（1）將軍飲馬模型：
①一定兩動(dòng)
②一定兩動(dòng)
③兩定兩動(dòng)
（2）費(fèi)馬點(diǎn)模型：（如圖：求PA+PB+PC最小值，圖3CD為所求最小值）

（3）阿氏圓模型：
（4）胡不歸模型：
（5）隱圓最值模型：
①四點(diǎn)共圓： ②動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)等定長(zhǎng)：

③直角所對(duì)的是直徑：
④定弦對(duì)定角：
二、【考點(diǎn)類型】
考點(diǎn)1：將軍飲馬模型
典例1：（2022春·全國(guó)·九年級(jí)期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，弦AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作射線AC的垂線，垂足為M，點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求證：MD是⊙O的切線；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，說(shuō)明理由；
(3)若點(diǎn)E恰好運(yùn)動(dòng)到∠ACB的角平分線上，連接CE并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)P，連接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的長(zhǎng)．
【變式1】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 上的兩個(gè)定點(diǎn)且 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)_____ SKIPIF 1 < 0 ．
【變式2】（2023春·山東青島·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)任意一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線 SKIPIF 1 < 0 和射線 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最小值是______．
【變式3】（2022春·貴州銅仁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像經(jīng)過(guò)A（1，4），B（4，1）兩點(diǎn)，并且交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D．
(1)求該一次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)若y軸存在一點(diǎn)P使PA＋PB的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA＋PB的最小值；
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)M，使△MOA的面積等于△AOB的面積；若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)2：費(fèi)馬點(diǎn)模型
典例2：（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都實(shí)外?？茧A段練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，P是 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)_____．
【變式1】（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線AC（不含點(diǎn)A）上任意一點(diǎn)，AB= SKIPIF 1 < 0 ；
（1）如圖1，將△ADE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCF，連接EF；
①把圖形補(bǔ)充完整（無(wú)需寫畫法）； ②求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍；
(2)如圖2，求BE+AE+DE的最小值．
【變式2】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是正方形內(nèi)部一點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【變式3】（2022春·江蘇·九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸的正半軸上， SKIPIF 1 < 0 ，OE為△BOD的中線，過(guò)B、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)的拋物線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)（ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的左側(cè)）.
（1）求拋物線的解析式；
（2）等邊△ SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)；
（3）點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為△ SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的最小值,以及 SKIPIF 1 < 0 取得最小值時(shí)，線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng).
考點(diǎn)3：阿氏圓模型
典例3：（2023春·江蘇·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長(zhǎng)為4， SKIPIF 1 < 0 的半徑為2， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值是______．
【變式1】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 PA＋PB的最小值為_(kāi)_______．
【變式2】（2023秋·重慶九龍坡·九年級(jí)重慶市育才中學(xué)校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 有公共頂點(diǎn)C， SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，連接AD，已知四邊形ABDC的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)如圖2， SKIPIF 1 < 0 ， A、E、D三點(diǎn)共線，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)M，連接 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(3)如圖3， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 以C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)，取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)F，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的值最小時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【變式3】（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：
① SKIPIF 1 < 0 ，
② SKIPIF 1 < 0 ，
③ SKIPIF 1 < 0 ，
④ SKIPIF 1 < 0 的最小值．
考點(diǎn)4：胡不歸模型
典例4：（2023秋·四川樂(lè)山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，若D是 SKIPIF 1 < 0 邊上的動(dòng)點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【變式1】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則 SKIPIF 1 < 0 PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2 SKIPIF 1 < 0 C．2 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2022·湖北武漢·校聯(lián)考一模）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，半徑為 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是圓 SKIPIF 1 < 0 的切線，且圓的直徑 SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上，設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 上任意一點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 不含端點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)_____．
【變式3】（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則AM+ SKIPIF 1 < 0 BM的最小值為_(kāi)____．
考點(diǎn)5：隱圓最值模型
典例5：（2023秋·浙江金華·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是正方形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是 SKIPIF 1 < 0 邊上的動(dòng)點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ．連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 為矩形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．點(diǎn)P是線段 SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)． SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是四邊形 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 面積的最小值為_(kāi)_____．
【變式3】（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在△ABC內(nèi)（不含△ABC的邊上），則BE長(zhǎng)的范圍為_(kāi)_____．
鞏固訓(xùn)練
一、單選題
1．（2022秋·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．5D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶市鳳鳴山中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖， SKIPIF 1 < 0 為正方形 SKIPIF 1 < 0 邊 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．5B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．10
3．（2022秋·浙江杭州·九年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，連接PD，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·河南·校聯(lián)考三模）如圖1，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 向點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 運(yùn)動(dòng)時(shí)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，則點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022秋·河北邢臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖， SKIPIF 1 < 0 的半徑是 SKIPIF 1 < 0 ，P是 SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn)，A是 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
①PA的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ；②PA的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ；③當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面積最大為 SKIPIF 1 < 0 ．
A．①③④B．①②④C．①②③D．②③④
7．（2022秋·北京海淀·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，如圖， SKIPIF 1 < 0 的半徑為2，圓心 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的任意一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則 SKIPIF 1 < 0 AP＋BP的最小值為（ ）
A．7B．5 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．（2022·福建廈門·福建省廈門集美中學(xué)校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 SKIPIF 1 < 0 分別與x軸、y軸相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)E、F分別是正方形OACD的邊OD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)原點(diǎn)O作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為H，連接HA、HB，則 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．12C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上的動(dòng)點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空題
11．（2022秋·山東菏澤·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 的菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 為對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)_____．
12．（2023秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)校考期末）如圖， SKIPIF 1 < 0 是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O內(nèi)， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，若⊙O的半徑是4，則 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____．
13．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一點(diǎn)，且CD＝3，E是BC邊上一點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，連接BF，則BF的最小值為_(kāi)______．
14．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______．
15．（2022秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線y＝x﹣3分別交x軸、y軸于B、A兩點(diǎn)，點(diǎn)C（0，1）在y軸上，點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，則 SKIPIF 1 < 0 PC＋PB的最小值為_(kāi)__．
三、解答題
16．（2023秋·江西宜春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 邊的垂直平分線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，若 SKIPIF 1 < 0 ，
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)P是直線 SKIPIF 1 < 0 上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)________．
17．（2022秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線的交點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖1，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，則 SKIPIF 1 < 0 ______°；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
①如圖2，連接 SKIPIF 1 < 0 ，判斷 SKIPIF 1 < 0 的形狀，并證明；
②如圖3，直線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，滿足 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 為直線 SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的值最大時(shí)，用等式表示 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，并證明．
18．（2022春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系， SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過(guò) SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動(dòng)，求 SKIPIF 1 < 0 最小值．
19．（2021春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┒x：既相等又垂直的兩條線段稱為“等垂線段”，如圖1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，且連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)觀察猜想
線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ______填（“是”或“不是”）“等垂線段”．
(2) SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2所示的位置，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，試判斷 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 是否為“等垂線段”，并說(shuō)明理由．
(3)拓展延伸
把 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，請(qǐng)直接寫出 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的積的最大值．
20．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖1，拋物線 SKIPIF 1 < 0 與x軸交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，與y軸交于點(diǎn)B，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M．
(1)求a的值和直線AB的函數(shù)表達(dá)式：
(2)設(shè)△PMN的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，△AEN的周長(zhǎng)為 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 求m的值．
(3)如圖2，在（2）的條件下，將線段OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，旋轉(zhuǎn)角為 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
21．（2022·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線 SKIPIF 1 < 0 （a為常數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ）與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC．
(1)求a的值；
(2)點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）是第三象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，分別連接BD、BC、CD、BP，當(dāng)∠PBA＝∠CBD時(shí)，求m的值；
(3)點(diǎn)K為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，DK＝2，點(diǎn)M為線段BK的中點(diǎn)，連接AM，當(dāng)AM最大時(shí)，求點(diǎn)K的坐標(biāo)．
22．（2022秋·江蘇·九年級(jí)期中）問(wèn)題情境：如圖1，P是⊙O外的一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A，B，則PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離．
（1）探究證明：如圖2，在⊙O上任取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A，B重合），連接PC，OC．求證：PA＜PC．
（2）直接應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是 ．
（3）構(gòu)造運(yùn)用：如圖4，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A1MN，連接A1B，則A1B長(zhǎng)度的最小值為 ．
（4）綜合應(yīng)用：如圖5，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A（﹣2，3），B（4，5）為圓心，以1，2為半徑作⊙A，⊙B，M，N分別是⊙A，⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PM+PN的最小值為 ．
23．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求 SKIPIF 1 < 0 最小值

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題06 五大常考相似模型（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題06 五大?？枷嗨颇Ｐ停?份打包，原卷版+解析版），文件包含中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題06五大?？枷嗨颇Ｐ驮戆鎑oc、中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題06五大常考相似模型解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共102頁(yè)， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題05 六大常考全等模型（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題05 六大?？既饶Ｐ停?份打包，原卷版+解析版），文件包含中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題05六大常考全等模型原卷版doc、中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題05六大常考全等模型解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共95頁(yè)， 歡迎下載使用。

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題04 巧用中點(diǎn)解決幾何問(wèn)題（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題04 巧用中點(diǎn)解決幾何問(wèn)題（2份打包，原卷版+解析版），文件包含中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題04巧用中點(diǎn)解決幾何問(wèn)題原卷版doc、中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題04巧用中點(diǎn)解決幾何問(wèn)題解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共93頁(yè)， 歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題03 二次函數(shù)含參解析式問(wèn)題（2份打包，原卷版+解析版）

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題03 二次函數(shù)含參解析式問(wèn)題（2份打包，原卷版+解析版）
中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題02 反比例函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題 （2份打包，原卷版+解析版）

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題02 反比例函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題 （2份打包，原卷版+解析版）
中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)幾何模型專題17 費(fèi)馬點(diǎn)中的對(duì)稱模型與最值問(wèn)題（2份打包，原卷版+教師版）

中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)幾何模型專題17 費(fèi)馬點(diǎn)中的對(duì)稱模型與最值問(wèn)題（2份打包，原卷版+教師版）
2023中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)練習(xí) 專題07 五大最值問(wèn)題模型（學(xué)生版+解析版）

2023中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)練習(xí) 專題07 五大最值問(wèn)題模型（學(xué)生版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部