模型一：A字模型
模型二：8字模型
模型三：子母模型（射影定理）
模型四：一線三等角模型
模型五：手拉手模型（旋轉(zhuǎn)模型）
二、【考點(diǎn)類型】
考點(diǎn)1：A字模型
典例1：（2021秋·安徽安慶·九年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)?？计谥校﹫D， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由 SKIPIF 1 < 0 ，可證△CGH∽△CAB，由性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可證△BGH∽△BDC，由性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，將兩個(gè)式子相加，即可求出GH的長．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，
∴△CGH∽△CAB，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，
△BGH∽△BDC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB=2，CD=3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得：GH= SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2022·廣東深圳·深圳市華勝實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在⊙O中， SKIPIF 1 < 0 ，CD⊥AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，AO的延長線交CD于點(diǎn)E．
(1)求證：AE⊥BC；
(2)求證：DF＝EF；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)弦與圓周角的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)圓周角定理和平行線的判定與性質(zhì)證得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可證得結(jié)論；
（3）證明 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，由已知 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求解即可．
【詳解】（1）證明：連接 SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交圓O點(diǎn)M，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過圓心O，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）證明：連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 是圓的直徑，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角、弧、弦的關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，正確作出輔助線是解答的關(guān)鍵．
【變式2】（2023春·安徽六安·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，以點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為圓心，以 SKIPIF 1 < 0 長為半徑作⊙ SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 是⊙ SKIPIF 1 < 0 的切線；
(2)已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求⊙ SKIPIF 1 < 0 的半徑．
【答案】(1)見解析
(2)3
【分析】（1）連接 SKIPIF 1 < 0 ，由垂直平分線的性質(zhì)可知， SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而得 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，得證 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切線；
（2）由（1）易證 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．設(shè) SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，解出方程即可得 SKIPIF 1 < 0 的半徑．
【詳解】（1）證明：連接 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的垂直平分線交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切線；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
經(jīng)檢驗(yàn)， SKIPIF 1 < 0 是原分式方程的解，
故 SKIPIF 1 < 0 的半徑為3．
【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，通過作輔助線，與圓心相連是解決問題的關(guān)鍵．
【變式3】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D是 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，點(diǎn)E在 SKIPIF 1 < 0 上，連接 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)F，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ＝__________．
【答案】2
【分析】過D作 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 于H點(diǎn)，過D作 SKIPIF 1 < 0 交BC于G點(diǎn)，先利用解直角三角形求出 SKIPIF 1 < 0 的長，其次利用 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的長，得出 SKIPIF 1 < 0 的長，最后利用 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的長，最后得出答案．
【詳解】解：如圖：過D作 SKIPIF 1 < 0 垂直 SKIPIF 1 < 0 于H點(diǎn)，過D作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于G點(diǎn)，
∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出答案．
考點(diǎn)2：8字模型
典例2：（2021秋·重慶·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】（1）證明見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；
（2）因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 ，代入數(shù)據(jù)解答即可．
【詳解】證明：（1） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式1】39．（2021春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．
（1）求證：DF?AB=BC?DG；
（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【分析】（1）由BC2=BF?BA，∠ABC=∠CBF可判斷△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判斷 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖，易得AH∥DE，由點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定 SKIPIF 1 < 0 ，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用等線段代換即可．
【詳解】證明：（1）∵BC2=BF?BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵DE∥BC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF?AB=BC?DG；
（2）作AH∥BC交CF的延長線于H，如圖，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中位線，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即2DF?EG=AF?DG．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，主要通過相似比得到線段之間的關(guān)系．
【變式2】（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）如圖所示，在 SKIPIF 1 < 0 中，兩條弦 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn)E，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)圓周角定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，
∵弧 SKIPIF 1 < 0 弧 SKIPIF 1 < 0 ，弧 SKIPIF 1 < 0 弧 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及三角形相似的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A中同弧或等弧所對(duì)的圓周角圓心角相等．
考點(diǎn)3：子母模型（射影定理）
典例3：（2022·遼寧營口·一模）如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的切線， SKIPIF 1 < 0 為切點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 半徑為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1） SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的切線，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即可得 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）根據(jù) SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑，得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)垂徑定理得 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】（1）證明： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的切線，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理及相似三角形的判定和性質(zhì)等，掌握?qǐng)A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．
【變式1】（2022·陜西西安·西北大學(xué)附中校考模擬預(yù)測）如圖， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的內(nèi)接三角形，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切線交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)證明見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）連接 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)切線的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)垂徑定理可得結(jié)論；
（2）由勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 的長，證明 SKIPIF 1 < 0 ，由相似三角形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，則可得出答案．
【詳解】（1）證明：連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切線，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，解直角三角形．證明 SKIPIF 1 < 0 是解此題的關(guān)鍵．
【變式2】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．
【答案】（1）見解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即可得出 SKIPIF 1 < 0
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，由相似三角形的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出CD的長．
【詳解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式3】（2021·江蘇無錫·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為矩形 SKIPIF 1 < 0 對(duì)角線的交點(diǎn)，以 SKIPIF 1 < 0 為圓心，1為半徑作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 面積的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)移動(dòng)到過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線平行于 SKIPIF 1 < 0 且與 SKIPIF 1 < 0 相切時(shí)， SKIPIF 1 < 0 面積的最大，由于 SKIPIF 1 < 0 為切點(diǎn)，得出 SKIPIF 1 < 0 垂直于切線，進(jìn)而得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)勾股定理先求得 SKIPIF 1 < 0 的長，進(jìn)而求得 SKIPIF 1 < 0 的長，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的長，從而求得 SKIPIF 1 < 0 的長，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得．
【詳解】解：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)移動(dòng)到過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的直線平行于 SKIPIF 1 < 0 且與 SKIPIF 1 < 0 相切時(shí)， SKIPIF 1 < 0 面積的最大，如圖，
SKIPIF 1 < 0 過 SKIPIF 1 < 0 的直線是 SKIPIF 1 < 0 的切線，
SKIPIF 1 < 0 垂直于切線，
延長 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的最大面積 SKIPIF 1 < 0 ，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是判斷出 SKIPIF 1 < 0 處于什么位置時(shí)面積最大．
考點(diǎn)4：一線三等角模型（重點(diǎn)）
典例4：（2020秋·寧夏銀川·九年級(jí)校考階段練習(xí)）將一副三角尺如圖①擺放，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ；在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的度數(shù)；
（2）如圖②，將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），此時(shí)的等腰直角三角尺記為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，試判斷 SKIPIF 1 < 0 的值是否隨著 SKIPIF 1 < 0 的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出 SKIPIF 1 < 0 的值；反之，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）30°；（2）不變， SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)等邊對(duì)等角求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 計(jì)算即可得解；
（2）先證明 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得 SKIPIF 1 < 0 為定值，再根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求解即可．
【詳解】解：（1）如圖①， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如圖②， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的值不隨著 SKIPIF 1 < 0 的變化而變化，是定值 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
【變式1】（2023春·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．
（1）求證△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的邊長．
【答案】（1）證明見解析；（2）3．
【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，證明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定義與三角形的內(nèi)角和定理證明：∠BPA＝∠PDC，從而可得結(jié)論；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，先求解 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，再利用相似三角形的性質(zhì)可得： SKIPIF 1 < 0 ，列方程，解方程即可得到答案．
【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，
∴∠BPA＋∠DPC＝120°
∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，
∴∠DPC＋∠PDC＝120°，
∴∠BPA＝∠PDC，
∴△ABP∽△PCD ；
（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵△ABP∽△PCD
SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
經(jīng)檢驗(yàn)： SKIPIF 1 < 0 是原方程的解，
所以三角形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
【變式2】（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn)P作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．設(shè) SKIPIF 1 < 0 的長為x．
(1) SKIPIF 1 < 0 ___________；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)試探究： SKIPIF 1 < 0 是否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說明理由；
(3)當(dāng) SKIPIF 1 < 0 是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1)4， SKIPIF 1 < 0
(2)是， SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 或4
【分析】（1）作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，只要求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 即可解決問題；
（2）結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 的值為定值．證明方法類似（1）；
（3）連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，代入數(shù)據(jù)求得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為4， SKIPIF 1 < 0 ．
（2）結(jié)論： SKIPIF 1 < 0 的值為定值．
理由：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）連接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 ，所以只能 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 垂直平分線段 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 的值為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題、考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．
【變式3】（2020春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 是正 SKIPIF 1 < 0 兩邊上的點(diǎn)，將 SKIPIF 1 < 0 沿直線 SKIPIF 1 < 0 翻折，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊 SKIPIF 1 < 0 上，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】先證明 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比和折疊的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解．
【詳解】解：設(shè)AF=x，
∵ SKIPIF 1 < 0 為等邊三角形，
∴AC=AB=BC=4x, ∠A=∠B=∠C=60°,CF=3x
∵ SKIPIF 1 < 0 翻折得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD=FD,BE=FE, ∠B=∠DFE=60°，
∴∠AFD+∠DFE=∠C+∠FEC，
∴∠AFD=∠CEF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題難度較大，根據(jù)題意找到“一線三等角”相似模型，理解相似三角形的周長比等于相似比是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)5：手拉手模型（重點(diǎn)）
典例5：（2023春·湖北襄陽·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）問題探究：如圖1， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均為等邊三角形，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）類比延伸：如圖2，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 ．
（3）拓展遷移：如圖3，在四邊形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若將線段 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，求線段 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3） SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)“邊角邊”證明 SKIPIF 1 < 0 ，問題得證；
（2）根據(jù)含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)得到 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）連接 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形得到 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而證明 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均為等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如圖③，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形．
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 為等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含 SKIPIF 1 < 0 角的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，理解特殊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意證明三角形全等或相似是解題關(guān)鍵．
【變式1】（2021秋·重慶渝北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形 SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是邊 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)．將 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 正好落在線段 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 處，使得 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長度為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝60°， 由沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)AD＝x，CD=DF＝ SKIPIF 1 < 0 ， 由BE=2，BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，可得CE＝ SKIPIF 1 < 0 ，可證 SKIPIF 1 < 0 ，利用性質(zhì) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解方程即可
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝60°，
∵ 沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝60°，CD=DF，CE＝EF，
∵AF：BF=1:2，
設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ＝x， SKIPIF 1 < 0 ＝DF＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵BE=2，BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ CE＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ＝60°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝120°， SKIPIF 1 < 0 ＝120°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 ，使等式有意義，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
故選擇：A．
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．
【變式2】（2020·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，頂點(diǎn)A在反比例函y＝ SKIPIF 1 < 0 （x＞0）上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)頂點(diǎn)B也在反比例函數(shù)y＝ SKIPIF 1 < 0 上運(yùn)動(dòng)，則m的值為( )
A．-9B．-12C．-15D．-18
【答案】A
【分析】根據(jù)∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出OA與OB的比，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，可得ab的值，進(jìn)而求出m的值．
【詳解】解：過A、B分別作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足為M、N，
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴tan30°= SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠BON+∠AOM=90°，∠BON+∠OBN=90°，
∴∠OBN=∠AOM，
∵∠BNO=∠AMO=90°，
∴△BNO∽△OMA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴設(shè)ON=a，BN=b，則AM= SKIPIF 1 < 0 ，OM= SKIPIF 1 < 0 ，
∴B（-a，b），A（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝ SKIPIF 1 < 0 上，
則 SKIPIF 1 < 0 × SKIPIF 1 < 0 =3，
∴ab=9，
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝ SKIPIF 1 < 0 上，
∴-a×b=m=-9，
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求出反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)是解答前提的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練
一、單選題
1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（ ）
A．4：25B．2：3C．4：9D．2：5
【答案】A
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：∵AE=2，EC=3，
∴AC=AE+EC=5，
∵DE SKIPIF 1 < 0 BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：∵AB∥CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴A選項(xiàng)正確，不符合題目要求；
∵AE∥DF，
∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB∥CD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴B選項(xiàng)正確，不符合題目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∴AF=DE，
∵AE∥DF，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
∴C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AB＞FA，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴D選項(xiàng)不正確，符合題目要求．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．
3．（2013·海南·中考真題）直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長度為
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．
【答案】C
【分析】分別過點(diǎn)A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先證明△BCE≌△ACF，再證明△CDG∽△CAF，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：如圖，分別過點(diǎn)A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC．
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，
∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF．
在△BCE與△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，
∴△BCE≌△CAF（ASA）．
∴CF=BE=3，CE=AF=4．
在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵AF⊥l3，DG⊥l3，
∴△CDG∽△CAF．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
在Rt△BCD中，∵ SKIPIF 1 < 0 ，BC=5，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，列出比例式是關(guān)鍵．
4.（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D為線段 SKIPIF 1 < 0 上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交線段 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn)E．
下面是某學(xué)習(xí)小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：
甲同學(xué)： SKIPIF 1 < 0 ；
乙同學(xué)：若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
丙同學(xué)：當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，D為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)．
則下列說法正確的是（ ）
A．只有甲同學(xué)正確B．乙和丙同學(xué)都正確
C．甲和丙同學(xué)正確D．三個(gè)同學(xué)都正確
【答案】D
【分析】在 SKIPIF 1 < 0 中，依據(jù)三角形外角及已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合等腰三角形易證 SKIPIF 1 < 0 ；結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ，易證 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，結(jié)合已知求得 SKIPIF 1 < 0 ，易證 SKIPIF 1 < 0 ，依據(jù)等腰三角形“三線合一”得 SKIPIF 1 < 0
【詳解】解：在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
甲同學(xué)正確；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
乙同學(xué)正確；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
D為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
丙同學(xué)正確；
綜上所述：三個(gè)同學(xué)都正確
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是通過“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”得到 SKIPIF 1 < 0 ．
5.（2023秋·河南平頂山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知點(diǎn)A，B，C，D，E均在方格紙的格點(diǎn)上，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積比為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用網(wǎng)格的性質(zhì)得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用勾股定理求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，得到相似比，從而得到面積之比．
【詳解】解：由圖可知： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的面積之比等于相似比的平方．
6．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 之間距離是1， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 之間距離是2，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，則邊 SKIPIF 1 < 0 的長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于E，交 SKIPIF 1 < 0 于F，在 SKIPIF 1 < 0 中運(yùn)用三角函數(shù)可得 SKIPIF 1 < 0 ，易證 SKIPIF 1 < 0 ，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后在 SKIPIF 1 < 0 中運(yùn)用勾股定理可求出 SKIPIF 1 < 0 ，再在 SKIPIF 1 < 0 中運(yùn)用三角函數(shù)就可求出 SKIPIF 1 < 0 的值．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于E，交 SKIPIF 1 < 0 于F，如圖．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵直線 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，構(gòu)造相似三角形是解決本題的關(guān)鍵．
7．（2022·廣東深圳·深圳市大鵬新區(qū)華僑中學(xué)?？级＃┤鐖D，已知D、E分別是 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 邊上的點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周長2，則 SKIPIF 1 < 0 的周長為（ ）
A．4B．6C．8D．18
【答案】B
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，可證 SKIPIF 1 < 0 ，得出周長的比等于相似比，即可得出答案．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的周長2，
SKIPIF 1 < 0 的周長為6．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形周長的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．
8．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上一點(diǎn)，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，易證得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四邊形 SKIPIF 1 < 0 是平行四邊形，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．
9．（2023·貴州遵義·?？家荒＃┤鐖D，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 邊上的點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的面積比是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1：2C．1：3D．1：4
【答案】B
【分析】根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似，可得 SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)面積比等于相似比的平方即可求解．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為公共角，
SKIPIF 1 < 0 ∽ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”時(shí)，往往有一個(gè)角是作為公共角出現(xiàn)的，是題目的隱含信息．另外需要注意面積比等于相似比的平方．
10．（2022秋·四川遂寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形 SKIPIF 1 < 0 的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上，若直線 SKIPIF 1 < 0 且間距相等， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 的垂線，構(gòu)造相似三角形，將 SKIPIF 1 < 0 轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 < 0 求出即可．
【詳解】解：如圖，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作直線 SKIPIF 1 < 0 的垂線，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，且間距相等，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，相似比為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，相似三角形，以及平行線的性質(zhì)、轉(zhuǎn)化思想等知識(shí)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用是解題關(guān)鍵．
11.（2020秋·廣西桂林·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖， 正方形ABCD中，△ SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AE=4，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】C
【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到∠BAC和∠EAF和∠ADB都等于45°，再加上公共角得到△AEF與△DEA相似，得到對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)果．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠ADB=45°，
∵把△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠EAF=∠ADB=45°，
∵∠AEF=∠DEA，
∴△AEF∽△DEA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴EF·ED=AE2，
∵AE=4，
∴EF·ED=16，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，找出相關(guān)的相似三角形是解題的關(guān)鍵．
12．（2022秋·九年級(jí)單元測試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF 的面積為2，則△ABC的面積為( )
A．8B．10C．12D．14
【答案】C
【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ，AD=BC，由 SKIPIF 1 < 0 可判斷△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)三角形面積公式得 SKIPIF 1 < 0 ，，則 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】∵平行四邊形ABCD
∴ SKIPIF 1 < 0 ，AD=BC
∵E為邊AD的中點(diǎn)
∴BC=2AE
∵ SKIPIF 1 < 0
∴∠EAC=∠BCA
又∵∠EFA=∠BFC
∴△AEF∽△CBF
如圖，過點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BC于點(diǎn)G，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵△AEF的面積為2
∴ SKIPIF 1 < 0
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于同步基礎(chǔ)題．
13．（2021·江蘇無錫·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)角線 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，所以CE= SKIPIF 1 < 0 AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得出．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，E是BC中點(diǎn)，
∴CE= SKIPIF 1 < 0 AD，
∵AD∥BC，
∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，
∴△CEF∽△ADF，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
解得DF=8，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，先根據(jù)題意判斷出△CEF∽△ADF，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵．
14．（2022·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形內(nèi)放一個(gè)Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角頂點(diǎn)D在半徑OB上，OD＝2DB，點(diǎn)E在半徑OA上，點(diǎn)F在弧 SKIPIF 1 < 0 上．則半徑OA的長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】看到點(diǎn)想位置，用角度刻畫F在 SKIPIF 1 < 0 上的位置，再利用 SKIPIF 1 < 0 建立等量關(guān)系解得半徑
【詳解】解：連接OF，作FG⊥ OB于點(diǎn)G，過F作 SKIPIF 1 < 0 于H，
設(shè)半徑為r， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因?yàn)榻夥匠虖?fù)雜，代入檢驗(yàn)得：
SKIPIF 1 < 0
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，首先要明確的一點(diǎn)是：△EDF的形狀是確定的．D點(diǎn)在OB上的位置也是確定的，所以點(diǎn)F在弧AB上的位置以及點(diǎn)E在OA上的位置也是確定的，應(yīng)當(dāng)思考利用什么樣的數(shù)量關(guān)系去刻畫這兩點(diǎn)的位置關(guān)系，而這恰恰是解題的關(guān)鍵．
15．（2020·海南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將正方形紙片ABCD沿EF折疊，折痕為EF，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)B′，點(diǎn)B′落在邊CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，則EF的長為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則CD=3x， SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 求出x=6，得到CD=18，CF=8， SKIPIF 1 < 0 =12，證明△ SKIPIF 1 < 0 ∽△ SKIPIF 1 < 0 求得DM=9， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，AM=9，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 求得AE=4，過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，再根據(jù)勾股定理求出EF= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則CD=3x， SKIPIF 1 < 0 ，
由折疊得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴CF=3x-10，
∵ SKIPIF 1 < 0
∴100= SKIPIF 1 < 0 ，
解得x=6或x=0（舍去），
∴CD=18，CF=8， SKIPIF 1 < 0 =12，
∵∠C=∠D=∠ SKIPIF 1 < 0 ,
∴∠ SKIPIF 1 < 0 ,
∴△ SKIPIF 1 < 0 ∽△ SKIPIF 1 < 0 ,
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴DM=9， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，AM=9，
在Rt△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
解得EM=5，
∴AE=4，
過點(diǎn)E作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，
∴BH=AE=4，EH=AB=CD=18，
∴FH=10-4=6，
∴EF= SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
故選：C.
【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，解題中多次用到勾股定理求出直角三角形中的邊長，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)的邊相等或角度相等是解題的關(guān)鍵.
二、填空題
16．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D， SKIPIF 1 < 0 中，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 的長為___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】延長 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，可得等腰 SKIPIF 1 < 0 和等腰 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再證明 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】解：如圖所示，延長 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰 SKIPIF 1 < 0 和②構(gòu)造等腰 SKIPIF 1 < 0 是解題關(guān)鍵．
17．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝ SKIPIF 1 < 0 ，那么BC＝_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】證明△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
∵ SKIPIF 1 < 0
∴BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．
18.（2020·海南海口·統(tǒng)考二模）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 邊上， SKIPIF 1 < 0 與邊 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別切于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】本題首先利用切線性質(zhì)以及圓半徑相等求證正方形OEBD，繼而利用平行推出線段比例關(guān)系以及 SKIPIF 1 < 0 ，最后通過正方形以及相似性質(zhì)列方程求解BE、CE以解本題．
【詳解】連接OE、OD，如下圖所示：
∵圓與AB、BC相切，∠B=90°
∴∠OEB=∠ODB=90°，
∴四邊形OEBD為矩形，OE∥AB，
又∵OE、OD為半徑，
∴四邊形OEBD為正方形．
由平行可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵OE=BE，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ．
故填： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查圓、正方形以及相似性質(zhì)的綜合，題干見到切線信息點(diǎn)通常需要連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造輔助線，題目若涉及線段比例時(shí)，通?？疾橄嗨菩再|(zhì)，可據(jù)此作為思路指引．
19．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為6的等邊△ABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，將△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，若BD : DE=2 : 3，則CF=____．
【答案】2.4
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等邊三角形的性質(zhì)可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，從而得到∠CDF=∠BED，進(jìn)而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：∠EDF=∠A，DF=AF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∵等邊△ABC的邊長為6 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：2.4
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，圖形的折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（2020秋·福建泉州·九年級(jí)福建省南安市僑光中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 是直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)A在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上．若點(diǎn)B在反比例函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上，則k的值為______
【答案】?8
【分析】求函數(shù)的解析式只要求出B點(diǎn)的坐標(biāo)就可以，過點(diǎn)A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．根據(jù)條件得到△ACO∽△ODB，得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后用待定系數(shù)法即可．
【詳解】過點(diǎn)A，B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，分別于C，D．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是（m，n），則AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∵∠DBO＋∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵OB＝2OA，
∴BD＝2m，OD＝2n，
因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝ SKIPIF 1 < 0 的圖象上，則mn＝2，
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝ SKIPIF 1 < 0 的圖象上，
∴B點(diǎn)的坐標(biāo)是（?2n，2m），
∴k＝?2n?2m＝?4mn＝?8．
故答案為：?8．
【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的判定和性質(zhì)，求函數(shù)的解析式的問題，一般要轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)的坐標(biāo)的問題，求出圖象上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積就可以求出反比例函數(shù)的解析式．
21．（2019·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC上有一點(diǎn)E，且CE＝4AE，點(diǎn)F在DC的延長線上，連接EF，過點(diǎn)E作EG⊥EF，交CB的延長線于點(diǎn)G，連接GF并延長，交AC的延長線于點(diǎn)P，若AB＝5，CF＝2，則線段EP的長是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖，作FH⊥PE于H．利用勾股定理求出EF，再證明△CEF∽△FEP，可得EF2＝EC?EP，由此即可解決問題．
【詳解】如圖，作FH⊥PE于H．
∵四邊形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5 SKIPIF 1 < 0 ，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4 SKIPIF 1 < 0 ，AE＝ SKIPIF 1 < 0 ，
∴EH＝5 SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5 SKIPIF 1 < 0 ）2+（ SKIPIF 1 < 0 ）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴EF2＝EC?EP，
∴EP＝ SKIPIF 1 < 0
故答案為 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．
22．（2019秋·浙江杭州·九年級(jí)期末）如圖，已知 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 是等邊三角形，連接 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 并延長交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 的長為______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】如圖，過點(diǎn)F作FM⊥EG于M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACB=∠ECD=60°，AB=AC，CE=CD，利用線段的和差關(guān)系可得CF=4，根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠BCE=∠ACD，利用SAS可證明△BCE≌△ACD，可得∠BEC=∠ADC，根據(jù)∠GFE=∠CFD即可證明△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得MG= SKIPIF 1 < 0 GF，設(shè)GF=2a，則EG=3a，MG=a，即可得出ME=2a，在Rt△EMF中，利用勾股定理列方程可求出a的值，進(jìn)而可求出EG的長．
【詳解】如圖，過點(diǎn)F作FM⊥EG于M，
∵△ABC和△DCE是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，BC=AC，CE=CD，
∴∠ACB-∠ACE=∠ECD-∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
∵CD=6，EF=2，CE=EF+CF，
∴CF=CE-EF=CD-EF=4，
在△BCE和△ACD中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△BCE≌△ACD，
∴∠BEC=∠ADC，
∵∠GFE=∠CFD，
∴△GEF∽△CDF，∠EGF=∠DCF=60°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)GF=2a，則EG=3a，
∵FM⊥EG，∠EGF=60°，
∴∠GFM=30°，
∴MG= SKIPIF 1 < 0 GF=a，
∴MF= SKIPIF 1 < 0 a，ME=EG-MG=2a，
∴EF2=ME2+MF2，即4a2+3a2=4，
解得：a= SKIPIF 1 < 0 ，（負(fù)值舍去）
∴EG=3a= SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，正確添加輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．
23．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn)，連接AF，以AF為對(duì)角線作正方形AEFG，邊FG與AC相交于點(diǎn)H，連接DG．以下四個(gè)結(jié)論：
①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；
②△ACF∽△ADG；
③ SKIPIF 1 < 0 ；
④DG⊥AC．
其中正確的是_____．（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【答案】①②④
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可知 SKIPIF 1 < 0 ，有對(duì)頂角相等，可證∠EAB＝∠BFE，由 SKIPIF 1 < 0 可證∠EAB＝∠DAG，可判斷結(jié)論①正確；由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等即可得△ACF∽△ADG，可判斷結(jié)論②正確；由結(jié)論②可知 SKIPIF 1 < 0 ，可得DG平分 SKIPIF 1 < 0 ，由正方形可知 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，可推出DG⊥AC，結(jié)論④正確；利用兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△ACF∽△AFH，根據(jù)相似的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又有 SKIPIF 1 < 0 ，則結(jié)論③錯(cuò)誤．
【詳解】解：設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)O，如圖所示，
∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故結(jié)論①正確；
∵AC、AF是正方形ABCD和正方形AEFG的對(duì)角線，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
∴△ACF∽△ADG．
故結(jié)論②正確；
由△ACF∽△ADG可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴DG平分 SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，
∴DG⊥AC．
故結(jié)論④正確；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ACF∽△AFH，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵在等腰直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故結(jié)論③錯(cuò)誤，
∴正確的結(jié)論是①②④，
故答案為：①②④．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．
24．（2021春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知正方形DEFG的頂點(diǎn)F在正方形ABCD的一邊AD的延長線上，連結(jié)AG，CE交于點(diǎn)H，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則CH的長為________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，證明△ANG∽ADM，得到 SKIPIF 1 < 0 ，從而求出DM的長，再通過勾股定理算出AM的長，通過證明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，從而說明△ADM∽△CHM，得到 SKIPIF 1 < 0 ，最后算出CH的長.
【詳解】解：連接EG，與DF交于N，設(shè)CD和AH交于M，
∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN，
∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°，
∴△ANG∽ADM，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴DF=EG=2,
∴DN=NG=1，
∵AD=AB=3，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得：DM= SKIPIF 1 < 0 ，
∴MC= SKIPIF 1 < 0 ，AM= SKIPIF 1 < 0 ，
∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG，
∴∠ADG=∠EDC，
在△ADG和△CDE中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴∠DAG=∠DCE，
∵∠AMD=∠CMH，
∴∠ADM=∠CHM=90°，
∴△ADM∽△CHM，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得：CH= SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是找到合適的全等三角形和相似三角形，通過其性質(zhì)計(jì)算出CH的長.
25．（2023秋·湖北襄陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn)D在邊 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為_____．
【答案】6
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可證 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用相似三角形的性質(zhì)求出 SKIPIF 1 < 0 的長，最后計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 即可．
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．
三、解答題
26．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 邊上的高．求證： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】見詳解
【分析】先證明 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ，即可證明 SKIPIF 1 < 0 ．
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分別是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 邊上的高，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
27.（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點(diǎn)E、D，連接EC、CD．
（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，⊙O的半徑為3，求OA的長．
【答案】（1）相切，見解析；（2）見解析；（3）5．
【分析】（1）連接OC，由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證明OC⊥AB，據(jù)此解題；
（2）連接OC，90°圓周角所對(duì)的弦是直徑，證明DE為⊙O的直徑，再證明△BCD∽△BEC，最后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解題；
（3）根據(jù)正切定義得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得OC=OE=3，再由△BCD∽△BEC，設(shè)BC=x，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，及勾股定理得到9+x2=（2x-3）2，解此一元二次方程，驗(yàn)根即可解題．
【詳解】解：（1）AB與⊙O相切，連接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵點(diǎn)C在⊙O上，
∴AB與⊙O相切；
（2）連接OC，
∵OC⊥AB，
∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，
又∵DE為⊙O的直徑，
∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BEC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BC2=BD?BE；
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∠ECD=90°，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵⊙O的半徑為3，
∴OC=OE=3，
∵△BCD∽△BEC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)BC=x，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴OB=2x-3，
∵∠OCB=90°，
∴OC2+BC2=OB2，
∴9+x2=（2x-3）2，
∴x1=0（舍去），x2=4，
∴OA=OB=5．
【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，切線的證明方法有兩種：1、有點(diǎn)連接此點(diǎn)與圓心，證明夾角為直角；2、無點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于圓的半徑，利用方程思想解題是關(guān)鍵．
28．（2022秋·北京房山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AD與BC交于O點(diǎn)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求CD的長．
【答案】1.5
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形的性質(zhì)可得出 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可求出CD的長．
【詳解】解：∵AD與BC交于O點(diǎn)，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式．
29．（2018·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，以AD為直徑的⊙O交AB于C點(diǎn)，BD的延長線交⊙O于E點(diǎn)，連CE交AD于F點(diǎn)，若AC＝BC．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求tan∠CED的值．
【答案】（1）見解析；（2）tan∠CED＝ SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）欲證明 SKIPIF 1 < 0 ，只要證明 SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè)FO＝2a，OC＝3a，則DF＝a，DE＝1.5a，AD＝DB＝6a，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得BD?BE＝BC?BA，設(shè)AC＝BC＝x，則有 SKIPIF 1 < 0 ，由此求出AC、CD即可解決問題.
【詳解】（1）證明：如下圖，連接AE，
∵AD是直徑，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴DC⊥AB，
∵AC＝CB，
∴DA＝DB，
∴∠CDA＝∠CDB，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠BDC＝∠EAC，
∵∠AEC＝∠ADC，
∴∠EAC＝∠AEC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：如下圖，連接OC，
∵AO＝OD，AC＝CB，
∴OC∥BD，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè)FO＝2a，OC＝3a，則DF＝a，DE＝1.5a，AD＝DB＝6a，
∵∠BAD＝∠BEC，∠B＝∠B，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴BD?BE＝BC?BA，設(shè)AC＝BC＝x，
則有 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合題，涉及到三角形的相似，解直角三角形等相關(guān)考點(diǎn)，熟練掌握三角形相似的判定及解直角三角形等相關(guān)內(nèi)容是解決本題的關(guān)鍵.
30．（2021秋·廣東佛山·九年級(jí)佛山市第十四中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，E為DC邊上一點(diǎn)，把 SKIPIF 1 < 0 沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，AD＝4，求EC的長．
【答案】（1）證明見解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)角的和差、直角三角形的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，最后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，先根據(jù)翻折的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)勾股定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．
【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由翻折的性質(zhì)得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
由翻折的性質(zhì)得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵四邊形ABCD是矩形，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的翻折問題、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
31．（2020·河南商丘·?？寄M預(yù)測）如圖， SKIPIF 1 < 0 的一邊 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 的圓心，另一邊與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 的平分線與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切線，交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求證： SKIPIF 1 < 0
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ．
①若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的長為______；
② SKIPIF 1 < 0 的最大值為______．
【答案】（1）見解析；（2）①4；② SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）連接 SKIPIF 1 < 0 ，利用等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義以及平行線的性質(zhì)證得 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①先證得 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似三角形的性質(zhì)求得 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理即可求得 SKIPIF 1 < 0 的長；
②先證 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，推出 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則： SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相切，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示：
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直徑，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為：4；
②連接 SKIPIF 1 < 0 ，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如圖所示：
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 有最大值，
∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理以及二次函數(shù)的性質(zhì)等，作出合適的輔助線構(gòu)造相似或全等三角形是解題的關(guān)鍵．
32．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D為 SKIPIF 1 < 0 邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）將線段 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ，則線段 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ；
【探究證明】（2）如圖2，在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 將 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 具有怎樣的位置關(guān)系，并說明理由；
【拓展延伸】（3）如圖3，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，畫出圖形，并求出線段 SKIPIF 1 < 0 的長度．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析；（3）畫出圖形見解析，線段 SKIPIF 1 < 0 的長度為 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由題意易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，從而可證 SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求解；
（2）連接 SKIPIF 1 < 0 ，由題意易得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可證 SKIPIF 1 < 0 ，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可求證；
（3）如圖，過A作 SKIPIF 1 < 0 ，由題意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及題意易證 SKIPIF 1 < 0 ，最后根據(jù)勾股定理及等積法進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：（1）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
理由：如圖2，連接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）如圖3，過A作AF⊥EC，
由題意可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 2× SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到相似三角形，進(jìn)而求解．
33．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：
(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是______；
(2)變式探究：如圖2， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP，以CP為底邊作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
(3)問題解決：如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以DP為邊作正方形DPEF，點(diǎn)Q是正方形DPEF兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，連接CQ．若正方形DPEF的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求正方形ABCD的邊長．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3)3
【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明 SKIPIF 1 < 0 ，再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到BP和CQ的數(shù)量關(guān)系；
（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等的判定定理證明 SKIPIF 1 < 0 ，之后再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到BP和AQ的數(shù)量關(guān)系；
（3）連接BD，如圖（見詳解），先由正方形的性質(zhì)判斷出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形，再利用與第二問同樣的方法證出 SKIPIF 1 < 0 ，由對(duì)應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段BP的長，接著設(shè)正方形ABCD的邊長為x，運(yùn)用勾股定理列出方程即可求得答案．
【詳解】（1）解：∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：判斷 SKIPIF 1 < 0 ，理由如下：
∵ SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）解：連接BD，如圖所示，
∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 與四邊形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，DE與PF交于點(diǎn)Q，
∴ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）， SKIPIF 1 < 0 ．
∴正方形 SKIPIF 1 < 0 的邊長為3．
【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角形的性質(zhì)，正確識(shí)圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵．
34．（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
小組討論后，提出了下列三個(gè)問題，請(qǐng)你幫助解答：
（1）將正方形 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1），還能得到 SKIPIF 1 < 0 嗎？若能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)說明理由；
（2）把背景中的正方形分別改成菱形 SKIPIF 1 < 0 和菱形 SKIPIF 1 < 0 ，將菱形 SKIPIF 1 < 0 繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），試問當(dāng) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形 SKIPIF 1 < 0 和矩形 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （如圖3），連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．試求 SKIPIF 1 < 0 的值（用a，b表示）．
【答案】（1）見解析；（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，理由見解析；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，則可證明 SKIPIF 1 < 0 ，從而可得出結(jié)論；
（2）由菱形的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則可證明 SKIPIF 1 < 0 ，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；
（3）設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于Q， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)P，證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理可求出答案．
【詳解】（1）∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在△AEB和△AGD中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
理由如下：
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又∵四邊形 SKIPIF 1 < 0 和四邊形 SKIPIF 1 < 0 均為菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在△AEB和△AGD中，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（3）設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于Q， SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn)P，
由題意知， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在Rt△EAG中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由(3)可得結(jié)論：當(dāng)四邊形的對(duì)角線相互垂直時(shí)，四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等．
35．（2023春·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖， SKIPIF 1 < 0 是半圓 SKIPIF 1 < 0 的直徑， SKIPIF 1 < 0 為半圓 SKIPIF 1 < 0 上的點(diǎn)（不與 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），連接 SKIPIF 1 < 0 ，點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，過點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 的延長線于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，連接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求證： SKIPIF 1 < 0 是半圓 SKIPIF 1 < 0 的切線；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求半圓 SKIPIF 1 < 0 的半徑及 SKIPIF 1 < 0 的長．
【答案】(1)見解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為弧 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，得出 SKIPIF 1 < 0 ，然后得出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而即可求解；
（2）連接 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，證明 SKIPIF 1 < 0 得出 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而證明 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）證明：連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
SKIPIF 1 < 0 點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 為弧 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是半圓 SKIPIF 1 < 0 的切線．
（2）解：連接 SKIPIF 1 < 0 ，如圖，
SKIPIF 1 < 0 是半圓 SKIPIF 1 < 0 的直徑，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 半圓 SKIPIF 1 < 0 的半徑為 SKIPIF 1 < 0 ．
設(shè) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 相交于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．

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