①模型一：平移模型
②模型二：軸對稱（翻折）模型
③模型三：一線三等角模型（K字型）
直角一線三等角
④模型四：不共點旋轉(zhuǎn)模型
⑤模型五：共頂點旋轉(zhuǎn)模型（手拉手模型）
⑥模型六：半角模型（特殊的旋轉(zhuǎn)模型）
二、【考點類型】
考點1：平移模型
典例1：（2022·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A，D，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三個條件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)請在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF．你選取的條件為（填寫序號）______（只需選一個條件，多選不得分），你判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)利用（1）的結(jié)論△ABC≌△DEF．求證：AB∥DE．
【答案】(1)①，SSS
(2)見解析
【分析】(1)根據(jù)SSS即可證明△ABC≌?DEF，即可解決問題；
(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得可得∠A=∠EDF，再根據(jù)平行線的判定即可解決問題．
【詳解】（1）解：在△ABC和△DEF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三個條件中選取一個條件，使得△ABC≌△DEF，
選取的條件為①，判定△ABC≌△DEF的依據(jù)是SSS．（注意：只需選一個條件，多選不得分）
故答案為：①，SSS；
（2）證明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，和判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．
【變式1】（2023秋·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】見解析
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理以及性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵．
考點2：軸對稱（翻折）模型
典例2：（2022·湖南長沙·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分，垂足分別為B，D．
(1)求證：；
(2)若，求四邊形ABCD的面積．
【答案】(1)見解析
(2)12
【分析】（1）由角平分線的定義和垂直的定義求出，結(jié)合已知條件，利用“AAS”即可求證；
（2）由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)三角形的面積公式求出，再根據(jù)四邊形ABCD的面積求解即可．
【詳解】（1） AC平分，
，
，
；
（2），，
，
，
，
四邊形ABCD的面積．
【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握它們是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2022·廣西百色·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于點O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析
【分析】（1）證明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到結(jié)論；
（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可證得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：在△ABO與△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA）
∴AB＝DC；
（2）證明：∵△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC，
∵OA＝OD，
∴OB＋OD＝OC＋OA，
∴BD＝AC，
在△ABC與△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握并靈活選擇全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵
考點3：一線三等角模型（K字型）
典例3：（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測）如圖， SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且點 SKIPIF 1 < 0 為邊 SKIPIF 1 < 0 的中點．將 SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，射線 SKIPIF 1 < 0 與線段 SKIPIF 1 < 0 相交于點 SKIPIF 1 < 0 ，射線 SKIPIF 1 < 0 與射線 SKIPIF 1 < 0 相交于點 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖1，當(dāng)點 SKIPIF 1 < 0 在線段 SKIPIF 1 < 0 上時，
①求證： SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ；
②線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為等腰三角形時，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)①見解析，②BE2=BP·CQ
(2)1或3
【分析】（1）①推導(dǎo)角度關(guān)系可得∠CEQ=∠BPE，結(jié)合∠B=∠C即可得出結(jié)論；②由①中相似可得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合BE=CE即可得出結(jié)論；
（2）Q點可能在線段CA上或者線段CA的延長線上，分兩種情況討論，結(jié)合（1）中的相似三角形即可得出結(jié)果．
（1）
解：①∵∠DEF=30°，∠B=30°，
∴∠BED+∠CEQ=150°，∠BED+∠BPE=150°
∴∠CEQ=∠BPE，
∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
②BE2=BP·CQ，理由如下∶
∵△BPE∽△CEQ
∴ SKIPIF 1 < 0
∴BE·CE=BP·CQ
∵點E為邊BC的中點，
∴BE=CE，
∴BE2=BP·CQ；
（2）
解：①當(dāng)點Q在線段AC上時，
∵∠A=180°-∠B-∠C=120°，為鈍角，
∴△APQ為等腰三角形時有AP=AQ，
∵∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴BP=CQ，
∴ SKIPIF 1 < 0
②當(dāng)點Q在線段CA的延長線上時，如圖：連接PQ
∵∠BAC=120°，
∴∠BAQ=60°，
當(dāng)△APQ為等腰三角形時，有△APQ為等邊三角形
設(shè)AB=AC=2a，則BC= SKIPIF 1 < 0 a，
BE=CE= SKIPIF 1 < 0 a，
設(shè)AQ=AP=x，
則CQ=2a+x，BP=2a-x，
由（1）得∶BE2=BP·CQ
∴( SKIPIF 1 < 0 a)2=(2a+x)(2a-x)，
解得∶x=a，
∴BP=a，CQ=3a，
∴ SKIPIF 1 < 0
綜上 SKIPIF 1 < 0 的值為1或3．
【點睛】本題考查三角形相似綜合問題，熟練掌握一線三等角的相似三角形模型是解題關(guān)鍵．
【變式1】（2022秋·黑龍江綏化·八年級?？计谥校┰?SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點C，且 SKIPIF 1 < 0 于D， SKIPIF 1 < 0 于E．
(1)當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時．
①請說明 SKIPIF 1 < 0 的理由；
②請說明 SKIPIF 1 < 0 的理由；
(2)當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 具有怎樣的等量關(guān)系?請寫出等量關(guān)系，并予以證明．
(3)當(dāng)直線 SKIPIF 1 < 0 繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 具有怎樣的等量關(guān)系?請直接在橫線上寫出這個等量關(guān)系：________．
【答案】(1)①理由見解析；②理由見解析
(2) SKIPIF 1 < 0 ，證明見解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】本題“一線三垂直”模型即可證明全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可分別在三個圖形中證明 SKIPIF 1 < 0 之間的關(guān)系．
【詳解】（1）解：①∵ SKIPIF 1 < 0 于D， SKIPIF 1 < 0 于E，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
②∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（2）結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（3）結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查全等三角形的判斷和性質(zhì)，靈活運用“一線三垂直”模型是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022秋·河北邯鄲·八年級?？计谥校┤鐖D，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點D在線段 SKIPIF 1 < 0 上運動（D不與B、C重合），連接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交線段 SKIPIF 1 < 0 于E．
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 _______ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 _______ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 _______ SKIPIF 1 < 0 ；點D從B向C運動時， SKIPIF 1 < 0 逐漸變_______（填“大”或“小”）；
(2)當(dāng)DC等于多少時， SKIPIF 1 < 0 ，請說明理由；
(3)在點D的運動過程中， SKIPIF 1 < 0 的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)，若不可以，請說明理由．
【答案】(1)25，25，65，小
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析；
(3)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 的形狀是等腰三角形．
【分析】（1）先求出 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)，即可求出 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求出 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)，根據(jù)點D從B向C運動時， SKIPIF 1 < 0 逐漸增大，而 SKIPIF 1 < 0 不變化， SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案；
（2）根據(jù)全等三角形的判定條件求解即可；
（3）先證明當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時等腰三角形，只存在 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 兩種情況，然后分這兩種情況討論求解即可；
【詳解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∵點D從B向C運動時， SKIPIF 1 < 0 逐漸增大，而 SKIPIF 1 < 0 不變化， SKIPIF 1 < 0 ，
∴點D從B向C運動時， SKIPIF 1 < 0 逐漸變小，
故答案為：25，25，65，??；
（2）解：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
理由：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為110°或80°時， SKIPIF 1 < 0 的形狀是等腰三角形，
理由：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時等腰三角形，只存在 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 兩種情況，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所述，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 的形狀是等腰三角形．
【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，全等三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，則點B的坐標(biāo)為________．
【答案】（4，1）
【分析】如圖，過點B作BD⊥x軸于D，根據(jù)點A、點C坐標(biāo)可得OA、OC的長，根據(jù)同角的余角相等可得∠OAC=∠DCB，利用AAS可證明△OAC≌△DCB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BD=OC，CD=OA，即可求出OD的長，進而可得答案．
【詳解】如圖，過點B作BD⊥x軸于D，
∵A（0，3），C（1，0），
∴OA=3，OC=1，
∵∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠DCB=90°，
∵∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠OAC=∠DCB，
在△OAC和△DCB中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△OAC≌△DCB，
∴BD=OC=1，CD=OA=3，
∴OD=OC+CD=4，
∴點B坐標(biāo)為（4，1）．
故答案為：（4，1）
【點睛】本題考查坐標(biāo)與圖形及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．
考點4：不共頂點旋轉(zhuǎn)模型
典例4：（2023秋·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點 SKIPIF 1 < 0 在一條直線上， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長度．
【答案】(1)見解析
(2)3
【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 根據(jù) SKIPIF 1 < 0 證明全等即可；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得．
【詳解】（1）解：證明：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）解：由(1) SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2023春·山東濟南·九年級校聯(lián)考期中）如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的對角線 SKIPIF 1 < 0 上兩點，且 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】證明見解析
【分析】借助平行四邊形的性質(zhì)，利用“ SKIPIF 1 < 0 ”證明 SKIPIF 1 < 0 ，由全等三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”即可證明 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】證明：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定與性質(zhì)等知識，證明 SKIPIF 1 < 0 是解題關(guān)鍵．
【變式2】（2022·福建泉州·?？既＃┰谄叫兴倪呅?SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的點，且 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】見解析
【分析】依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，判定 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．
考點5：共頂點旋轉(zhuǎn)模型（手拉手模型）
典例5：（2022秋·八年級課時練習(xí)）在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長線交于點M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC．其中正確的是_________．
【答案】①②③④
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明△ABG≌△AEC，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；設(shè)BG、CE相交于點N，AC、BG相交于點K，如圖1，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACE＝∠AGB，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判斷②；過點E作EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q，如圖2，根據(jù)余角的性質(zhì)即可判斷④；利用AAS即可證明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可證GQ＝AH，從而得到EP＝GQ，再利用AAS可證明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，從而可判斷③，于是可得答案．
【詳解】解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，故①正確；
設(shè)BG、CE相交于點N，AC、BG相交于點K，如圖1，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠AKG＝∠NKC，
∴∠CNG＝∠CAG＝90°，
∴BG⊥CE，故②正確；
過點E作EP⊥HA的延長線于P，過點G作GQ⊥AM于Q，如圖2，
∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH＝90°，
∵∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝∠EAP，即∠EAM＝∠ABC，故④正確；
∵∠AHB=∠P=90°，AB=AE，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴EP＝AH，
同理可得GQ＝AH，
∴EP＝GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM＝GM，
∴AM是△AEG的中線，故③正確．
綜上所述，①②③④結(jié)論都正確．
故答案為：①②③④．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是難點，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵．
【變式1】（2022秋·八年級課時練習(xí)）通過對下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：
（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點B作BC⊥AC于點C，過點D作DE⊥AC于點E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進而得到AC＝ ，BC＝AE．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；
（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點F，DE與直線AF交于點G．求證：點G是DE的中點；
（深入探究）
（3）如圖，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1 S2（填“＞、＝、＜”）
【答案】（1）DE；（2）見解析；（3）=
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可直接進行求解；
（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，進而可得∠BAF=∠ADH，然后可證△ABF≌△DAH，則有AF=DH，進而可得DH=EQ，通過證明△DHG≌△EQG可求解問題；
（3）過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點C作CM⊥OD交OD延長線于M，由題意易得∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE，然后可得∠ADO=∠DCM，則有△AOD≌△DMC，△FOD≌△DNE，進而可得OD=NE，通過證明△ENP≌△CMP及等積法可進行求解問題．
【詳解】解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）分別過點D和點E作DH⊥FG于點H，EQ⊥FG于點Q，如圖所示：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABF≌△DAH，
∴AF=DH，
同理可知AF=EQ，
∴DH=EQ，
∵DH⊥FG，EQ⊥FG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴△DHG≌△EQG，
∴DG=EG，即點G是DE的中點；
（3） SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：如圖所示，過點D作DO⊥AF交AF于O，過點E作EN⊥OD交OD延長線于N，過點C作CM⊥OD交OD延長線于M
∵四邊形ABCD與四邊形DEGF都是正方形
∴∠ADC=∠90°，AD=DC，DF=DE
∵DO⊥AF，CM⊥OD，
∴∠AOD=∠CMD=90°，∠OAD+∠ODA=90°，∠CDM+∠DCM=90°，
又∵∠ODA+∠CDM=90°，
∴∠ADO=∠DCM，
∴△AOD≌△DMC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，OD=MC，
同理可以證明△FOD≌△DNE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，OD=NE，
∴MC =NE，
∵EN⊥OD，CM⊥OD，∠EPN=∠CMP，
∴△ENP≌△CMP，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的兩個銳角互余及等積法，熟練掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2020·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
【答案】（1）見解析（2）90°
【分析】（1）根據(jù)題意證明△ACE≌△BCD即可求解；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和及全等三角形的性質(zhì)即可得到 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
【詳解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠ACB=∠ECD=90°
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE
即∠ACE=∠BCD
又 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0
∴△ACE≌△BCD
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）∵△ACE≌△BCD
∴∠A=∠B
設(shè)AE與BC交于O點,
∴∠AOC=∠BOF
∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180°
∴∠BFO=∠ACO=90°
故 SKIPIF 1 < 0 =180°-∠BFO=90°．
【點睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理．
【變式3】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ．連接 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為鄰邊作 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別與 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 重合時（圖1），易得 SKIPIF 1 < 0 ．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉(zhuǎn)到（圖2）位置時，請直接寫出線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系________；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉(zhuǎn)到（圖3）位置時，試判斷線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 為任意角度， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 繞點 SKIPIF 1 < 0 順時針旋轉(zhuǎn)一周（圖4），當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時，請直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的長度．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，證明見解析
(3) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)全等模型可證， SKIPIF 1 < 0 （SAS），結(jié)合已知平行四邊形性質(zhì)可證： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形即可解題；
（2）同理第一問，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形即可解題；
（3）根據(jù)第一問可證： SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線，繼而解三角形，求出BD長，由相似三角形性質(zhì)求出EF，由分兩種情況，分別畫圖求解即可．
【詳解】（1）解：如圖2，連接EC，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （SAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形BDFC是平行四邊形，
∴BC∥DF，BD=CF
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
∴EF=CF；
（2）解：同理（1）可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：分兩種情況進行討論：
如圖3-1：AF=AE+EF，
同理1可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）得： SKIPIF 1 < 0 （SAS），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時， SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線時， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點共線，
如圖4-1，過A點作AH⊥DE，
∵AD=AE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
如圖4-2，AF=EF-AE，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
綜上所述：AF長為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題屬于幾何壓軸題，綜合性比較強，體會其中蘊含的從特殊到一般的思想是解題的關(guān)鍵．解題關(guān)鍵是關(guān)鍵旋轉(zhuǎn)全等模型證明 SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合解三角形求線段長．
考點6：半角模型
典例6：（2019·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示， SKIPIF 1 < 0 是邊長為1的等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 是頂角 SKIPIF 1 < 0 的等腰三角形，以 SKIPIF 1 < 0 為頂點作一個 SKIPIF 1 < 0 的角，角的兩邊交 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 周長.
【答案】△AMN的周長為2．
【分析】根據(jù)已知條件得△CDE≌△BDM，再利用DE=DM， SKIPIF 1 < 0 證明△DMN≌△DEN，得到對應(yīng)邊相等即可解題.
【詳解】如圖，延長NC到E，使CE=BM，連接DE，
∵△ABC為等邊三角形，△BCD為等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°，
∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°，
又∵BM=CE，BD=CD，
∴△CDE≌△BDM，
∴∠CDE=∠BDM，DE=DM，
∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°，
∵在△DMN和△DEN中，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴△DMN≌△DEN，
∴MN=NE=CE+CN=BM+CN，
∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2，故△AMN的周長為2．
【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與應(yīng)用,截長補短的數(shù)學(xué)方法,中等難度,作輔助線證明全等是解題關(guān)鍵.
【變式1】（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的點，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）如圖①， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ；

（2）如圖②， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 周長最小時，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
（3）如圖③，若四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，請求出線段 SKIPIF 1 < 0 的長度．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）延長 SKIPIF 1 < 0 到點G,使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，首先證明 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后利用角度之間的關(guān)系得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而可證明 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，則結(jié)論可證；
（2）分別作點A關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在同一條直線上時， SKIPIF 1 < 0 即為 SKIPIF 1 < 0 周長的最小值，然后利用 SKIPIF 1 < 0 求解即可；
（3）旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 的位置，首先證明 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，最后利用 SKIPIF 1 < 0 求解即可．
【詳解】（1）證明：如解圖①，延長 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如解圖，分別作點A關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的對稱點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ．
由對稱的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 此時 SKIPIF 1 < 0 的周長為 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 當(dāng)點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在同一條直線上時， SKIPIF 1 < 0 即為 SKIPIF 1 < 0 周長的最小值．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：如解圖，旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 至 SKIPIF 1 < 0 的位置，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長為_____．
【答案】2 SKIPIF 1 < 0 +2
【分析】將△ACN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，由旋轉(zhuǎn)得出∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，求出∠EAM＝∠MAN，根據(jù)SAS推出△AEM≌△ANM，根據(jù)全等得出MN＝ME，求出MN＝CN＋BM，解直角三角形求出DC，即可求出△DMN的周長＝BD＋DC，代入求出答案即可．
【詳解】將△ACN繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：

由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，
∵∠BAC＝∠D＝90°，
∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABD+∠ABE＝180°，
∴E，B，M三點共線，
∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，
∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAM＝∠MAN，
在△AEM和△ANM中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△AEM≌△ANM（SAS），
∴MN＝ME，
∴MN＝CN+BM，
∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BC＝4，
∴CD＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝2，BD＝ SKIPIF 1 < 0 ＝2 SKIPIF 1 < 0 ，
∴△DMN的周長為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝2 SKIPIF 1 < 0 +2，
故答案為：2 SKIPIF 1 < 0 +2．
【點睛】本題考查直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．
【變式3】．（2020·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長為_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如下圖，先構(gòu)造并證明 SKIPIF 1 < 0 ，從而得出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可推導(dǎo)出 SKIPIF 1 < 0 ，最后在Rt△ACM中求解．
【詳解】解析：連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了構(gòu)造并證明全等三角形、勾股定理的運用，解題關(guān)鍵是利用 SKIPIF 1 < 0 進行角度轉(zhuǎn)化，得到邊 SKIPIF 1 < 0 ．
鞏固訓(xùn)練
一、單選題
1．（2022秋·河北唐山·八年級統(tǒng)考期中）如圖 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列條件中不能判定 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理即可一判定．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，根據(jù)ASA可判定 SKIPIF 1 < 0 ，故該選項不符合題意；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，根據(jù)SAS可判定 SKIPIF 1 < 0 ，故該選項不符合題意；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，不能判定 SKIPIF 1 < 0 ，故該選項符合題意；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)AAS可判定 SKIPIF 1 < 0 ，故該選項不符合題意；
故選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握和運用全等三角形的判定定理是解決本題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖所示的是重疊的兩個直角三角形，將其中一個直角三角形沿BC方向平移得到△DEF．若 SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0 cm，則圖中陰影部分面積為（ ）
A．47cm2B．48 cm2C．49 cm2D．50 cm2
【答案】B
【分析】先根據(jù)平移的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 cm，求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)梯形的面積公式計算即可．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 方向平移得到 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 cm， SKIPIF 1 < 0 ≌ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （cm），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （cm2），故B正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查平移的基本性質(zhì)：平移不改變圖形的形狀和大??；經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行 SKIPIF 1 < 0 或共線 SKIPIF 1 < 0 且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等．
3．（2023秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 ，要使 SKIPIF 1 < 0 ，再添加一個條件（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】利用全等三角形的判定方法，即可得出答案．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴若添加條件 SKIPIF 1 < 0 ，無法判定 SKIPIF 1 < 0 ；
若添加 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
若添加 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
若添加 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
故選：A．
【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法；判定三角形全等的一般方法有： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·廣東深圳·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，下列條件中不能證明 SKIPIF 1 < 0 的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．
【詳解】解：延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，符合全等三角形的判定定理 SKIPIF 1 < 0 ，能推出 SKIPIF 1 < 0 ，故本選項不符合題意；
B． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不符合全等三角形的判定定理，不能推出 SKIPIF 1 < 0 ，故本選項符合題意；
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，符合全等三角形的判定定理 SKIPIF 1 < 0 ，能推出 SKIPIF 1 < 0 ，故本選項不符合題意；
D． SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符合全等三角形的判定定理 SKIPIF 1 < 0 ，能推出 SKIPIF 1 < 0 ，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，兩直角三角形全等還有 SKIPIF 1 < 0 等．
5．（2023春·四川成都·九年級成都嘉祥外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，M，N分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 兩邊上的點，不能保證 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 一定全等的條件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)三角形全等的判定定理即可得．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，
SKIPIF 1 < 0 ．
A、 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 定理可以判定 SKIPIF 1 < 0 ，則此項不符合題意；
B、 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 定理可以判定 SKIPIF 1 < 0 ，則此項不符合題意；
C、 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù) SKIPIF 1 < 0 定理可以判定 SKIPIF 1 < 0 ，則此項不符合題意；
D、 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 定理不能判定 SKIPIF 1 < 0 ，則此項符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形全等的判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6．（2023秋·湖北隨州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別在線段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，已知 SKIPIF 1 < 0 ，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)全等三角形的判定條件逐一判斷即可
【詳解】解：A、添加 SKIPIF 1 < 0 ，可用 SKIPIF 1 < 0 判定 SKIPIF 1 < 0 ，故A不符合題意；
B、添加 SKIPIF 1 < 0 ，可用 SKIPIF 1 < 0 判定 SKIPIF 1 < 0 ，故B不符合題意；
C、添加 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可用 SKIPIF 1 < 0 判定 SKIPIF 1 < 0 ，故C不符合題意；
D、添加 SKIPIF 1 < 0 ，不能判定 SKIPIF 1 < 0 ，故D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．三角形全等的判定定理有 SKIPIF 1 < 0 ．
7．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝9，點E在邊AC上，AE的中垂線交BC于點D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，則CE等于（ ）
A．3B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝ED，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝AB＝9，BD＝CE，即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵AB＝AC＝9，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，
∴∠BAD＝∠CDE，
∵AE的中垂線交BC于點D，
∴AD＝ED，
在△ABD與△DCE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD＝AB＝9，BD＝CE，
∵CD＝3BD，
∴CE＝BD＝3
故選：A．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
8．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D、E是斜邊 SKIPIF 1 < 0 上兩點，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之和為（ ）
A．36B．21C．30D．22
【答案】B
【分析】將 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對稱得到 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 的面積為15，再根據(jù)對稱的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)三角形全等的判定定理證出 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根據(jù) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之和等于 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之和即可得．
【詳解】解：如圖，將 SKIPIF 1 < 0 關(guān)于AE對稱得到 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積之和為21，
故選：B．
【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵．
9.（2022春·湖北宜昌·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝AD，∠BCD＝120°，E、F分別為BC、CD上一點，∠EAF＝30°，EF＝3，DF＝1．則BE的長為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】延長CB到H，使BH=DF=1，連接AH，則可證得△ABH≌△ADF，從而AH=AF，∠BAH=∠DAF，易證△AHE≌△AFE，可得HE=EF=3，則可求得BE的長．
【詳解】延長CB到H，使BH=DF=1，連接AH，如圖
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O
∴∠ABC+∠ADC=180゜
∵∠ABH+∠ABC=180゜
∴∠ABH=∠ADF
在△ABH和△ADF中
SKIPIF 1 < 0
∴△ABH≌△ADF
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF
∵∠BAD+∠BCD=180゜，∠BCD=120゜
∴∠BAD=180゜-∠BCD=60゜
∵∠EAF=30゜
∴∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=30゜
∴∠EAH=∠BAE+∠BAH=30゜
在△AHE和△AFE中
SKIPIF 1 < 0
∴△AHE≌△AFE
∴HE=EF=3
∴BE=HE-BH=3-1=2
故選：B
【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造輔助線得到全等三角形的問題的關(guān)鍵與難點．
10．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動點（不與點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯誤的是（ ）
A．∠AOB=60°B．AP=BQ
C．PQ∥AED．DE=DP
【答案】D
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，BC∥DE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正確；根據(jù)△CQB≌△CPA（ASA），得出B正確；由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形，又由∠PQC=∠DCE，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得出C正確；根據(jù)∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D錯誤．
【詳解】解：∵等邊△ABC和等邊△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，
在△CQB與△CPA中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ為等邊三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，
故C正確，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，
故B正確，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故D錯誤；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等邊△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
故A正確．
故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)不變性，解題的關(guān)鍵是找到不變量．
11.（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點，所以 SKIPIF 1 < 0 ,由此可判斷 SKIPIF 1 < 0 選項；再結(jié)合平行線的性質(zhì)可以得到 SKIPIF 1 < 0 ，由此可判斷 SKIPIF 1 < 0 選項；同時延長 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可以證得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,由此可以判斷 SKIPIF 1 < 0 選項；由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由此可以判斷 SKIPIF 1 < 0 選項；
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由于條件不足，所以無法證明 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 選項錯誤；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 選項錯誤；
同時延長 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
由于條件不足，并不能證明 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 選項錯誤；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 選項正確；
故選：D.
【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定，根據(jù)題意作出相應(yīng)的輔助線是求解本題的關(guān)鍵.
12．（2019·浙江杭州·統(tǒng)考三模）如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為（ ）
A．3cm2B．4cm2C．4.5cm2D．5cm2
【答案】C
【分析】證△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出 SKIPIF 1 < 0 ，代入求出即可．
【詳解】∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
∠ABP＝∠EBP
BP＝BP
∠APB＝∠EPB，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積的應(yīng)用，注意：等底等高的三角形的面積相等．
13．（2022秋·福建寧德·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過點O作射線OG、ON分別交AB、BC于點E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于點P．則下列結(jié)論中：
（1）圖形中全等的三角形只有兩對；（2）正方形ABCD的面積等于四邊形OEBF面積的4倍；（3）BE+BF＝ SKIPIF 1 < 0 OA；（4）AE2+CF2＝2OP?OB．
正確的結(jié)論有（ ）個．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由正方形的性質(zhì)和已知條件得出圖形中全等的三角形有四對，得出（1）錯誤；由 SKIPIF 1 < 0 ，得出四邊形OEBF的面積 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 正方形ABCD的面積，得出（2）正確；由 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，得出（3）正確；由 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而 SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，得出（4）正確．
【詳解】解：（1）不正確；圖形中全等的三角形有四對： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
理由如下：
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 點 SKIPIF 1 < 0 為對角線 SKIPIF 1 < 0 的中點，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
同理： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）正確．理由如下：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 的面積 SKIPIF 1 < 0 正方形 SKIPIF 1 < 0 的面積；
（3）正確．理由如下：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（4）正確．
AE2+CF2＝BE2+BF2＝EF2＝（ SKIPIF 1 < 0 OF）2＝2OF2，
在△OPF與△OFB中，
∠OBF＝∠OFP＝45°，
∠POF＝∠FOB，
∴△OPF∽△OFB，
OP：OF＝OF：OB，
OF2＝OP?OB，
AE2+CF2＝2OP?OB．
正確結(jié)論的個數(shù)有3個；
故選：C．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)等．解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形、相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
14.（2022春·廣東江門·九年級江門市怡福中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，正方形 SKIPIF 1 < 0 和正方形 SKIPIF 1 < 0 的頂點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一條直線上，頂點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一條直線上， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點， SKIPIF 1 < 0 的平分線 SKIPIF 1 < 0 過點 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．以下四個結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中正確的結(jié)論有（ ）個
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】①先利用正方形的性質(zhì)證明 SKIPIF 1 < 0 ，然后有 SKIPIF 1 < 0 ，通過等量代換可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，即可判斷①的正誤；
②通過直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出點H在正方形CGFE的外接圓上，然后根據(jù)圓周角定理的推論得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可判斷②的正誤；
③首先證明 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，進而可得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可判斷③的正誤；
④先得出 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位線，則 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)平行線分線段成比例得出 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 ，進而可求出 SKIPIF 1 < 0 ，又因為 SKIPIF 1 < 0 ，則可判斷④的正誤．
【詳解】解：∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 和四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故① SKIPIF 1 < 0 錯誤；
SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點H在正方形 SKIPIF 1 < 0 的外接圓上．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故②正確；
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故③正確；
∵四邊形CGFE是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中位線，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 高相同，
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故④錯誤．
故正確的有②③，
故選：B．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例，圓周角定理等知識，掌握正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．
15.（2022秋·廣東深圳·九年級?？计谥校┤鐖D，點M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的兩個動點，在運動過程中保持∠MAN＝45°，連接EN、FM相交于點O，以下結(jié)論：①MN＝BM+DN；②BE2+DF2＝EF2；③BC2＝BF?DE；④OM＝ SKIPIF 1 < 0 OF（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，由“SAS”可證△AMN≌△AM′N，可得MN=NM′，可得MN=BM+DN，故①正確；由“SAS”可證△AEF≌△AED'，可得EF=D'E，由勾股定理可得BE2+DF2=EF2；故②正確；通過證明△DAE∽△BFA，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可證BC2=DE?BF，故③正確；通過證明點A，點B，點M，點F四點共圓，∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，可證MO= SKIPIF 1 < 0 EO，由∠BAM≠∠DAN，可得OE≠OF，故④錯誤，即可求解．
【詳解】解：將△ABM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ADM′，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABD'，
∴AM'=AM，BM=DM'，∠BAM=∠DAM'，∠MAM'=90°，∠ABM=∠ADM'=90°，
∴∠ADM'+∠ADC=180°，
∴點M'在直線CD上，
∵∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠MAB=45°=∠DAN+∠DAM'=∠M'AN，
∴∠M′AN=∠MAN=45°，
又∵AN=AN，AM=AM'，
∴△AMN≌△AM′N（SAS），
∴MN=NM′，
∴M′N=M′D+DN=BM+DN，
∴MN=BM+DN；故①正確；
∵將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABD'，
∴AF=AD'，DF=D'B，∠ADF=∠ABD'=45°，∠DAF=∠BAD'，
∴∠D'BE=90°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°=∠BAD'+∠BAE=∠D'AE，
∴∠D'AE=∠EAF=45°，
又∵AE=AE，AF=AD'，
∴△AEF≌△AED'（SAS），
∴EF=D'E，
∵D'E2=BE2+D'B2，
∴BE2+DF2=EF2；故②正確；
∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=∠BAE+45°，∠AEF=∠BAE+∠ABE=45°+∠BAE，
∴∠BAF=∠AEF，
又∵∠ABF=∠ADE=45°，
∴△DAE∽△BFA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵AB=AD=BC，
∴BC2=DE?BF，故③正確；
∵∠FBM=∠FAM=45°，
∴點A，點B，點M，點F四點共圓，
∴∠ABM=∠AFM=90°，∠AMF=∠ABF=45°，∠BAM=∠BFM，
同理可求∠AEN=90°，∠DAN=∠DEN，
∴∠EOM=45°=∠EMO，
∴EO=EM，
∴MO= SKIPIF 1 < 0 EO，
∵∠BAM≠∠DAN，
∴∠BFM≠∠DEN，
∴EO≠FO，
∴OM≠ SKIPIF 1 < 0 FO，故④錯誤，
故選：A．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
16．（2022秋·江蘇南京·八年級南京市第二十九中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)計算 SKIPIF 1 < 0 的長為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)題意證明 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得結(jié)果．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
17.（2023秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D，E，F(xiàn)分別為邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的點， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)已知條件可推出 SKIPIF 1 < 0 ，從而可知 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)平角的定義及三角形內(nèi)角和推出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得解．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及平角的定義推出 SKIPIF 1 < 0 是解題的關(guān)鍵．
18．（2023秋·福建寧德·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在等腰 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D為 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一點，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的面積為________．
【答案】8
【分析】由線段CD的長求 SKIPIF 1 < 0 的面積，故過B作CD的垂線，則由三角形面積公式可知： SKIPIF 1 < 0 ，再由題中的 SKIPIF 1 < 0 和等腰直角三角形ABC，即可求證 SKIPIF 1 < 0 ，最后由 SKIPIF 1 < 0 即可求解．
【詳解】解：過點B作CD的垂線，交CD的延長線于點E
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案是：8．
【點睛】本題主要考查全等三角形的證明、輔助線的畫法、等腰三角形的性質(zhì)和三角形面積公式，屬于中檔難度的幾何證明題．解題的關(guān)鍵是由三角形面積公式畫出合適的輔助線．
19.（2021·全國·九年級專題練習(xí)）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，從而得FG2＝AE2＋BF2，再證明△ECF≌△GCF，從而得EF2＝AE2＋BF2，進而即可求解．
【詳解】解：將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，
∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90°
∴∠ACE＝∠BCG．
∵在△ACE與△BCG中，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ACE≌△BCG（SAS），
∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG，
∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°．
在Rt△FBG中，∠FBG＝90°，
∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2．
又∵∠ECF＝45°，
∴∠FCG＝∠ECG?∠ECF＝45°＝∠ECF．
∵在△ECF與△GCF中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ECF≌△GCF（SAS）．
∴EF＝GF，
∴EF2＝AE2＋BF2，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BF= SKIPIF 1 < 0 ，
故答案是： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換，二次根式的化簡，通過旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．
20.（2022秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為5，點A的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，點B在y軸上，若反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象過點C，則k的值為_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)同角的余角相等求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用“角角邊”證明 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后寫出點 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)，再把點 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式計算即可求出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【詳解】解：如圖，過點 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 軸于 SKIPIF 1 < 0 ，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 點 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象過點 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，全等三角形的判定與性質(zhì)，涉及到正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出點 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)．
21．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 為AD上的中點，則BE＝______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】延長BE交CD于點F，證 SKIPIF 1 < 0 ，則BE=EF= SKIPIF 1 < 0 BF，故再在直角三角形BCF中運用勾股定理求出BF長即可.
【詳解】解：延長BE交CD于點F,
∵AB平行CD，則∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE，
又E為AD上的中點，∴BE=EF,
所以 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
在直角三角形BCF中，BF= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【點睛】本題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形全等，找到線段的關(guān)系，然后運用勾股定理求解.
22.（2022秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點P是在等邊 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)一點， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將線段 SKIPIF 1 < 0 繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．下列結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 可以看作由 SKIPIF 1 < 0 繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到；②線段 SKIPIF 1 < 0 ；③四邊形 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．正確的是______（只填序號）．
【答案】①②④
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形．由 SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，可得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進而可證 SKIPIF 1 < 0 ，從而可證 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 可以看作由 SKIPIF 1 < 0 繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到，故①正確；由等邊三角形的性質(zhì)可直接得出 SKIPIF 1 < 0 ，故②正確；由全等三角形的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 ．再根據(jù)勾股定理逆定理可得出 SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ．過點A作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點H，易求出 SKIPIF 1 < 0 ，進而可求出 SKIPIF 1 < 0 ，由三角形的面積公式求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，進而即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，故可判斷③；易求出 SKIPIF 1 < 0 ．再根據(jù)全等的性質(zhì)即得出 SKIPIF 1 < 0 ，故④正確．
【詳解】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形．
∵ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 可以看作由 SKIPIF 1 < 0 繞點A逆時針旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到，故①正確；
∵ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故②正確；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 為直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ．
如圖，過點A作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點H，
∵ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故③錯誤；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故④正確．
綜上可知正確的是①②④．
故答案為：①②④．
【點睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識．正確的作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵
三、解答題
23．（2022·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）如圖，B是線段AC的中點， SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】證明過程見詳解
【分析】運行平行線的性質(zhì)可證∠A=∠EBC，∠DBA=∠C，結(jié)論即可得證．
【詳解】證明∵B是AC中點，
∴AB=BC，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠A=∠EBC，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠DBA=∠C，
在△ABD和△BCE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
【點睛】本題考查了全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行同位角相等的知識是解答本題的關(guān)鍵．
24．（2023秋·云南楚雄·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而證明 SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【詳解】證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
25．（2022秋·陜西安康·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，連接DE、DF、EF，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2)65°
【分析】（1）由條件 SKIPIF 1 < 0 可以得出 SKIPIF 1 < 0 ，就可以得出 SKIPIF 1 < 0 ，就可得出結(jié)論；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 推出 SKIPIF 1 < 0 ，然后求出
SKIPIF 1 < 0 ，由三角形內(nèi)角和定理和平角的定義就可以得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而求出 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)即可解決問題．
【詳解】（1）證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形．
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，三角形內(nèi)角和定理的運用，平角的定義的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．．
26．（2023秋·四川廣安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D是邊 SKIPIF 1 < 0 上的一個動點（點D不與點B，C重合），連接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點E．
(1)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形時，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，得出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和角之間的數(shù)量關(guān)系，得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進而得出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)“角角邊”，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）得出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理，分三種情況：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，進行解答即可．
【詳解】（1）證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）解：由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形時，分以下三種情況討論：
①當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
此時 SKIPIF 1 < 0 ；
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
此時 SKIPIF 1 < 0 ；
③當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時，則 SKIPIF 1 < 0 ，
此時點E與點C重合，不符合題意，故舍去．
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，解本題的關(guān)鍵在分類討論．
27.（2022秋·廣東汕尾·八年級華中師范大學(xué)海豐附屬學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】見解析
【分析】根據(jù)線段的差得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，進而得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平行線的判定定理即可得證．
【詳解】證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，平行線的判定定理，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
28．（2023·山東泰安·校考模擬預(yù)測）感知：數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個模型：如圖1，點A在直線 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，像這種一條直線上的三個頂點含有三個相等的角的模型我們把它稱為“一線三等角“模型．
應(yīng)用：
(1)如圖2， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點C，過A作 SKIPIF 1 < 0 于點D，過B作 SKIPIF 1 < 0 于點E．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)如圖3，在 SKIPIF 1 < 0 中，D是 SKIPIF 1 < 0 上一點， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，求點C到 SKIPIF 1 < 0 邊的距離．
(3)如圖4，在 SKIPIF 1 < 0 中，E為邊 SKIPIF 1 < 0 上的一點，F(xiàn)為邊 SKIPIF 1 < 0 上的一點．若
SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，可證明 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）過點D作 SKIPIF 1 < 0 于點F，過點C作 SKIPIF 1 < 0 于，交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點E，證明 SKIPIF 1 < 0 ，由全等三角形的性質(zhì)可得出 SKIPIF 1 < 0 ，則可得出答案；
（3）過點D作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點M，證明 SKIPIF 1 < 0 ，由相似三角形的性質(zhì)可得出答案．
【詳解】（1）證明：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：過點D作 SKIPIF 1 < 0 于點F，過點C作 SKIPIF 1 < 0 于，交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點E，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即點C到 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）過點D作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點M，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
29．（2022秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC上一點，且BP＝2，將一個大小與∠B相等的角的頂點放在P點，然后將這個角繞P點轉(zhuǎn)動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相交，交點為D、E．
(1)求證：△BPD∽△CEP；
(2)是否存在這樣的位置，△PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由．
【答案】(1)見解析
(2)存在，理由見解析，BD的長為 SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠B＝∠C，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和列式整理求出∠EPC＝∠BDP，即可得證；
（2）過點A作AH⊥BC于點H，根據(jù)∠DPE＝∠B≠90°，即分為：①∠PDE＝90°時，利用∠ABH與∠DPE的余弦值相等列式求出 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；②∠PED＝90°時，利用∠ABH與∠DPE的余弦值相等列式求出 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．
【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠DPC＝∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，
∴∠EPC＝∠BDP，
∴△BPD∽△CEP，
得證；
（2）解：存在．理由如下：
過點A作AH⊥BC于點H，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BH＝ SKIPIF 1 < 0 BC＝ SKIPIF 1 < 0 ×6＝3，
∵∠DPE＝∠B≠90°，
∴①如圖1，
若∠PDE＝90°，在Rt△ABH和Rt△PDE中，
∴cs∠ABH＝cs∠DPE＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵△PBD∽△PCE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵BP＝2，
∴PC＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
解得BD＝ SKIPIF 1 < 0 ；
②如圖2，
∠PED＝90°時，在Rt△ABH和Rt△PDE中，
∴cs∠ABH＝cs∠DPE＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵△PBD∽△PCE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵PC＝4，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
解得BD＝ SKIPIF 1 < 0 ＞AB=5（舍去），
綜上所述，BD的長為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點睛】本題是相似三角形綜合題型，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等角的銳角三角函數(shù)值相等，并且注意要分情況討論求解．
30．（2021·全國·九年級專題練習(xí)）如圖1，在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2 SKIPIF 1 < 0 ，AC，BD相交于點O．
(1)求邊AB的長；
(2)求∠BAC的度數(shù)；
(3)如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F(xiàn)，連接EF．判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由．
【答案】（1）2；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）見詳解
【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出OA=1，OB= SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)勾股定理可得出答案；
（2）得出△ABC是等邊三角形即可；
（3）由△ABC和△ACD是等邊三角形，利用ASA可證得△ABE≌△ACF；可得AE=AF，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形推出即可．
【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△AOB為直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
由（1）得：AB=AC=BC=2，
∴△ABC為等邊三角形，
∠BAC=60°；
（3）△AEF是等邊三角形，
∵由（1）知，菱形ABCD的邊長是2，AC=2，
∴△ABC和△ACD是等邊三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，
∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
SKIPIF 1 < 0
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)以及圖形的旋轉(zhuǎn)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．

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