第2課時 加減消元法
基礎(chǔ)過關(guān)全練
知識點(diǎn)2 用加減消元法解二元一次方程組
8.(2023河北保定蓮池期末)用加減消元法解方程組x+y=-3①,3x+y=6②,由②-①消去未知數(shù)y,所得到的一元一次方程是( )
A.2x=9 B.2x=3 C.4x=9 D.4x=3
9.在解二元一次方程組x-2y=2①,4x-2y=5②時,下列方法中無法消元的是(M7206002)( )
A.①-②
B.由①變形得x=2+2y③,將③代入②
C.①×4+②
D.由②變形得2y=4x-5③,將③代入①
10.【一題多變·利用加減法求代數(shù)式的值】已知方程組2x+y=4,x+2y=1,則x-y的值為( )
A.53 B.2 C.3 D.-2
[變式1·利用加減法求代數(shù)式中字母的值]已知方程組27x+63y=59,63x+27y=-13的解滿足x-y=m-1,則m的值為( )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
[變式2·利用加減法及代數(shù)式的值求未知數(shù)]若方程組3x+y=1+3a,x+3y=1-a的解滿足x-y=-2,則a的值為( )
A.-1 B.1 C.-2 D.不能確定
11.【新獨(dú)家原創(chuàng)】在解關(guān)于x、y的二元一次方程組6x+☉y=3①,2x+?y=-1②時,若②-①可以直接消去未知數(shù)y,則x= .
12.如果|x-2y+1|+(x+y-5)2=0,那么x= ,y= .
13.解方程組:(M7206002)
(1)(2023河北保定蓮池期末)x-3y=-10①,x+y=6②;
(2)(2023河北邢臺期末)7x-3y=2①,2x+y=8②;
(3)(2023河北邢臺期末)x3+y4=6,3x-4y=4;
(4)(2023河北保定蓮池期末)x2-y-13=1,4x-y=8.
14.【教材變式·P13A組T2】已知方程ax+by=11的兩組解是x=1,y=-4和x=5,y=2,求a,b的值.
能力提升全練
15.(2022湖南株洲中考,7,★☆☆)對于二元一次方程組y=x-1①,x+2y=7②,將①式代入②式,消去y可以得到( )
A.x+2x-1=7 B.x+2x-2=7
C.x+x-1=7 D.x+2x+2=7
16.(2023河北石家莊四十二中調(diào)研,11,★★☆)由方程組2x+m=1,m=y-3可得x與y的關(guān)系是( )
A.2x+y=4 B.2x+y=-4
C.2x-y=4 D.2x-y=-4
17.(2023河北邢臺期中,13,★★☆)在解二元一次方程組時,我們常常采用的方法是消元法,將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.下面是甲、乙兩個同學(xué)解方程組2x+5y=18①,7x+4y=36②的解題思路,甲同學(xué):①+②,得9x+9y=54③,③×29-①,得到一元一次方程再求解.乙同學(xué):②-①×2,得3x-6y=0③,由③得x=2y,再代入原方程組中的任意一個方程中,轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解.通過閱讀可知,下列對甲、乙兩同學(xué)的思路判斷正確的是( )
A.只有甲同學(xué)的思路正確
B.只有乙同學(xué)的思路正確
C.甲、乙兩同學(xué)的思路都不正確
D.甲、乙兩同學(xué)的思路都正確
18.【一題多解】(2023湖南常德中考,18,★★☆)
解方程組:x-2y=1①,3x+4y=23②.
19.【同解問題】(2023河北廊坊八中期中,24,★★☆)已知方程組3x+2y=5,ax-by=1與y=2x-1,bx+ay=7的解相同.
(1)求這個相同的解;
(2)求a,b的值.
素養(yǎng)探究全練
20.【運(yùn)算能力】(2023河北石家莊十八中期中)題目:已知有理數(shù)a,b滿足a+b=2,且3a+2b=4k-4,2a+3b=-2,求k的值.
三位同學(xué)分別提出了以下三種不同的解題思路.
甲同學(xué):先解關(guān)于a,b的方程組3a+2b=4k-4,2a+3b=-2,再求k的值;
乙同學(xué):先解方程組a+b=2,2a+3b=-2,再求k的值;
丙同學(xué):將原方程組中的兩個方程相加,再求k的值.
(1)試選擇其中一個你認(rèn)為簡單的思路,解答此題;
(2)我們在解關(guān)于x,y的二元一次方程組(m+1)x-ny=12①,(n+2)x+my=8②時,可以用①×7-②×3消去未知數(shù)x,也可以用①×2+②×5消去未知數(shù)y,求m和n的值;
(3)在(2)的條件下,直接寫出方程組(m+1)x-ny=12,(n+2)x+my=8的解: .
答案全解全析
基礎(chǔ)過關(guān)全練
8.A 解方程組x+y=-3①,3x+y=6②,由②-①消去未知數(shù)y,所得到的一元一次方程是2x=9.故選A.
9.C A.①-②,得-3x=-3,可以消去y,故A不符合題意;
B.由①變形得x=2+2y③,將③代入②,得4(2+2y)-2y=5,可以消去x,故B不符合題意;
C.①×4+②,得8x-10y=13,無法消元,故C符合題意;
D.由②變形得2y=4x-5③,將③代入①,得x-(4x-5)=2,可以消去y,故D不符合題意.故選C.
10.C 由方程組可得2x+y-(x+2y)=4-1,
化簡,得x-y=3,故選C.
[變式1] A 27x+63y=59①,63x+27y=-13②,
②-①,得36x-36y=-72,則x-y=-2,
由題意知x-y=m-1,所以m-1=-2,
所以m=-1.故選A.
[變式2] A 3x+y=1+3a①,x+3y=1-a②,
①-②,得2x-2y=4a,即x-y=2a,
由題意知x-y=-2,
所以2a=-2,
解得a=-1.故選A.
11.1
解析 6x+☉y=3①,2x+?y=-1②,
由題意得②-①可以得到方程-4x=-4,解得x=1.
12.3;2
解析 ∵|x-2y+1|+(x+y-5)2=0,
∴x-2y+1=0①,x+y-5=0②,
①+②×2,得x-2y+1+2x+2y-10=0,解得x=3,
把x=3代入②,得3+y-5=0,解得y=2.
13.解析 (1)②-①,得4y=16,解得y=4,
把y=4代入②,得x+4=6,解得x=2,
則原方程組的解為x=2,y=4.
(2)①+②×3,得13x=26,解得x=2,
把x=2代入②,得4+y=8,解得y=4,
則原方程組的解為x=2,y=4.
(3)原方程組整理得4x+3y=72①,3x-4y=4②,
①×4+②×3,得25x=300,解得x=12,
把x=12代入①,得48+3y=72,解得y=8,
則原方程組的解為x=12,y=8.
(4)原方程組整理得3x-2y=4①,4x-y=8②,
②×2-①,得5x=12,解得x=125,
把x=125代入②,得485-y=8,解得y=85,
則原方程組的解為x=125,y=85.
14.解析 ∵方程ax+by=11的兩組解是x=1,y=-4和x=5,y=2,
∴a-4b=11①,5a+2b=11②,①+②×2,得11a=33,解得a=3,
把a(bǔ)=3代入①,得3-4b=11,解得b=-2,
∴a=3,b=-2.
能力提升全練
15.B 將①式代入②式,得x+2(x-1)=7,∴x+2x-2=7,故選B.
16.A 2x+m=1①,m=y-3②,把②代入①,得2x+y-3=1,
整理得2x+y=4,故選A.
17.D 解方程組2x+5y=18①,7x+4y=36②,
甲同學(xué):①+②,得9x+9y=54③,
③×29-①,得-3y=-6,解得y=2,
把y=2代入①,得2x+10=18,解得x=4,
∴原方程組的解為x=4,y=2.
乙同學(xué):②-①×2,得3x-6y=0③,
由③得x=2y④,把④代入①,得4y+5y=18,解得y=2,
把y=2代入④,得x=4,
∴原方程組的解為x=4,y=2.
故甲、乙兩同學(xué)的思路都正確.故選D.
18.解析 解法一(代入消元法):
由①得x=1+2y③,
把③代入②,得3(1+2y)+4y=23,解得y=2,
把y=2代入③,得x=1+2×2=5,
故原方程組的解為x=5,y=2.
解法二(加減消元法):
①×2+②,得5x=25,解得x=5,
把x=5代入①,得5-2y=1,解得y=2,
所以原方程組的解是x=5,y=2.
19.解析 (1)∵方程組3x+2y=5,ax-by=1與y=2x-1,bx+ay=7的解相同,
∴方程組3x+2y=5,y=2x-1的解就是原來兩個方程組的解,
解方程組3x+2y=5,y=2x-1,得x=1,y=1.
∴這個相同的解是x=1,y=1.
(2)把x=1,y=1代入方程組ax-by=1,bx+ay=7,得a-b=1,b+a=7,解得a=4,b=3.
方法解讀 由這個題我們看到,在這兩個二元一次方程組中各有一個二元一次方程不含有a和b,因?yàn)閮蓚€二元一次方程組的解相同,所以我們將兩個不含有參數(shù)的二元一次方程組合在一起組成一個新的二元一次方程組,求出x和y.求出x,y之后,再將值代入含有參數(shù)的兩個二元一次方程中,得到一個關(guān)于a,b的二元一次方程組,即可求出原來兩個二元一次方程組中的未知系數(shù).
素養(yǎng)探究全練
20.解析 (1)(選擇一個即可)
乙同學(xué)的思路:
解方程組a+b=2,2a+3b=-2,得a=8,b=-6,
∴3a+2b=24-12=4k-4,解得k=4.
丙同學(xué)的思路:3a+2b=4k-4①,2a+3b=-2②,
①+②,得5a+5b=4k-6,∴a+b=4k-65,
由題意知a+b=2,∴4k-65=2,解得k=4.
(2)∵在解關(guān)于x,y的二元一次方程組(m+1)x-ny=12①,(n+2)x+my=8②時,可以用①×7-②×3消去未知數(shù)x,也可以用①×2+②×5消去未知數(shù)y,
∴7(m+1)-3(n+2)=0,-2n+5m=0,解得m=2,n=5.
(3)把m=2,n=5代入方程組(m+1)x-ny=12,(n+2)x+my=8,得3x-5y=12①,7x+2y=8②,
①×2+②×5,得41x=41,解得x=1,
把x=1代入②,得7+2y=8,解得y=12,
所以方程組(m+1)x-ny=12,(n+2)x+my=8的解是x=1,y=12.

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6.2 二元一次方程組的解法

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