【模型背景】已知平面上兩點A、B，則所有滿足 PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。
【模型解讀】如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點 A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：
在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。
例1． (2023·安徽·九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（ ）
A．7B．5C．D．
例2． (2023·廣西中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．
例3． (2023·四川成都·模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．
例4． (2023·浙江·舟山九年級期末）如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點E，點P是弧上的一個動點，連結，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
例5． (2023·廣東·廣州市第二中學九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，點P是第一象限內一動點，且，則4PD+2PC的最小值為_______．
例6． (2023·浙江金華·一模）問題提出：
如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構造一對相似三角形，將BP轉化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)
如圖2，連結CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為 ．
(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為 ．(請在圖3中添加相應的輔助線)
(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
例7． (2023·廣東·二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．
例8． (2023·江蘇·蘇州九年級階段練習）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務.
已知平面上兩點，則所有符合且的點會組成一個圓.這個結論最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.
阿氏圓基本解法：構造三角形相似.
【問題】如圖1，在平面直角坐標中，在軸，軸上分別有點，點是平面內一動點，且，設，求的最小值.
阿氏圓的關鍵解題步驟：
第一步：如圖1，在上取點，使得；
第二步：證明；第三步：連接，此時即為所求的最小值.
下面是該題的解答過程(部分)：
解：在上取點，使得，
又.
任務：將以上解答過程補充完整.如圖2，在中，為內一動點，滿足，利用中的結論，請直接寫出的最小值.
課后專項訓練
1． (2023·福建南平九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP+BP的最小值為（ ）
A．3.B．4C．3D．5
2． (2023·江蘇·無錫市九年級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為 ___．
3． (2023·陜西·三模）如圖，在四邊形中， ，對角線，設，則的最小值為 ___________．
4． (2023·湖北武漢·模擬預測）【新知探究】新定義：平面內兩定點 A, B ，所有滿足 ? k ( k 為定值)的 P 點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，
【問題解決】如圖，在△ABC 中，CB ? 4 ， AB? 2AC ，則△ABC 面積的最大值為_____．
5． (2023·浙江·九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE＝4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為 ．
6． (2023·江蘇·蘇州九年級階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為 _____．
7． (2023·山西·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是___________．

8． (2023·湖北·九年級專題練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為_____．
9． (2023·北京·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為________．
10． (2023·山東·九年級專題練習）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動點，連接最小值__________．最小值__________．
11． (2023·重慶·九年級專題練習）（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋的最小值為__，PD﹣的最大值為__．
（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋的最小值為__，PD﹣的最大值為__．
12． (2023·江蘇淮安·九年級期中）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB=12，⊙C半徑為6，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD=3，則有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．
（2）自主探索：如圖1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P為矩形內部一點，且PB=3，AP+PC的最小值為．（3）拓展延伸：如圖2，扇形COD中，O為圓心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
13． (2023·湖北·九年級專題練習）（1）如圖1，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如圖2，已知正方形的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值和的最大值．的最小值

14． (2023·山東聊城·二模）如圖，拋物線經(jīng)過點，，直線AC的解析式為，且與y軸相交于點C，若點E是直線AB上的一個動點，過點E作軸交AC于點F．
（1）求拋物線的解析式；（2）點H是y軸上一動點，連結EH，HF，當點E運動到什么位置時，四邊形EAFH是矩形?求出此時點E，H的坐標；（3）在（2）的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為上以動點，求的最小值．
15． (2023·江蘇泰州·一模）如圖，已知中，，，，是上的一點，，點是線段上的一個動點，沿折疊，點與重合，連接．
(1)求證：；(2)若點是上的一點，且，①若與的面積比是，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖（2）中作出折疊后的（保留作圖痕跡，不寫作法）；②求的最小值．
16． (2023·廣東·九年級專題練習）如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點B為直角頂點的等腰Rt△BEF繞點B旋轉，BE＝BF＝，連接AE，CF．
(1)求證：△ABE≌△CBF．(2)如圖2，連接DE，當DE＝BE時，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面積）(3)如圖3，當Rt△BEF旋轉到正方形ABCD外部，且線段AE與線段CF存在交點G時，若M是CD的中點，P是線段DG上的一個動點，當滿足MP+PG的值最小時，求MP的值．
17． (2023·河北·九年級專題練習）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．
專題11 最值模型-阿氏圓問題
最值問題在中考數(shù)學常以壓軸題的形式考查，“阿氏圓”又稱“阿波羅尼斯圓”，主要考查轉化與化歸等的數(shù)學思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的阿氏圓問題進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上兩點A、B，則所有滿足 PA=k·PB（k≠1）的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。
【模型解讀】如圖 1 所示，⊙O的半徑為 r，點 A、B都在⊙O 外，P為⊙O上一動點，已知r=k·OB， 連接PA、PB，則當“PA+k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？
如圖2，在線段OB上截取OC使OC=k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。
故本題求“PA+k·PB”的最小值可以轉化為 “PA+PC”的最小值，
其中與A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小。如圖3所示：
注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：
在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“k·PA+PB”最值問題，其中P點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題．
【最值原理】兩點之間線段最短及垂線段最短解題。
例1． (2023·安徽·九年級期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（ ）
A．7B．5C．D．
【答案】B
【詳解】思路引領：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．
答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，
∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．
例2． (2023·廣西中考真題）如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．
【答案】．
【分析】在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根據(jù)PC+PT≥TC，求出CT即可解決問題．
【詳解】解：在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT?AB，∴＝，
∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值為．故答案為．
【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理的應用，三角形的三邊關系，圓的基本性質，掌握以上知識是解題的關鍵．
例3． (2023·四川成都·模擬預測）如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．
【答案】
【分析】如圖，連接，在上取一點，使得，進而證明,則在點P運動的任意時刻，均有PM=，從而將問題轉化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．
【詳解】如圖，連接，在上取一點，使得，
，


在△PDM中，PD-PM＜DM，當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值，
四邊形是正方形
在中，故答案為：．
【點睛】本題考查了圓的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，構造是解題的關鍵．
例4． (2023·浙江·舟山九年級期末）如圖，矩形中，，以B為圓心，以為半徑畫圓交邊于點E，點P是弧上的一個動點，連結，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接BP，取BE的中點G，連接PG，通過兩組對應邊成比例且夾角相等，證明，得到，則，當P、D、G三點共線時，取最小值，求出DG的長得到最小值．
【詳解】解：如圖，連接BP，取BE的中點G，連接PG，
∵，，∴，
∵G是BE的中點，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
則，當P、D、G三點共線時，取最小值，即DG長，
．故選：C．
【點睛】本題考查矩形和圓的基本性質，相似三角形的性質和判定，解題的關鍵是構造相似三角形將轉換成，再根據(jù)三點共線求出最小值．
例5． (2023·廣東·廣州市第二中學九年級階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，點P是第一象限內一動點，且，則4PD+2PC的最小值為_______．
【答案】
【分析】取一點，連接OP，PT，TD，首先利用四點共圓證明，再利用相似三角形的性質證明，推出，根據(jù)，過點D作交OC于點E，即可求出DT的最小值，即可得．
【詳解】解：如圖所示，取一點，連接OP，PT，TD，
∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
以O為圓心，OA為半徑作，在優(yōu)弧AB上取一點Q，連接QB，QA，
∵，，∴，
∴A，P，B，Q四點共圓，∴，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，過點D作交OC于點E，
∵D的坐標為（5，3），∴點E的坐標為（5，0），TE=4，∴
∵，∴，∴的最小值是，故答案為：．
【點睛】本題考查了四點共圓，相似三角形，勾股定理，三角形三邊關系，解題的關鍵是掌握這些知識點．
例6． (2023·浙江金華·一模）問題提出：
如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構造一對相似三角形，將BP轉化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)
如圖2，連結CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值
請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為 ．
(2)自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為 ．(請在圖3中添加相應的輔助線)
(3)拓展延伸：如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作圖與求解過程見解析，2PA+PB的最小值為．
【分析】(1)連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即可求解；
(2)在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，證明△ABP∽△PBF，當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，即可求解；
(3)延長OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，確定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，即可求解．
【詳解】解：(1)如圖1，
連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即：AP+BP最小值為AD，
∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝；
∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝，
∴AP+BP的最小值為；故答案為：；
(2)如圖2，

在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，
∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，
∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，
∴當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，
∴CF＝，
∴AP+PC的值最小值為2，故答案為：2；
(3)如圖3，延長OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，
∵OC＝4，F(xiàn)C＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF
∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，
∴當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，F(xiàn)M⊥OM
∴OM＝4，F(xiàn)M＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7
∴FB＝，∴2PA+PB的最小值為．
【點睛】本題主要考查了圓的有關知識，勾股定理，相似三角形的判定和性質，解本題的關鍵是根據(jù)材料中的思路構造出相似三角形..
例7． (2023·廣東·二模）（1）初步研究：如圖1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q為AB上一點且AQ=1，證明：PB=2PQ；（2）結論運用：如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推廣：如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠A=60°，⊙A的半徑為2，點P是⊙A上的一個動點，求2PC?PB的最大值．
【答案】（1）見解析；（2）10；（3）
【分析】（1）證明△PAQ∽△BAP，根據(jù)相似三角形的性質即可證明PB=2PQ；
（2）在AB上取一點Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出當點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如圖的輔助線，同（2）法推出當點P在CQ交⊙A的點P′時，PC?PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC?PB的最大值．
【詳解】解：（1）證明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ?AB=4．∴．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；
（2）如圖，在AB上取一點Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴當點C、P、Q三點共線時，PC+PQ的值最?。?br>∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值為10．

（3）如圖，在AB上取一點Q，使得AQ=1，連接AP，PQ，CQ，延長CQ交⊙A于點P′，過點C作CH垂直AB的延長線于點H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC?PB=2PC?2PQ=2(PC?PQ) ，
∵PC?PQ≤QC，∴當點P在CQ交⊙A的點P′時，PC?PQ的值最大．
∵QC= =，∴2PC?PB=2(PC?PQ)≤2．∴2PC?PB的最大值為2．
【點睛】本題考查了圓有關的性質，正方形的性質，菱形的性質，相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決．
例8． (2023·江蘇·蘇州九年級階段練習）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務.
已知平面上兩點，則所有符合且的點會組成一個圓.這個結論最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.
阿氏圓基本解法：構造三角形相似.
【問題】如圖1，在平面直角坐標中，在軸，軸上分別有點，點是平面內一動點，且，設，求的最小值.
阿氏圓的關鍵解題步驟：
第一步：如圖1，在上取點，使得；
第二步：證明；第三步：連接，此時即為所求的最小值.
下面是該題的解答過程(部分)：
解：在上取點，使得，
又.
任務：將以上解答過程補充完整.如圖2，在中，為內一動點，滿足，利用中的結論，請直接寫出的最小值.
【答案】（1）（2）.
【分析】 ⑴ 將PC+kPD轉化成PC+MP，當PC+kPD最小，即PC+MP最小，圖中可以看出當C、P、M共線最小，利用勾股定理求出即可；
⑵ 根據(jù)上一問得出的結果，把圖2的各個點與圖1對應代入，C對應O,D對應P，A對應C，B對應M，當D在AB上時為最小值，所以= =
【詳解】解，
，當取最小值時，有最小值，即三點共線時有最小值，利用勾股定理得
的最小值為，
提示：，，的最小值為.
【點睛】此題主要考查了新定義的理解與應用，快速準確的掌握新定義并能舉一反三是解題的關鍵.
課后專項訓練
1． (2023·福建南平九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP+BP的最小值為（ ）
A．3.B．4C．3D．5
【答案】D
【分析】作輔助線構造相似三角形，進而找到P在何時會使得AP+BP有最小值，進而得到答案．
【詳解】解：如圖，連接CP，作PE交AC于點E，使
∵ ∴∽ ∴ ∵ ∴
∴，當B、P、E三點共線，即P運動時有最小值EB
∵ ∴ ∴ ∴的最小值為 故選：D．
【點睛】本題考查相似三角形，解直角三角形；懂得依題意作輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．
2． (2023·江蘇·無錫市九年級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為 ___．
【答案】
【分析】如圖，在y軸上取一點C（0,9），連接PC, 根據(jù)，∠AOP是公共角，可得△AOP∽△POC，得PC=3PA，當B,C,P三點共線時，3PA+PB的值最小為BC，利用勾股定理求出BC的長即可得答案．
【詳解】如圖，在y軸上取一點C（0,9），連接PC,
∵⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,
∵，∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC，∴PC=3PA，
∴3PA+PB=PC+PB,∴當B,C,P三點共線時，3PA+PB最小值為BC,
∴BC===，∴3PA+PB的最小值為．故答案為：
【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質及最小值問題，正確理解C、P、B三點在同一條直線上時3PA+PB有最小值，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關鍵．
3． (2023·陜西·三模）如圖，在四邊形中， ，對角線，設，則的最小值為 ___________．
【答案】##
【分析】如圖，過點作于點，過點作交的延長線于點，在的上方構造，使得，取的中點，連接．由，推出，設,則,由勾股定理求得，根據(jù)兩點之間線段最短可得的最小值，進而根據(jù)，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作交的延長線于點，在的上方構造，使得，取的中點，連接．
在中，，∴，∵，∴，
∵，∴四邊形是矩形，∴，，
∵，∴，∴設,則,
∵，∴,∵，∴，∴，
∵，∴AD的最小值為，
∵，∴k是最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查軸對稱問題，勾股定理，相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是相似構造相似三角形解決問題．
4． (2023·湖北武漢·模擬預測）【新知探究】新定義：平面內兩定點 A, B ，所有滿足 ? k ( k 為定值)的 P 點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，
【問題解決】如圖，在△ABC 中，CB ? 4 ， AB? 2AC ，則△ABC 面積的最大值為_____．
【答案】
【分析】以A為頂點，AC為邊，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP與BC的延長線交于點P，證出△APC∽△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，從而求出AP、BP和CP，即可求出點A的運動軌跡，最后找出距離BC最遠的A點的位置即可求出結論．
【詳解】解：以A為頂點，AC為邊，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP與BC的延長線交于點P，
∵∠APC=∠BPA， AB? 2AC∴△APC∽△BPA，
∴∴BP=2AP，CP=AP
∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即點P為定點
∴點A的軌跡為以點P為圓心，為半徑的圓上，如下圖所示，過點P作BC的垂線，交圓P于點A1，此時A1到BC的距離最大，即△ABC的面積最大
S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面積的最大值為故答案為：．
【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質、確定點的運動軌跡和求三角形的面積，掌握相似三角形的判定及性質、圓的定義和三角形的面積公式是解決此題的關鍵．
5． (2023·浙江·九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個動點，且DE＝4，P是DE的中點，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為 ．
【解答】解：如圖，在CB上取一點F，使得CF＝，連接PF，AF．
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，
∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，
∴＝＝，∴PF＝PB，∴PA+PB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF＝＝＝，
∴PA+PB≥，∴PA+PB的最小值為，故答案為．
6． (2023·江蘇·蘇州九年級階段練習）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為 _____．
【答案】5
【分析】因為DG＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運動，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據(jù)三角形三邊關系，得出BI是其最小值
【詳解】解：如圖，
在Rt△DEF中，G是EF的中點，
∴DG＝，∴點G在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，
在CD上截取DI＝1，連接GI，
∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，
∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，
∴當B、G、I共線時，BG+CG最?。紹I，
在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．
【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，圓的概念，求得點的運動軌跡是解題的關鍵．
7． (2023·山西·九年級專題練習）如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是___________．

【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，根據(jù)切線的性質得BH為⊙B的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質得到BHAC，接著證明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），從而計算出AD得到PA的最小值．
【詳解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，
∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，
∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），
而AD，∴PA+PD的最小值為，即PA的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．解決問題的關鍵是利用相似比確定線段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性質．
8． (2023·湖北·九年級專題練習）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為_____．
【答案】5
【詳解】分析: 由PD?PC＝PD?PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD?PC的值最大，最大值為DG＝5．
詳解: 在BC上取一點G，使得BG＝1，如圖，
∵，，∴，
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，
當點P在DG的延長線上時，PD?PC的值最大，最大值為DG＝＝5．故答案為5
點睛: 本題考查圓綜合題、正方形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．
9． (2023·北京·九年級專題練習）如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為________．
【答案】
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構造PB即可解答．
【詳解】解：設⊙O半徑為r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝，
∵， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴當A、P、I在一條直線上時，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，
∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．
【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關鍵是構造相似三角形．
10． (2023·山東·九年級專題練習）如圖，在中，，，，圓C半徑為2，P為圓上一動點，連接最小值__________．最小值__________．
【答案】 ； ．
【分析】如圖，連接CP，在CB上取點D，使CD=1，連結AD，可證△PCD∽△BCP．可得PD=BP，當點A，P，D在同一條直線時，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根據(jù)勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，當點B，P，E在同一條直線時，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根據(jù)勾股定理BE=即可．
【詳解】解：如圖，連接CP，在CB上取點D，使CD=1，連結AD，
∵CP=2，BC=4，

∴，∴，
又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．
∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，
當點A，P，D在同一條直線時，AP+BP的值最小，
在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==，
∴AP+BP的最小值為．故答案為：
在AC上取CE=，連接CP，PE
∵∴
又∵∠PCE=∠ACP，∴△PCE∽△ACP．
∴，∴PE=AP，∴BP+AP=BP+PE，
當點B，P，E在同一條直線時，BP+AP的值最小，
在Rt△BCE中，∵CE=，CB=4，∴BD=，
∴BP+AP的最小值為．故答案為：．
【點睛】本題考查圓的性質，構造相似三角形解決比例問題，勾股定理，掌握圓的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，關鍵是引輔助線準確作出圖形是解題關鍵．
11． (2023·重慶·九年級專題練習）（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋的最小值為__，PD﹣的最大值為__．
（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，那么PD＋的最小值為__，PD﹣的最大值為__．
【答案】
【分析】（1）如圖3中，在上取一點，使得，先證明，得到，所以，而（當且僅當、、共線時取等號），從而計算出得到的最小值，，而（當且僅當、、共線時取等號），從而計算出得到的最大值；
（2）如圖4中，在上取一點，使得，作交于點，解法同（1）．
【詳解】（1）
如圖3中，在上取一點，使得，
，，，
，，
，，
（當且僅當、、共線時取等號），
的最小值為，
的最小值為，，
的最大值為，故答案為：，；
（2）如圖4中，在上取一點，使得，作交于點，
，，，
，，，，
（當且僅當、、共線時取等號），
的最小值為， 的最小值為，
在中，，，，，
在中，，的最小值為，
，的最大值為，故答案為：，．
【點睛】本題考查圓的綜合題、正方形的性質、菱形的性質、相似三角形的判定與性質，解決問題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題．
12． (2023·江蘇淮安·九年級期中）問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB=12，⊙C半徑為6，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD=3，則有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為．
（2）自主探索：如圖1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P為矩形內部一點，且PB=3，AP+PC的最小值為．（3）拓展延伸：如圖2，扇形COD中，O為圓心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．
【答案】（1）AP+BP的最小值為3；（2）AP+PC的值最小值為5；（3）2PA+PB的最小值為，見解析.
【分析】（1）由等邊三角形的性質可得CF=6，AF=6，由勾股定理可求AD的長；
（2）在AB上截取BF=1，連接PF，PC，由，可證△ABP∽△PBF，可得PF=AP，即AP+PC=PF+PC，則當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；
（3）延長OC，使CF=4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，則當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．
【詳解】解：（1）解：（1）如圖1，
連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，
∵AP+BP=AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，
即：AP+BP最小值為AD，
∵AC=12，AF⊥BC，∠ACB=60°∴CF=6，AF=6
∴DF=CF-CD=6-3=3∴AD==3
∴AP+BP的最小值為3
（2）如圖，
在AB上截取BF=1，連接PF，PC，∵AB=9，PB=3，BF=1
∴，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，
∴∴PF=AP∴AP+PC=PF+PC，
∴當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，
∴CF===5∴AP+PC的值最小值為5，
（3）如圖，
延長OC，使CF=4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，
∵OC=4，F(xiàn)C=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，
∴，且∠AOP=∠AOP∴△AOP∽△POF
∴∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB，
∴當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，
∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，F(xiàn)M⊥OM
∴OM=4，F(xiàn)M=4∴MB=OM+OB=4+3=7
∴FB==∴2PA+PB的最小值為．
【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了圓的有關知識，勾股定理，相似三角形的判定和性質，極值的確定，還考查了學生的閱讀理解能力，解本題的關鍵是根據(jù)材料中的思路構造出相似三角形，也是解本題的難點.
13． (2023·湖北·九年級專題練習）（1）如圖1，已知正方形的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如圖2，已知正方形的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如圖3，已知菱形的邊長為4，，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求的最小值和的最大值．的最小值

【答案】見詳解
【分析】（1）如圖1中，在BC上取一點G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，當D、G、P共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG==5．由PD-PC=PD-PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD-PC的值最大（如圖2中），最大值為DG=5；可以把轉化為4（），這樣只需求出的最小值，問題即可解決。
（2）如圖3中，在BC上取一點G，使得BG=4．解法類似（1）；
（3）如圖4中，在BC上取一點G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法類似（1）；
【詳解】（1）如圖1中，在BC上取一點G，使得BG=1．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG==5．
當點P在DG的延長線上時，的值最大（如圖2中），最大值為DG=5．
如圖，連接BD，在BD上取一點F，使得BF=，作EF⊥BC
∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD，
∴當C、F、P三點共線時會有FP+CP的最小值即PD+PC，
由圖可知，△BEF為等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=，
∴最小值為FC===
∴的最小值為：．
（2）如圖3中，在BC上取一點G，使得BG=4．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG== ．
當點P在DG的延長線上時，的值最大，最大值為DG=．
（3）如圖4中，在BC上取一點G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，的值最小，最小值為DG．
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD?sin60°=，CF=2，
在Rt△GDF中，DG== PC=PD-PG≤DG，
當點P在DG的延長線上時，的值最大（如圖2中），最大值為DG=
【點睛】本題考查圓綜合題、正方形的性質、菱形的性質、相似三角形的判定和性質、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，把問題轉化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．
14． (2023·山東聊城·二模）如圖，拋物線經(jīng)過點，，直線AC的解析式為，且與y軸相交于點C，若點E是直線AB上的一個動點，過點E作軸交AC于點F．
（1）求拋物線的解析式；（2）點H是y軸上一動點，連結EH，HF，當點E運動到什么位置時，四邊形EAFH是矩形?求出此時點E，H的坐標；（3）在（2）的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為上以動點，求的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）直接利用待定系數(shù)法求解即可（2）先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，可判斷出，當四邊形是平行四邊形時，可使四邊形是矩形，分別設出點，點，點的坐標，在利用中點坐標公式求解即可；（3）先去的中點，進而判斷出，即可得出，連接交圓于點，再求出點的坐標即可得出結論．
【詳解】（1）將點，代入拋物線得：
解得：∴拋物線的解析式為．
（2）如圖：

設直線的解析式為則∴∴直線的解析式為
又∵直線的解析式為∴
∴當四邊形是平行四邊形時，可使四邊形是矩形，此時對角線與互相平分
設，則
∵∴解得∴，
(3)如圖：由（2）知，，∴，
設交于點,取的中點，則
設，∴．
∴或（舍去）．∴
∵∴
連接交于點，連接EM．則∴
又∵∴∵∴
∴∴∴∴的最小值為．
【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平行四邊形的性質，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，中點坐標公式，極值的確定，解題關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，利用中點坐標公式構建方程，以及構造相似三角形．
15． (2023·江蘇泰州·一模）如圖，已知中，，，，是上的一點，，點是線段上的一個動點，沿折疊，點與重合，連接．
(1)求證：；(2)若點是上的一點，且，①若與的面積比是，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖（2）中作出折疊后的（保留作圖痕跡，不寫作法）；②求的最小值．
【答案】(1)見解析(2)①見解析；②
【分析】（1）由，，得，又因為∠C′AB=∠EAC′即可得出結論；
（2）①設C′到AB的距離為hE , C′到BC的距離為hF，根據(jù)面積比得出hE=hF，從而得點C′在∠ABC的平分線上，作∠ABC的平分線BC′，以點A為圓心，AC為半徑作弧形，交BC′于C′，再作∠CAC′的平分線AD，交BC于D，連接AC′，DC′，則得△AC′D；
②由（1）知：△AEC′∽△AC′B，得=，所以EC′=BC′，又因為BC′+FC′=(BC′+FC′)= (EC′+FC′），所以當E、C′、F三點共線時，EC′+FC′最短，即EC′+FC′=EF，此時BC′+FC′的最小值為EF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=，過點E作EG⊥CB于G，證△EBG∽△ABC，得，則可求出BG=，EG=，從而求得GF=BG-BF=，在Rt△EGF中，由勾股定理得：EF=，即可求解．
（1）解：依題意可得AC' = AC= 6，AE= AB- BE= 9-5=4，
∴，，∴，
∵∠C′AB=∠EAC′，∴△AEC′∽△AC′B；
（2）解：①設C′到AB的距離為hE , C′到BC的距離為hF，
∵，∴hE=hF，∴點C′在∠ABC的平分線上，
作∠ABC的平分線BC′，以點A為圓心，AC為半徑作弧形，交BC′于C′，再作∠CAC′的平分線AD，交BC于D，連接AC′，DC′，則△AC′D即為折疊后的三角形；
如圖所示：
②如圖，由（1）知：△AEC′∽△AC′B，
∴=，∴EC′=BC′，
∵BC′+FC′=(BC′+FC′)= (EC′+FC′），
當E、C′、F三點共線時，EC′+FC′最短，即EC′+FC′=EF，
∴BC′+FC′的最小值為EF，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=，
過點E作EG⊥CB于G，∴∠C=∠EGB=90°，∴ACEG，∴△EBG∽△ABC，
∴，∴，∴BG=，EG=，
∵BF=，∴GF=BG-BF=，
在Rt△EGF中，由勾股定理得：EF===，
∴BC′+FC′=EF=×=，∴BC′+FC′的最小值為．
【點睛】本題考查折疊問題，尺規(guī)作圖：作角平分線，相似三角形的判定與性質，勾股定理，最短距離問題，本題綜合性強，難度較大．
16． (2023·廣東·九年級專題練習）如圖1，已知正方形ABCD，AB＝4，以頂點B為直角頂點的等腰Rt△BEF繞點B旋轉，BE＝BF＝，連接AE，CF．
(1)求證：△ABE≌△CBF．(2)如圖2，連接DE，當DE＝BE時，求S△BCF的值．（S△BCF表示△BCF的面積）(3)如圖3，當Rt△BEF旋轉到正方形ABCD外部，且線段AE與線段CF存在交點G時，若M是CD的中點，P是線段DG上的一個動點，當滿足MP+PG的值最小時，求MP的值．
【答案】(1)見解析(2)2或6(3)
【分析】（1）由“SAS”可證△ABE≌△CBF；
（2）由“SSS”可證△ADE≌△ABE，可得∠DAE＝∠BAE＝45°，可證AH＝EH，由勾股定理可求BE的長，即可求解；（3）先確定點P的位置，過點B作BQ⊥CF于Q，由勾股定理可求CE的長，由平行線分線段成比例可求解．
(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵∠EBF＝90°＝∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，
又∵BE＝BF，AB＝BC，在△ABE和△CBF中，
，∴△ABE≌△CBF（SAS）；
(2)解：如圖2，過點E作EH⊥AB于H，
∵△ABE≌△CBF，∴S△ABE＝S△CBF，
∵AD＝AB，AE＝AE，DE＝BE，∴△ADE≌△ABE（SSS），
∴∠DAE＝∠BAE＝45°，
∵EH⊥AB，∴∠EAB＝∠AEH＝45°，∴AH＝EH，
∵BE2＝BH2+EH2，∴10＝EH2+（4﹣EH）2，∴EH＝1或3，
當EH＝1時∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×1＝2，
當EH＝3時∴S△ABE＝S△BCF＝AB×EH＝×4×3＝6，∴S△BCF的值是2或6；
(3)解：如圖3，過點P作PK⊥AE于K，
由（1）同理可得△ABE≌△CBF，∴∠EAB＝∠BCF，
∵∠BAE+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠BCF+∠CAE+∠ACB＝90°，∴∠AGC＝90°，
∵∠AGC＝∠ADC＝90°，∴點A，點G，點C，點D四點共圓，∴∠ACD＝∠AGD＝45°，
∵PK⊥AG，∴∠PGK＝∠GPK＝45°，
∴PK＝GK＝PG，∴MP+PG＝MP+PK，
∴當點M，點P，點K三點共線時，且點E，點G重合時，MP+PG值最小，即MP+PG最小，
如圖4，過點B作BQ⊥CF于Q，
∵BE＝BF＝，∠EBF＝90°，BQ⊥EF，∴EF＝2，BQ＝EQ＝FQ＝，
∵CQ＝，∴CE＝CQ﹣EQ＝，
∵MK⊥AE，CE⊥AE，∴MK∥CE，∴，
又∵M是CD的中點，∴DC＝2DM，∴MP＝CE＝．
【點睛】本題主要考查勾股定理、全等三角形的性質與判定、正方形的性質及圓的基本性質，熟練掌握勾股定理、全等三角形的性質與判定、正方形的性質及圓的基本性質是解題的關鍵．
17． (2023·河北·九年級專題練習）如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．
【答案】①；②；③；④．
【分析】①在CB上取點D，使，連接CP、DP、AD．根據(jù)作圖結合題意易證，即可得出，從而推出，說明當A、P、D三點共線時，最小，最小值即為長．最后在中，利用勾股定理求出AD的長即可；
②由，即可求出結果；
③在CA上取點E，使，連接CP、EP、BE．根據(jù)作圖結合題意易證，即可得出，從而推出，說明當B、P、E三點共線時，最小，最小值即為長．最后在中，利用勾股定理求出BE的長即可；
④由，即可求出結果．
【詳解】解：①如圖，在CB上取點D，使，連接CP、DP、AD．
∵，，，∴．
又∵，∴，
∴，即，∴，
∴當A、P、D三點共線時，最小，最小值即為長．
∵在中，．∴的最小值為；
②∵，∴的最小值為；
③如圖，在CA上取點E，使，連接CP、EP、BE．
∵，，，∴．
又∵，∴，∴，即，∴，
∴當B、P、E三點共線時，最小，最小值即為長．
∵在中，．∴的最小值為；
④∵，∴的最小值為．
【點睛】本題考查圓的基本性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理．正確的作出輔助線，并且理解三點共線時線段最短是解答本題的關鍵．

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