【三點(diǎn)共線模型】
①函數(shù)模型：構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，求出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，其中兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)建一次函數(shù)模型，判斷第三個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)圖像上，滿足則共線
②平角模型
如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線，可以選擇一條過B點(diǎn)的直線PBQ，并連接AB、CB，證明∠ABP與∠CBP互為鄰補(bǔ)角，即∠ABP+∠CBP=180°
③平行線模型
如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線，先證明AB∥DE，在證明BC∥DE
④垂線模型
如圖，要證明A、B、C三點(diǎn)共線，先證明AC⊥MN，在證明A⊥MN
【三線共點(diǎn)模型】
①證明兩條線的交點(diǎn)，在第三條直線上
②證明三條線中兩條線的交點(diǎn)和另外兩條線的交點(diǎn)是同一個(gè)
二、【考點(diǎn)類型】
考點(diǎn)1：三點(diǎn)共線
典例1：（2022秋·福建泉州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在線段 SKIPIF 1 < 0 上時(shí)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分線 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)F，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的長；
(2)求證：C、E、F三點(diǎn)共線．
【變式1】（2022春·福建泉州·九年級校考階段練習(xí)）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的對應(yīng)點(diǎn)分別是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 恰好在 SKIPIF 1 < 0 上時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的大?。?br>(2)如圖 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，判斷四邊形 SKIPIF 1 < 0 的形狀，并證明你的結(jié)論．
(3)如圖 SKIPIF 1 < 0 ，若點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 求證： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線． SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．
【變式2】（2021春·福建廈門·九年級?？茧A段練習(xí)）拋物線C1：y＝﹣x2+2mx﹣m2+m+3的頂點(diǎn)為A，拋物線C2：y＝﹣（x+m+4）2﹣m﹣1的頂點(diǎn)為B，其中m≠﹣2，拋物線C1與C2相交于點(diǎn)P．
(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)已知點(diǎn)C（﹣2，1），求證：點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線；
(3)設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為q，求q的取值范圍．
【變式3】（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求CE的長；
(2)設(shè)點(diǎn)C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)為F，求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．
考點(diǎn)2：三線共點(diǎn)
典例2：（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知線段 SKIPIF 1 < 0 ，垂足為a．
（1）求作四邊形 SKIPIF 1 < 0 ，使得點(diǎn)B，D分別在射線 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）設(shè)P，Q分別為（1）中四邊形 SKIPIF 1 < 0 的邊 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，求證：直線 SKIPIF 1 < 0 相交于同一點(diǎn)．
【變式1】（2020·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 外一點(diǎn)．
（1）求作四邊形 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)分別為 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)在同一條直線上．
鞏固訓(xùn)練
、單選題
1．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，延長DC到點(diǎn)F（0＜CF＜4），在線段CB上截取點(diǎn)P，使得CP＝CF，連接BF、DP，再將△DCP沿直線DP折疊得到△DEP．下列結(jié)論：
①若延長DP，則DP⊥FB；
②若連接CE，則 SKIPIF 1 < 0 ；
③連接PF，當(dāng)E、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，CF＝4 SKIPIF 1 < 0 ﹣4；
④連接AE、AF、EF，若△AEF是等腰三角形，則CF＝4 SKIPIF 1 < 0 ﹣4；其中正確有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
2．（2023·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在長方形ABCD中，AD SKIPIF 1 < 0 BC，AB SKIPIF 1 < 0 CD，E在AD上．AD＝m，AE＝n（m＞n＞0）．將長方形沿著BE折疊，A落在A′處，A'E交BC于點(diǎn)G，再將∠A′ED對折，點(diǎn)D落在直線A′E上的D′處，C落在C′處，折痕EF，F(xiàn)在BC上，若D、F、D′三點(diǎn)共線，則BF＝（ ）
A．m+ SKIPIF 1 < 0 nB． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．m﹣n
3．（2022秋·貴州黔西·九年級統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑為2 SKIPIF 1 < 0 ，PA，PB，CD分別切⊙O于點(diǎn)A，B，E，CD分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，且P，E，O三點(diǎn)共線．若∠P＝60°，則CD的長為（ ）
A．4B．2 SKIPIF 1 < 0 C．3 SKIPIF 1 < 0 D．6
4．（2022秋·新疆烏魯木齊·九年級?？计谥校┤鐖D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=6，將Rt△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到Rt△A’B’C．當(dāng)A’、B’、A三點(diǎn)共線時(shí)，AA’=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022秋·山東日照·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等邊三角形，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線． SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連結(jié) SKIPIF 1 < 0 ．以下五個(gè)結(jié)論：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形；⑤ SKIPIF 1 < 0 ．其中正確結(jié)論的有（ ）個(gè)
A．5B．4C．3D．2
二、填空題
6．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn)E在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)F，過F作 SKIPIF 1 < 0 且使得 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線且 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ______．
7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的平分線相交于H，過點(diǎn)H作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于E，交 SKIPIF 1 < 0 于F， SKIPIF 1 < 0 于D，以下四個(gè)結(jié)論① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③點(diǎn)H到 SKIPIF 1 < 0 各邊的距離相等；④若B，H，D三點(diǎn)共線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 一定為等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號為 _____．
8．（2022春·福建龍巖·八年級校聯(lián)考期中）已知矩形ABCD中，AB=8，BC=10，將△ABE沿BE對折，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 C，當(dāng)E、 SKIPIF 1 < 0 、C恰好三點(diǎn)共線時(shí)，AE的值為____________
9．（2022春·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中，E點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，MN經(jīng)過E點(diǎn)分別與AD、BC相交于點(diǎn)M、N．下列四個(gè)結(jié)論：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③A、C、E三點(diǎn)共線；④若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．其中正確的結(jié)論有____．（寫出所有正確結(jié)論的序號）
10．（2022·福建·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 都在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，且 SKIPIF 1 < 0 ．現(xiàn)給出以下說法：
①若A，O，B三點(diǎn)共線，則 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，則A，O，B三點(diǎn)共線；
③線段OA長度的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ；
④以A，O，B為頂點(diǎn)的三角形不可能是直角三角形．
其中正確的是__________．（寫出所有正確說法的序號）
三、解答題
11．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)試說明 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 滿足什么等量關(guān)系時(shí)，點(diǎn)D、點(diǎn)C、點(diǎn)E三點(diǎn)共線．
(2)連接 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于F點(diǎn)，若點(diǎn)F恰好是線段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
12．（2023秋·河北邯鄲·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，動(dòng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 從點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 出發(fā)，沿 SKIPIF 1 < 0 以每秒5個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，將線段 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．設(shè)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 SKIPIF 1 < 0 秒 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)線段 SKIPIF 1 < 0 的長為__________，線段 SKIPIF 1 < 0 的長為__________（用含 SKIPIF 1 < 0 的代數(shù)式表示）；
(2)當(dāng)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 重合時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(3)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(4)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 為鈍角三角形時(shí)，直接寫出 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍．
13．（2022秋·福建泉州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D在線段 SKIPIF 1 < 0 上，E是線段 SKIPIF 1 < 0 的一點(diǎn)．現(xiàn)以 SKIPIF 1 < 0 為直角邊，C為直角頂點(diǎn)，在 SKIPIF 1 < 0 的下方作等腰直角 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)如圖1，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
(2)當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，如圖2，若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
(3)如圖3，若 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到使得 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的面積．
14．（2022秋·福建龍巖·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在等腰直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 為線段 SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），將線段 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)證明： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)①當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形？請你說明理由；
②當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求證：點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 三點(diǎn)共線．
15．（2022秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知直線y＝﹣2x＋4與交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，直線CD經(jīng)過點(diǎn)C（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)D，若AB SKIPIF 1 < 0 CD．
(1)求直線CD的解析式；
(2)如圖（1）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，求證：E，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線；
(3)如圖（2）點(diǎn)M為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），直線AM交CD于點(diǎn)N，求△ABM與△CNM面積和的最小值．

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