圓的有關(guān)基礎(chǔ)概念及位置關(guān)系是選填題的熱門，大題出現(xiàn)的幾率依然很大，特別是壓軸題 ；圓周角定理、切線長(zhǎng)的性質(zhì)等已經(jīng)不在教材范圍之內(nèi)，而是增加兩個(gè)特色性質(zhì)：相交圓連心線的性質(zhì)；相切圓的連心線的性質(zhì)。
一 、圓的有關(guān)概念 垂徑定理
一、與圓有關(guān)的概念
圓的概念：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫圓．這個(gè)固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑．以0點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．
特點(diǎn)：圓是在一個(gè)平面內(nèi)，所有到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形．
確定圓的條件：
圓心；
半徑，
其中圓心確定圓的位置，半徑長(zhǎng)確定圓的大小．
補(bǔ)充知識(shí)：
1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；
2）圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；
3）半徑相等的圓叫做等圓．
弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長(zhǎng)的弦．
弧的概念：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱?。?、?為端點(diǎn)的弧記作??，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。?br>圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．
在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，
小于半圓的弧叫做劣?。?br>弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距．
圓心角概念：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．
圓周角概念：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．
三角形的外接圓
經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形．
點(diǎn)與圓的位置有三種：
三點(diǎn)定圓的方法：
1）經(jīng)過點(diǎn)A的圓：以點(diǎn)A以外的任意一點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑，即可作出過點(diǎn)A的圓，這樣的圓有無數(shù)個(gè)．
2）經(jīng)過兩點(diǎn)A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點(diǎn)O作為圓心，以O(shè)A的長(zhǎng)為半徑，即可作出過點(diǎn)A、B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個(gè)．
3）經(jīng)過三點(diǎn)時(shí)：
情況一：過三點(diǎn)的圓：若這三點(diǎn)A、B、C共線時(shí)，過三點(diǎn)的圓不存在；
情況二：若A、B、C三點(diǎn)不共線時(shí)，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點(diǎn)，而這個(gè)交點(diǎn)O是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個(gè)．
定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．
二、垂徑定理 QUOTE （12弦長(zhǎng)）2
對(duì)稱性
圓是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是直徑所在的直線
圓是中心對(duì)稱圖形。
垂徑定理
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br>推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??；
常見輔助線做法（考點(diǎn)）：
過圓心，作垂線，連半徑，造??△，用勾股，求長(zhǎng)度；
2）有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分．
一、單選題
1．下列說法：（1）長(zhǎng)度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直徑；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長(zhǎng)的弦．其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
2．已知OA=4，以O(shè)為圓心，r為半徑作⊙O．若使點(diǎn)A在⊙O內(nèi)，則r的值可以是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．過⊙O內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦為10cm，最短弦長(zhǎng)為8cm，則OM的長(zhǎng)為（ ）
A．9cmB．6cmC．3cmD．cm
4．下列說法正確的是（ ）
A．等弧所對(duì)的圓周角相等B．平分弦的直徑垂直于弦
C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等D．過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心
5．如圖，在中，于點(diǎn)D，AD的長(zhǎng)為3cm，則弦AB的長(zhǎng)為（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
6．已知⊙O的直徑AB=10，弦CD⊥AB于點(diǎn)M，若OM：OA=3：5，則弦AC的長(zhǎng)度（ ）．
A．B．C．3D．或
7．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以點(diǎn)B為圓心，3為半徑作⊙B，則點(diǎn)C與⊙B的位置關(guān)系是（ ）
A．點(diǎn)C在⊙B內(nèi)B．點(diǎn)C在⊙B上C．點(diǎn)C在⊙B外D．無法確定
8．如圖，AB為⊙O的弦，點(diǎn)C在AB上，AC＝4，BC＝2，CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為（ ）
A．B．3C．D．
二、填空題
9．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A（1，－3）、B（0，－3）、C（2，－3），___ 確定一個(gè)圓．（填“能”或“不能”）
10．下列說法正確的是_______（填序號(hào)）．
①半徑不等的圓叫做同心圓； ②優(yōu)弧一定大于劣?。?
③不同的圓中不可能有相等的弦； ④直徑是同一個(gè)圓中最長(zhǎng)的弦．
11． ，是半徑為3的上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦的取值范圍是________．
12．如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A，B，C，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，4)，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為________．
13．如圖，，在射線AC上順次截取，，以為直徑作交射線于、兩點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)是__________cm．
14．如圖，在矩形中，，以頂點(diǎn)為圓心作半徑為的圓．若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)中至少有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則的取值范圍是_______．
15．如圖，半圓O的半徑為2，E是半圓上的一點(diǎn)，將E點(diǎn)對(duì)折到直徑AB上(EE′⊥AB)，當(dāng)被折的圓弧與直徑AB至少有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則折痕CD的長(zhǎng)度取值范圍是_________________．
三、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系
圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等。
推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等
一、單選題
1．下列說法中，正確的是（ ）
A．等弦所對(duì)的弧相等B．等弧所對(duì)的弦相等
C．圓心角相等，所對(duì)的弦相等D．弦相等所對(duì)的圓心角相等
2．如圖，在一個(gè)圓內(nèi)有、、，若+=，則AB+CD與EF的大小關(guān)系是（ ）
A．AB+CD＝EFB．AB+CD＜EFC．AB+CD≤EFD．AB+CD＞EF
3．在中，AB，CD為兩條弦，下列說法：①若，則；②若，則；③若，則弧AB=2弧CD；④若，則.其中正確的有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
4．如圖，扇形OAB的圓心角為90°，點(diǎn)C、D是的三等分點(diǎn)，半徑OC、OD分別與弦AB交于點(diǎn)E、F，下列說法錯(cuò)誤的是( )
A．AE＝EF＝FBB．AC＝CD＝DB
C．EC＝FDD．∠DFB＝75°
5．如圖，C、D為半圓上三等分點(diǎn)，則下列說法：①==；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折與△COD重合．正確的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
6．如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點(diǎn)，且點(diǎn)C為弧BAD的中點(diǎn)，連接CD、CB、OD，CD與AB交于點(diǎn)F．若∠AOD＝100°，則∠ABC的度數(shù)為（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
二、填空題
7．120°的圓心角是360°的_______分之一，它所對(duì)的弧是相應(yīng)圓周長(zhǎng)的________分之一．
8．如圖，已知點(diǎn)C是⊙O的直徑AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦DE，使CD=CO．若的度數(shù)為35°，則的度數(shù)是_____．
9．已知，如圖以AB為直徑的⊙O，BC⊥AB，AC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上，若∠DEB=25°，則∠C=_______．
10．如圖，在平行四邊形ABCO中，∠C＝60°，點(diǎn)A，B在⊙O上，點(diǎn)D在優(yōu)弧上，DA＝DB，則∠AOD的度數(shù)為_______．
三、解答題
11．已知：如圖，在⊙O中，弦AB與半徑OE、OF交于點(diǎn)C、D，AC＝BD，求證：
（1）OC＝OD：
（2）．
12．如圖，MB，MD是⊙O的兩條弦，點(diǎn)A，C分別在弧MB，弧MD上，且AB＝CD，點(diǎn)M是弧AC的中點(diǎn)．
（1）求證：MB＝MD；
（2）過O作OE⊥MB于E，OE＝1，⊙O的半徑是2，求MD的長(zhǎng)．
13．如圖，過的直徑上兩點(diǎn)，分別作弦，．
求證：（1）；
（2）．
14．已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，D為弧BC的中點(diǎn)．
（1）如圖①，連接AC，AD，OD，求證：ODAC；
（2）如圖②，過點(diǎn)D作DE⊥AB交⊙O于點(diǎn)E，直徑EF交AC于點(diǎn)G，若G為AC的中點(diǎn)，⊙O的半徑為2，求AC的長(zhǎng)．
15．已知的直徑，弦與弦交于點(diǎn)E．且，垂足為點(diǎn)F．
（1）如圖1，如果，求弦的長(zhǎng)；
（2）如圖2，如果E為弦的中點(diǎn)，求 ．
四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
1、直線和圓的位置關(guān)系
位置關(guān)系：設(shè)⊙?的半徑為?，圓心?到直線?的距離為?，則直線和圓的位置關(guān)系如下表：
切線的性質(zhì)及判定
切線的性質(zhì)：
定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．
切線的判定
經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．
2、圓和圓的位置關(guān)系
圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定：設(shè)⊙?1、⊙?2的半徑分別為?、?（其中?>?），兩圓圓心距為?，則兩圓位置關(guān)系如下表：
【說明】圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點(diǎn)，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切與外切兩種情況．
定理1：相交圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。
定理2：相切圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)。
一、單選題
1．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知圓、圓的半徑不相等，圓的半徑長(zhǎng)為5，若圓上的點(diǎn)滿足，則圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交或相切B．相切或相離C．相交或內(nèi)含D．相切或內(nèi)含
2． (2023春·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┤绻麅蓤A的半徑長(zhǎng)分別為6與2，圓心距為4，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)含B．內(nèi)切C．外切D．相交
3．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A與點(diǎn)B，如果⊙O的半徑為6cm，線段，線段，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相交C．相切D．相交或相切
4．（2023春·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，)，圓P的半徑為2，下列說法正確的是（ ）
A．圓P與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn)
B．圓P與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)
C．圓P與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn)
D．圓P與x軸、y軸都沒有公共點(diǎn)
5． (2023春·上海閔行·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)在邊BC上，，的半徑長(zhǎng)為3，與相交，且點(diǎn)在外，那么的半徑長(zhǎng)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在四邊形中，，，，，（如圖）．點(diǎn)O是邊上一點(diǎn)，如果以O(shè)為圓心，為半徑的圓與邊有交點(diǎn)，那么的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
7．（2023秋·上海·九年級(jí)?？计谀┮阎c兩圓外切，，的半徑為3，那么的半徑為______．
8．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在Rt中，，，分別以點(diǎn)為圓心畫圓，如果點(diǎn)在上，與相交，且點(diǎn)在外，那么的半徑長(zhǎng)的取值范圍是________．
9．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知，、之間的距離是5cm，圓心O到直線的距離是2cm，如果圓O與直線、有三個(gè)公共點(diǎn)，那么圓O的半徑為______cm．
10． (2023春·上?！ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)O在邊上，且，以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果與的邊共有4個(gè)公共點(diǎn)，那么半徑r取值范圍是______.
11．（2023春·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，，圓P的半徑為1cm，動(dòng)點(diǎn)P在直線AB上從點(diǎn)O左側(cè)且距離O點(diǎn)6cm處，以1cm/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓P與直線CD相切時(shí)，圓心P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 _____s．
12． (2023·上海閔行·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)P在邊AC上，的半徑為1，如果與邊BC和邊AB都沒有公共點(diǎn)，那么線段PC長(zhǎng)的取值范圍是___________．
13． (2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，E是上一定點(diǎn)，．點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點(diǎn)，且⊙P與線段AD只有一個(gè)交點(diǎn)，則PC長(zhǎng)度的取值范圍是 __．

三、解答題
14．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)T，經(jīng)過點(diǎn)T的直線與⊙O1、⊙O2分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．
(1)求證：O1AO2B；
(2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的長(zhǎng)．
15． (2023春·上?！ぞ拍昙?jí)校考期中）已知：如圖，⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，AC∥O1O2，交⊙O1于點(diǎn)C，⊙O1的半徑為5，⊙O2的半徑為，AB=6．
求：
(1)弦AC的長(zhǎng)度；
(2)四邊形ACO1O2的面積．
16． (2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，半徑為1的⊙O與過點(diǎn)O的⊙P相交，點(diǎn)A是⊙O與⊙P的一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)B是直線AP與⊙O的不同于點(diǎn)A的另一交點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OA，OB，OP．
(1)當(dāng)點(diǎn)B在線段AP上時(shí)，
①求證：∠AOB＝∠APO；
②如果點(diǎn)B是線段AP的中點(diǎn)，求△AOP的面積；
(2)設(shè)點(diǎn)C是⊙P與⊙O的不同于點(diǎn)A的另一公共點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示β．
五、正多邊形和圓
正多邊形和圓
正多邊形
正多邊形概念：各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形．
正多邊形的相關(guān)概念：
正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．
正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．
正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
半徑、邊心距，邊長(zhǎng)之間的關(guān)系：
畫圓內(nèi)接正多邊形方法：
量角器
（作法操作復(fù)雜，但作圖較準(zhǔn)確）
量角器+圓規(guī)
（作法操作簡(jiǎn)單，但作圖受取值影響誤差較大）
圓規(guī)+直尺
（適合做特殊正多邊形，例如正四邊形、正八邊形、正十二邊形…..）
一、填空題
1．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）半徑為3的圓的內(nèi)接正六邊形的面積為______．
2．（2023春·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=_______．
3． (2023·上?！そy(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為6，如果弦AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊，那么弦BC的長(zhǎng)為_____．
4． (2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)B，C分別在正方形AMNP的邊AM，MN上．若AB＝4，則CN＝_____．
5． (2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，已知點(diǎn)G是正六邊形對(duì)角線上的一點(diǎn)，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于_______.
6． (2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，這個(gè)正多邊形面積可無限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來近似估計(jì)圓的面積，如圖，是正十二邊形的外接圓，設(shè)正十二邊形的半徑的長(zhǎng)為1，如果用它的面積來近似估計(jì)的面積，那么的面積約是___．
7．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如果一個(gè)四邊形有且只有三個(gè)頂點(diǎn)在圓上，那么稱這個(gè)四邊形是該圓的“聯(lián)絡(luò)四邊形”，已知圓的半徑長(zhǎng)為，這個(gè)圓的一個(gè)聯(lián)絡(luò)四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，那么這個(gè)菱形不在圓上的頂點(diǎn)與圓心的距離是________．
8． (2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，下列正多邊形都滿足BA1=CB1，在正三角形中，我們可推得：∠AOB1=60°；在正方形中，可推得：∠AOB1=90°；在正五邊形中，可推得：∠AOB1=108°，依此類推在正八邊形中，AOB1=____°，在正n(n≥3)邊形中，∠AOB1=____°．
二、解答題（圓內(nèi)接四邊形練）
9． (2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，與交于D，E兩點(diǎn)，是直徑且長(zhǎng)為12，．
(1)證明：；
(2)若，求的長(zhǎng)度．
10． (2023秋·浙江杭州·九年級(jí)校考期中）已知，如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，G是上一點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，設(shè)半徑為R．
(1)若，，求：
①______（用R的代數(shù)式表示）；
②的半徑長(zhǎng)．
(2)求證：．
一、解答題
1． (2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)A作ADOC交半圓于點(diǎn)D，E是直徑AB上一點(diǎn)，且AE＝AD，聯(lián)結(jié)CE、CD．
（1）求證：CE＝CD；
（2）如果，延長(zhǎng)EC與弦AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OD，求證：四邊形OCFD是菱形．
2． (2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點(diǎn)M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．
（1）求證：AB＝AC；
（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN，求證：．
3．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，⊙O與⊙P相切于點(diǎn)A，如果過點(diǎn)A的直線BC交⊙O于點(diǎn)B，交⊙P點(diǎn)，OD⊥AB于點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求的值：
（2）如果⊙O和⊙P的半徑比為3:5，求的值．
4．（2023秋·上海·九年級(jí)?？计谀┮阎喝鐖D，是的直徑，是上一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求的值．
5．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知為的直徑，A、B為上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為劣弧中點(diǎn)，連接，且．
(1)求證：；
(2)F、G分別為線段上兩點(diǎn)，滿足，連接，取中點(diǎn)H，連接，請(qǐng)猜測(cè)與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
6． (2023·上海·統(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內(nèi)，弦與弦交于點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．
（1）求證：；
（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求證：四邊形為矩形．
7． (2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）在半圓O中，AB為直徑，AC，AD為兩條弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．
(1)如圖1，求證：等于；
(2)如圖2，點(diǎn)F在直徑AB上，DF交AC于點(diǎn)E，若AE＝DE，求證：AC＝2DF；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的長(zhǎng)．
8． (2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交邊DC于E、F兩點(diǎn)，AD＝1，BC＝5，設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)為r．
（1）聯(lián)結(jié)OF，當(dāng)OF∥BC時(shí)，求⊙O的半徑長(zhǎng)；
（2）過點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為點(diǎn)H，設(shè)OH＝y(tǒng)，試用r的代數(shù)式表示y；
（3）設(shè)點(diǎn)G為DC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OG、OD，△ODG是否能成為等腰三角形？如果能，試求出r的值；如不能，試說明理由．
9． (2023春·上海金山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為半圓的直徑，，過作的垂線，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，連接交半圓于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓弧交于點(diǎn)（不與重合）．
(1)如圖2，連接、交于點(diǎn)，若為重心時(shí)，求的值；
(2)如圖2，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
(3)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，
①設(shè)與線段交于點(diǎn)，連接，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)求出度數(shù)；若變化，請(qǐng)至少給出兩種不同情況下所對(duì)應(yīng)的度數(shù)；
②若與相似，求的長(zhǎng)．
位置關(guān)系
圖形
定義
性質(zhì)及判定
點(diǎn)在圓外

點(diǎn)在圓的外部
?>??點(diǎn)?在⊙?的外部.
點(diǎn)在圓上
點(diǎn)在圓周上
?=??點(diǎn)?在⊙?的圓周上.
點(diǎn)在圓內(nèi)

點(diǎn)在圓的內(nèi)部
???直線?與⊙?相離
相切
直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)
?=??直線?與⊙?相切
相交
直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線
??+??兩圓外離
外切
兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．
?=?+??兩圓外切
相交
兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．
????），兩圓圓心距為?，則兩圓位置關(guān)系如下表：
【說明】圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點(diǎn)，它包括外離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切與外切兩種情況．
定理1：相交圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。
定理2：相切圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)。
一、單選題
1．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知圓、圓的半徑不相等，圓的半徑長(zhǎng)為5，若圓上的點(diǎn)滿足，則圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相交或相切B．相切或相離C．相交或內(nèi)含D．相切或內(nèi)含
【答案】A
【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，分類討論．
【解析】解：如圖所示：
當(dāng)兩圓外切時(shí)，切點(diǎn)能滿足，當(dāng)兩圓相交時(shí)，交點(diǎn)能滿足，
當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，切點(diǎn)能滿足，當(dāng)兩圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)不能滿足，
所以，兩圓相交或相切，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了由數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓位置關(guān)系的方法．
2． (2023春·上海青浦·九年級(jí)校考期中）如果兩圓的半徑長(zhǎng)分別為6與2，圓心距為4，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是（ ）
A．內(nèi)含B．內(nèi)切C．外切D．相交
【答案】B
【分析】根據(jù)數(shù)量關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系．設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且，圓心距為d：外離，則；外切，則；相交，則；內(nèi)切，則；內(nèi)含，則．
【解析】解：∵兩圓半徑之差圓心距，
∴兩個(gè)圓的位置關(guān)系是內(nèi)切．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了由兩圓位置關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，利用了兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于兩圓半徑的差求解．
3．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知同一平面內(nèi)有⊙O和點(diǎn)A與點(diǎn)B，如果⊙O的半徑為6cm，線段，線段，那么直線AB與⊙O的位置關(guān)系為（ ）
A．相離B．相交C．相切D．相交或相切
【答案】D
【分析】根據(jù)圓心到直線的距離與圓的半徑大小的關(guān)系進(jìn)行判斷，即當(dāng)圓心到直線的距離小于半徑時(shí)，直線與圓相交；圓心到直線的距離等于半徑時(shí)，直線與圓相切；圓心到直線的距離大于半徑時(shí)，直線與圓相離．
【解析】解：∵⊙O的半徑為10cm，線段，線段，
∴點(diǎn)A在以O(shè)為圓心，10cm長(zhǎng)為半徑的圓上，點(diǎn)B在以O(shè)圓心，6cm長(zhǎng)為半徑的⊙O上
當(dāng)時(shí)，如左圖所示，由知，直線AB與⊙O相切；
當(dāng)AB與OB不垂直時(shí)，如右圖所示，過點(diǎn)O作于點(diǎn)D，則，所以直線AB與⊙O相交；
∴直線AB與⊙O的位置關(guān)系為相交或相切
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，要確定直線與圓的位置關(guān)系，要比較圓心到直線的距離與半徑的大小，從而可確定位置關(guān)系．
4．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，)，圓P的半徑為2，下列說法正確的是（ ）
A．圓P與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn)
B．圓P與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)
C．圓P與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn)
D．圓P與x軸、y軸都沒有公共點(diǎn)
【答案】B
【分析】點(diǎn)P到x軸的距離是，到y(tǒng)軸的距離為2，圓P的半徑是2，所以可判斷圓P與x軸相交，與y軸相切，從而確定答案即可．
【解析】解：∵P（2，），圓P的半徑為2，2=2，＜2，
∴以P為圓心，以2為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相交，與y軸的位置關(guān)系是相切，
∴該圓與x軸的交點(diǎn)有2個(gè)，與y軸的交點(diǎn)有1個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系，一般是利用圓心到直線的距離與半徑比較來判斷．若圓心到直線的距離是d，半徑是r，則①d＞r，直線和圓相離，沒有交點(diǎn)；②d=r，直線和圓相切，有一個(gè)交點(diǎn)；③d＜r，直線和圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．
5． (2023春·上海閔行·九年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊BC上，，的半徑長(zhǎng)為3，與相交，且點(diǎn)在外，那么的半徑長(zhǎng)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系得到，
由點(diǎn)在外，于是得到，即可得到結(jié)論．
【解析】解：連接AD，
∵，，，
∴
∵的半徑長(zhǎng)為3，與相交，
∴，
∵，
∴，
∵點(diǎn)在外，
∴，
∴的半徑長(zhǎng)的取值范圍是，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，設(shè)點(diǎn)到圓心的距離為d，則當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)．
6． (2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在四邊形中，，，，，（如圖）．點(diǎn)O是邊上一點(diǎn)，如果以O(shè)為圓心，為半徑的圓與邊有交點(diǎn)，那么的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分別畫出半徑最小和最大時(shí)的圖形，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系以及切線的性質(zhì)列方程求解即可．
【解析】解：如圖1，過點(diǎn)D作于H，
則，，，
在中，，
當(dāng)與相切時(shí)，此時(shí)與線段有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)半徑最小，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
由得，，
解得；
如圖2，當(dāng)以為半徑的過點(diǎn)B時(shí)，半徑最大，過點(diǎn)O作于F，
設(shè)，則，
在中，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，即的最大半徑為，
所以當(dāng)以O(shè)為圓心，為半徑的圓與邊有交點(diǎn)，那么的取值范圍為，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直角梯形以及直角三角形的邊角關(guān)系，畫出半徑最小和最大時(shí)的圖形是正確解答的前提，構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．（2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谀┮阎c兩圓外切，，的半徑為3，那么的半徑為______．
【答案】2
【分析】由兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑的和，即可求得結(jié)果．
【解析】與兩圓外切，
,
，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系：兩圓外切時(shí)兩圓的圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，掌握這一關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
8．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）在Rt中，，，分別以點(diǎn)為圓心畫圓，如果點(diǎn)在上，與相交，且點(diǎn)在外，那么的半徑長(zhǎng)的取值范圍是________．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理求出斜邊，根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系求出的半徑，再求出的半徑的取值范圍即可．
【解析】解：在Rt中，，，由勾股定理得：，
點(diǎn)在上，
的半徑是6，
設(shè)交于，則，
∵與相交，
∴，
點(diǎn)在外，，
的半徑小于10，
即的取值范圍是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓以及圓與圓的位置關(guān)系，求出斜邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
9．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知，、之間的距離是5cm，圓心O到直線的距離是2cm，如果圓O與直線、有三個(gè)公共點(diǎn)，那么圓O的半徑為______cm．
【答案】3或7
【分析】根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形，從而可以解答本題．
【解析】解：設(shè)圓的半徑為rcm
如圖一所示，
r-5=2，得r=7cm，
如圖二所示，
r+2=5，得r=3cm，
故答案為：3或7．
【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
10． (2023春·上海·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)O在邊上，且，以點(diǎn)O為圓心，r為半徑作圓，如果與的邊共有4個(gè)公共點(diǎn)，那么半徑r取值范圍是______.
【答案】
【分析】利用勾股定理求出，，作交于點(diǎn)D，以O(shè)為圓心作圓，結(jié)合圖形可知： 的時(shí)候，交點(diǎn)為4個(gè)．
【解析】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，，
作交于點(diǎn)D，以O(shè)為圓心作圓，如圖：
∵，，
∴，
∴，即解得：，
結(jié)合圖形可知：當(dāng)半徑等于3的時(shí)候，交點(diǎn)為3個(gè)，當(dāng)半徑等于5的時(shí)候，交點(diǎn)為A、E、F3個(gè)，當(dāng)?shù)臅r(shí)候，交點(diǎn)為4個(gè)，
∴半徑r取值范圍是．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出圖形，結(jié)合圖形分析求解．
11．（2023春·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，，圓P的半徑為1cm，動(dòng)點(diǎn)P在直線AB上從點(diǎn)O左側(cè)且距離O點(diǎn)6cm處，以1cm/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)圓P與直線CD相切時(shí)，圓心P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 _____s．
【答案】4或8##8或4
【分析】求得當(dāng)⊙P位于點(diǎn)O的左邊與CD相切時(shí)t的值和⊙P位于點(diǎn)O的右邊與CD相切時(shí)t的值即可．
【解析】解：當(dāng)點(diǎn)P在射線OA時(shí)⊙P與CD相切，如圖1，過P作PE⊥CD于E
∴PE＝1cm，
∵∠AOC＝30°
∴OP＝2PE＝2cm
∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動(dòng)了（6﹣2）cm后與CD相切
∴⊙P移動(dòng)所用的時(shí)間＝＝4（秒）；
當(dāng)點(diǎn)P在射線OB時(shí)⊙P與CD相切，如圖2，過P作PE⊥CD于E
∴PF＝1cm
∵∠AOC＝∠DOB＝30°
∴OP＝2PF＝2cm
∴⊙P的圓心在直線AB上向右移動(dòng)了（6+2）cm后與CD相切，
∴⊙P移動(dòng)所用的時(shí)間＝＝8（秒）
∴當(dāng)⊙P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4或8秒時(shí)，⊙P與直線CD相切．
故答案為：4或8．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，含30°的直角三角形，解題的關(guān)鍵在于分點(diǎn)P在射線OA和點(diǎn)P在射線OB兩種情況進(jìn)行計(jì)算．
12． (2023·上海閔行·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)P在邊AC上，的半徑為1，如果與邊BC和邊AB都沒有公共點(diǎn)，那么線段PC長(zhǎng)的取值范圍是___________．
【答案】
【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=4，然后找出與邊BC、AB相切的臨界點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解析】解：在中，，，，
由勾股定理，則，
當(dāng)與邊BC相切時(shí)，則點(diǎn)C恰好為切點(diǎn)，
此時(shí)；
當(dāng)與邊AB相切時(shí)，如圖，作PD⊥AB，
∵∠A=∠A，∠C=∠ADP=90°，
∴△ABC∽△APD，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴線段PC長(zhǎng)的取值范圍是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．
13． (2023·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，E是上一定點(diǎn)，．點(diǎn)P是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PC為半徑作⊙P．若⊙P與以E為圓心，1為半徑的⊙E有公共點(diǎn)，且⊙P與線段AD只有一個(gè)交點(diǎn)，則PC長(zhǎng)度的取值范圍是 __．

【答案】或
【分析】根據(jù)題意可得的最小值為圓P與相切，切點(diǎn)為M；最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)為Q，由直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系即可解決問題．
【解析】解：根據(jù)題意可知：的最小值為圓P與相切，切點(diǎn)為M，如圖所示：

∴，
在直角梯形中，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
最大值為圓與圓E內(nèi)切，切點(diǎn)為Q，
∴，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)圓P與線段開始有2個(gè)交點(diǎn)，不符合題意，
設(shè)，則，
∴，
∴，
則長(zhǎng)度的取值范圍是或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，直角梯形，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系．
三、解答題
14．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)T，經(jīng)過點(diǎn)T的直線與⊙O1、⊙O2分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B．
(1)求證：O1AO2B；
(2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）聯(lián)結(jié)O1O2，即O1O2為連心線，欲證明O1AO2B，只需推知∠A＝∠B；
（2）利用（1）中的結(jié)論，結(jié)合平行線截線段成比例得到，通過計(jì)算求得AT的值．
【解析】（1）證明：聯(lián)結(jié)O1O2，即O1O2為連心線，
又∵⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)T，
∴O1O2經(jīng)過點(diǎn)T．
∵O1A＝O1T，O2B＝O2T．
∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB．
∵∠O1TA＝∠O2TB，
∴∠A＝∠B．
∴O1AO2B；
（2）∵O1AO2B，
∴．
∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，
∴，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，平行線分線段成比例，平行線的判定，掌握?qǐng)A與圓的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
15． (2023春·上?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，⊙O1與⊙O2相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，AC∥O1O2，交⊙O1于點(diǎn)C，⊙O1的半徑為5，⊙O2的半徑為，AB=6．
求：
(1)弦AC的長(zhǎng)度；
(2)四邊形ACO1O2的面積．
【答案】(1)8
(2)21
【分析】（1）連接，過作于點(diǎn)D，設(shè)AB與交于點(diǎn)E，由圓的對(duì)稱性可得AE的長(zhǎng)，由勾股定理可求得，從而可得AD的長(zhǎng)，由垂徑定理即可得AC的長(zhǎng)；
（2）由勾股定理可求得，從而可得的長(zhǎng)，則可分別求得、的面積，則可求得四邊形ACO1O2的面積．
（1）
解：連接，過作于點(diǎn)D，設(shè)AB與交于點(diǎn)E，如圖
由圓的對(duì)稱性知：，
在中，由勾股定理得：
∵，AC∥O1O2
∴
∵
∴
∴四邊形是平行四邊形
∵
∴四邊形是矩形，且AD=CD
∴，
∴AC=2AD=8
（2）
解：在中，由勾股定理得：
∴
∴，
∴四邊形ACO1O2的面積為：
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的對(duì)稱性，垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握并正確運(yùn)用是關(guān)鍵．
16． (2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，半徑為1的⊙O與過點(diǎn)O的⊙P相交，點(diǎn)A是⊙O與⊙P的一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)B是直線AP與⊙O的不同于點(diǎn)A的另一交點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OA，OB，OP．
(1)當(dāng)點(diǎn)B在線段AP上時(shí)，
①求證：∠AOB＝∠APO；
②如果點(diǎn)B是線段AP的中點(diǎn)，求△AOP的面積；
(2)設(shè)點(diǎn)C是⊙P與⊙O的不同于點(diǎn)A的另一公共點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，請(qǐng)用含α的代數(shù)式表示β．
【答案】(1)①見解析；②
(2)β＝60°﹣
【分析】（1）①利用圓的半徑相等可得∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，則∠AOB＝∠APO；
②首先利用△AOB∽△APO，得，可得AP的長(zhǎng)，作AH⊥PO于點(diǎn)H，設(shè)OH＝x，則PH＝﹣x，利用勾股定理列方程求出OH的長(zhǎng)，從而得出AH，即可求得面積；
（2）連接OC，AC，利用圓心角與圓周角的關(guān)系得∠ACB＝∠AOB＝β，∠ACO＝∠APO＝β，再利用SSS說明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，從而解決問題．
【解析】（1）①證明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵PA＝PO，
∴∠BAO＝∠POA，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，
∴∠AOB＝∠APO；
②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，
∴△AOB∽△APO，
∴，
∴OA2＝AB?AP＝1，
∵點(diǎn)B是線段AP的中點(diǎn)，
∴AP＝，
作AH⊥PO于點(diǎn)H，
設(shè)OH＝x，則PH＝﹣x，
由勾股定理得，12﹣x2＝（）2﹣（）2，
解得x＝，
∴OH＝，
由勾股定理得，AH＝＝，
∴△AOP的面積為＝；
（2）解：如圖，連接OC，AC，
∵∠AOB＝∠APO，
∴∠AOB＝β，
∴∠ACB＝∠AOB＝β，∠ACO＝∠APO＝β，
∴∠OCP＝β+α，
∵OA＝OC，AP＝PC，OP＝OP，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OAP＝∠OCP＝β+α，
在△OAP中，2（α+β）+β＝180°，
∴β＝60°﹣．
【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的性質(zhì)，圓心角與圓周角的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，求出大圓半徑是解題的關(guān)鍵．
五、正多邊形和圓
正多邊形和圓
正多邊形
正多邊形概念：各條邊相等，并且各個(gè)內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形．
正多邊形的相關(guān)概念：
正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心．
正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．
正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．
正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．
半徑、邊心距，邊長(zhǎng)之間的關(guān)系：
畫圓內(nèi)接正多邊形方法：
量角器
（作法操作復(fù)雜，但作圖較準(zhǔn)確）
量角器+圓規(guī)
（作法操作簡(jiǎn)單，但作圖受取值影響誤差較大）
圓規(guī)+直尺
（適合做特殊正多邊形，例如正四邊形、正八邊形、正十二邊形…..）
一、填空題
1．（2023春·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）半徑為3的圓的內(nèi)接正六邊形的面積為______．
【答案】
【分析】根據(jù)圓的半徑為3，過圓心作于點(diǎn)，根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形，連接，得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得；根據(jù)勾股定理，求出；得的面積，根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的面積等于6個(gè)的面積，即可．
【解析】如圖：
連接，
∴是等腰三角形
∵正多邊形的中心角為：
∴是等邊三角形
過圓心作于點(diǎn)
∴
∵
∴
∴在直角三角形中，
∴
∴
∴
∴正六邊形的面積為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接正多邊形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形中心角的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)．
2．（2023春·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=_______．
【答案】12
【分析】連接OA、OB、OC，如圖，利用正多邊形與圓，分別計(jì)算⊙O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，則∠BOC=30°，然后計(jì)算即可得到n的值．
【解析】解：連接OA、OB、OC，如圖，
∵AC，AB分別為⊙O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的一邊，
∴∠AOC==90°，∠AOB==120°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，
∴n==12，
即BC恰好是同圓內(nèi)接一個(gè)正十二邊形的一邊．
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個(gè)圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．
3． (2023·上海·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為6，如果弦AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊，那么弦BC的長(zhǎng)為_____．
【答案】
【分析】連接OA、OB、OC，作OD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊得到∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，從而得到∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，然后求得BC的長(zhǎng)即可．
【解析】解：連接OA、OB、OC，作OD⊥BC于點(diǎn)D，
∵AB是⊙O內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是⊙O內(nèi)接正十二邊形的一邊，
∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，
∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，
∵OC＝OB，
∴∠OCD＝∠OBC＝30°，
∵OC＝6，
∴CD＝＝3，
∴BC＝2CD＝6，
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】考查了正多邊形和圓的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求得∠BOC的度數(shù)．
4． (2023·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)B，C分別在正方形AMNP的邊AM，MN上．若AB＝4，則CN＝_____．
【答案】
【分析】求出正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BM、CM，根據(jù)正多邊形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解析】解：∵正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)B，C分別在正方形AMNP的邊AM，MN上
∴∠ABC=，∠M=90，AB=BC，AM=MN
∵∠ABC+∠CBM=180°
∴∠CBM=60°
∵AB=4
∴BC=4
∴CM=BCsin∠CBM=2
MB=BCcs∠CBM=2
∴AM=AB+MB=6
∴MN=AM=6
∴CN=MN-CM=6-2
故答案為：6-2．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的有關(guān)計(jì)算，掌握正多邊形的性質(zhì)、內(nèi)角的計(jì)算公式是解答本題的關(guān)鍵．
5． (2023·上海閔行·統(tǒng)考二模）如圖，已知點(diǎn)G是正六邊形對(duì)角線上的一點(diǎn)，滿足，聯(lián)結(jié)，如果的面積為1，那么的面積等于_______.
【答案】4
【分析】解：如圖，連接CE，由得，由六邊形是正六邊形證明，從而得的面積為的面積的4倍即可求解．
【解析】解：如圖，連接CE，
，
，
六邊形是正六邊形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四邊形BCEF是平行四邊形，
，
的面積為1，，
的面積為，
故答案為4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)及平行四邊形的判定及性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
6． (2023·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)正多邊形的邊數(shù)無限增加時(shí)，這個(gè)正多邊形面積可無限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來近似估計(jì)圓的面積，如圖，是正十二邊形的外接圓，設(shè)正十二邊形的半徑的長(zhǎng)為1，如果用它的面積來近似估計(jì)的面積，那么的面積約是___．
【答案】
【分析】設(shè)為正十二邊形的邊，連接，過作于，由正十二邊形的性質(zhì)得出，由直角三角形的性質(zhì)得出，求出的面積，即可得出答案．
【解析】解：設(shè)為正十二邊形的邊，連接，過作于，如圖所示：
，
的面積
正十二邊形的面積，
的面積正十二邊形的面積，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓、正十二邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)；熟練掌握正十二邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如果一個(gè)四邊形有且只有三個(gè)頂點(diǎn)在圓上，那么稱這個(gè)四邊形是該圓的“聯(lián)絡(luò)四邊形”，已知圓的半徑長(zhǎng)為，這個(gè)圓的一個(gè)聯(lián)絡(luò)四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，那么這個(gè)菱形不在圓上的頂點(diǎn)與圓心的距離是________．
【答案】1
【分析】此題應(yīng)根據(jù)題意先找到圓心位置，再根據(jù)圓心位置求出不在圓上的頂點(diǎn)到該圓圓心的距離即可．
【解析】
根據(jù)題意作圖可分兩種情況：1如圖：作， BC=，BO=5，
∵A，B，C在圓O上，
∴BP=（垂徑定理），
又，
∴OP== =；
因?yàn)锳BCD是菱形，
∴ACBD，即∠BQC=90°，
在△BOP與△BQC中，
，
∴△BOP△BQC，
∴，
即，
∴BQ=2，
∵BQ>BO，
∴此情況不符合題意，舍去；
2，如圖，同理可得OP=，
在△BOP與△BQC中，
，
∴△BOP△BQC，
∴ ，
即，
∴BQ=2，
∴OQ=BO-BQ=3，
∴OD== =1，
綜上所述，這個(gè)菱形不在圓上的頂點(diǎn)與圓心的距離是1．
故答案是：1．
【點(diǎn)睛】此題是新型概念的題型，實(shí)際是求點(diǎn)到圓心的距離的知識(shí)點(diǎn)，難度偏難．
8． (2023·上海·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，下列正多邊形都滿足BA1=CB1，在正三角形中，我們可推得：∠AOB1=60°；在正方形中，可推得：∠AOB1=90°；在正五邊形中，可推得：∠AOB1=108°，依此類推在正八邊形中，AOB1=____°，在正n(n≥3)邊形中，∠AOB1=____°．
【答案】 135
【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可以得出AB=BC，∠ABC=∠BCD=135°，就可以得出△ABA1≌△BCB1，就可以得出∠CBB1=∠BAA1，就可以得出∠AOB1=135°，由正三角形中∠AOB1=60°，正方形中，∠AOB1=90°，正五邊形中，∠AOB1=108°，…正n(n≥3)邊形中，∠AOB1，就可以得出結(jié)論．
【解析】如圖，多邊形ABCDEFGH是正八邊形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=135°，
在△ABA1和△BCB1中，
，
∴△ABA1≌△BCB1(SAS)
∴∠BAA1=∠CBB1，
∵∠AOB1=∠ABO+∠BAA1，
∴∠AOB1=∠ABO+∠CBB1=135°；
∵在正三角形中∠AOB1=60°，
正方形中，∠AOB1=90°，
正五邊形中，∠AOB1=108°，
…
∴在正n(n≥3)邊形中，∠AOB1，
故答案為：135°，．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．
二、解答題
9． (2023秋·江蘇蘇州·九年級(jí)校考期中）如圖，與交于D，E兩點(diǎn)，是直徑且長(zhǎng)為12，．
(1)證明：；
(2)若，求的長(zhǎng)度．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，從而證明結(jié)論；
（2）設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可得，代入即可得出方程，從而解決問題．
【解析】（1）證明：∵四邊形內(nèi)接于，
∵，
∴，
∵，
∴
；
（2）解：連接，由（1）得，
∴，
∵是直徑，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．
10． (2023秋·浙江杭州·九年級(jí)?？计谥校┮阎?，如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，G是上一點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，設(shè)半徑為R．
(1)若，，求：
①______（用R的代數(shù)式表示）；
②的半徑長(zhǎng)．
(2)求證：．
【答案】(1)①；②5
(2)見解析
【分析】（1）①利用減去即可表示；②連接，設(shè)的半徑為．在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題；
（2）連接，根據(jù)垂徑定理得到，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明即可．
【解析】（1）解：①設(shè)的半徑為．
∴；
②連接．
，
，
在中，，
，
解得．
（2）證明：連接，
弦
，
，
四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理和垂徑定理的應(yīng)用，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握相應(yīng)定理，學(xué)會(huì)添加常用輔助線是解題的關(guān)鍵．
一、解答題
1． (2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）已知：如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)A作ADOC交半圓于點(diǎn)D，E是直徑AB上一點(diǎn)，且AE＝AD，聯(lián)結(jié)CE、CD．
（1）求證：CE＝CD；
（2）如果，延長(zhǎng)EC與弦AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)OD，求證：四邊形OCFD是菱形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）由“SAS”可證△DAC≌△EAC，可得CE＝CD；
（2）先求出∠AOD＝∠AEC＝108°，可證OD∥CE，由菱形的判定可得結(jié)論．
【解析】證明：（1）如圖１，連接AC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AD∥OC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OAC，
在△DAC和△EAC中，
，
∴△DAC≌△EAC（SAS），
∴CE＝CD；
（2）如圖2，連接CA，
∵，
∴∠AOD＝3∠COD，
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠DOC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵∠AOD+∠OAD+∠ADO＝180°，
∴5∠ADO＝180°，
∴∠ADO＝36°，
∴∠AOD＝108°，∠DOC＝36°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝72°，
∴∠ADC＝108°，
∵△DAC≌△EAC，
∴∠ADC＝∠AEC＝108°，
∴∠AOD＝∠AEC，
∴OD∥CE，
又∵OC∥AD，
∴四邊形OCFD是平行四邊形，
又∵OD＝OC，
∴平行四邊形OCFD是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角與弧的關(guān)系，平行線的性質(zhì)，三角形的全等，菱形的判定，熟練掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)，菱形的判定是解題的關(guān)鍵．
2． (2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如圖，已知AB、AC是⊙O的兩條弦，且AO平分∠BAC．點(diǎn)M、N分別在弦AB、AC上，滿足AM＝CN．
（1）求證：AB＝AC；
（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN，求證：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【分析】（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，利用角平分線的性質(zhì)和垂徑定理即可得出答案；
（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，首先證明，然后再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．
【解析】證明：（1）過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，OE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：
∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE．
，
．
，
，
∴AB＝AC；
（2）聯(lián)結(jié)OB，OM，ON，MN，如圖所示，
∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN．
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO．
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)及圓的有關(guān)性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知：如圖，⊙O與⊙P相切于點(diǎn)A，如果過點(diǎn)A的直線BC交⊙O于點(diǎn)B，交⊙P點(diǎn)，OD⊥AB于點(diǎn)，PE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求的值：
（2）如果⊙O和⊙P的半徑比為3:5，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由垂徑定理可得AD=AB、AE=AC，然后根據(jù)線段的和差求得DE和BC并代入即可解答；
（2）連接OP、 OB、CP，然后說明一系列角相等，證明OB//PC，然后判定△BOA∽△CPA，最后利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【解析】解：（1）∵OD⊥AB，PE⊥AC，
∴AD=AB， AE=AC，
∴；
（2）連接OP，OP必過切點(diǎn)A，連接OB、CP，
∵OB=OA，PA=PC
∴∠OBA=∠OAB=∠PAC=∠PCA，
∴OB//PC，
∴△BOA∽△CPA，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握垂徑定理和相似三角形的判定和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2023秋·上?！ぞ拍昙?jí)校考期末）已知：如圖，是的直徑，是上一點(diǎn)，，垂足為點(diǎn)，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，．
(1)求的長(zhǎng)；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由是的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論，得，，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）由，利用同角的余角相等得到，，在，即可得到的值．
【解析】（1）解：設(shè)，則
是中點(diǎn)
且
在中，
，
解得：，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理以及推論，勾股定理，解直角三角形，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）已知為的直徑，A、B為上兩點(diǎn)，點(diǎn)C為劣弧中點(diǎn)，連接，且．
(1)求證：；
(2)F、G分別為線段上兩點(diǎn)，滿足，連接，取中點(diǎn)H，連接，請(qǐng)猜測(cè)與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)見解析
(2)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等，可直接得出；
（2）過點(diǎn)O作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．由垂徑定理可得，，結(jié)合題意即得出，即證明為等邊三角形，從而可求．又可求出，．根據(jù)平行線分線段成比例可得出，從而可推出．即易證，推出．最后根據(jù)三角形中位線定理即可得出答案．
【解析】（1）∵，
∴；
（2），理由如下：
如圖，過點(diǎn)O作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．
∵點(diǎn)C為劣弧中點(diǎn)，為的直徑，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴為等邊三角形，
∴．
∵，
∴．
∵H為中點(diǎn)，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
在與中，
∴，
∴．
∵C為中點(diǎn)，H為中點(diǎn)，
∴CH為中位線，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題為圓的綜合題，考查圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理等知識(shí)．正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．
6． (2023·上?！そy(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內(nèi)，弦與弦交于點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．
（1）求證：；
（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時(shí)，求證：四邊形為矩形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【分析】（1）連結(jié)，由M、N分別是和的中點(diǎn)，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可證，，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì);
（2）設(shè)OG交MN于E，由，可得，可得，，可證可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可證是平行四邊形，再由可證四邊形ACNM是矩形．
【解析】證明：（1）連結(jié)，
∵M(jìn)、N分別是和的中點(diǎn)，
∴OM，ON為弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在中，，
，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
，
，
∴，
;

（2）設(shè)OG交MN于E，
，
∴，
∴，即，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四邊形，
，
∴四邊形ACNM是矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定，掌握垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定是解題關(guān)鍵．
7． (2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）在半圓O中，AB為直徑，AC，AD為兩條弦，且∠CAD＋∠DAB＝90°．
(1)如圖1，求證：等于；
(2)如圖2，點(diǎn)F在直徑AB上，DF交AC于點(diǎn)E，若AE＝DE，求證：AC＝2DF；
(3)如圖3，在（2）的條件下，連接BC，若AF＝2，BC＝6，求弦AD的長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】(1)連接BD、CD，先證∠DBA=∠DAC，再證∠DCA=∠DAC，可得出AD=CD，即可推出結(jié)論；
(2)連接BD、CD，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G，則∠DGA=90°，可證得DG垂直平分AC，得出AC=2AG，再證△ADF≌△DAG，推出AG=DF，即可得出AC=2DF；
(3)取BC中點(diǎn)H，連接OH、OD，則BH=CH=BC=3，OH⊥BC，證Rt△OED≌Rt△BHO，推出OE=BH=3，OD=OA=5，則在Rt△OED中，求出DE的長(zhǎng)，在Rt△AED中，可求出AD的長(zhǎng)．
（1）
證明：如圖：連接BD、CD
AB為直徑
∠ADB=90°
∠DBA+∠DAB=90°
∠DAC＋∠DAB＝90°
∠DAC=∠DBA
又∠DCA=∠DBA
∠DAC=∠DCA
AD=CD
=
（2）
證明：如圖：連接BD、CD，過點(diǎn)D作DG⊥AC于點(diǎn)G

由(1)知AD=CD
垂直平分AC



∠DAC＋∠DAB＝90°
∠ADF＋∠DAB＝90°

又


（3）
解：取BC的中點(diǎn)H，連接OH、OD，則BH=CH=BC=3，


是中位線

由(2)知AC=2DF


Rt△OFD≌Rt△BHO(HL)


在中，
在中，
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)概念及性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是第(2)問能夠證明∠AFD=90°，第(3)問能夠通過作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形等．
8． (2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O交邊DC于E、F兩點(diǎn)，AD＝1，BC＝5，設(shè)⊙O的半徑長(zhǎng)為r．
（1）聯(lián)結(jié)OF，當(dāng)OF∥BC時(shí)，求⊙O的半徑長(zhǎng)；
（2）過點(diǎn)O作OH⊥EF，垂足為點(diǎn)H，設(shè)OH＝y(tǒng)，試用r的代數(shù)式表示y；
（3）設(shè)點(diǎn)G為DC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OG、OD，△ODG是否能成為等腰三角形？如果能，試求出r的值；如不能，試說明理由．
【答案】(1)3；(2)y=；(3)△ODG能成為等腰三角形，r=2
【分析】(1)證OF為梯形ABCD的中位線，得出r=OF=(AD+BC)=3即可；
(2)連接OD、OC，過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，則CM=BC﹣BM=4，由勾股定理得出DC=2，由四邊形ABCD的面積=△DOC的面積+△AOD的面積+△BOC的面積，進(jìn)而得出答案；
(3)證OG是梯形ABCD的中位線，得出OG∥AD，OG=3，DG=CD=，由勾股定理得OD=，分三種情況，分別求解即可．
【解析】解：(1)∵OF∥BC，OA=OB，
∴OF為梯形ABCD的中位線，
∴OF=(AD+BC)=(1+5)=3，
即⊙O的半徑長(zhǎng)為3；
(2)連接OD、OC，過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，如圖1所示：
∵AD∥BC，∠ABC=90°，且DM⊥BC，
∴四邊形ABMD為矩形，
則BM=AD=1，
∴CM=BC﹣BM=4，
∴DC=，
∵四邊形ABCD的面積=△DOC的面積+△AOD的面積+△BOC的面積，
∴(1+5)×2r=×2×y+r×1+r×5，
整理得：y=；
(3)△ODG能成為等腰三角形，理由如下：
∵點(diǎn)G為DC的中點(diǎn)，OA=OB，
∴OG是梯形ABCD的中位線，
∴OG∥AD，OG=(AD+BC)=(1+5)=3，
DG=CD=，
由勾股定理得：OD=，
分三種情況：
①DG=DO時(shí)，則，無解；
②OD=OG時(shí)，如圖2所示：
，
解得：；
③GD=GO時(shí)，作OH⊥CD于H，如圖3所示：
∠GOD=∠GDO，
∵OG∥AD，
∴∠ADO=∠GOD，
∴∠ADO=∠GDO，
∴DO是∠ADG的平分線，
由題意知：OA⊥AD，
又OH⊥CD，
∴OA=OH，
則此時(shí)圓O和CD相切，不合題意；
綜上所述，△ODG能成為等腰三角形，r=．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、梯形中位線定理、勾股定理、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握垂徑定理和梯形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
9． (2023春·上海金山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為半圓的直徑，，過作的垂線，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，連接交半圓于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓弧交于點(diǎn)（不與重合）．
(1)如圖2，連接、交于點(diǎn)，若為重心時(shí)，求的值；
(2)如圖2，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
(3)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)，
①設(shè)與線段交于點(diǎn)，連接，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，請(qǐng)求出度數(shù)；若變化，請(qǐng)至少給出兩種不同情況下所對(duì)應(yīng)的度數(shù)；
②若與相似，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)
(2)
(3)①不變，；②或
【分析】（1）求三角形的銳角三角函數(shù)，主要是構(gòu)造直角三角形，找出三角形相似，利用線段的比例即可求出答案；
（2）在，已知，，，由此即可求出答案；
（3）①添加輔助線，構(gòu)造的內(nèi)接四邊形，即可求解；
②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分兩種情況，找出線段，角的等量關(guān)系，根據(jù)等腰三角形，中點(diǎn)，三等分點(diǎn)，黃金三角形的知識(shí)即可求解．
【解析】（1）解：如圖所示：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，
∵是半圓的直徑，
∴，
∵以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧交于點(diǎn)，
∴，即是等腰三角形，
∴，
∵為重心（三角形三邊中線的交點(diǎn)），
∴在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，即，
∴，即點(diǎn)是的三等分點(diǎn)，即，
∵，，
∴，
∴，則，
∵，
∴，
在中，設(shè)，則，
∴，
∴，
故答案是：．
（2）解：如圖所示，連接，過點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∵，
∴，
∴，，
同理：，
∴，
點(diǎn)是直徑的中點(diǎn)，即，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∵在，中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，即，
∴，
故答案是：．
（3）解：①度數(shù)不變，理由如下，
如下圖所示，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
∵，
∴，
∵（的半徑），
∴，
∵四邊形是內(nèi)接四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，度數(shù)不變；
②如下圖所示，
∵與相似，，
∴或，
情況一：當(dāng)時(shí)，，，，
∵，
∴，設(shè)，則，且，
∴，且，
∵，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，
∴，
如下圖所示，作等腰三角形，，，，
∴，
作平分交于點(diǎn)，
∴，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，
設(shè)，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，即，
在中，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
情況二：當(dāng)時(shí)，如下圖所示，
設(shè)交于點(diǎn)，連接，則，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
綜上所述，的長(zhǎng)為或，
故答案是：①不變，；②或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合運(yùn)用，理解題意，構(gòu)造三角形的相似，根據(jù)中點(diǎn)，等分點(diǎn)的知識(shí)找出角與線段的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
位置關(guān)系
圖形
定義
性質(zhì)及判定
點(diǎn)在圓外

點(diǎn)在圓的外部
?>??點(diǎn)?在⊙?的外部.
點(diǎn)在圓上
點(diǎn)在圓周上
?=??點(diǎn)?在⊙?的圓周上.
點(diǎn)在圓內(nèi)

點(diǎn)在圓的內(nèi)部
???直線?與⊙?相離
相切
直線與圓有唯一公共點(diǎn)，直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)
?=??直線?與⊙?相切
相交
直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線叫做圓的割線
??+??兩圓外離
外切
兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)之外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部．
?=?+??兩圓外切
相交
兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．
???

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