＜0時，無意義，故此選項不符合題意；
B、當(dāng)m＜﹣1時，無意義，故此選項不符合題意；
C、當(dāng)m＝﹣1時，無意義，故此選項不符合題意；
D、m是任意實數(shù)，都有意義，故此選項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，熟練掌握二式有意義的基本條件是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·上海奉賢·統(tǒng)考三模）在下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先將各選項化簡，再找到被開方數(shù)為a的選項即可．
【詳解】解：A、a與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式；
B、=|a|與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式；
C、=|a|與被開方數(shù)相同，故是同類二次根式；
D、=a2與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，即：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．
3． (2023·上?！ど虾Ｊ袏渖街袑W(xué)校考二模）下列各式中，最簡二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐項判定即可．
【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
B、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
C、=|a|，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；
D、，是最簡二次根式，故此選項符合題意
故選：D．
【點睛】本題考查最簡二次根式概念，最簡二次根式滿足的條件是：被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，被開方數(shù)中不含分母．
4． (2023·上海青浦·統(tǒng)考二模）下列二次根式的被開方數(shù)中，各因式指數(shù)為1的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)及因式分解可進行求解．
【詳解】解：A、的被開方數(shù)的因式指數(shù)為1，故符合題意；
B、的被開方數(shù)的因式分別為5，，其中x的指數(shù)為2，故不符合題意；
C、的被開方數(shù)的因式有3，，其中4是2的平方，故不符合題意；
D、的被開方數(shù)的因式為，指數(shù)是2，故不符合題意；
故選A．
【點睛】本題主要考查二次根式的概念及因式分解，熟練掌握二次根式的概念及因式分解是解題的關(guān)鍵．
5． (2023·上?！そy(tǒng)考二模）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式及有理化因式的定義逐個判斷即可．
【詳解】解：
的有理化因式是，故A、C、D均不符合題意，選項B符合題意，
故選：B．
【點睛】本題考查二次根式的化簡、分母有理化等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
6． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）下列二次根式中，最簡二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】最簡二次根式：被開方數(shù)中不含能開方開的盡的因數(shù)或因式；被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式．根據(jù)最簡二次根式的定義進行判斷即可．
【詳解】最簡二次根式：被開方數(shù)中不含能開方開的盡的因數(shù)或因式；被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式
A：滿足條件，正確；
B：，錯誤；
C：，錯誤；
D：，錯誤．
故答案選：A
【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，掌握最簡二次根式需要滿足的條件是解題關(guān)鍵．
7．（2018·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）下列計算錯誤的是（ ）
A．=±2B．=2C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接排除選項即可．
【詳解】解：A、，故原題計算錯誤；
B、，故原題計算正確；
C、，故原題計算正確；
D、，故原題計算正確：
故選：A．
【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（2018·上海楊浦·統(tǒng)考三模）下列式子中，與互為有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用有理化因式的定義分析得出答案．
【詳解】∵（）（，）
=12﹣2，
=10，
∴與互為有理化因式的是：，
故選B．
【點睛】本題考查了有理化因式，如果兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，它們的積不含有二次根式，就說這兩個非零代數(shù)式互為有理化因式. 單項二次根式的有理化因式是它本身或者本身的相反數(shù)；其他代數(shù)式的有理化因式可用平方差公式來進行分步確定.
二、填空題
9．（2018·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）比較大小：-3________-2
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的大小比較進行求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查二次根式的大小比較，熟練掌握二次根式的大小比較的方法是解題的關(guān)鍵．
10．（2018·上海楊浦·統(tǒng)考一模）化簡：①=_____；②=_____；③=_____．
【答案】 4 5 5
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和乘法法則逐個化簡計算即可．
【詳解】解：①原式=4；②原式==5；③原式==5．
故填：①4；②5；③5．
【點睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)和乘法法則，靈活運用二次根式的性質(zhì)進行化簡與計算成為解答本題的關(guān)鍵．
11．（2018·上?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）計算：____________．
【答案】
【分析】先判斷的正負(fù)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．
【詳解】解：∵，∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二次根式的性質(zhì)有：，，， （a≥0，b>0）．
12．（2017·上海長寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，那么_____．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可知，代入原函數(shù)即可解答.
【詳解】因為函數(shù)，
所以當(dāng)時， ．
【點睛】本題主要考查了代數(shù)式求值問題，熟練掌握相關(guān)知識點以及二次根式的運算是解題關(guān)鍵.
13． (2023·上海寶山·統(tǒng)考二模）方程的解為______.
【答案】
【分析】先移項，再兩邊同時平方即可.
【詳解】，移項得，兩邊同時平方2x-1=1,可得x=1,
故答案為x=1.
【點睛】本題考查的是二次根式，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
14．（2012·上海黃浦·統(tǒng)考二模）分母有理化：________
【答案】
【分析】分母有理化就是指通過分子分母同時乘以同一個數(shù)，來消去分母中的根號，從而使分母變?yōu)橛欣頂?shù)．完成分母有理化，常要用到平方差公式．
【詳解】由題意得，
15． (2023·上海金山·統(tǒng)考二模）化簡：的結(jié)果是____．
【答案】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可化簡.
【詳解】∵，∴a＞0
∴=
【點睛】此題主要考查二次根式的運算，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的性質(zhì).
16．（2017·上海寶山·統(tǒng)考二模）計算：=______．
【答案】
【詳解】原式= .
三、解答題
17． (2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）計算：．
【答案】-1
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．
【詳解】解：原式＝2+﹣﹣（+1）﹣
＝2+﹣﹣﹣1﹣
＝﹣1．
【點睛】此題主要考查實數(shù)與二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟知其運算法則．
18． (2023·上海金山·二模）計算：．
【答案】．
【分析】第一項用平方差公式解答，第二項用分母有理化化簡，第三項用負(fù)指數(shù)冪解答，第四項用絕對值性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：原式＝3﹣2+
＝3﹣2+﹣1﹣﹣+1
＝．
【點睛】本題考查了平方差公式，分母有理化，負(fù)指數(shù)冪，絕對值等知識，掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．
19．（2014·上海浦東新·統(tǒng)考二模）計算：
【答案】.
【詳解】試題分析：根據(jù)二次根式的運算進行計算即可.
試題解析：
原式
考點：二次根式的計算.
20． (2023·上?！ど虾Ｊ袑嶒瀸W(xué)校?？级＃┫然?，再求值：其中
【答案】，．
【分析】先運用分式除法、同分母分式加減法法則進行計算，再將代入求值即可得出結(jié)論．
【詳解】解：
，
當(dāng)時，原式．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式運算的相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．
21． (2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）先化簡再求值：（）?，其中a＝2+，b＝2﹣．
【答案】
【分析】根據(jù)分式的減法和乘法可以化簡題目中的式子，然后將a、b的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【詳解】解：（）?，
＝[]?，
＝（）?，
＝，
＝，
當(dāng)a＝2+，b＝2﹣時，原式＝＝＝＝．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值和二次根式的運算，解題關(guān)鍵是熟練運用分式的運算法則和二次根式運算法則進行計算．
類型
法則
逆用法則
二次根式的乘法
積的算術(shù)平方根化簡公式：
二次根式的除法
商的算術(shù)平方根化簡公式：

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