掌握五種角度計算模型：A字模型、8字模型、飛鏢模型、角平分線模型（內內模型、內外模型、外外模型）、折角模型（折內模型、折外模型）
如圖，△ABC中，∠A=ɑ，點E在AB邊上（不與端點重合），點F在AC邊上（不與端點重合），則∠AEF+∠AFE=________；∠BEF+∠CFE=________。
【分析】∵∠A=ɑ，∴∠AEF+∠AFE=180°-∠A=180°-ɑ；
法一：∵∠BEF=180°-∠AEF，∠CFE=180°-∠AFE，∴∠BEF+∠CFE=180°-∠AEF+180°-∠AFE=360°-(180°-ɑ)=180°+ɑ；
法二：∵∠BEF=∠AEF+∠A，∠CFE=∠AFE+∠A，∴∠BEF+∠CFE=∠AEF+∠AFE+∠A+∠A=180°+ɑ。
【A字模型】如圖，∠AEF+∠AFE=180°-∠A；∠BEF+∠CFE=180°+∠A。
例、如圖，在△ABC中，∠C=70°，沿圖中虛線截去∠C，則∠1+∠2=（　　）A．140°B．180°C．250°D．360°
【分析】∠1+∠2=180°+∠C=180°+70°=250°。
如圖，∠A=ɑ，∠B=β，則∠C+∠D=________。
【分析】法一：∵∠A+∠B+∠AOB=180°=∠C+∠D+∠COD，且∠AOB=∠COD，∴∠C+∠D=∠A+∠B=ɑ+β；
法二：∵∠BOC=∠A+∠B，且∠BOC=∠C+∠D，∴∠C+∠D=∠A+∠B=ɑ+β；
【8字模型】如圖，∠A+∠B=∠C+∠D。
例1、如圖，∠A=50°，∠B=20°，∠C=30°，則∠D=________。
【分析】∠D=∠A+∠B-∠C=50°+20°-30°=40°。
例2、如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________。
【分析】∵∠D+∠E=∠1+∠2，∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E=∠A+∠ABE+∠ACD+∠1+∠2=∠A+∠ABC+∠ACB=180°。
例3、(1)如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________。
【分析】∵∠B+∠E=∠1+∠2，∴∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E=∠A+∠ACE+∠ADB+∠1+∠2=∠A+∠ACD+∠ADC=180°。
例3、(2)如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________。
【分析】∵∠A+∠B=∠1+∠2，∴∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠AFE=∠1+∠2+∠BCD+∠D+∠E+∠AFE，=∠D+∠E+∠EFC+∠DCF；
∴∠D+∠E+∠EFC+∠DCF=360°。
例4、如圖，∠A=100°，∠B、∠C、∠D、∠E，∠F的關系_______________________。
【分析】∵∠B+∠C=∠OAD+∠ODA，∠E+∠F=∠PAD+∠PDA，∴∠B+∠C+∠E+∠F=∠OAD+∠ODA+∠PAD+∠PDA=∠CDE+360°-∠DAF=∠CDE+360°-100°=∠CDE+260°，即∠B+∠C+∠E+∠F=260°。
∠B+∠C+∠E+∠F=260°
如圖，∠A=ɑ，∠B=β，∠C=θ，則∠AOC=________。
【分析】法一：∵∠1+∠OAB+∠B+∠2+∠OCB=180°，∠1+∠2+∠AOC=180°，∴∠OAB+∠B+∠OCB=∠AOC，即∠AOC=ɑ+β+θ。
【分析】法二：∵∠1=∠A+∠ABO，∠2=∠C+∠CBO，∴∠1+∠2=∠A+∠ABO+∠C+∠CBO=∠A+∠ABC+∠C，即∠AOC=ɑ+β+θ。
【分析】法三：∵∠ODC=∠A+∠B，∠AOC=∠ODC+∠C，∴∠AOC=∠A+∠B+∠C，即∠AOC=ɑ+β+θ。
【飛鏢模型】如圖，∠AOC=∠A+∠B+∠C。
例1、如圖，∠A=65°，∠BDC=140°，則∠1+∠2=________。
【分析】∠1+∠2=∠BDC-∠A=140°-65°=75°。
例2、(1)如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________?！居蔑w鏢模型解題】
【分析】∵∠BOC=∠B+∠E+∠C，且∠AOD=∠BOC，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠D+∠BOC=∠A+∠D+∠AOD=180°。
例2、(2)如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________?！居蔑w鏢模型解題】
∴∠C+∠D+∠E+∠COE=360°。
【分析】∵∠BOF=∠B+∠A+∠F，且∠COE=∠BOF，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠C+∠D+∠E+∠BOF=∠C+∠D+∠E+∠COE；
例3、如圖，已知∠CGE=110°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________。
【分析】∵∠BGF=∠B+∠A+∠F，∠CGE=∠C+∠D+∠E，且∠BGE=∠CGE=110°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BGE+∠CGE=220°。
Q1：如圖，∠A=ɑ，∠ABC的平分線與∠ACB的平分線交于點O，則∠BOC=________。
Q2：如圖，∠A=ɑ，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線交于點O，則∠O=________。
Q3：如圖，∠A=ɑ，∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線交于點O，則∠O=________。
例1、(1)如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，若∠A=62°，則∠P的度數(shù)為（　?。〢．121°B．118°C．100°D．98°
例1、(2)如圖，△ABC中，∠ABD=∠DBE=∠EBC，∠ACD=∠DCE=∠ECB，若∠BEC=130°，則∠A等于（　?。〢．30°B．35°C．80°D．85°
【分析】∵∠BEC=130°，∴∠EBC+∠ECB=50°，∵∠ABD=∠DBE=∠EBC，∠ACD=∠DCE=∠ECB，∴∠ABD+∠DBE+∠EBC+∠ACD+∠DCE+∠ECB=150°，即∠ABC+∠ACB=150°，∴∠A=180°-150°=30°。
例2、(1)如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，則∠E=________。
例2、(2)已知△ABC的內角∠A=60°，分別作內角∠ABC與外角∠ACD的平分線，兩條平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2；…以此類推得到∠A11的度數(shù)是________。
例3、如圖，△ABC的兩個外角的平分線相交于點O，若∠A=80°，則∠O等于（　?。〢．40°B．50°C．60°D．80°
Q1：如圖，∠A=ɑ，把△ABC沿EF翻折，則∠1+∠2=________。
【分析】∵∠A=ɑ，∴∠AEF+∠AFE=180°-∠A=180°-ɑ，∵翻折，∴∠AEA’=2∠AEF，∠AFA’=2∠AFF，∵∠1+∠2=180°-∠AEA’+180°-∠AFA’，∴∠1+∠2=360°-2(∠AEF+∠AFF)=360°-2×(180°-ɑ)=2ɑ。
【總結】折內模型：∠1+∠2=2∠A。
Q2：如圖，∠A=ɑ，把△ABC沿EF翻折，則∠1-∠2=________。
【分析】∵∠A=ɑ，∴∠1=∠EOF+∠A=∠EOF+ɑ，∵翻折，∴∠A=∠A’=ɑ，∵∠2=∠EOF-∠A’，∴∠2=∠EOF-ɑ，∴∠1-∠2=∠EOF+ɑ-(∠EOF-ɑ)=2ɑ。
【總結】折外模型：∠1-∠2=2∠A。
例1、(1)如圖，把△ABC沿EF翻折，疊合后的圖形如圖，若∠A=60°，∠1=95°，則∠2的度數(shù)是（　?。〢．15° B．20° C．25° D．35°
【分析】∠2=2∠A-∠1=120°-95°=25°。
例1、(2)如圖△ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2=110°，則∠A的度數(shù)是________。
【分析】∵2∠A=∠1+∠2=110°，∴∠A=55°。
例2、如圖，三角形紙片ABC中，∠A=65°，∠B=75°，將∠C沿DE對折，使點C落在△ABC外的點C’處，若∠1=20°，則∠2的度數(shù)為（　　）A．80°B．90°C．100°D．110°
【分析】∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=40°，∴∠2=2∠C+∠1=80°+20°=100°。

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7.5 多邊形的內角和與外角和

版本： 蘇科版

年級： 七年級下冊

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