中考數(shù)學二輪復習模型解讀與提分精練專題12 最值模型-費馬點問題（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

【模型背景】皮耶·德·費馬，17世紀法國數(shù)學家，有“業(yè)余數(shù)學家之王”的美譽，之所以叫業(yè)余并非段位不夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學．費馬在解析幾何、微積分等領域都有卓越的貢獻，除此之外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、“費馬大定理”等．費馬點：三角形內(nèi)的點到三個頂點距離之和最小的點。
【模型解讀】
結論1：如圖，點M為△ABC內(nèi)任意一點，連接AM、BM、CM，當M與三個頂點連線的夾角為120°時，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述結論成立的條件是△ABC的最大的角要小于120o，若最大的角大于或等于120o，此時費馬點就是最大角的頂點A。（這種情況一般不考，通常三角形的最大頂角都小于120°）
【模型證明】以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN．
∵△ABE為等邊三角形，∴AB＝BE，∠ABE＝60°．而∠MBN＝60°，∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB與△ENB中，∵，∴△AMB≌△ENB（SAS）．
連接MN．由△AMB≌△ENB知，AM＝EN．∵∠MBN＝60°，BM＝BN，∴△BMN為等邊三角形．
∴BM＝MN．∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．∴當E、N、M、C四點共線時，AM+BM+CM的值最小．
此時，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
費馬點的作法：如圖3，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設交點為M，則點M即為△ABC的費馬點。
結論2：點P為銳角△ABC內(nèi)任意一點，連接AP、BP、CP，求xAP+yBP+zCP最小值。（加權費馬點）
【模型證明】第一步，選定固定不變線段；第二步，對剩余線段進行縮小或者放大。
如：保持BP不變，xAP+yBP+zCP=，如圖，B、P、P2、A2四點共線時，取得最小值。
模型特征：PA+PB+PC（P為動點）
①一動點，三定點；②以三角形的三邊向外作等邊三角形的，再分別將所作等邊三角形最外的頂點與已知三角形且與所作等邊三角形相對的頂點相連，連線的交點即為費馬點；③同時線段前可以有不為1的系數(shù)出現(xiàn)，即：加權費馬點。
【最值原理】兩點之間，線段最短。
例1．（2021·山東濱州·中考真題）如圖，在中，，，．若點P是內(nèi)一點，則的最小值為____________．
例2．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若，P為的費馬點，則_________；若，P為的費馬點，則_________．
例3.（2022·宜賓·中考真題）如圖，和都是等腰直角三角形，，點D是BC邊上的動點（不與點B、C重合），DE與AC交于點F，連結CE．下列結論：①；②；③若，則；④在內(nèi)存在唯一一點P，使得的值最小，若點D在AP的延長線上，且AP的長為2，則．其中含所有正確結論的選項是（）
A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
例4．（2022·江蘇·九年級階段練習）探究題
(1)知識儲備：①如圖1，已知點P為等邊△ABC外接圓的弧BC上任意一點．求證：PB+PC=PA．
②定義：在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．
(2)知識遷移：我們有如下探尋△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的費馬點和費馬距離的方法：如圖2，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓，根據(jù)(1)的結論，易知線段____的長度即為△ABC的費馬距離．
(3)知識應用：①如圖3所示的△ABC（其中均小于），，現(xiàn)取一點P，使點P到三點的距離之和最小，求最小值；
②如圖4，若三個村莊構成Rt△ABC，其中．現(xiàn)選取一點P打水井，使P點到三個村莊鋪設的輸水管總長度最小，畫出點P所對應的位置，輸水管總長度的最小值為________．（直接寫結果）
例5．（2020·重慶中考真題）如圖，在中，，，點D是BC邊上一動點，連接AD，把AD繞點A逆時針旋轉90°，得到AE，連接CE，DE．點F是DE的中點，連接CF．
（1）求證：；（2）如圖2所示，在點D運動的過程中，當時，分別延長CF，BA，相交于點G，猜想AG與BC存在的數(shù)量關系，并證明你猜想的結論；
（3）在點D運動的過程中，在線段AD上存在一點P，使的值最?。?shù)闹等〉米钚≈禃r，AP的長為m，請直接用含m的式子表示CE的長．
例6．（2022·河北·九年級專題練習）如圖，在平面直角坐標系xy中，點B的坐標為(0，2)，點在軸的正半軸上，，OE為△BOD的中線，過B、兩點的拋物線與軸相交于、兩點（在的左側）.（1）求拋物線的解析式；（2）等邊△的頂點M、N在線段AE上，求AE及的長；（3）點為△內(nèi)的一個動點，設，請直接寫出的最小值,以及取得最小值時，線段的長.
例7．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求最小值
課后專項訓練
1．（2021·山東淄博市·中考真題）兩張寬為的紙條交叉重疊成四邊形，如圖所示．若，則對角線上的動點到三點距離之和的最小值是__________．
2．（2022·成都實外九年級階段練習）如圖，在中，，P是內(nèi)一點，求的最小值為______．
3．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點P是AB邊上一動點，作PD⊥BC于點D，線段AD上存在一點Q，當QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2時，則PD=________．
4．（2019·湖北武漢·中考真題）問題背景：如圖，將繞點逆時針旋轉60°得到，與交于點，可推出結論：
問題解決：如圖，在中，，，．點是內(nèi)一點，則點到三個頂點的距離和的最小值是___________
5．（2022·重慶·九年級專題練習）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝_____．
6．（2022·江蘇·九年級專題練習）如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60° ，M是菱形內(nèi)任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM 的最小值為________．
7．（2022·陜西·二模）已知，如圖在中，，，，在內(nèi)部有一點D，連接DA、DB、DC．則的最小值是__________．
8．（2022·陜西·八年級期末）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E在BC邊上，且BE＝1．點P是AB邊上的動點，連接PE，將線段PE繞點E順時針旋轉90°得到線段EQ．若在正方形內(nèi)還存在一點M，則點M到點A、點D、點Q的距離之和的最小值為_____．
9．（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM．
(1)求證：；
(2)①當M點在何處時，AM＋CM的值最??；
②當M點在何處時，AM＋BM＋CM的值最小，并說明理由；
(3)當AM＋BM＋CM的最小值為時，求正方形的邊長．
10．（2022·福建九年級開學考試）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線（不含點）上任意一點，將繞點逆時針旋轉得到，連接、、.設點的坐標為.
（1）若建立平面直角坐標系，滿足原點在線段上，點，.且（），則點的坐標為，點的坐標為；請直接寫出點縱坐標的取值范圍是；
（2）若正方形的邊長為2，求的長，以及的最小值. (提示：連接:，)
11．（2022·廣東·九年級專題練習）閱讀材料：平面幾何中的費馬問題是十七世紀法國數(shù)學家、被譽為業(yè)余數(shù)學家之王的皮埃爾·德·費馬提出的一個著名的幾何問題．1643年，在一封寫給意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利的私人信件中，費馬提出了下面這個極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最短的點P的位置．托里拆利成功地解決了費馬的問題．后來人們就把平面上到一個三角形的三個頂點A，B，C距離之和最小的點稱為ABC的費馬-托里拆利點，也簡稱為費馬點或托里拆利點．問題解決：
（1）費馬問題有多種不同的解法，最簡單快捷的還是幾何解法．如圖1，我們可以將BPC繞點B順時針旋轉60°得到BDE，連接PD，可得BPD為等邊三角形，故PD=PB，由旋轉可得DE=PC，因PA+PB+PC=PA+PD+DE，由可知，PA+PB+PC的最小值與線段的長度相等；
（2）如圖2，在直角三角形ABC內(nèi)部有一動點P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，連接PA，PB，PC，若AB=2，求PA+PB+PC的最小值；（3）如圖3，菱形ABCD的邊長為4，∠ABC=60°，平面內(nèi)有一動點E，在點E運動過程中，始終有∠BEC=90°，連接AE、DE，在ADE內(nèi)部是否存在一點P，使得PA+PD+PE最小，若存在，請直接寫出PA+PD+PE的最小值；若不存在，請說明理由．
12．（2022·山西·九年級專題練習）請閱讀下列材料，并完成相應的任務：
任務：（1）橫線處填寫的條件是__________；
（2）已知正方形內(nèi)一動點到三點的距離之和的最小值為，求此正方形的邊長.
13．（2022·山西·八年級階段練習）綜合與實踐
材料一：“轉化思想”是幾何變換中常用的思想，例如將圖形進行旋轉變換，實現(xiàn)圖形位置的“轉化”，把一般情形轉化為特殊情形，使問題化難為易．它是一種以變化的、運動的觀點來處理孤立的、離散問題的思想．
材料二：皮埃爾·德·費馬（如圖），世紀法國律師和業(yè)余數(shù)學家，被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王”．年勒·笛卡兒邀請費馬思考關于三個頂點距離為定值的問題，費馬經(jīng)過思考并由此推出費馬點的相關結論．
定義：若一個三角形的最大內(nèi)角小于則在其內(nèi)部有一點所對三角形三邊的張角均為此時該點叫做這個三角形的費馬點.如圖1，當三個內(nèi)角均小于時，費馬點在內(nèi)部，此時的值最小．

（1）如圖2，等邊三角形內(nèi)有一點若點到頂點的距離分別為，求的度數(shù).為了解決本題，小林利用“轉化”思想，將繞頂點旋轉到處，連接此時這樣就可以通過旋轉變換，將三條線段，轉化到一個三角形中，從而求出；
（2）如圖3，在圖1的基礎上延長，在射線上取點，連接．使求證：；（3）如圖4，在中，點為的費馬點，連接，請直接寫出的值．
14．（2022·重慶綦江·九年級期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點E、F分別是AB、BC上的動點，連接DE、DF、EF．
(1)如圖1，連接AF，若AF⊥BC，E為AB的中點，且EF＝5，求DF的長；
(2)如圖2，若BE＝BF，G為DE的中點，連接AF、AG、FG，求證：AG⊥FG；
(3)如圖3，若AB＝7，將△BEF沿EF翻折得到△EFP（始終保持點P在菱形ABCD的內(nèi)部），連接AP、BP及CP，請直接寫出當PA＋PB＋PC值最小時PB的長．
15.（2022·廣東·九年級專題練習）如圖，拋物線經(jīng)點，與軸相交于點．
1)求拋物線的解析式；(2)定義：平面上的任一點到二次函數(shù)圖象上與它橫坐標相同的點的距離，稱為點到二次函數(shù)圖象的垂直距離．如：點到二次函數(shù)圖象的垂直距離是線段的長．已知點為拋物線對稱軸上的一點，且在軸上方，點為平面內(nèi)一點，當以為頂點的四邊形是邊長為4的菱形時，請求出點到二次函數(shù)圖象的垂直距離．(3)在(2)中，當點到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小時，在為頂點的菱形內(nèi)部是否存在點，使得之和最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．
費馬，17世紀德國的業(yè)余數(shù)學家，被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王”，他獨立于笛卡兒發(fā)現(xiàn)了解析幾何的基本原理.
費馬得到過這樣的結論：如圖①，當三角形的三個角均小于時，在三角形內(nèi)有一點，使得，且該點到三角形三個頂點的距離之和最小，這個點被稱為費馬點.
證明：如圖②，把繞點逆時針旋轉得到，連接，則，
________，
為等邊三角形.
，
，
點可看成是線段繞點逆時針旋轉而得的定點，為定長，
當四點在同一直線上時，最小，
這時，
，
.

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