在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短。
【模型背景】從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？
看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.
【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V11，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。
【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。
例1． (2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為 _____．
例2． (2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點(diǎn)，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)不含端點(diǎn)，則的最小值為______．
例3． (2023·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．
例4． (2023·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連接，求得的最小值為（ ）
A．B．4C．D．2
例5． (2023·資陽市·中考真題）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿方向平移，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，且，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于左側(cè)的一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)N，連結(jié)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的長．
例6． (2023·湖南·中考真題）已知直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)E時(shí)，求k，b，c的值及拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)淖钚≈刀鄷r(shí)，求b的值．
例7． (2023·四川成都·中考模擬）6．如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為．
（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1． (2023·河北·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則AP+PB的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
2． (2023·江蘇·九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點(diǎn)D、F分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值是（ ）
A． B． C．D．
3． (2023·山東·九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
4． (2023·重慶·九年級(jí)期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對(duì)角線的長為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
A．4B．5C．D．
5． (2023·浙江寧波·九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．
6． (2023·湖南·九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD為等邊三角形點(diǎn)E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點(diǎn)過點(diǎn)E作EM∥AB，交直線AC于點(diǎn)M作EN∥AC交直線AB于點(diǎn)N，則AN+AM的最大值為 ．
7． (2023·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為______．
8． (2023·成都市七中育才九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則的最小值是______．
9． (2023·四川自貢·一模）如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________．
10． (2023·廣東·一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求直線BC解析式．(2)如圖①，求OP＋PA的和取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)如圖②，求AQ＋QP的最小值．(4)如圖③，求AQQC的最小值．
11． (2023·江蘇·中考模擬）如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？
12． (2023·四川樂山市·中考真題）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，連結(jié)，且，如圖所示．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①過點(diǎn)作軸的平行線交線段于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連結(jié)、，求的面積的最大值；②連結(jié)，求的最小值．
13． (2023·四川達(dá)州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；（2）將線段繞著點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，求的最小值．（3）為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
14． (2023·廣西·南寧三中一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
15． (2023·廣東·東莞市三模）已知，如圖，二次函數(shù)圖像交軸于，交交軸于點(diǎn)，是拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸經(jīng)過軸上的點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)關(guān)系式；（2）對(duì)稱軸與交于點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)．①求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
②在①的條件下，把沿著軸向右平移個(gè)單位長度時(shí)，設(shè)與重疊部分面積記為，求與之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最大值．

16． (2023·天津·中考模擬）如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上．（1）證明：CE是⊙O的切線；（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD＋OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的直徑AB的長．
專題10 最值模型---胡不歸問題
最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，可將胡不歸問題看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。
在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：①兩點(diǎn)之間，線段最短；②垂線段最短。
【模型背景】從前有個(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？
看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.
【模型解讀】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V11，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。
【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。
例1． (2023·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為 _____．
【答案】4
【分析】在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，此時(shí)PA+2PB＝2＝＝2BF，通過解直角三角形ABF，進(jìn)一步求得結(jié)果．
【詳解】解：如圖，
在∠BAC的外部作∠CAE＝15°，作BF⊥AE于F，交AD于P，
此時(shí)PA+2PB最小，∴∠AFB＝90° ∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠BAD＝，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝30°，∴PF＝，
∴PA+2PB＝2＝＝2BF，在Rt△ABF中，AB＝4，∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝45°，
∴BF＝AB?sin45°＝4，∴（PA+2PB）最大＝2BF＝，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角直角三角形，解題的關(guān)鍵是作輔助線．
例2． (2023·湖北武漢·一模）如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點(diǎn)，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)不含端點(diǎn)，則的最小值為______．
【答案】
【分析】過點(diǎn)作關(guān)于的平行線，過點(diǎn)作垂直于該平行線于，可將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)就等于，當(dāng)共線時(shí)，即為所要求的最小值．
【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作關(guān)于的平行線，過點(diǎn)作垂直于該平行線于，

，，， ，
，，，，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線，即在圖中在位置，在位置的時(shí)候有最小，
當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)，
的最小值為，故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將進(jìn)行轉(zhuǎn)換．
例3． (2023·眉山市·中考真題）如圖，在菱形中，，對(duì)角線、相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．
【答案】
【分析】過M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)的長度最小為MH，再算出MC的長度， 在直角三角形MPC中利用三角函數(shù)即可解得MH
【詳解】過M點(diǎn)作MH垂直BC于H點(diǎn)，與OB的交點(diǎn)為P點(diǎn)，此時(shí)的長度最小
∵菱形中，∴AB=BC=AC=10，△ABC為等邊三角形
∴∠PBC=30°，∠ACB=60°∴在直角△PBH中，∠PBH=30°∴PH=
∴此時(shí)得到最小值，
∵AC=10，AM=3,∴MC=7又∠MPC=60°∴MH=MCsin60°=故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與三角函數(shù)，能夠找到最小值時(shí)的P點(diǎn)是解題關(guān)鍵.
例4． (2023·山東淄博·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)是，點(diǎn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持是等邊三角形（點(diǎn)P不在第二象限），連接，求得的最小值為（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【分析】如圖1所示，以O(shè)A為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過點(diǎn)D作DE⊥OA于E，先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后證明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，則點(diǎn)P在經(jīng)過點(diǎn)D且與AD垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸時(shí)，如圖2所示，證明此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2）從而求出直線PD的解析式；如圖3所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接PG，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，設(shè)直線PD與x軸的交點(diǎn)為H，先求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，然后證明∠HCO=30°，從而得到，則當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)求出點(diǎn)G在x軸上，則OG即為所求．
【詳解】解：如圖1所示，以O(shè)A為邊，向右作等邊△AOD，連接PD，過點(diǎn)D作DE⊥OA于E，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
∵△ABP是等邊三角形，△AOD是等邊三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴點(diǎn)P在經(jīng)過點(diǎn)D且與AD垂直的直線上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸時(shí)，如圖2所示，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，
∵△ABP是等邊三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2），設(shè)直線PD的解析式為，
∴，∴，∴直線PD的解析式為；
如圖3所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接PG，過點(diǎn)P作PF⊥y軸于F，連接CG，設(shè)直線PD與x軸的交點(diǎn)為H，
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為，∴，∴∠OCH=30°，∴，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知AP=GP，∴，
∴當(dāng)G、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即有最小值，
∵A、G兩點(diǎn)關(guān)于直線PD對(duì)稱，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即點(diǎn)D為AG的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等邊三角形，
∵OC=OA，∴OG⊥AC，即點(diǎn)G在x軸上，∴由勾股定理得，
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到H點(diǎn)時(shí)，有最小值，即有最小值，最小值即為OG的長，
∴的最小值為，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合，軸對(duì)稱最短路徑問題，解直角三角形等等，正確作出輔助線確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．
例5． (2023·資陽市·中考真題）拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點(diǎn)P是拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線沿方向平移，使點(diǎn)D落在點(diǎn)處，且，點(diǎn)M是平移后所得拋物線上位于左側(cè)的一點(diǎn)，軸交直線于點(diǎn)N，連結(jié)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求的長．
【答案】（1）；（2）或；（3）．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，先利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再根據(jù)可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線的解析式求解即可得；
（3）先根據(jù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律得出平移后的函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短求解即可得．
【詳解】解：（1）由題意，將點(diǎn)代入得：，
解得，則拋物線的解析式為；
（2）對(duì)于二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，解得或，，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，解得，
，設(shè)直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得，則直線的解析式為，
將點(diǎn)代入得：，解得或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，解得，，
則平移后的二次函數(shù)的解析式為，
設(shè)直線的解析式為，將點(diǎn)代入得：，解得，
則直線的解析式為，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，
，軸，，
，
由兩點(diǎn)之間線段最短得：的最小值為，
由垂線段最短得：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
則點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即，解得，
則，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確求出平移后的拋物線的解析式是解題關(guān)鍵．
例6． (2023·湖南·中考真題）已知直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的一個(gè)交點(diǎn)為，點(diǎn)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)E時(shí)，求k，b，c的值及拋物線頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)淖钚≈刀鄷r(shí)，求b的值．
【答案】（1）-2，2，-3，；（2）4或6；（3）3
【分析】（1）由題意可知直線經(jīng)過，因而把代入直線即可求出k的值，然后把代入拋物線得出含b的代數(shù)式表達(dá)c，再根據(jù)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個(gè)交點(diǎn)得出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)E，并代入直線，解方程即可求出b的值，代入即可求解；
（2）將點(diǎn)D的橫坐標(biāo)代入拋物線（b，c為常數(shù)，），根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)得到含b的代數(shù)式表達(dá)c，求出點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，可知點(diǎn)D在第四象限，且在直線的右側(cè)，取點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線AN的垂線，垂足為G，DG與x軸相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)H，在Rt△MDH中，可知，由題意可知點(diǎn)，用含b的代數(shù)式表示m，因，可得方程，求解即可得出答案．
【詳解】解：（1）∵直線經(jīng)過，
∴把代入直線，可得，解得；
∵拋物線（b，c為常數(shù)，）經(jīng)過，
∴把代入拋物線，可得，
∵當(dāng)直線與拋物線（b，c為常數(shù)，）的另一個(gè)交點(diǎn)為該拋物線的頂點(diǎn)E，
∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，把代入直線，
可得，∴，解得，
∵，∴，∴，∴頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（2）∵點(diǎn)D在拋物線（b，c為常數(shù)，）上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，
∴，∵在拋物線（b，c為常數(shù)，）上，
∴，即，∴，
可知點(diǎn)D在第四象限，且在直線的右側(cè)．
∵，∴可取點(diǎn)，
如圖2，過點(diǎn)D作直線AN的垂線，垂足為G，DG與x軸相交于點(diǎn)M，∴，得，
則此時(shí)點(diǎn)M滿足題意，過點(diǎn)D作QH⊥x軸于點(diǎn)H，則點(diǎn)H，
在Rt△MDH中，可知，∴，
∵點(diǎn)，∴，解得：，
∵，∴，∴．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)使用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
例7． (2023·四川成都·中考模擬）6．如圖，已知拋物線為常數(shù)，且與軸從左至右依次交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為．
（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若在第一象限內(nèi)的拋物線上有點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，求的值；（3）在（1）的條件下，設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到，再沿線段以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少？
【答案】（1）；（2）或；（3）F．
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，依次求出的值得到直線的解析式、點(diǎn)D的縱坐標(biāo)、的值得到拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）分△PAB∽△ABC和△PAB∽△BAC兩種情況討論即可；
（3）過點(diǎn)D作DH⊥y軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作AG⊥DH于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求，理由是，由于點(diǎn)M在線段AF上以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，在線段FD上以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，從而根據(jù)直線BD的傾斜角是30°知道，又根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)知點(diǎn)F即為所求，從而根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)求解即可．
解：（1）拋物線，令，解得或，，．
直線經(jīng)過點(diǎn)，，解得，
直線解析式為：．當(dāng)時(shí)，，，．
點(diǎn)，在拋物線上，，．
拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：．即．
（2）由拋物線解析式，令，得，，．
因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)的拋物線上，所以為鈍角．
因此若兩個(gè)三角形相似，只可能是或．
①若，則有，如答圖所示．
設(shè)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，．
，即：，．
，代入拋物線解析式，
得，整理得：，
解得：或（與點(diǎn)重合，舍去），．
，，即，解得：．
②若，則有，如答圖所示．
設(shè)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，．
，即：，．
，代入拋物線解析式，
得，整理得：，
解得：或（與點(diǎn)重合，舍去），．
，，，解得，
，，綜上所述，或．
（3）方法一：如答圖3，由（1）知：，，
如答圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，，，
，．
過點(diǎn)作軸，則．過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．
由題意，動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑為折線，運(yùn)動(dòng)時(shí)間：，
，即運(yùn)動(dòng)的時(shí)間值等于折線的長度值．
由垂線段最短可知，折線的長度的最小值為與軸之間的垂線段．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，與直線的交點(diǎn)，即為所求之點(diǎn)．
點(diǎn)橫坐標(biāo)為，直線解析式為：，
，，．
綜上所述，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中用時(shí)最少．
方法二：作，，交直線于點(diǎn)，
，，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小，
點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)為：，
，，
【點(diǎn)睛】本題考查單動(dòng)點(diǎn)問題；二次函數(shù)和一次函數(shù)交點(diǎn)問題；曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系；勾股定理；相似三角形的判定；垂直線段最短的性質(zhì)；分類思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1． (2023·河北·九年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則AP+PB的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：如圖，
在△ABC內(nèi)作∠MBA＝30°過點(diǎn)A作AE⊥BM于點(diǎn)E，BM交AC于點(diǎn)P，
∵∠BAC＝15°，∴∠APE＝45°∴EP＝AP
當(dāng)BP⊥AE時(shí)，則AP+PB＝PE+PB的值最小，最小值是BE的長，
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝2∴BE＝AB?cs30°＝．
∴AP+PB的最小值是．故選：B．
2． (2023·江蘇·九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，點(diǎn)D、F分別是邊AB，BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)A作AE⊥CD交BC于點(diǎn)E，垂足為G，連接GF，則GF+FB的最小值是（ ）
A． B． C．D．
【解答】解：延長AC到點(diǎn)P，使CP＝AC，連接BP，過點(diǎn)F作FH⊥BP于點(diǎn)H，取AC中點(diǎn)O，連接OG，過點(diǎn)O作OQ⊥BP于點(diǎn)Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等邊三角形∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，F(xiàn)H＝FB
∴當(dāng)G、F、H在同一直線上時(shí)，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于點(diǎn)G∴∠AGC＝90°∵O為AC中點(diǎn)∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三點(diǎn)共圓，圓心為O，即點(diǎn)G在⊙O上運(yùn)動(dòng)
∴當(dāng)點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到OQ上時(shí)，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
∴OQ＝OP＝∴GH最小值為故選：C．
3． (2023·山東·九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（ ）
A．4B．2＋2C．2D．
【答案】A
【分析】過點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．根據(jù)，求出的最小值即可解決問題．
【詳解】解：過點(diǎn)P作PJ⊥BC于J，過點(diǎn)D作DH⊥BC于H．
∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，﹣3），∴c＝﹣3，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，
設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，
∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，
∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．
4． (2023·重慶·九年級(jí)期中）如圖所示，菱形的邊長為5，對(duì)角線的長為，為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為
A．4B．5C．D．
解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．
四邊形是菱形，，
，，，
，，，
，，，
，，的最小值為4，故選：．
5． (2023·浙江寧波·九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，若C為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，則2BC+AC的最小值為__________．
【答案】6
【分析】先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，由勾股定理可求AB的長，作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH＝AC，則，即當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)，∴AO＝3，，∴，
作點(diǎn)B關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)，連接 ，，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，如圖所示：
∴，∴，∴，∴是等邊三角形，
∵，∴，∵CH⊥AB，∴，
∴，
∴當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此時(shí)，，是等邊三角形，∴，，
∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)C的位置是解題的關(guān)鍵．
6． (2023·湖南·九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD為等邊三角形點(diǎn)E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點(diǎn)過點(diǎn)E作EM∥AB，交直線AC于點(diǎn)M作EN∥AC交直線AB于點(diǎn)N，則AN+AM的最大值為 ．
【解答】解：過E作EH⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)H，
∵EN∥AC，EM∥AB，∴四邊形ANEM是平行四邊形，∠HME＝∠A＝60°，
設(shè)EM＝AN＝a，AM＝b，Rt△HEM中，∠HEM＝30°，∴MH＝ME＝a，
∴AN+AM＝a+b＝MH+AM＝AH，當(dāng)E在點(diǎn)D時(shí)，AH的值最大是：3+4.5＝7.5，
AN+AM的最大值為7.5，故答案為：7.5．
7． (2023·湖北武漢·九年級(jí)期末）如圖，?中，，，為邊上一點(diǎn)，則的最小值為______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延長線于H，由直角三角形的性質(zhì)可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，當(dāng)H、P、B三點(diǎn)共線時(shí)HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【詳解】如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于，
四邊形是平行四邊形，，∴
∵PH丄AD∴∴，，
∴
當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)，HP+PB有最小值，即有最小值，
此時(shí) ，，，∴ ，
則最小值為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)．構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
8． (2023·成都市七中育才九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點(diǎn)，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則的最小值是______．
【答案】##
【分析】作∠OCE=120°，過點(diǎn)P作PG⊥CE于點(diǎn)G，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得PG=PC；當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．
【詳解】解：∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，
作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，則∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，
過點(diǎn)P作PG⊥CE于點(diǎn)G，如圖：
在Rt△PCG中，∠PCG=60°，則∠CPG=30°，
∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，∴AP+PC= AP+PG，
當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+PG= AG的值最小，
延長AG交y軸于點(diǎn)F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG，GF=CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，
∴AF=2OA=6，OF=，∴CF=OF-OC=，
∴GF=()=，∴AG=AF-FG=，
即AP+PC的最小值為．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，作出合適的輔助線，得到當(dāng)A、P、G在同一直線時(shí)，AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解題的關(guān)鍵．
9． (2023·四川自貢·一模）如圖，中，，，于點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________．
【答案】
【分析】過點(diǎn)D作于，過點(diǎn)C作于，首先通過勾股定理及求出AE,BE的長度，然后根據(jù)等腰三角形兩腰上的高相等得出，然后通過銳角三角函數(shù)得出，進(jìn)而可得出，最后利用即可求值．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作于，過點(diǎn)C作于．
∵，∴，∵，
設(shè)，， ∴，∴，
∴或（舍棄），∴，
∵，，，∴（等腰三角形兩腰上的高相等）
∵，，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴的最小值為,故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短等，學(xué)會(huì)添加輔助線并利用轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵．
10． (2023·廣東·一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段OC上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求直線BC解析式．(2)如圖①，求OP＋PA的和取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
(3)如圖②，求AQ＋QP的最小值．(4)如圖③，求AQQC的最小值．
【答案】(1)(2)（，）(3)(4)
【分析】（1）先求B，C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接CD，PD，BD，AD，先判斷四邊形OCDB為正方形，即可求點(diǎn)D坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AD解析式，最后與直線BC解析式聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（－1，0），連接，則可得當(dāng)，Q，P三點(diǎn)共線，且時(shí)，AQ＋PQ最小，然后在中求出即可得出結(jié)論；
（4）在x軸負(fù)半軸上找點(diǎn)G，使得∠GCO＝30°，作QH⊥CG于H，則可得當(dāng)A，Q，H三點(diǎn)共線，且AH⊥CG時(shí)，，然后解Rt△AHG即可求解．
（1）解：當(dāng)y＝0時(shí)，，解得，，
∴A（1，0），B（3，0），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴C（0，3），
設(shè)直線BC解析式為y＝kx＋b，，
則，解得，∴直線BC解析式；
（2）解：設(shè)點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)為D，連接CD，PD，BD，AD，
∵B（3，0），C（0，3），∴BO＝CO＝3，
又∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
由對(duì)稱性可知，，
∴∠DCB＝∠OCB＝45°，∠CDB＝∠COB＝90°，CO＝CD，OP＝PD，
∴∠OCD＝90°，∴四邊形OCDB為正方形，∴D坐標(biāo)為（3，3），
又A（1，0），∴AB＝2，BD＝3，
∴AD＝，
又OP＋PA＝DP＋PA≥AD，∴OP＋PA≥
當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)，OP＋PA＝，
設(shè)直線AD解析式為y＝mx＋n，
則，解得，∴直線AD解析式為，
聯(lián)立方程組，解得，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）
∴當(dāng)P坐標(biāo)為（，）時(shí)，OP＋PA的和取最小值；
（3）解：設(shè)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（－1，0），如圖，連接，
則AQ＋QP＝，當(dāng)，Q，P三點(diǎn)共線，且時(shí)，AQ＋PQ最小，
在中，∠OBP＝45°，∴，∴AQ＋QP的最小值為；
（4）解：如圖，在x軸負(fù)半軸上找點(diǎn)G，使得∠GCO＝30°，作QH⊥CG于H，
∴，∴，
∴當(dāng)A，Q，H三點(diǎn)共線，且AH⊥CG時(shí)，，
∵CO＝3，∠COG＝90°，∠GCO＝30°，
∴GO＝，∠CGO＝60°，∴，
當(dāng)AH⊥CG時(shí)，，
∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、正方形的判定與性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短、垂線段最短、解直角三角形等知識(shí)，添加合適的輔助線，運(yùn)用以上知識(shí)解答是解題的關(guān)鍵．
11． (2023·江蘇·中考模擬）如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，交軸于，兩點(diǎn)，連接，，已知，．（Ⅰ）求拋物線的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下：（1）為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再沿線段以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到后停止，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？
解：（Ⅰ）把，代入，得
，解得：．拋物線的解析式為
聯(lián)立，解得：或，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
如圖1．，，，，，，
，是直角三角形，，；
（Ⅱ）方法一：（1）存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似．
過點(diǎn)作軸于，則．
設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由在軸右側(cè)可得，則．
，，．
若點(diǎn)在點(diǎn)的下方，①如圖2①，當(dāng)時(shí)，則．
，，
，．．
則．把代入，得
，整理得：解得：（舍去），（舍去）．
②如圖2②，當(dāng)時(shí)，則．
同理可得：，則，
把代入，得，
整理得：解得：（舍去），，，；
若點(diǎn)在點(diǎn)的上方，①當(dāng)時(shí)，則，同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為．
②當(dāng)時(shí)，則．同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，．
綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為、，、，；
方法二：作的“外接矩形” ，易證，，
以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似，或，
設(shè)，，，
①，，，，
②，，，（舍，
滿足題意的點(diǎn)的坐標(biāo)為、，、，；
（2）方法一：過點(diǎn)作軸于，如圖3．
在中，，即，
點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為．
作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
則有，，，
，．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最?。?br>此時(shí)，，四邊形是矩形，
，．對(duì)于，
當(dāng)時(shí)，有，解得：，．，，
，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

方法二：作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，交于點(diǎn)，顯然，
作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)，如圖4，
在中，，即，
當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，
，，，，，
，，，，，，
為的中點(diǎn)，，，．
方法三：如圖，5，過作射線軸，過作射線軸，與交于點(diǎn)．
，，．，，，
，．．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少為：
，
拋物線的解析式為，且，可求得點(diǎn)坐標(biāo)為
則點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，將代入，得．所以．
12． (2023·四川樂山市·中考真題）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，連結(jié)，且，如圖所示．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)是拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①過點(diǎn)作軸的平行線交線段于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，連結(jié)、，求的面積的最大值；②連結(jié)，求的最小值．
【答案】（1）；（2）①；②．
【分析】（1）先函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再由求出C點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法設(shè)交點(diǎn)式，將C點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求解；（2）①先求出BC的解析式，設(shè)E坐標(biāo)為，則F點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而用t表示出的面積，由二次函數(shù)性質(zhì)即可求出最大值；
②過點(diǎn)作于，由可得，由此可知當(dāng)BPH三點(diǎn)共線時(shí)的值最小，即過點(diǎn)作于點(diǎn)，
線段的長就是的最小值，根據(jù)面積法求高即可．
【詳解】解：（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線的解析式為：，
∵是拋物線的對(duì)稱軸，∴，又∵，∴，即，
代入拋物線的解析式，得，解得 ，
∴二次函數(shù)的解析式為 或；
（2）①設(shè)直線的解析式為 ，∴ 解得
即直線的解析式為 ，設(shè)E坐標(biāo)為，則F點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴，
∴的面積 ∴，
∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，且最大值為；
②如圖，連接，根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知 ，，∴，
過點(diǎn)作于，則在中，，
∴，再過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，
∴線段的長就是的最小值，∵，
又∵，∴，即，∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及了待定系數(shù)法求解析式和三角形的面積最大值求法、線段和的最值問題．解（1）關(guān)鍵是利用三角函數(shù)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，解（2）關(guān)鍵是由點(diǎn)E、F坐標(biāo)表示線段EF長，從而得到三角形面積的函數(shù)解析式，解（3）的難點(diǎn)是將的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到AC的距離．
13． (2023·四川達(dá)州市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)和，交軸于點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；（2）將線段繞著點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為，連接，，求的最小值．（3）為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
【答案】（1）；（2）；（3）存在，點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2，，或．
【分析】（1）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，設(shè)解析式為將，兩點(diǎn)代入求得，c的值即可；（2）胡不歸問題，要求的值，將折線化為直線，構(gòu)造相似三角形將轉(zhuǎn)化為，再利用三角形兩邊之和大于第三邊求得最值；（3）分2種情形討論：①AB為矩形的一條邊，利用等腰直角三角形三角形的性質(zhì)可以求得N點(diǎn)的坐標(biāo);
②AB為矩形的對(duì)角線，設(shè)R為AB的中點(diǎn),RN=AB,利用兩點(diǎn)距離公式求解方程可得N點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：（1）∵過，
∴∴，∴拋物線的解析式為：
（2）在上取一點(diǎn)，使得，連接，

∵對(duì)稱軸．∴， ，
∴，∴ ∴
∴ 當(dāng)，，三點(diǎn)在同一點(diǎn)直線上時(shí)，最小為．
在中，， ∴
即最小值為．
（3）情形①如圖，AB為矩形的一條邊時(shí)，聯(lián)立得 是等腰，
分別過 兩點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，
過作軸，軸,
,也是等腰直角三角形 設(shè)，則，所以
代入，解得,（不符題意，舍）
同理，設(shè)，則 ，所以
代入，解得,（不符題意，舍）
② AB為矩形的對(duì)角線，設(shè)R為AB的中點(diǎn),則
，
設(shè) ，則
整理得： 解得：（不符題意，舍），（不符題意，舍），
， 綜上所述：點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為：2，，或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，三角形相似，勾股定理，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離計(jì)算等知識(shí)，能正確做出輔助線，找到相似三角形是解題的關(guān)鍵．
14． (2023·廣西·南寧三中一模）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，線段的延長線交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程組即可得到結(jié)論；
（2）由條件可得BE?DE=OE?EM，設(shè)D(a，-x2?x+1)，則可表示BE、DE、OE、EM的長，得到關(guān)于a的方程，解方程可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，求出AE、DE長，則sin∠DAE的值可求；
（3）作D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，交軸于點(diǎn)P，則∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此時(shí)FH最小，求出最小值即可．
【詳解】解：（1）把點(diǎn)，點(diǎn)代入得
，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
（2）∵二次函數(shù)的表達(dá)式為，令，得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．
∵軸，∴，．
∵，∴．設(shè)，則，
∴，，，，
∴，解得，（舍去），（舍去）， ∴，
∴，，∴，
∴；
（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，連接，則，
∵，∴，∴，
∴，由垂線段最短可知此時(shí)長度最小，
∵，∴，∴，
∴，∴的最小值為．
【點(diǎn)睛】主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，垂線段最短，軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及解直角三角形的知識(shí)，要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系，解決相關(guān)問題．
15． (2023·廣東·東莞市三模）已知，如圖，二次函數(shù)圖像交軸于，交交軸于點(diǎn)，是拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸經(jīng)過軸上的點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)關(guān)系式；（2）對(duì)稱軸與交于點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)．①求的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
②在①的條件下，把沿著軸向右平移個(gè)單位長度時(shí)，設(shè)與重疊部分面積記為，求與之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出的最大值．

【答案】（1）；（2）①最小值為，點(diǎn)坐標(biāo)為；
②，當(dāng)時(shí)，最大值．
【分析】（1）函數(shù)對(duì)稱軸為x=1，則點(diǎn)B（3，0），用交點(diǎn)式表達(dá)式得：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），即可求解；（2）①連接BD，過點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，交DF于點(diǎn)P，AP+PD=AP+PD，此時(shí)AP+PD=AH最小，即可求解；②根據(jù)題意，可分為0≤t≤1、1＜t＜2、2≤t≤4三種情況，分別求解，即可得到答案．
【詳解】解：（1）二次函數(shù)對(duì)稱軸為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為．
又∵點(diǎn)坐標(biāo)，則，解得：，∴函數(shù)表達(dá)式為；
（2）①連接∵∴ 在中，依勾股定理得：
∴
過點(diǎn)作于點(diǎn)，交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)
則 則
依“垂線段最短”得此時(shí)長度為最小值， 即最小值為的長度，
∵ 則，
即最小值為． 點(diǎn)坐標(biāo)為．
②A．當(dāng)時(shí)，如圖

依圖知：則：
化簡(jiǎn)得：配方得：
根據(jù)自變量取值范圍，當(dāng)時(shí)，最大值4
B．當(dāng)時(shí)，如圖：四邊形
整理得： 配方得： 即時(shí)，最大值
C．當(dāng)時(shí)，如圖： 根據(jù)自變量取值范圍，當(dāng)時(shí)，最大值
綜上，，當(dāng)時(shí)，最大值．
【點(diǎn)睛】本題考查的二次函數(shù)綜合應(yīng)用，解直角三角形，軸對(duì)稱的性質(zhì)，求二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的最值，勾股定理，以及最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想進(jìn)行分析.
16． (2023·天津·中考模擬）如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上．（1）證明：CE是⊙O的切線；（2）若△ACE中AE邊上的高為h，試用含h的代數(shù)式表示⊙O的直徑AB；（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD＋OD的最小值為6時(shí)，求⊙O的直徑AB的長．
【答案】（1）見解析；（2）；（3）AB＝8
【解析】（1）連接OC，如圖，
∵CA＝CE，∠CAE＝30°，∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，∴∠OCE＝90°，∴CE是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，連接OC，如圖，

由題可得CH＝h．在Rt△OHC中，CH＝OC?sin∠COH，∴h＝OC?sin60°＝ OC，
∴OC＝ h，∴AB＝2OC＝ h；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖，
則∠AOF＝∠COF＝ ∠AOC＝ （180°﹣60°）＝60°．
∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等邊三角形，
∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四邊形AOCF是菱形，∴根據(jù)對(duì)稱性可得DF＝DO．
過點(diǎn)D作DH⊥OC于H，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DH＝DC?sin∠DCH＝DC?sin30°＝ DC，
∴CD＋OD＝DH＋FD．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH＋FD（即CD＋OD）最小，
此時(shí)FH＝OF?sin∠FOH＝ OF＝6，則OF＝4，AB＝2OF＝8．
∴當(dāng)CD＋OD的最小值為6時(shí)，⊙O的直徑AB的長為8．

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