【模型背景】皮耶·德·費(fèi)馬，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?，兼職搞搞?shù)學(xué)．費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”等．費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。
【模型解讀】
結(jié)論1：如圖，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）
【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．
∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最?。?br>此時(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。
結(jié)論2：點(diǎn)P為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）
【模型證明】第一步，選定固定不變線段；第二步，對(duì)剩余線段進(jìn)行縮小或者放大。
如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖，B、P、P2、A2四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。
模型特征：PA+PB+PC（P為動(dòng)點(diǎn)）
①一動(dòng)點(diǎn)，三定點(diǎn)；②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點(diǎn)與已知三角形且與所作等邊三角形相對(duì)的頂點(diǎn)相連，連線的交點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；③同時(shí)線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)。
【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短。
例1． (2023·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，，．若點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為____________．
例2． (2023·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________．
例3. (2023·宜賓·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），DE與AC交于點(diǎn)F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P，使得的值最小，若點(diǎn)D在AP的延長(zhǎng)線上，且AP的長(zhǎng)為2，則．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
例4． (2023·江蘇·九年級(jí)階段練習(xí)）探究題
(1)知識(shí)儲(chǔ)備：①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC=PA．
②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．
(2)知識(shí)遷移：我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段____的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離．
(3)知識(shí)應(yīng)用：①如圖3所示的△ABC（其中均小于），，現(xiàn)取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到三點(diǎn)的距離之和最小，求最小值；
②如圖4，若三個(gè)村莊構(gòu)成Rt△ABC，其中．現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使P點(diǎn)到三個(gè)村莊鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，畫出點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的位置，輸水管總長(zhǎng)度的最小值為________．（直接寫結(jié)果）
例5． (2023·重慶中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE，DE．點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF．
（1）求證：；（2）如圖2所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)時(shí)，分別延長(zhǎng)CF，BA，相交于點(diǎn)G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，在線段AD上存在一點(diǎn)P，使的值最?。?dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r(shí)，AP的長(zhǎng)為m，請(qǐng)直接用含m的式子表示CE的長(zhǎng)．
例6． (2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng).
例7． (2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1． (2023·山東淄博市·中考真題）兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)到三點(diǎn)距離之和的最小值是__________．
2． (2023·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．
3． (2023·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．
4． (2023·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，與交于點(diǎn)，可推出結(jié)論：
問題解決：如圖，在中，，，．點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是___________
5． (2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．
6． (2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM 的最小值為________．
7． (2023·陜西·二模）已知，如圖在中，，，，在內(nèi)部有一點(diǎn)D，連接DA、DB、DC．則的最小值是__________．
8． (2023·陜西·八年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，且BE＝1．點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，將線段PE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EQ．若在正方形內(nèi)還存在一點(diǎn)M，則點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為_____．
9． (2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．
(1)求證：；
(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最小；
②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；
(3)當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．
10． (2023·福建九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）若建立平面直角坐標(biāo)系，滿足原點(diǎn)在線段上，點(diǎn)，.且（），則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；請(qǐng)直接寫出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是 ；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為2，求的長(zhǎng)，以及的最小值. (提示：連接:，)
11． (2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：平面幾何中的費(fèi)馬問題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題．1643年，在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費(fèi)馬提出了下面這個(gè)極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請(qǐng)求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)P的位置．托里拆利成功地解決了費(fèi)馬的問題．后來人們就把平面上到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C距離之和最小的點(diǎn)稱為ABC的費(fèi)馬-托里拆利點(diǎn)，也簡(jiǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn)．問題解決：
（1）費(fèi)馬問題有多種不同的解法，最簡(jiǎn)單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BDE，連接PD，可得BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值與線段 的長(zhǎng)度相等；
（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)E，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在ADE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請(qǐng)直接寫出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
12． (2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是__________；
（2）已知正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長(zhǎng).
13． (2023·山西·八年級(jí)階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐
材料一：“轉(zhuǎn)化思想”是幾何變換中常用的思想，例如將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，實(shí)現(xiàn)圖形位置的“轉(zhuǎn)化”，把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，使問題化難為易．它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來處理孤立的、離散問題的思想．
材料二：皮埃爾·德·費(fèi)馬（如圖），世紀(jì)法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”．年勒·笛卡兒邀請(qǐng)費(fèi)馬思考關(guān)于三個(gè)頂點(diǎn)距離為定值的問題，費(fèi)馬經(jīng)過思考并由此推出費(fèi)馬點(diǎn)的相關(guān)結(jié)論．
定義：若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)在內(nèi)部，此時(shí)的值最小．

（1）如圖2，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)若點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離分別為，求的度數(shù).為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處，連接此時(shí)這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出 ；
（2）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)，在射線上取點(diǎn)，連接．使求證：；（3）如圖4，在中，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出的值．
14． (2023·重慶綦江·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE、DF、EF．
(1)如圖1，連接AF，若AF⊥BC，E為AB的中點(diǎn)，且EF＝5，求DF的長(zhǎng)；
(2)如圖2，若BE＝BF，G為DE的中點(diǎn)，連接AF、AG、FG，求證：AG⊥FG；
(3)如圖3，若AB＝7，將△BEF沿EF翻折得到△EFP（始終保持點(diǎn)P在菱形ABCD的內(nèi)部），連接AP、BP及CP，請(qǐng)直接寫出當(dāng)PA＋PB＋PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)．
15. (2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．
1)求拋物線的解析式；(2)定義：平面上的任一點(diǎn)到二次函數(shù)圖象上與它橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的距離，稱為點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離．如：點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離是線段的長(zhǎng)．已知點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且在軸上方，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離．(3)在(2)中，當(dāng)點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小時(shí)，在為頂點(diǎn)的菱形內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使得之和最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
費(fèi)馬，17世紀(jì)德國(guó)的業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，他獨(dú)立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理.
費(fèi)馬得到過這樣的結(jié)論：如圖①，當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)，使得，且該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，這個(gè)點(diǎn)被稱為費(fèi)馬點(diǎn).
證明：如圖②，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，
________，
為等邊三角形.
，
，
點(diǎn)可看成是線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得的定點(diǎn)，為定長(zhǎng)，
當(dāng)四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，最小，
這時(shí)，
，
.
專題12 最值模型-費(fèi)馬點(diǎn)問題
最值問題在中考數(shù)學(xué)常以壓軸題的形式考查，費(fèi)馬點(diǎn)問題是由全等三角形中的手拉手模型衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，中考說明中曾多處涉及。本專題就最值模型中的費(fèi)馬點(diǎn)問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·費(fèi)馬，17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家，有“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”的美譽(yù)，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因?yàn)槠渲髀毷锹蓭?，兼職搞搞?shù)學(xué)．費(fèi)馬在解析幾何、微積分等領(lǐng)域都有卓越的貢獻(xiàn)，除此之外，費(fèi)馬廣為人知的是以其名字命名的“費(fèi)馬小定理”、“費(fèi)馬大定理”等．費(fèi)馬點(diǎn)：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。
【模型解讀】
結(jié)論1：如圖，點(diǎn)M為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM，當(dāng)M與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角為120°時(shí)，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述結(jié)論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時(shí)費(fèi)馬點(diǎn)就是最大角的頂點(diǎn)A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）
【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．
∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小．
此時(shí)，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
費(fèi)馬點(diǎn)的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。
結(jié)論2：點(diǎn)P為銳角△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）
【模型證明】第一步，選定固定不變線段；第二步，對(duì)剩余線段進(jìn)行縮小或者放大。
如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖，B、P、P2、A2四點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值。
模型特征：PA+PB+PC（P為動(dòng)點(diǎn)）
①一動(dòng)點(diǎn)，三定點(diǎn)；②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點(diǎn)與已知三角形且與所作等邊三角形相對(duì)的頂點(diǎn)相連，連線的交點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；③同時(shí)線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)。
【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間，線段最短。
例1． (2023·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，，．若點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值為____________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，首先以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，作出圖形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，可以得到PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根據(jù)勾股定理可以求得CB′的值，從而可以解答本題．
【詳解】以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△APB到△AP′B′，旋轉(zhuǎn)角是60°，連接BB′、PP′，，如圖所示，
則∠PAP′=60°，AP=AP′，PB=P′B′，∴△APP′是等邊三角形，∴AP=PP′，∴PA+PB+PC=PP′+P′B′+PC，
∵PP′+P′B′+PC≥CB′，∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值，即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，
∵∠BAC=30°，∠BAB′=60°，AB==2，∴∠CAB′=90°，AB′=2，AC=AB?cs∠BAC=2×cs30°=，
∴CB′=，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、最短路徑問題、勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是作出合適的輔助線，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合的思想．
例2． (2023·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．如果是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足．（例如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）．若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________；若，P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則_________．
【答案】5
【分析】①作出圖形，過分別作,勾股定理解直角三角形即可
②作出圖形，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，P為的費(fèi)馬點(diǎn)則四點(diǎn)共線，即，再用勾股定理求得即可
【詳解】①如圖,過作，垂足為,
過分別作, 則, P為的費(fèi)馬點(diǎn)

5
②如圖：.

將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60 由旋轉(zhuǎn)可得：
是等邊三角形，
P為的費(fèi)馬點(diǎn),即四點(diǎn)共線時(shí)候，
=故答案為：①5，②
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)也可，但必須繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
例3. (2023·宜賓·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），DE與AC交于點(diǎn)F，連結(jié)CE．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點(diǎn)P，使得的值最小，若點(diǎn)D在AP的延長(zhǎng)線上，且AP的長(zhǎng)為2，則．其中含所有正確結(jié)論的選項(xiàng)是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】B
【分析】證明，即可判斷①，根據(jù)①可得，由可得四點(diǎn)共圓，進(jìn)而可得，即可判斷②，過點(diǎn)作于,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可判斷③，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，得到，則是等邊三角形，根據(jù)當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，可得四邊形是正方形，勾股定理求得， 根據(jù)即可判斷④．
【詳解】解：和都是等腰直角三角形，，
故①正確；
四點(diǎn)共圓，
故②正確；如圖，過點(diǎn)作于,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

,
，,
設(shè)，則，，則
AH∥CE，則；故③正確
如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，得到，則是等邊三角形，
，當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，
此時(shí)
，此時(shí)，
，，，，，
，平分，，
四點(diǎn)共圓， ，
又,，，則四邊形是菱形，
又，四邊形是正方形，
，
則，，
，， ，，
則，，
，，故④不正確，故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，費(fèi)馬點(diǎn)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正方形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)
例4． (2023·江蘇·九年級(jí)階段練習(xí)）探究題
(1)知識(shí)儲(chǔ)備：①如圖1，已知點(diǎn)P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點(diǎn)．求證：PB+PC=PA．
②定義：在△ABC所在平面上存在一點(diǎn)P，使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為△ABC的費(fèi)馬距離．
(2)知識(shí)遷移：我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結(jié)論，易知線段____的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離．
(3)知識(shí)應(yīng)用：①如圖3所示的△ABC（其中均小于），，現(xiàn)取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到三點(diǎn)的距離之和最小，求最小值；
②如圖4，若三個(gè)村莊構(gòu)成Rt△ABC，其中．現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使P點(diǎn)到三個(gè)村莊鋪設(shè)的輸水管總長(zhǎng)度最小，畫出點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的位置，輸水管總長(zhǎng)度的最小值為________．（直接寫結(jié)果）
【答案】(1)證明見解析； (2)AD (3)5，．
【分析】（1）在PA上截取PD=PC，可證明△ACD≌△BCP，則AD=PB，從而得出PA=PB+PC；
（2）利用（1）中結(jié)論得出PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得答案；
（3）①在（2）的基礎(chǔ)上先畫出圖形，再利用勾股定理求解；
②仿照①的方法可畫出P的位置，利用勾股定理可求出輸水管總長(zhǎng)度的最小值，
（1）解：①證明：在PA上截取PD=PC，連接CD，
∵AB=AC=BC，所以，
∴∠APB=∠APC=60°，∴△PCD為等邊三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，∴△ACD≌△BCP(SAS)，∴AD=PB，
∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；
（2）如圖2，根據(jù)（1）的結(jié)論得：PA+PB+PC=PA+(PB+PC)=PA+PD，
∴當(dāng)A、P、D共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，
∴線段AD的長(zhǎng)度即為△ABC的費(fèi)馬距離，故答案為：AD；

（3）①如圖，以BC為邊長(zhǎng)在△ABC的外部作等邊△BCD，連接AD，則線段AD的長(zhǎng)即為最短距離，
∵△BCD為等邊三角形，BC=4，∴∠CBD=60°，BD=BC=4，
∵∠ABC=30°，∴∠ABD=90°，在Rt△ABD中，∵AB=3，BD=4，
∴；
②以BC為邊，在BC下方作等邊△BCK，設(shè)等邊△BCK外接圓為⊙O，連接AK交⊙O于P，則由①知此時(shí)PA+PB+PC最短，且最短距離等于AK的長(zhǎng)度，過K作KT⊥AC交AC延長(zhǎng)線于T，如圖：
∵△BCK是等邊三角形，∴∠BCK=60°，CK=BC=，∵∠CAB=90°，∴．∠TCK=30°，
在Rt△AKT中，∴
在Rt△AKT中，，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，也是閱讀理解型問題，主要考查了新定義：三角形費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離，還考查了等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等、勾股定理等知識(shí)，難度很大，理解新定義是本題的關(guān)鍵．
例5． (2023·重慶中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到AE，連接CE，DE．點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF．
（1）求證：；（2）如圖2所示，在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)時(shí)，分別延長(zhǎng)CF，BA，相交于點(diǎn)G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你猜想的結(jié)論；
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，在線段AD上存在一點(diǎn)P，使的值最?。?dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r(shí)，AP的長(zhǎng)為m，請(qǐng)直接用含m的式子表示CE的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）
【分析】（1）先證△BAD≌△CAE，可得∠ABD＝∠ACE＝45°，可求∠BCE＝90°，由直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）連接AF，由（1）得，，，推出，然后根據(jù)現(xiàn)有條件說明
在中，，點(diǎn)A，D，C，E四點(diǎn)共圓，F(xiàn)為圓心，則，在中，推出，即可得出答案；
（3）在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，將三角形ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBD，證明點(diǎn)P位于線段CE上，同理得到點(diǎn)P位于線段BF上，證明∠BPC=120°，進(jìn)而得到，設(shè)PD為，得出，，得出，解出a，根據(jù)即可得出答案．
【詳解】解：（1）證明如下：∵，∴，∵，，
∴在和中，∴，
∴，∴，
在中，F(xiàn)為DE中點(diǎn)（同時(shí)），，
∴，即為等腰直角三角形，∴，
∵，∴；
（2）連接AF，由（1）得，，，
∴，
在中，，
∵F為DE中點(diǎn)，∴，
在四邊形ADCE中，有，，∴點(diǎn)A，D，C，E四點(diǎn)共圓，
∵F為DE中點(diǎn)，∴F為圓心，則，
在中，∵，∴F為CG中點(diǎn)，即，
∴，即；
（3）如圖1，在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)P，連接AP、BP、CP，將三角形ABP繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBD，得到△BPD為等邊三角形，所以PD=BP，∴AP+BP+CP=DE+DP+CP，
∴當(dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r(shí)，點(diǎn)P位于線段CE上；

如圖2，將三角形ACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△FCG，得到△PCG為等邊三角形，所以PC=GP，
∴AP+BP+CP=GF+GP+BP，∴當(dāng)?shù)闹等〉米钚≈禃r(shí)，點(diǎn)P位于線段BF上；
綜上所述：如圖3，以AB、AC為邊向外做等邊三角形ABE和等邊三角形ACF，連接CE、BF，則交點(diǎn)P為求作的點(diǎn)，∴△AEC≌△ABF，∴∠AEC=∠ABF，∴∠EPB=EAB=60°，∴∠BPC=120°，

如圖4，同理可得，，∴，設(shè)PD為，∴，
又，∴， 又∴．
【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．
例6． (2023·河北·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xy中，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，2)，點(diǎn)在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點(diǎn)的拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點(diǎn)M、N在線段AE上，求AE及的長(zhǎng)；（3）點(diǎn)為△內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，請(qǐng)直接寫出的最小值,以及取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng).
【答案】(1) (2) ；或 （3）可以取到的最小值為．當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng)為
【分析】（1）已知點(diǎn)B的坐標(biāo)，可求出OB的長(zhǎng)；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通過解直角三角形即可求得OD的長(zhǎng)，也就得到了點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于E是線段BD的中點(diǎn)，根據(jù)B、D的坐標(biāo)即可得到E點(diǎn)的坐標(biāo)；將B、E的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，由此確定拋物線的解析式；
（2）過E作EG⊥x軸于G，根據(jù)A、E的坐標(biāo)，即可用勾股定理求得AE的長(zhǎng)；過O作AE的垂線，設(shè)垂足為K，易證得△AOK∽△AEG，通過相似三角形所得比例線段即可求得OK的長(zhǎng)；在Rt△OMK中，通過解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的長(zhǎng)可在Rt△AOK中由勾股定理求得，根據(jù)AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的長(zhǎng)；（3）由于點(diǎn)P到△ABO三頂點(diǎn)的距離和最短，那么點(diǎn)P是△ABO的費(fèi)馬點(diǎn)，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易證得△OBE是等邊三角形，那么PA+PO+PB的最小值應(yīng)為AE的長(zhǎng)；求AP的長(zhǎng)時(shí)，可作△OBE的外接圓（設(shè)此圓為⊙Q），那么⊙Q與AE的交點(diǎn)即為m取最小值時(shí)P點(diǎn)的位置；設(shè)⊙Q與x軸的另一交點(diǎn)（O點(diǎn)除外）為H，易求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)H的坐標(biāo)，也就得到了AH的長(zhǎng)，相對(duì)于⊙Q來說，AE、AH都是⊙Q的割線，根據(jù)割線定理（或用三角形的相似）即可求得AP的長(zhǎng)．
【詳解】（1）過E作EG⊥OD于G ∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，∴△BOD∽△EGD，
∵點(diǎn)B（0，2），∠ODB=30°，可得OB=2，OD＝2；
∵E為BD中點(diǎn)，∴= ∴EG=1，GD＝∴OG＝∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(，1)
∵拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，
∴.可得. ∴拋物線的解析式為.
（2）∵拋物線與軸相交于、，在的左側(cè)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.過E作EG⊥x軸于G
∴,∴在△AGE中，,.過點(diǎn)作⊥于，
可得△∽△．∴．∴．∴∴.
∵△是等邊三角形,∴．∴．
∴,或

（3）如圖；以AB為邊做等邊三角形AO′B，以O(shè)A為邊做等邊三角形AOB′；
易證OE=OB=2，∠OBE=60°，則△OBE是等邊三角形；
連接OO′、BB′、AE，它們的交點(diǎn)即為m最小時(shí)，P點(diǎn)的位置（即費(fèi)馬點(diǎn)）；
∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，∴△AOE≌△B′OB；∴∠B′BO=∠AEO；
∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，∴∠POP'=60°，
∴△POP′為等邊三角形，∴OP=PP′，∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
即m最小=AE= 如圖；作正△OBE的外接圓⊙Q，
根據(jù)費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)知∠BPO=120°，則∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；
∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；即B、P、O、E四點(diǎn)共圓；
易求得Q（，1），則H（，0）；∴AH=；由割線定理得：AP?AE=OA?AH，
即：AP=OA?AH÷AE=×÷=故： 可以取到的最小值為．
當(dāng)取得最小值時(shí)，線段的長(zhǎng)為
【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)的綜合類試題，涉及到二次函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質(zhì)、解直角三角形以及費(fèi)馬點(diǎn)位置的確定和性質(zhì)，能力要求極高，難度很大．
例7． (2023·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點(diǎn)，求最小值
【答案】
【分析】將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大倍，得到△，當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，利用勾股定理求出即可．
【詳解】解：如圖，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到△A，將△A擴(kuò)大，相似比為倍，得到△，則，，，
過點(diǎn)P作PE⊥A于E，
∴AE=，∴E=A-AE=，∴P=，
當(dāng)點(diǎn)B、P、、在同一直線上時(shí)，=最短，此時(shí)=B，
∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，
∴．
∴=B=
【點(diǎn)睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費(fèi)馬點(diǎn)問題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點(diǎn)共線的知識(shí)求解，有時(shí)根據(jù)系數(shù)將圖形擴(kuò)大或縮小構(gòu)建圖形．
課后專項(xiàng)訓(xùn)練
1． (2023·山東淄博市·中考真題）兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)到三點(diǎn)距離之和的最小值是__________．
【答案】
【分析】由題意易得四邊形是菱形，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，易得，，然后根據(jù)勾股定理可得，則，，進(jìn)而可得，要使為最小，即的值為最小，則可過點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，最后根據(jù)“胡不歸”問題可求解．
【詳解】解：∵紙條的對(duì)邊平行，即，∴四邊形是平行四邊形，
∵兩張紙條的寬度都為，∴，∴，∴四邊形是菱形，
過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AC，交BD于點(diǎn)O，如圖所示：

∴，∴，∴，
∵，，∴，，
∴，∴，
∴，，
∴，
過點(diǎn)A作AM⊥AP，且使，連接BM，如圖所示：
∴，要使的值為最小，則需滿足為最小，根據(jù)三角不等關(guān)系可得：，所以當(dāng)B、P、M三點(diǎn)共線時(shí)，取最小，即為BM的長(zhǎng)，如圖所示：
∴，∴，
∴的最小值為，即的最小值為；故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)、菱形的性質(zhì)與判定及含30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用“胡不歸”原理找到最小值的情況，然后根據(jù)三角函數(shù)及菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
2． (2023·成都實(shí)外九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在中，，P是內(nèi)一點(diǎn)，求的最小值為______．
【答案】
【分析】將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將轉(zhuǎn)化為，此時(shí)當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理求解即可．
【詳解】解：將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，連接PF、AD、DB，過點(diǎn)D作DE⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD是等邊三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=
∴，
∴當(dāng)B、P、F、D四點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為BD的長(zhǎng)；
∵，∠CAD=，∴∠EAD=，
∴，∴，
∴，∴，
∴的值最小值為．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查費(fèi)馬點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△DFC，將三條線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化到一條直線上．
3． (2023·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，線段AD上存在一點(diǎn)Q，當(dāng)QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時(shí)，則PD=________．
【答案】
【分析】如圖1，將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)Q，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，QA+QB+QC值最小，此時(shí)，如圖2，連接MC，證明AM垂直平分BC，證明AD=BD，此時(shí)P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x-2，構(gòu)建方程求出x可得結(jié)論．
【詳解】解：如圖1，將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，連接QN，

∴BQ=BN，QC=NM，∠QBN=60°，∴△BQN是等邊三角形，
∴BQ=QN，∴QA+QB+QC=AQ+QN+MN，
∴當(dāng)點(diǎn)A，點(diǎn)Q，點(diǎn)N，點(diǎn)M共線時(shí)，QA+QB+QC值最小，此時(shí)，如圖2，連接MC
∵將△BQC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BNM，∴BQ=BN，BC=BM，∠QBN=60°=∠CBM，
∴△BQN是等邊三角形，△CBM是等邊三角形，∴∠BQN=∠BNQ=60°，BM=CM，
∵BM=CM，AB=AC，∴AM垂直平分BC，∵AD⊥BC，∠BQD=60°，∴BD=QD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，∴AD=BD，此時(shí)P與D重合，設(shè)PD=x，則DQ=x-2，
∴x=，∴x=3+，∴PD=3+．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)解決問題，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題．
4． (2023·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，與交于點(diǎn)，可推出結(jié)論：
問題解決：如圖，在中，，，．點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離和的最小值是___________
【答案】
【分析】如圖，將△MOG繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MPQ，易知△MOP為等邊三角形，繼而得到點(diǎn)O到三頂點(diǎn)的距離為：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，由此可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)N、O、P、Q在同一條直線上時(shí)，有ON＋OM＋OG最小，此時(shí)，∠NMQ＝75°+60°＝135°，過Q作QA⊥NM交NM的延長(zhǎng)線于A，利用勾股定理進(jìn)行求解即可得.
【詳解】如圖，將△MOG繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△MPQ，
顯然△MOP為等邊三角形，∴OM＋OG＝OP＋PQ，
∴點(diǎn)O到三頂點(diǎn)的距離為：ON＋OM＋OG＝ON＋OP＋PQ，
∴當(dāng)點(diǎn)N、O、P、Q在同一條直線上時(shí)，有ON＋OM＋OG最小，此時(shí)，∠NMQ＝75°+60°＝135°，
過Q作QA⊥NM交NM的延長(zhǎng)線于A，則∠MAQ=90°，∴∠AMQ＝180°-∠NMQ=45°，
∵M(jìn)Q＝MG＝4，∴AQ＝AM＝MQ?cs45°=4，
∴NQ＝，故答案為.
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，最短路徑問題，勾股定理，解直角三角形等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.
5． (2023·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．
【答案】
【分析】如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM．首先證明當(dāng)M，G，P，C共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，想辦法求出AC的長(zhǎng)即可解決問題.
【詳解】如圖將△ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMG．連接PG，CM．
∵AB=AC，AH⊥BC，∴∠BAP=∠CAP，
∵PA=PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC=PB，
∵M(jìn)G=PB，AG=AP，∠GAP=60°，∴△GAP是等邊三角形，
∴PA=PG，∴PA+PB+PC=CP+PG+GM，
∴當(dāng)M，G，P，C共線時(shí)，PA+PB+PC的值最小，最小值為線段CM的長(zhǎng)，
∵AP+BP+CP的最小值為2，∴CM=2，
∵∠BAM=60°，∠BAC=30°，∴∠MAC=90°，∴AM=AC=2，
作BN⊥AC于N．則BN=AB=1，AN=，CN=2-，
∴BC=．故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱-最短問題，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用兩點(diǎn)之間線段最短解決問題
6． (2023·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形 是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形內(nèi)任一點(diǎn)，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM 的最小值為________．
【答案】
【分析】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，如圖，則△BCM≌△BEN，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到CM=NE，進(jìn)而得到AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BH⊥AE，AH=EH，根據(jù)30°直角三角形三邊的關(guān)系即可得出結(jié)論．
【詳解】以BM為邊作等邊△BMN，以BC為邊作等邊△BCE，則BM=BN=MN，BC=BE=CE，∠MBN=∠CBE=60°，∴∠MBC=∠NBE，∴△BCM≌△BEN，∴CM=NE，∴AM+MB+CM=AM+MN+NE．當(dāng)A、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取最小值A(chǔ)E．
∵AB=BC=BE=6，∠ABH=∠EBH=60°，∴BH⊥AE，AH=EH，∠BAH=30°，∴BH=AB=3，AH=BH=，∴AE=2AH=．故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)．難度比較大．作出恰當(dāng)?shù)妮o助線是解答本題的關(guān)鍵．
7． (2023·陜西·二模）已知，如圖在中，，，，在內(nèi)部有一點(diǎn)D，連接DA、DB、DC．則的最小值是__________．
【答案】．
【分析】把△CDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CD′B′，過B′作B′E⊥AC，交AC延長(zhǎng)于E，則CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，可求DD′= ，在Rt△CEB′中，可求CE，AE= ，BE= ，當(dāng)點(diǎn)A、D、D′、B′四點(diǎn)在一直線時(shí)，AB′最短，可求AB′=BD++AD=．
【詳解】解：把△CDB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CD′B′，過B′作B′E⊥AC，交AC延長(zhǎng)于E，
則CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，∴DD′=CD÷cs45°=，
∵，，∴，
在Rt△CEB′中，∴CE=B′C·cs60°=5，∴AE=AC+CE=6+，
∴BE= B′C·sin60°=5，當(dāng)點(diǎn)A、D、D′、B′四點(diǎn)在一直線時(shí)，AB′最短，
∴AB′最短=，
AB′=B′D′+D′D+AD=BD++AD=．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形旋轉(zhuǎn)變換，特殊角銳角三角函數(shù)，勾股定理，四點(diǎn)共線時(shí)最短，掌握三角形旋轉(zhuǎn)變換，特殊角銳角三角函數(shù)，勾股定理，四點(diǎn)共線時(shí)最短，準(zhǔn)確作圖是解題關(guān)鍵．
8． (2023·陜西·八年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，且BE＝1．點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，將線段PE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EQ．若在正方形內(nèi)還存在一點(diǎn)M，則點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)Q的距離之和的最小值為_____．
【答案】2+3
【分析】如圖，過點(diǎn)Q作QK⊥BC于K．首先說明等Q的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線l，將△ADM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△NDP，連接AN，PN，PM，則△ADN，△DM都是等邊三角形，推出MA=PN，MD=MP，推出MA+MQ+MD=QM+MP+PN，過點(diǎn)N作NH⊥直線l于H，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)N，P，M，Q共線且與NH重合時(shí)，MA+MQ+MD的值最?。?br>【詳解】解：如圖，過點(diǎn)Q作QK⊥BC于K．
∵∠B＝∠QKE＝∠PEQ＝90°，∴∠PEB+∠QEK＝90°，∠QEK+∠EQK＝90°，∴∠PEB＝∠EQK，
∵EP＝EQ，∴△PBE≌△EKQ（AAS），∴BE＝QK＝1，
∴點(diǎn)Q在直線BC的上方到直線BC的距離為1的直線l上運(yùn)動(dòng)，
將△ADM繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△NDP，連接AN，PN，PM，則△ADN，△DM都是等邊三角形，
∴MA＝PN，MD＝MP，∴MA+MQ+MD＝QM+MP+PN，
過點(diǎn)N作NH⊥直線l于H，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)N，P，M，Q共線且與NH重合時(shí)，MA+MQ+MD的值最小，最小值＝2+3，故答案為2+3．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．
9． (2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．
(1)求證：；
(2)①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋CM的值最?。?br>②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；
(3)當(dāng)AM＋BM＋CM的最小值為時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)．
【答案】(1)見解析 (2)①BD的中點(diǎn)，②BD與CE的交點(diǎn)處，見解析 (3)
【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得出∠BMA=∠NBE，然后即可證明，
（2）①根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短，②連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，
（3）過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F, 設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，得出BF=x，EF=，在Rt△EFC中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
（1）解：∵△ABE是等邊三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，∴．即∠BMA=∠NBE．
又∵M(jìn)B=NB，∴（SAS）
（2）①∵，
∴當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM＋CM的值最小
②如圖，連接CE，當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，
AM＋BM＋CM的值最小
理由如下：連接MN．由（1）知，，∴AM=EN．
∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等邊三角形．∴BM=MN．
∴AM＋BM＋CM=EN＋MN＋CM根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，得EN＋MN＋CM=EC最短
∴當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng)
（3）過E點(diǎn)作EF⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于F，
∴．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則BF=x，EF=．
在Rt△EFC中，∵，∴，
解得， （舍去負(fù)值）．∴正方形的邊長(zhǎng)為，
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，解一元二次方程，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
10． (2023·福建九年級(jí)開學(xué)考試）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對(duì)角線（不含點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、、.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為.
（1）若建立平面直角坐標(biāo)系，滿足原點(diǎn)在線段上，點(diǎn)，.且（），則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；請(qǐng)直接寫出點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是 ；
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為2，求的長(zhǎng)，以及的最小值. (提示：連接:，)
【答案】（1），，；（2），.
【分析】（1）如圖1，以直線BD為x軸，直線AC為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OA=OB=OC=OD，由點(diǎn)B（-1，0），A（0，1），于是得到D（1，0），C（0，-1）；過N作NH⊥BD于h，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠NBH=60°，BM=BN，求得NH=BN=t，于是得到結(jié)論；
（2）如圖所示，連接MN，過E作EH⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BM=BN，∠NBM=60°，求得△BMN是等邊三角形，求得MN=BM，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BE=BA，∠ABE=60°，求得∠ABM=∠EBN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=EN，求得AM+BM+CM=EN+MN+CM，當(dāng)E，N，M，C在同一直線上時(shí)，AM+BM+CN的最小值是CE的長(zhǎng)，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【詳解】解：（1）如圖1，以直線為軸，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
∵四邊形是正方形∴
∵點(diǎn)，∴，
過作于∴
∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
∴∴
∵∴點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是
故答案為：，，
（2）如圖所示，連接，過作，交的延長(zhǎng)線于，
由旋轉(zhuǎn)可得，，，
∴是等邊三角形，∴
∵是等邊三角形∴
∴∴≌（）
∴∴
∴當(dāng)，，，在同一直線上時(shí)，的最小值是的長(zhǎng)，
又∵，∴∴中，
∴∴
∴中，
∴的最小值為
【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)以及勾股定理的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出結(jié)論．
11． (2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：平面幾何中的費(fèi)馬問題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題．1643年，在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費(fèi)馬提出了下面這個(gè)極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請(qǐng)求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)P的位置．托里拆利成功地解決了費(fèi)馬的問題．后來人們就把平面上到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C距離之和最小的點(diǎn)稱為ABC的費(fèi)馬-托里拆利點(diǎn)，也簡(jiǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn)．問題解決：
（1）費(fèi)馬問題有多種不同的解法，最簡(jiǎn)單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將BPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BDE，連接PD，可得BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉(zhuǎn)可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由 可知，PA+PB+PC的最小值與線段 的長(zhǎng)度相等；
（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)E，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在ADE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請(qǐng)直接寫出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）兩點(diǎn)之間，線段最短；AE；（2）2；（3）存在，2-2
【分析】（1）連接AE，由兩點(diǎn)之間線段最短即可求解；
（2）在Rt△ABC中先求出AC，將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CDE，連接PD、AE，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段AE的長(zhǎng)度相等，根據(jù)勾股定理即可求解；
（3）在△ADE內(nèi)部取一點(diǎn)P，連接PA、PD、PE，把△PAD饒點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△FGD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PD+PE的最小值與線段GE的長(zhǎng)度相等，再根據(jù)圓的特點(diǎn)、菱形與勾股定理即可求出GE，故可求解．
【詳解】（1）連接AE，如圖，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值為線段AE的長(zhǎng)
故答案為：兩點(diǎn)之間線段最短；AE；

（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=2 ∴BC=2AB=4
由勾股定理可得AC=
如圖2，將△BPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CDE，連接PD、AE，可得△CPD為等邊三角形，∠BCE=60°
∴PD=PC由旋轉(zhuǎn)可得DE=PB，CE=BC=4∴PA+PB+PC=PA+DE+PD
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PB+PC的最小值與線段AE的長(zhǎng)度相等
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=30°+60°=90°
∴在Rt△ACE中，AE=即PA+PB+PC的最小值為2；
（3）存在在ADE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P，使得PA+PD+PE最小，
如圖3，在△ADE內(nèi)部取一點(diǎn)P，連接PA、PD、PE，把△PAD饒點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△FGD，連接PF、GE、AG，可得△PDF、△ADG均為等邊三角形
∴PD=PF 由旋轉(zhuǎn)可得PA=GF
∴PA+PD+PE=GF+PF+PE，兩點(diǎn)之間線段最短可知，PA+PD+PE的最小值與線段GE的長(zhǎng)度相等
∵∠BEC=90°∴點(diǎn)E在以BC為直徑的O上，如圖3
則OB=OC==2 如圖3，連接OG交O于點(diǎn)H，連接CG交AD于點(diǎn)K，連接AC，則當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，GE取最小值，即PA+PD+PE的最小值為線段GH的長(zhǎng)
∵菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠ABC=60°∴AB=BC=CD=AD=4
∴△ABC、△ACD均為等邊三角形∴AC=CD=AD=DG=AG=4，∠ACB=∠ACD=60°
∴四邊形ACDG是菱形，∠ACG=∠ACD=30°∴CG、AD互相垂直平分
∴DK=AD=2∴根據(jù)勾股定理得CK=∴CG=2CK=
∵∠OCG=∠ACB+∠ACG=60°+30°=90°∴在Rt△OCG中，OG=
∵OH=OC=2∴GH=OG-OH=2-2即PA+PD+PE的最小值為2-2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形與圓綜合的最短距離，解題的關(guān)鍵是熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓周角定理及兩點(diǎn)之間的距離特點(diǎn)．
12． (2023·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
任務(wù)：（1）橫線處填寫的條件是__________；
（2）已知正方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到三點(diǎn)的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長(zhǎng).
【答案】（1）；（2）2.
【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到,都是等邊三角形,再利用正方形性質(zhì)和勾股定理表示出,根據(jù)題意得到求出a的值即可.
【詳解】解：（1）；
（2）如解圖①，連接，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，
連接EF,BG,AG，可知,都是等邊三角形，則.
又，.
點(diǎn)、點(diǎn)為定點(diǎn)（點(diǎn)為點(diǎn)繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得），
線段即為點(diǎn)到A,B,C三點(diǎn)的距離之和的最小值，
此時(shí)E,F兩點(diǎn)都在上（如解圖②）.
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，
在中，，
，
點(diǎn)到A,B,C三點(diǎn)的距離之和的最小值為，
，解得，此正方形的邊長(zhǎng)為2.
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),正方形的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,中等難度,掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,主要失分原因是: （1）未掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；（2）不能夠?qū)㈩}目探究過程中的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行推廣應(yīng)用.
13． (2023·山西·八年級(jí)階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐
材料一：“轉(zhuǎn)化思想”是幾何變換中常用的思想，例如將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，實(shí)現(xiàn)圖形位置的“轉(zhuǎn)化”，把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形，使問題化難為易．它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來處理孤立的、離散問題的思想．
材料二：皮埃爾·德·費(fèi)馬（如圖），世紀(jì)法國(guó)律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”．年勒·笛卡兒邀請(qǐng)費(fèi)馬思考關(guān)于三個(gè)頂點(diǎn)距離為定值的問題，費(fèi)馬經(jīng)過思考并由此推出費(fèi)馬點(diǎn)的相關(guān)結(jié)論．
定義：若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張角均為此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖1，當(dāng)三個(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)在內(nèi)部，此時(shí)的值最?。?br>
（1）如圖2，等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)若點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離分別為，求的度數(shù).為了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到處，連接此時(shí)這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段，轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出 ；
（2）如圖3，在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)，在射線上取點(diǎn)，連接．使求證：；（3）如圖4，在中，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出的值．
【答案】（1） ；（2）見解析；（3）．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）根據(jù)題意，先證明△APD是等邊三角形，再證明，得到，然后即可得到結(jié)論成立．（3）將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB=2AC，即A′B的長(zhǎng)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△BPP′是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得BP=PP′，等邊三角形三個(gè)角都是60°求出∠BPP′=∠BP′P=60°，然后求出C、P、A′、P′四點(diǎn)共線，再利用勾股定理列式求出A′C，從而得到PA+PB+PC=A′C．
【詳解】解：∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB，
由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′=60°，
∴△APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，
易證△PP′C為直角三角形，且∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠AP′C=∠AP′P+∠PP′C=60°+90°=150°；故答案為：；
證明:點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)，
又為等邊三角形
在和中，
，；
解：如圖，將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′P′B處，連接PP′，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，
∴BC=，
∵△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴△A′P′B如圖所示；
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，
∵△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′P′B，
∴A′B=AB=2，BP=BP′，A′P′=AP，∴△BPP′是等邊三角形，
∴BP=PP′，∠BPP′=∠BP′P=60°，∵∠APC=∠CPB=∠BPA=120°，
∴∠COP+∠BPP′=∠BP′A′+∠BP′P=120°+60°=180°，∴C、P、A′、P′四點(diǎn)共線，
在Rt△A′BC中，A′C=，∴PA+PB+PC=A′P′+PP′+PC=A′C=．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用旋轉(zhuǎn)變換添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
14． (2023·重慶綦江·九年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)E、F分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE、DF、EF．
(1)如圖1，連接AF，若AF⊥BC，E為AB的中點(diǎn)，且EF＝5，求DF的長(zhǎng)；
(2)如圖2，若BE＝BF，G為DE的中點(diǎn)，連接AF、AG、FG，求證：AG⊥FG；
(3)如圖3，若AB＝7，將△BEF沿EF翻折得到△EFP（始終保持點(diǎn)P在菱形ABCD的內(nèi)部），連接AP、BP及CP，請(qǐng)直接寫出當(dāng)PA＋PB＋PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)．
【答案】(1)(2)證明見解析(3)
【分析】（1）法一：如圖1，過點(diǎn)D作DG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，，在中，，E為AB的中點(diǎn)，AF⊥BC，BF＝EF＝BC，CG＝CD，DG＝CG，F(xiàn)G＝CF+CG，在中，DF＝，進(jìn)而求出DF；法二：四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，，，AF⊥BC則∠AFB＝90°，在中，，，是的中點(diǎn)，，是等邊三角形，可知EF＝BE＝AB，，AF＝5，在中， DF＝，進(jìn)而求出DF；
（2）法一：如圖2，延長(zhǎng)AG交CD于H，連接AC，F(xiàn)H；由四邊形ABCD為菱形知AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC＝60°，AB∥CD，∠AEG＝∠HDG，G為DE的中點(diǎn)有EG＝DG，得△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝BF，∠ABC＝60°，△BEF為等邊三角形，有FC＝DH，AC＝AD，，知△AFC≌△AHD，AH＝AF，同理△ABF≌△ACH，∠BAF＝∠CAH，∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，△AFH是等邊三角形，AG＝HG，進(jìn)而說明AG⊥FG．法二：如圖4，延長(zhǎng)AG交CD于H，連接FH，四邊形ABCD是菱形，有AB＝CD，AB∥CD，∠ABC＝60°，∠BCD=120°知∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，點(diǎn)G是DE中點(diǎn)，EG＝DG，由，知△AEG≌△HDG，AG＝HG，AE＝DH，BE＝CH，BE＝BF，∠ABC＝60°知△BEF是等邊三角形，有∠BEF＝60°，EF＝BE，∠AEF=120°，∠AEF＝∠FCH，EF＝CH，由，得△AEF≌△FCH，有AF＝HF，AG＝HG，進(jìn)而說明FG⊥AG；
（3）解：如圖a，在△ABC中，P為其中任意一點(diǎn)．連接AP，BP，得到△ABP．以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，得到△EBD，BD＝BP，△DBP 為一個(gè)等邊三角形，有PB＝PD，當(dāng)E、D、P、C 四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最??；如圖3，當(dāng)B、P、G、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC值最小，最小值為BD．將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DGC，知△APC≌△DGC，CP＝CG，∠PCG＝60°，△PCG是等邊三角形，PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°；菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，∠PCB＝∠CBP＝30°，BP＝CP，同理DG＝CG，BP＝PG＝GD，連接AC，交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD，在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，得OC、BO的值，BD＝2BO，BP＝BD，可求得BP的值．
（1）解：法一：如圖1，過點(diǎn)D作DG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，
∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°
∴，∴
∵AF⊥BC∴∠AFB＝90°，∴
∴△BEF為等邊三角形∴BF＝EF＝BC∴CF＝EF＝5
在中，∴CG＝CD＝5，DG＝CG＝5
∵FG＝CF+CG＝10∴DF＝＝5
法二：∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°∴，
∵AF⊥BC∴∠AFB＝90° 在中 ，
∵是的中點(diǎn) ∴ ∵ ∴是等邊三角形
∵EF＝5，EF＝BE＝AB ∴∴AF＝5
在中， DF＝＝5∴的值為．
（2）證明：法一：如圖2，延長(zhǎng)AG交CD于H，連接AC，F(xiàn)H，
∵四邊形ABCD為菱形∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABC=∠ADC∴∠AEG＝∠HDG，
∵G為DE的中點(diǎn)，∴EG＝DG，
在△AEG和△HDG中，，∴△AEG≌△HDG，∴AG＝HG，AE＝DH，
∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF為等邊三角形
∴BE＝BF=EF，∴FC＝DH，AC＝AD
在△AFC和△AHD中，，∴△AFC≌△AHD∴AH＝AF
同理：△ABF≌△ACH∴∠BAF＝∠CAH
∴∠FAH＝∠FAC+∠CAH＝∠FAC+∠BAF＝∠BAC＝60°，∴△AFH是等邊三角形
∵AG＝HG∴AG⊥FG．
法二：如圖4 延長(zhǎng)AG交CD于H，連接FH，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∵∠ABC＝60°∴∠BCD=120°
∴∠EAG＝∠DHG，∠AEG＝∠HDG，
∵點(diǎn)G是DE中點(diǎn)，∴EG＝DG，
在△AEG和△HDG中，，
∴△AEG≌△HDG∴AG＝HG，AE＝DH∴BE＝CH，
∵BE＝BF，∠ABC＝60°∴△BEF是等邊三角形
∴∠BEF＝60°，EF＝BE∴∠AEF=120°
∴∠AEF＝∠FCH，EF＝CH
在△AEF和△FCH中，
∴△AEF≌△FCH∴AF＝HF ∵AG＝HG∴FG⊥AG
（3）解：如圖a
在△ABC中，P為其中任意一點(diǎn)．連接AP，BP，得到△ABP．
以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，得到△EBD
∴BD＝BP，∴△DBP 為一個(gè)等邊三角形∴PB＝PD
∴PA+PB+PC＝DE+PD+PC∴當(dāng)E、D、P、C 四點(diǎn)共線時(shí)，為PA+PB+PC最小．
如圖3，當(dāng)B、P、G、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC值最小，最小值為BD．
∵將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DGC，
∴△APC≌△DGC，∴CP＝CG，∠PCG＝60°，
∴△PCG是等邊三角形，∴PG＝CG＝CP，∠GPC＝∠CGP＝60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，
∴∠PCB＝∠GPC﹣∠CBP＝60°﹣30°＝30°，
∴∠PCB＝∠CBP＝30°，∴BP＝CP，同理，DG＝CG，∴BP＝PG＝GD．
連接AC，交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝7，
∴OC＝，∴BO=∴BD＝2BO＝，
∴BP＝BD＝即當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形，特殊的直角三角形，勾股定理，全等三角形，等腰三角形，和的最值，旋轉(zhuǎn)，二次根式等知識(shí)點(diǎn)．解題的關(guān)鍵是靈活綜合運(yùn)用菱形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)等知識(shí)．
15. (2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．
1)求拋物線的解析式；(2)定義：平面上的任一點(diǎn)到二次函數(shù)圖象上與它橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的距離，稱為點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離．如：點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離是線段的長(zhǎng)．已知點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且在軸上方，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離．(3)在(2)中，當(dāng)點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小時(shí)，在為頂點(diǎn)的菱形內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使得之和最小，若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；(2)或；(3)的和最小值為．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法列方程組求出a、b的值即可；（2）根據(jù)拋物線解析式可求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出對(duì)稱軸解析式，分兩種情況：當(dāng)以AB為邊時(shí)，EF//AB，由對(duì)稱軸可得E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)EF=AB=4即可得出F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出EM的長(zhǎng)，把F點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線解析式，根據(jù)點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離的定義即可得出答案；當(dāng)以AB為菱形對(duì)角線時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB⊥EF，利用勾股定理可求出FM的長(zhǎng)，進(jìn)而可得F點(diǎn)坐標(biāo)，把F點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線解析式，根據(jù)點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離的定義即可得出答案；（3）由當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，連接，作于，根據(jù)AB=AF=BF可證明△ABF是等邊三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知均為等邊三角形，進(jìn)而可得當(dāng)共線時(shí)的和最短，在Rt△APN中，利用勾股定理求出AN的長(zhǎng)即可得答案.
【詳解】(1)∵拋物線過點(diǎn)，
∴解得 ∴解析式.
(2)當(dāng)時(shí)，由，得，
對(duì)稱軸所在直線為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵拋物線與軸相交于點(diǎn)．∴
①若為菱形的邊，如圖1，則，且的橫坐標(biāo)為3∴的橫坐標(biāo)為7或-1，
∵，∴∴或，
當(dāng)，∴點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=×(-1)2-(-1)×3+=6，∴點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為.

②若為對(duì)角線，如圖2，∵是菱形，，∴EM=FM==∴，
當(dāng)x=3時(shí)，y=×32-3×3+=-2，∴點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為=-2，
綜上所述：點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為或-2.
(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小，如圖3，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，連接，作于，∵AB=4，AF=BF=4，∴△ABF是等邊三角形，
∵將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，
∴≌，且均為等邊三角形，∴，
∵，
∴當(dāng)共線時(shí)的和最短，即最短值為的長(zhǎng)．
∵，∴且，∴，∴，
在中，，∴的和最小值為．
【點(diǎn)睛】本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，包括待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等邊三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，理解點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離的定義是解題關(guān)鍵.費(fèi)馬，17世紀(jì)德國(guó)的業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，他獨(dú)立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理.
費(fèi)馬得到過這樣的結(jié)論：如圖①，當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，在三角形內(nèi)有一點(diǎn)，使得，且該點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，這個(gè)點(diǎn)被稱為費(fèi)馬點(diǎn).
證明：如圖②，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，
________，
為等邊三角形.
，
，
點(diǎn)可看成是線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而得的定點(diǎn)，為定長(zhǎng)，
當(dāng)四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，最小，
這時(shí)，
，
.

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