中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)提分特訓(xùn)專(zhuān)題10 二次函數(shù)綜合問(wèn)題（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【思維導(dǎo)圖】
【類(lèi)型清單】
二、【考點(diǎn)類(lèi)型】
考點(diǎn)1：線(xiàn)段周長(zhǎng)問(wèn)題
典例1：（2022·漳州）如圖，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)M是拋物線(xiàn)在x軸下方上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN∥y軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，求線(xiàn)段MN的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上是否存在點(diǎn)P，使△PBN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1】（2018·大慶）如圖，拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)P在x軸下方的拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)y=x+m與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，求PE+EF的最大值；
（3）點(diǎn)D為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)．
①當(dāng)△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②若△BCD是銳角三角形，直接寫(xiě)出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)n的取值范圍．
【變式2】（2022九上·東陽(yáng)月考）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，D為直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D做DQ⊥x軸于點(diǎn)M，DQ與BC相交于點(diǎn)M．DE⊥BC于E．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求線(xiàn)段DE長(zhǎng)度的最大值；
（3）連接AC，是否存在點(diǎn)D，使得△CDE中有一個(gè)角與∠CAO相等？若存在，求點(diǎn)D的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式3】（2022九上·鄞州月考）如圖，已知拋物線(xiàn)y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3，0)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D(-2，-3)在拋物線(xiàn)上.
（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，求△PAD周長(zhǎng)的最小值；
（3）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)△MAD是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).
考點(diǎn)2：面積問(wèn)題
典例2：（2021九上·鄂城期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn) 經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，且與直線(xiàn) 在第二象限交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn) .若P是直線(xiàn) 上方該拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，連接， .
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）求的面積S的最大值；
（3）連接交于點(diǎn)E，如圖2，線(xiàn)段與能否互相平分？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【變式1】（2022九上·岳麓開(kāi)學(xué)考）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連結(jié)、、、．
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式．
（2）當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積的時(shí)，求的值．
（3）當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)是軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式2】（2022九上·舟山月考）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)E．
（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)M在直線(xiàn)AB上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)ΔABM的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)F為平面內(nèi)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)．
【變式3】（2021九上·槐蔭期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（－4，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接BP、AC，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）連接PA，PC，求的最大值；
（3）連接BC，當(dāng)∠DPB＝2∠BCO時(shí)，求直線(xiàn)BP的表達(dá)式．
考點(diǎn)3：角度問(wèn)題
典例3：（2022九下·磐安期中）如圖，拋物線(xiàn) 與軸交于點(diǎn) ，，與軸交于點(diǎn) ，已知 .
（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點(diǎn) 在軸上，在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在唯一的點(diǎn) ，滿(mǎn)足？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn) 在軸上，滿(mǎn)足的點(diǎn) 是否存在？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【變式1】（2021九上·潮安期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)N是第一象限拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接NA，交y軸于點(diǎn)E，．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）求線(xiàn)段AN的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)M在第三象限拋物線(xiàn)上，連接MN，，則這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（直接寫(xiě)出結(jié)果）．
【變式2】（2022·通遼）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)方程為．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）點(diǎn)為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式3】（2021九上·海珠期末）如圖，已知直線(xiàn)y＝﹣2x+m與拋物線(xiàn)相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A(1，4)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
考點(diǎn)4：特殊三角形問(wèn)題
典例4：（2022·湘西）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線(xiàn)所圍成的封閉曲線(xiàn)稱(chēng)為“月牙線(xiàn)”，如圖①，拋物線(xiàn)C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線(xiàn)C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月牙線(xiàn)”，拋物線(xiàn)C1和拋物線(xiàn)C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．
（1）求拋物線(xiàn)C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線(xiàn)C1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線(xiàn)C2于點(diǎn)D，求線(xiàn)段MN與線(xiàn)段DM的長(zhǎng)度的比值．
（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式1】（2021九上·南充期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) ，且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) ， .
（1）求拋物線(xiàn)的解析式.
（2）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使得是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
（3）設(shè)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為m，且在直線(xiàn)BC的下方，求使的面積為最大整數(shù)時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【變式2】（2021九上·遂寧期末）如圖，拋物線(xiàn) 與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn) ，直線(xiàn) 與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn) ，且點(diǎn) 為；
（1）求拋物線(xiàn)及直線(xiàn) 的函數(shù)關(guān)系式；
（2）點(diǎn) 為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)，在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存點(diǎn) ，使為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn) 是軸上一點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) 的坐標(biāo).
【變式3】（2022九上·溫州月考）如圖1，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PA，PF，AF．
（1）求該拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣4），求出此時(shí)△AFP面積的最大值；
（3）如圖2，是否存在點(diǎn)F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)5：特殊四邊形問(wèn)題
典例5：（2022九下·重慶開(kāi)學(xué)考）如圖，已知拋物線(xiàn)y=ax2+bx-4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），直線(xiàn)BC的解析式為y= x-4.
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A），P是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥BC于點(diǎn)R，連接PR.求△PQR面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖2，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，將拋物線(xiàn)沿射線(xiàn)C′A的方向平移2 個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線(xiàn)y′，新拋物線(xiàn)y′與原拋物線(xiàn)交于點(diǎn)M，原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)K，使得以D，M，N，K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【變式1】（2022九上·浦江期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，0）的直線(xiàn)AB與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c交直線(xiàn)AB于點(diǎn)A，C，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D．
（1）求拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c的表達(dá)式；
（2）M是線(xiàn)段AB上一點(diǎn)，N是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，當(dāng)MN∥y軸且MN＝2時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）P是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【變式2】21．（2022九上·海曙期中）如圖，拋物線(xiàn)交y軸于點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)、C兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合)，過(guò)點(diǎn)D作軸，交于點(diǎn)M，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)N.
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）連接和，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及的最大面積；
（3）在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，M，N，P為頂點(diǎn)，以為邊的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【變式3】（2022九上·義烏月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與直線(xiàn)AB相交于A，B兩點(diǎn)，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1），且拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為Q．
（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P為直線(xiàn)AB下方拋物線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，連接PA，PB，QA，QB，求四邊形PAQB面積的最大值及此時(shí)P的坐標(biāo)；
（3）將該拋物線(xiàn)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的拋物線(xiàn)與原拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為原拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)6：相似三角形問(wèn)題
典例6：（2022九上·鎮(zhèn)海區(qū)開(kāi)學(xué)考）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、三點(diǎn)．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作軸，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在直線(xiàn)上方的拋物線(xiàn)是有一點(diǎn)，使得的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【變式1】（2022九下·長(zhǎng)沙開(kāi)學(xué)考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn) 與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.若線(xiàn)段的長(zhǎng)滿(mǎn)足，則這樣的拋物線(xiàn)稱(chēng)為“黃金”拋物線(xiàn).如圖，拋物線(xiàn) 為“黃金”拋物線(xiàn)，其與x軸交點(diǎn)為A，B（其中B在A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.且
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若P為上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為D.
①求的最大值；
②連接，當(dāng) 與相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).
【變式2】（2022九上·金東期末）已知拋物線(xiàn)與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合）.
（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求△ABC的面積.
（2）如圖，當(dāng)APBC時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，求BQ的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)以點(diǎn)A，B，P為頂點(diǎn)的三角形和△ABC相似時(shí)（不包括兩個(gè)三角形全等），求m的值.
【變式3】（2022九下·寧波月考）如圖，已知拋物線(xiàn)y=-x2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=-1．連結(jié)AC，有一動(dòng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．
（1）求AB的長(zhǎng)度；
（2）連結(jié)AE、CE，當(dāng)△ACE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)：
（3）直接寫(xiě)出m為何值時(shí)，△ADF與△CDE相似．
考點(diǎn)7：解析幾何問(wèn)題（韋達(dá)定理）
典例7：（2022九上·杭州開(kāi)學(xué)考）已知二次函數(shù)y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0.
（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（1，4），求二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）若該二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，當(dāng)﹣1≤x≤2時(shí)，二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)為M，最低點(diǎn)為N，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為6，求點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（3）在二次函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），當(dāng)a≤x1＜x2≤a+2時(shí)，總有y1＞y2，求a的取值范圍.
【變式1】（2022九上·福建競(jìng)賽）已知開(kāi)口向上的拋物線(xiàn) 與直線(xiàn)：y=ax+c，y=cx+a中的每一條都至多有一個(gè)公共點(diǎn).
（1）求的最大值；
（2）當(dāng) 取最大值時(shí)，設(shè)直線(xiàn) 交拋物線(xiàn) 于A，B兩點(diǎn)，C為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，若△ABC內(nèi)切圓的半徑為1，求a的值.
【變式2】（2022九上·桐廬月考）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+b﹣a（a≠0）．
（1）若a＝b時(shí)，求二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若a＞0，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，求該函數(shù)的最小值（用字母a表示）；
（3）若該拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y＝ax+a（a≠0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，當(dāng)x1＜0＜x2時(shí)，都有y1＜y2，求證：b＜2a．
【變式3】（2022九上·溪湖開(kāi)學(xué)考）已知：拋物線(xiàn)：．
（1）若頂點(diǎn)坐標(biāo)為，求和的值用含的代數(shù)式表示；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；
（3）若不論為任何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求，，的值；此時(shí)，若時(shí)，拋物線(xiàn)的最小值為，求的值．

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