【模型背景】已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足 PA=k·PB（k≠1）的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。
【模型解讀】如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點(diǎn) A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動點(diǎn)，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當(dāng)“PA+k·PB”的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點(diǎn)，P為動點(diǎn)，故當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，“PA+PC”值最小。如圖3所示：
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：
在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點(diǎn)軌跡是直線，而當(dāng)P點(diǎn)軌跡變?yōu)閳A時(shí)，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短解題。
例1．（2022·安徽·九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（ ）
A．7B．5C．D．
例2．（2020·廣西中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．
例3．（2022·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，則的最大值為_______．
例4．（2022·浙江·舟山九年級期末）如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)P是弧上的一個(gè)動點(diǎn)，連結(jié)，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·廣東·廣州市第二中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，且，則4PD+2PC的最小值為_______．
例6．（2021·浙江金華·一模）問題提出：
如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路，通過構(gòu)造一對相似三角形，將BP轉(zhuǎn)化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)
如圖2，連結(jié)CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD＝1，則有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴當(dāng)A，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PD取到最小值
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為 ．
(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB＝4，則AP+PC的最小值為 ．(請?jiān)趫D3中添加相應(yīng)的輔助線)
(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
例7．（2022·廣東·二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點(diǎn)且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結(jié)論運(yùn)用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點(diǎn)P是⊙A上的一個(gè)動點(diǎn)，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點(diǎn)P是⊙A上的一個(gè)動點(diǎn)，求2PC?PB的最大值．
例8．（2022·江蘇·蘇州九年級階段練習(xí)）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).
已知平面上兩點(diǎn)，則所有符合且的點(diǎn)會組成一個(gè)圓.這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.
阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.
【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)中，在軸，軸上分別有點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一動點(diǎn)，且，設(shè)，求的最小值.
阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：
第一步：如圖1，在上取點(diǎn)，使得；
第二步：證明；第三步：連接，此時(shí)即為所求的最小值.
下面是該題的解答過程(部分)：
解：在上取點(diǎn)，使得，
又.
任務(wù)：將以上解答過程補(bǔ)充完整.如圖2，在中，為內(nèi)一動點(diǎn)，滿足，利用中的結(jié)論，請直接寫出的最小值.
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2022·福建南平九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點(diǎn)，連接AP、BP，則AP+BP的最小值為（ ）
A．3.B．4C．3D．5
2．（2022·江蘇·無錫市九年級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點(diǎn)M、點(diǎn)N，⊙O半徑為3，點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為 ___．
3．（2022·陜西·三模）如圖，在四邊形中， ，對角線，設(shè)，則的最小值為 ___________．
4．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點(diǎn) A, B ，所有滿足 ? k ( k 為定值)的 P 點(diǎn)形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，
【問題解決】如圖，在△ABC 中，CB ? 4 ， AB? 2AC ，則△ABC 面積的最大值為_____．
5．（2022·浙江·九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個(gè)動點(diǎn)，且DE＝4，P是DE的中點(diǎn)，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為 ．
6．（2022·江蘇·蘇州九年級階段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E為邊AD上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，且線段EF＝4，點(diǎn)G為線段EF的中點(diǎn)，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為 _____．
7．（2022·山西·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動點(diǎn)，則的最小值是___________．

8．（2022·湖北·九年級專題練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為_____．
9．（2022·北京·九年級專題練習(xí)）如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為________．
10．（2022·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動點(diǎn)，連接最小值__________．最小值__________．
11．（2022·重慶·九年級專題練習(xí)）（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，那么PD＋的最小值為__，PD﹣的最大值為__．
（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，那么PD＋的最小值為__，PD﹣的最大值為__．
12．（2022·江蘇淮安·九年級期中）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB=12，⊙C半徑為6，P為圓上一動點(diǎn)，連結(jié)AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點(diǎn)D，使CD=3，則有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．
（2）自主探索：如圖1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且PB=3，AP+PC的最小值為．（3）拓展延伸：如圖2，扇形COD中，O為圓心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，點(diǎn)P是上一點(diǎn)，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
13．（2022·湖北·九年級專題練習(xí)）（1）如圖1，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如圖2，已知正方形的邊長為9，圓B的半徑為6，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓B的半徑為2，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動點(diǎn)，求的最小值和的最大值．的最小值

14．（2022·山東聊城·二模）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，直線AC的解析式為，且與y軸相交于點(diǎn)C，若點(diǎn)E是直線AB上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E作軸交AC于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)H是y軸上一動點(diǎn)，連結(jié)EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形EAFH是矩形?求出此時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；（3）在（2）的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長為半徑作圓，點(diǎn)M為上以動點(diǎn)，求的最小值．
15．（2022·江蘇泰州·一模）如圖，已知中，，，，是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)與重合，連接．
(1)求證：；(2)若點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且，①若與的面積比是，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖（2）中作出折疊后的（保留作圖痕跡，不寫作法）；②求的最小值．
16．（2022·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，BE＝BF＝，連接AE，CF．
(1)求證：△ABE≌△CBF．(2)如圖2，連接DE，當(dāng)DE＝BE時(shí)，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面積）(3)如圖3，當(dāng)Rt△BEF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部，且線段AE與線段CF存在交點(diǎn)G時(shí)，若M是CD的中點(diǎn)，P是線段DG上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)滿足MP+PG的值最小時(shí)，求MP的值．
17．（2022·河北·九年級專題練習(xí)）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動點(diǎn)，連接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．

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