中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專題04 巧用中點(diǎn)解決幾何問(wèn)題（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

方法與技巧：中點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)輔助線做法
①遇到三角形邊上的中點(diǎn)，考慮構(gòu)造三角形的中位線
②遇到直角三角形斜邊的中點(diǎn)，考慮直角三角形斜邊的中線性質(zhì)
③遇到等腰三角形底邊的中點(diǎn)，考慮等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)
④遇到中點(diǎn)+垂線，角平分線+垂線，考慮垂直平分線的性質(zhì)
⑤遇到面積類型題，考慮三角形中線平分面積
⑥遇到線段數(shù)量關(guān)系，考慮倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形
二、【考點(diǎn)類型】
考點(diǎn)1：構(gòu)造三角形的中位線
典例1：（2022秋·四川眉山·九年級(jí)校考期中）如圖， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為（）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【變式1】（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)統(tǒng)考期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E，點(diǎn)F是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為（）．
A．2B．3C．4D．5
【變式2】（2022春·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）已知：如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，中線 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
求證：（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 互相平分．
【變式3】（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF＝ SKIPIF 1 < 0 BC．連結(jié)CD、EF，那么CD與EF相等嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論．
考點(diǎn)2：直角三角形斜邊的鵝中線
典例2：（2022秋·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在一塊含 SKIPIF 1 < 0 角的三角板（ SKIPIF 1 < 0 ）的頂點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為 SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 的右側(cè)作 SKIPIF 1 < 0 使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則下列式子成立的是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級(jí)校考期中）如圖， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)的最小值為（）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2022秋·廣西貴港·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，由圖中的尺規(guī)作圖痕跡得到的射線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)為（）
A． SKIPIF 1 < 0 +1B． SKIPIF 1 < 0 +2C．2 SKIPIF 1 < 0 +2D．2 SKIPIF 1 < 0 +3
【變式3】（2021·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0
（1）尺規(guī)作圖：作 SKIPIF 1 < 0 的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）在（1）所作的圖中，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，證明： SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形．
考點(diǎn)3：等腰三角形三線合一性質(zhì)
典例3：（2023秋·江西南昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)D，交 SKIPIF 1 < 0 于F．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
(2)若點(diǎn)F是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【變式1】（2020·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，EF是AC的垂直平分線，交AD于點(diǎn)O.若OA =3，則 SKIPIF 1 < 0 外接圓的面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E點(diǎn)，DF⊥AC于點(diǎn)F，則下列四個(gè)結(jié)論：①AD上任意一點(diǎn)到AB，AC兩邊的距離相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF．其中正確的有（）
A．②③B．①③C．①②④D．①②③④
【變式3】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點(diǎn)，M是EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 的面積為12， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最小值是_______________．
考點(diǎn)4：垂直平分線性質(zhì)
典例4：（2022·新疆烏魯木齊·?？家荒＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB＝4cm，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AC，垂足為E，AE＝3CE，則DE的長(zhǎng)為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2cmC． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為 __．
【變式2】（2020·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)為_(kāi)_________．
【變式3】（2020·江蘇連云港·中考真題）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線與邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證：四邊形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求菱形 SKIPIF 1 < 0 的周長(zhǎng)．
考點(diǎn)5：中線平分面積
典例5：（2022秋·安徽滁州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 的平分線 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2021秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)P，已知 SKIPIF 1 < 0 的面積為 SKIPIF 1 < 0 ，則陰影部分的面積為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式2】（2021秋·福建福州·八年級(jí)福建省福州延安中學(xué)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，AC＝DC＝3，AD平分∠BAC，BD⊥AD于D，E為AC的中點(diǎn)，則圖中兩個(gè)陰影部分面積之差的最大值為（）
A．1.5B．3C．4.5D．6
【變式3】（2023春·江蘇·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在平行四動(dòng)形紙板 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．將一飛鏢隨機(jī)投擲到平行四邊形紙板上，則飛鏢落在陰影部分的概率為 ________．
考點(diǎn)6：倍長(zhǎng)中線，構(gòu)全等
典例6：（2022秋·甘肅定西·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上的中線，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【變式1】（2021秋·河南信陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB＝AD+2BE，則下列結(jié)論：①AB+AD＝2AE；②∠DAB+∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE﹣2S△BCE＝S△ADC；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【變式2】（2022秋·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D為邊AB的中點(diǎn)，E、F分別為邊AC、BC上的點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ______ SKIPIF 1 < 0 ，線段AB的長(zhǎng)度 SKIPIF 1 < 0 ______．
【變式3】（2022秋·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)是________．
鞏固訓(xùn)練
一、單選題
1．（2020秋·湖北黃石·八年級(jí)黃石八中校考期中）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BE交AC于F，若BE=AC，BF=9，CF=6，則AF的長(zhǎng)度為（）
A．1B．1.5C．2D．3
2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為（）．
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
3．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考期中）如圖，在?ABCD中，BE垂直平分CD于點(diǎn)E，且∠BAD＝45°，AD＝3，則?ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5 SKIPIF 1 < 0 C．5 SKIPIF 1 < 0 D．2 SKIPIF 1 < 0
4．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，O為數(shù)軸原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng) SKIPIF 1 < 0 、3，作腰長(zhǎng)為4的等腰 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，以O(shè)為圓心， SKIPIF 1 < 0 長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．2.5
5．（2023秋·廣東惠州·八年級(jí)校考期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn)．若 SKIPIF 1 < 0 腰上的中線長(zhǎng)是3．則 SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)的最小值為（）
A．4B．5C．6D．7
6．（2022秋·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，將 SKIPIF 1 < 0 沿AD翻折得到 SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié)BE，則線段BE的長(zhǎng)為（）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2023秋·四川雅安·九年級(jí)校考期中）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 分別是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是線段 SKIPIF 1 < 0 上的一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)是（）
A．3B．4C．5D．6
8．（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，D是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接BD，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．4
9．（2022春·浙江杭州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，中線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)O，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的面積與 SKIPIF 1 < 0 的面積比是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
10．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 不平行， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)可能是( )
A．4B．6C．8D．10
11．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，若M、N分別為線段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度等于（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．3
12．（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)E、F分別是邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B．5C． SKIPIF 1 < 0 D．10
13．（2022秋·廣東梅州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，射線 SKIPIF 1 < 0 射線CD， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的平分線交于點(diǎn)E， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)P是射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PE并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 給出下列結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 是直角三角形； SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是 SKIPIF 1 < 0 ，其中正確的是 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
14．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)E，G分別在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 邊上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，過(guò)點(diǎn)C作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F，連接 SKIPIF 1 < 0 ，若正方形的邊長(zhǎng)為4，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)度是（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
15．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，延長(zhǎng)BD到F，使DF＝DB，連接CF，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥BF于點(diǎn)D，BD＝16，AC＝22，則邊BC的長(zhǎng)為（）
A．8 SKIPIF 1 < 0 B．9 SKIPIF 1 < 0 C．10 SKIPIF 1 < 0 D．12 SKIPIF 1 < 0
二、填空題
16．（2020·天津·中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 的頂點(diǎn)C在等邊 SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 上，點(diǎn)E在 SKIPIF 1 < 0 的延長(zhǎng)線上，G為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)為_(kāi)______．
17．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，⊙A的半徑為2，圓心坐標(biāo)為（4，0），y軸上有點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C是⊙A上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，則OP的范圍是_____．
18．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)E．若E是BD的中點(diǎn)，則AC的長(zhǎng)是_______．
19．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的邊長(zhǎng)為2， SKIPIF 1 < 0 ，E為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，F(xiàn)為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)G，則 SKIPIF 1 < 0 的長(zhǎng)等于___________．
20．（2021·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________ SKIPIF 1 < 0 ．
21．（2021·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸正半軸上，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸正半軸上．當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 也隨之在 SKIPIF 1 < 0 軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 到原點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的最大距離為 __．
22．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖， SKIPIF 1 < 0 的半徑為2，圓心 SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的任意一點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸分別交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)線段 SKIPIF 1 < 0 最短時(shí)，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
24．（2023秋·江西宜春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)，則AM的最小值是______________．
26．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C， SKIPIF 1 < 0 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
27．（2021·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是角平分線且 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F，作 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 周長(zhǎng)為_(kāi)_______．
28．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE、BC于點(diǎn)H、G，則BG＝________．
29．（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，△ABC的面積是12，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別為BC，AD，BE，CE的中點(diǎn)，則△AFG的面積是_____．
30．（2022春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)宜興市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ________．
三、解答題
31．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連接CE．
(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的長(zhǎng)；
(2)求證：BC2﹣AC2＝2DE?AB；
(3)求證：CE＝ SKIPIF 1 < 0 AB．
32．（2021春·廣西南寧·八年級(jí)南寧市第四十七中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別在 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 .求證： SKIPIF 1 < 0 .
33．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面材料：
數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：
如圖，AD為△ABC中線，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．
經(jīng)過(guò)討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：
完成下面問(wèn)題：
（1）①思路一的輔助線的作法是：；
②思路二的輔助線的作法是：．
（2）請(qǐng)你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫出輔助線的作法，并畫出相應(yīng)的圖形，不需要寫出證明過(guò)程）．
34．（2022·山西朔州·八年級(jí)?？计谀﹩?wèn)題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 SKIPIF 1 < 0 ，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖（1），在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
探究結(jié)論：小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究．
（1）如圖（1），作 SKIPIF 1 < 0 邊上的中線 SKIPIF 1 < 0 ，得到結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形；② SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________．
（2）如圖（2）， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中線，點(diǎn)D是邊 SKIPIF 1 < 0 上任意一點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，作等邊 SKIPIF 1 < 0 ，且點(diǎn)P在 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)部，連接 SKIPIF 1 < 0 ．試探究線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明．
（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊 SKIPIF 1 < 0 延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)時(shí)，在（2）中條件的基礎(chǔ)上，線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出答案即可．
35．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AD平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且平分BC， SKIPIF 1 < 0 于E， SKIPIF 1 < 0 于F．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)如果 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求AE、BE的長(zhǎng)．
36．（2022秋·北京海淀·九年級(jí)101中學(xué)?？计谀┮阎喝鐖D，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是BC的中點(diǎn)．以BD為直徑作 SKIPIF 1 < 0 ，交邊AB于點(diǎn)P，連接PC，交AD于點(diǎn)E．
（1）求證：AD是 SKIPIF 1 < 0 的切線；
（2）若PC是 SKIPIF 1 < 0 的切線， SKIPIF 1 < 0 ，求PC的長(zhǎng)．
思路一如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．
思路二如圖②，添加輔助線后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．

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