【典例1】觀察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根據(jù)以上規(guī)律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
（1）通過觀察材料中算式的計算規(guī)律進行計算；
（2）通過觀察材料中算式的計算規(guī)律進行計算；
（3）利用（2）中的結論進行計算．
解：（1）由題意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案為：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[n(n+1)2]2，
故答案為：（1+2+3+...+n）；[n(n+1)2]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[20×(1+20)2]2﹣[15×(1+15)2]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．
1．（2022?從化區(qū)一模）符號“f”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算結果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
（2）f（12）＝2，f（13）＝3，f（14）＝4…．
利用以上規(guī)律計算：f（2022）﹣f（12022）等于（ ）
A．2021B．2022C．12021D．12022
2．（2020秋?歷下區(qū)校級月考）一只跳蚤在數(shù)軸上從原點開始，第1次向右跳2個單位長度，第2次向左跳4個單位長度，第3次向右跳6個單位長度，第4次向左跳8個單位長度，…依此規(guī)律跳下去，當它第2020次落下時，落點表示的數(shù)是（ ）
A．2019B．2020C．﹣2020D．1010
3．（2022春?東臺市月考）某種細胞開始分裂時有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2小時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規(guī)律，8小時后細胞存活的個數(shù)是（ ）
A．253B．255C．257D．259
4．（2020秋?紅谷灘區(qū)校級期中）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此規(guī)律，1+3+5+…+19＝ ．
5．（2020秋?許昌期中）觀察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通過觀察，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定22021的個位數(shù)是 ．
6．（2022?澧縣模擬）觀察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根據(jù)其中規(guī)律可得30+31+32+…+32022的結果的個位數(shù)字是 ．
7．（2021?江華縣一模）符號“f”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24，…．利用以上運算的規(guī)律求出2021f（2021）＝ ．
8．（2021秋?吉安期中）觀察下面一列數(shù)：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…將這列數(shù)排成下列形式：
按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是 ；數(shù)﹣201是第 行從左邊數(shù)第 個數(shù)．
9．（2021春?濱湖區(qū)期中）觀察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述規(guī)律計算：30+31+32+…+3100＝ ．
10．找規(guī)律，完成下列各題：
（1）如圖①，把正方形看作1，12+14=1?14= ．
（2）如圖②，把正方形看作1，12+14+18=1?18= ．
（3）如圖③，把正方形看作1，12+14+18+116=1? ＝ ．
（4）計算：12+14+18+116+132= ．
（5）計算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+1512= ．
11．（2020?硯山縣三模）符號“f”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24?
（1）利用以上運算的規(guī)律寫出f（n）＝ ；（n為正整數(shù)）
（2）計算：f（1）?f（2）?f（3）…f（100）的值．
12．（2021秋?長興縣月考）在有些情況下，不需要計算出結果也能把絕對值符號去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．
（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式；
①|7﹣21|＝ ；
②|?12+0.8|＝ ；
③|717?718|＝ ；
（2）用合理的方法計算：|15?150557|+|150557?12|﹣|?12|；
（3）用簡單的方法計算：|13?12|+|14?13|+|15?14|+…+|12021?12020|．
13．如果我們要計算1+2+22+23+…+299+2100的值，我們可以用如下的方法：
解：設S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式兩邊同乘以2，則有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式減去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解運用】計算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
14．計算：19= ，199= ，1999= ，19999= ．
你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？
把下列的小數(shù)化為分數(shù)：＝ ，
＝× ＝ × ＝ ，
＝× ＝ × ＝ ．
你會將任意一個無限循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)了嗎？請自己總結規(guī)律，并計算：
＝ ，＝ ．
不要忘記，能約分的要約分喲！
15．（2020秋?渝北區(qū)校級期中）閱讀材料，根據(jù)材料回答：
例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．
例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）
＝（8×0.125）6＝1．
（1）仿照上面材料的計算方法計算：(56)4×(?115)4．
（2）由上面的計算可總結出一個規(guī)律：an?bn＝ （用字母表示）；
（3）用（2）的規(guī)律計算：?0.42018×(?53)2019×(32)2020．
16．（2020秋?南崗區(qū)校級月考）閱讀材料，回答下列問題．
通過計算容易發(fā)現(xiàn)：
①12?13=12×13；②14?15=14×15；③16?17=16×17
（1）觀察上面的三個算式，請寫出一個像上面這樣的算式： ；
（2）通過觀察，計算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值．
（3）探究上述的運算規(guī)律，試計算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+?+197×99的值．
17．（2021秋?松江區(qū)期中）閱讀理解題12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920．
（1）請在理解上面計算方法的基礎上，把下面兩個數(shù)表示成兩個分數(shù)的和的形式：1556= + ；21110= + ．
（2）利用以上所得的規(guī)律進行計算：32?56+712?920+1130?1342．
（3）結合以上規(guī)律，通過適當變形，進行計算：415?635+863?1099．
18．（2021秋?通川區(qū)校級月考）探索發(fā)現(xiàn)：11×2=1?12；12×3=12?13；13×4=13?14?
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：
（1）14×5= ，1n(n+1)= ；
（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：11×2+12×3+13×4+?+1n(n+1)；
（3）計算：112?256+3112?41920+5130?64142+7156?87172+9190．
專題2.6 有理數(shù)的規(guī)律問題
【典例1】觀察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根據(jù)以上規(guī)律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
（1）通過觀察材料中算式的計算規(guī)律進行計算；
（2）通過觀察材料中算式的計算規(guī)律進行計算；
（3）利用（2）中的結論進行計算．
解：（1）由題意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案為：（1+2+3+4+5）；15；
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[n(n+1)2]2，
故答案為：（1+2+3+...+n）；[n(n+1)2]；
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
＝[20×(1+20)2]2﹣[15×(1+15)2]2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．
1．（2022?從化區(qū)一模）符號“f”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算結果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
（2）f（12）＝2，f（13）＝3，f（14）＝4…．
利用以上規(guī)律計算：f（2022）﹣f（12022）等于（ ）
A．2021B．2022C．12021D．12022
【思路點撥】
從已知可得，n為正整數(shù)時，f（n）＝2n，f（1n）＝n，從而可得答案．
【解題過程】
解：由（1）知f（2022）＝2022×2＝4044，
由（2）知f（12022）＝2022，
∴f（2022）﹣f（12022）
＝4044﹣2022
＝2022，
故選：B．
2．（2020秋?歷下區(qū)校級月考）一只跳蚤在數(shù)軸上從原點開始，第1次向右跳2個單位長度，第2次向左跳4個單位長度，第3次向右跳6個單位長度，第4次向左跳8個單位長度，…依此規(guī)律跳下去，當它第2020次落下時，落點表示的數(shù)是（ ）
A．2019B．2020C．﹣2020D．1010
【思路點撥】
數(shù)軸上點的移動規(guī)律是“左減右加”．依據(jù)規(guī)律計算即可．
【解題過程】
解：設向右跳動為正，向左跳動為負，
由題意可得（+2）+（﹣4）+（+6）+（﹣8）+…+[4034+（﹣4036）]+[4038+（﹣4040）]
＝（2﹣4）+（6﹣8）+（10﹣12）+…+（4034﹣4036）+（4038﹣4040）
＝﹣2020，
故選：C．
3．（2022春?東臺市月考）某種細胞開始分裂時有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2小時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規(guī)律，8小時后細胞存活的個數(shù)是（ ）
A．253B．255C．257D．259
【思路點撥】
根據(jù)題意，n個小時后細胞存活的個數(shù)是2n+1，求出n＝8時的值即可．
【解題過程】
解：根據(jù)題意，1小時后分裂成4個并死去1個，剩3個，3＝2+1；
2小時后分裂成6個并死去1個，剩5個，5＝22+1；
3小時后分裂成10個并死去一個，剩9個，9＝23+1；
……
n個小時后細胞存活的個數(shù)是2n+1，
當n＝8時，存活個數(shù)是28+1＝257．
故選：C．
4．（2020秋?紅谷灘區(qū)校級期中）已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此規(guī)律，1+3+5+…+19＝ 100 ．
【思路點撥】
由該一連串的等式可以看出從1開始n個連續(xù)的奇數(shù)的和等于n2，所以可以得出1+3+5+7+…+19＝102，即從1開始10個連續(xù)的奇數(shù)相加．
【解題過程】
解：由1+3＝22，從1開始連續(xù)2個奇數(shù)相加；
1+3+5＝32，從1開始連續(xù)3個奇數(shù)相加；
1+3+5+7＝42，從1開始連續(xù)4個奇數(shù)相加；
…
所以可以推出：從1開始連續(xù)10個奇數(shù)相加的和等于102，即：1+3+5+7+…+19＝102＝100．
故答案為：100．
5．（2020秋?許昌期中）觀察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通過觀察，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定22021的個位數(shù)是 2 ．
【思路點撥】
由題意可得2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四次一循環(huán)的規(guī)律出現(xiàn)可確定此題結果．
【解題過程】
解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，
∴2n的個位數(shù)字按2，4，8，6四次一循環(huán)的規(guī)律出現(xiàn)，
且2021÷4＝505…1，
∴22021的個位數(shù)是2，
故答案為：2．
6．（2022?澧縣模擬）觀察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根據(jù)其中規(guī)律可得30+31+32+…+32022的結果的個位數(shù)字是 ．
【思路點撥】
根據(jù)3n的尾數(shù)特征判斷．
【解題過程】
解：通過已知等式得：30，31，32，33個位數(shù)字之和為0；34，35，36，37個位數(shù)字之和為0，
∴30+31+32+…+32022＝（30+31+32+33）+（34+35+36+37）+...+（32016+32017+2018+32019）+32020+32021+32022，
其中每個括號里四個數(shù)的個位數(shù)字之和是0，且3n的個位數(shù)按1，3，9，7循環(huán)出現(xiàn)．
∴的個位數(shù)即是30+31+32的個位數(shù)，
∵1+3+9＝13，
故答案為：3．
7．（2021?江華縣一模）符號“f”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24，…．利用以上運算的規(guī)律求出2021f（2021）＝ 2023 ．
【思路點撥】
根據(jù)題目中的新運算，可以得到f（n）＝1+2n，然后即可計算出2021f（2021）的值，本題得以解決．
【解題過程】
解：∵f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24，…．
∴f（n）＝1+2n，
∴2021f（2021）
＝2021×（1+22021）
＝2021+2
＝2023，
故答案為：2023．
8．（2021秋?吉安期中）觀察下面一列數(shù)：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…將這列數(shù)排成下列形式：
按照上述規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是 90 ；數(shù)﹣201是第 15 行從左邊數(shù)第 5 個數(shù)．
【思路點撥】
先從排列中總結規(guī)律，再利用規(guī)律代入求解．
【解題過程】
解：根據(jù)題意，每一行最末的數(shù)字的絕對值是行數(shù)的平方，且奇數(shù)前帶有負號，偶數(shù)前是正號；
如第四行最末的數(shù)字是42＝16，第9行最后的數(shù)字是﹣81，
∴第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)是81+9＝90，
∵﹣201＝﹣（142+5），
∴是第15行從左邊數(shù)第5個數(shù)．
故應填：90；15；5．
9．（2021春?濱湖區(qū)期中）觀察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述規(guī)律計算：30+31+32+…+3100＝ 12（3101﹣1） ．
【思路點撥】
根據(jù)已知等式，歸納總結得到一般性規(guī)律，原式計算即可求出值．
【解題過程】
解：根據(jù)題意得：
31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；
……
3101﹣3100＝（3﹣1）×3100＝2×3100，
相加得：31﹣30+32﹣31+33﹣32+34﹣33+…+3101﹣3100＝2×（30+31+32+…+3100），
整理得：30+31+32+…+3100=12（3101﹣30）=12（3101﹣1）．
故答案為：12（3101﹣1）．
10．找規(guī)律，完成下列各題：
（1）如圖①，把正方形看作1，12+14=1?14= 34 ．
（2）如圖②，把正方形看作1，12+14+18=1?18= 78 ．
（3）如圖③，把正方形看作1，12+14+18+116=1? 116 ＝ 1516 ．
（4）計算：12+14+18+116+132= 3132 ．
（5）計算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+1512= 511512 ．
【思路點撥】
根據(jù)題意結合圖形即可得出結果．
【解題過程】
解：（1）如圖①，把正方形看作1，12+14=1?14=34．
（2）如圖②，把正方形看作1，12+14+18=1?18=78．
（3）如圖③，把正方形看作1，12+14+18+116=1?116=1516．
（4）計算：12+14+18+116+132=1?132=3132．
（5）計算：12+14+18+116+132+164+1128+1256+1512=1?1512=511512．
故答案為：34；78；116，1516；3132；511512．
11．（2020?硯山縣三模）符號“f”表示一種運算，它對一些數(shù)的運算如下：f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24?
（1）利用以上運算的規(guī)律寫出f（n）＝ 1+2n ；（n為正整數(shù)）
（2）計算：f（1）?f（2）?f（3）…f（100）的值．
【思路點撥】
（1）根據(jù)f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的運算方法，寫出f（n）的表達式即可．
（2）根據(jù)（1）中求出的f（n）的表達式，求出f（1）?f（2）?f（3）?…?f（100）的值是多少即可．
【解題過程】
解：（1）∵f（1）＝1+21，f（2）＝1+22，f（3）＝1+23，f（4）＝1+24?
∴f（n）＝1+2n．
（2）f（1）?f（2）?f（3）?…?f（100）
＝（1+21）（1+22）（1+23）（1+24）…（1+2100）
=31×42×53×64×?×102100
=101×1021×2
＝5151
故答案為：5151．
12．（2021秋?長興縣月考）在有些情況下，不需要計算出結果也能把絕對值符號去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．
（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式；
①|7﹣21|＝ 21﹣7 ；
②|?12+0.8|＝ 0.8?12 ；
③|717?718|＝ 717?718 ；
（2）用合理的方法計算：|15?150557|+|150557?12|﹣|?12|；
（3）用簡單的方法計算：|13?12|+|14?13|+|15?14|+…+|12021?12020|．
【思路點撥】
（1）①②③根據(jù)正數(shù)的絕對值等于本身，負數(shù)的絕對值是其相反數(shù)可得答案；
（2）先判斷正負，再化簡，最后計算即可；
（3）根據(jù)絕對值的性質化簡，再相互抵消可得答案．
【解題過程】
解：（1）①|7﹣21|＝21﹣7；②|?12+0.8|＝0.8?12；③|717?718|=717?718；
故答案為：①21﹣7；②0.8?12；③717?718；
（2）∵15＜150557，150557＜12，?12＜0，
原式=150557?15+12?150557?12
=?15．
（3）原式=12?13+13?14+14?15+?+12020?12021
=12?12021
=20194042．
13．如果我們要計算1+2+22+23+…+299+2100的值，我們可以用如下的方法：
解：設S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式兩邊同乘以2，則有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式減去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解運用】計算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．
【思路點撥】
（1）利用題中的方法求出原式的值即可；
（2）根據(jù)題中的方法利用加法即可．
【解題過程】
解：（1）設S＝1+3+32+33+…+3100，①
①式兩邊都乘以3，得3S＝3+32+33+…+3101，②
②﹣①得：2S＝3101﹣1，即S=3101?12，
則原式=3101?12；
（2）設S＝1﹣3+32﹣33+…+3100，①
①式兩邊都乘以3，得3S＝3﹣32+33﹣…+3101，②
②+①得：4S＝3101+1，即S=3101+14，
則原式=3101+14．
14．計算：19= 0.1． ，199= 0.0．1． ，1999= 0.0．01． ，19999= 0.0．001． ．
你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？ 199?9︸n個9=0.0．0?0︸1．(n?1)個0
把下列的小數(shù)化為分數(shù)：＝ 19 ，
＝× 2 ＝ 19 × 2 ＝ 29 ，
＝× 26 ＝ 199 × 26 ＝ 2699 ．
你會將任意一個無限循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)了嗎？請自己總結規(guī)律，并計算：
＝ 12599999 ，＝ 1209137137 ．
不要忘記，能約分的要約分喲！
【思路點撥】
先根據(jù)簡單的式子找出一般規(guī)律，分母每增加一個9，循環(huán)節(jié)就增加一個0，從而列出一般規(guī)律的式子．再根據(jù)這個規(guī)律完成純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)．
【解題過程】
解：19=0.1．，199=0.0．1．，1999=0.0．01．，19999=0.0．001．，
∴我們發(fā)現(xiàn)199?9︸n個9=0.0．0?0︸1．(n?1)個0．
0.111?=19，
0.222?＝0.111?×2=19×2=29．
0.262626?＝0.010101?×26=199×26=2699，
0.125912591259?＝0.000100010001?×1259=19999×1259=12599999，
0.326457326457?＝0.000001000001?×326457=1999999×326457=1209137137．
故答案為：0.1．，0.0．1．，0.0．01．，0.0．001．，199?9︸n個9=0.0．0?0︸1．(n?1)個0；
19，2，19，2，29；
26，199，26，2699；
12599999，1209137137．
15．（2020秋?渝北區(qū)校級期中）閱讀材料，根據(jù)材料回答：
例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．
例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）
＝（8×0.125）6＝1．
（1）仿照上面材料的計算方法計算：(56)4×(?115)4．
（2）由上面的計算可總結出一個規(guī)律：an?bn＝ （ab）n （用字母表示）；
（3）用（2）的規(guī)律計算：?0.42018×(?53)2019×(32)2020．
【思路點撥】
（1）利用有理數(shù)的乘方，結合乘法交換律和結合律進行計算，使得計算簡便；
（2）利用有理數(shù)的乘方，結合乘法交換律和結合律進行計算寫出結果；
（3）利用（2）中的公式進行計算，使得計算簡便．
【解題過程】
解：（1）(56)4×(?115)4
=56×56×56×56×(?65)×(?65)×(?65)×(?65)
=[56×(?65)]×[56×(?65)]×[56×(?65)]×[56×(?65)]
=[56×(?65)]4
＝（﹣1）4
＝1；
（2）根據(jù)題意可得：an?bn＝（ab）n．
故答案為：（ab）n；
（3）?0.42018×(?53)2019×(32)2020
=?(25)2018×(?53)2018×(?53)×(32)2018×(32)2
=?[25×(?53)×32]2018×(?53)×94
=?(?1)2018×[(?53)×94]
=(?1)×(?154)
=154．
16．（2020秋?南崗區(qū)校級月考）閱讀材料，回答下列問題．
通過計算容易發(fā)現(xiàn)：
①12?13=12×13；②14?15=14×15；③16?17=16×17
（1）觀察上面的三個算式，請寫出一個像上面這樣的算式： 17?18=17×18 ；
（2）通過觀察，計算11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7的值．
（3）探究上述的運算規(guī)律，試計算11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+?+197×99的值．
【思路點撥】
（1）觀察①②③三個算式，可知分母中兩個乘數(shù)的差為1，分子的差也為1，直接寫出一個類似的算式即可；
（2）根據(jù)上述規(guī)律得原式＝1?12+12?13+13?14+14?15+15?16+16?17，計算即可得出答案；
（3）所給算式分母中兩個乘數(shù)的差為2，但分子的差為1，故前面乘以12，則可以用裂項法進行計算．
【解題過程】
解：（1）17?18=17×18；
故答案為：17?18=17×18；
（2）11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7
＝1?12+12?13+13?14+14?15+15?16+16?17
＝1?17
=67；
（3）11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+?+197×99的值．
=12（1?13+13?15+15?17+17?19+19?111+?+197?199）
=12（1?199）
=12×9899
=4999．
17．（2021秋?松江區(qū)期中）閱讀理解題12+13=2+32×3=56；13+14=3+43×4=712；14+15=4+54×5=920．
（1）請在理解上面計算方法的基礎上，把下面兩個數(shù)表示成兩個分數(shù)的和的形式：1556= 17 + 18 ；21110= 110 + 111 ．
（2）利用以上所得的規(guī)律進行計算：32?56+712?920+1130?1342．
（3）結合以上規(guī)律，通過適當變形，進行計算：415?635+863?1099．
【思路點撥】
（1）利用題干中的規(guī)律即可得出結論；
（2）將56寫成13+12的形式，712寫成13+14的形式，920寫成14+15的形式，1130寫成15+16的形式，1342寫成16+17的形式后再進行運算即可得出結論；
（3）將所求式子的分子擴大2倍后即可按照（2）的方法計算，最后將結果除以2即可．
【解題過程】
解：（1）∵18+17=7+87×8=1556，
∴1556=17+18．
∵110+111=10+1110×11=21110，
∴21110=110+111．
故答案為：17；18；110；111；
（2）∵56=13+12，712=13+14，920=14+15，1130=15+16，1342=16+17，
∴原式=32?56+712?920+1130?1342
=32?（12+13）+（13+14）﹣（14+15）+（15+16）﹣（16+17）
=32?12?13+13+14?14?15+15+16?16?17
=32?12?17
＝1?17
=67；
（3）原式=415?635+863?1099
=12×（815?1235+1663?2099）
=12×[（13+15）﹣（15+17）+（17+19）﹣（19+111）]
=12×（13+15?15?17+17+19?19?111）
=12×（13?111）
=12×833
=433．
18．（2021秋?通川區(qū)校級月考）探索發(fā)現(xiàn)：11×2=1?12；12×3=12?13；13×4=13?14?
根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：
（1）14×5= 14?15 ，1n(n+1)= 1n?1n+1 ；
（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：11×2+12×3+13×4+?+1n(n+1)；
（3）計算：112?256+3112?41920+5130?64142+7156?87172+9190．
【思路點撥】
（1）觀察已知等式，寫出所求即可；
（2）歸納總結得到一般性規(guī)律，計算即可；
（3）將每個帶分數(shù)改寫為整數(shù)加上分子是1的真分數(shù)的和，再根據(jù)得出的規(guī)律化簡，計算求出解即可．
【解題過程】
解：（1）14×5=14?15，1n(n+1)=1n?1n+1；
故答案為：14?15，1n?1n+1；
（2）原式＝1?12+12?13+13?14+???+1n?1n+1
＝1?1n+1
=nn+1；
（3）原式=112?256+3112?41920+5130?64142+7156?87172+9190．
＝1+12?3+16+3+112?5+120+5+130?7+142+7+156?9+172+9+190
＝1+（12+16+112+120+130+142+156+172+190）
＝1+1?12+12?13+13?14+???+19?110
＝1+1?110
＝1910．

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