第五講：多邊形內(nèi)角和與外角和一、主要內(nèi)容      1、多邊形的概念         2、多邊形內(nèi)角和定理      3、多邊形的外角和 二、基本概念1、多邊形的概念1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次連接結(jié)所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關(guān)概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個內(nèi)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線．3. 多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形，如果整個多邊形不在直線的同一側(cè)，這個多邊形叫凹多邊形．如圖：    要點詮釋： (1)正多邊形必須同時滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線，n邊形對角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個頂點的對角線可以把n邊形分成(n-2)個三角形． 1．如圖，正四邊形有2條對角線，正五邊形有5條對角線，正六邊形有9條對角線，則正十邊形有（　?。l對角線．A．27       B．35       C．40      D．44【答案】B．【解析】解：當n=10時，==35，即凸十邊形的對角線有35條． 【總結(jié)升華】本題考查了多邊形的邊數(shù)與對角線的條數(shù)之間的關(guān)系，熟記多邊形的邊數(shù)與對角線的條數(shù)的關(guān)系式是解決此類問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】過正十二邊形的一個頂點有      條對角線，一個正十二邊形共有      條對角線【答案】9，54。 2、多邊形內(nèi)角和定理    n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點詮釋：(1) 內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于；2.證明： n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．【思路點撥】先寫出已知、求證，再畫圖，然后證明．【答案與解析】已知：n邊形A1A2……An，求證：∠A1+∠A2+……+∠An=180°，證法一：如圖(1)所示，在n邊形內(nèi)任取一點O，連O與各頂點的線段把n邊形分成了n個三角形，n個三角形內(nèi)角和為n·180°，減去以O為公共頂點的n個角的和2×180°(即一個周角)得n邊形內(nèi)角和為n·180°-2×180°-(n-2)·180°．證法二：如圖(2)所示，過頂點A1作對角線，把n邊形分成了(n-2)個三角形，這(n-2)個三角形的內(nèi)角和恰是多邊形的內(nèi)角和，即(n-2)·180°．方法三：如圖(3)所示，在多邊形邊上任取一點P，連這點與各頂點的線段把n邊形分成了(n-1)個三角形，n邊形內(nèi)角和為這(n-1)個三角形內(nèi)角和減去在點P處的一個平角，即(n-1)·180°-180°＝(n-2)·180°．【總結(jié)升華】證明多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是構(gòu)造三角形，利用三角形的內(nèi)角和定理進行證明．舉一反三：【變式】練習：求下列圖中的x的值.【答案】    3. 一個多邊形的內(nèi)角和是720°，這個多邊形的邊數(shù)是    (    )    A．4    B．5    C．6    D．7【答案】C【解析】解：設(shè)這個多邊形為n邊形，則有：    (n-2)×180°＝720°，∴  n＝6．【總結(jié)升華】①已知邊數(shù)，求內(nèi)角和，是求代數(shù)武(n-2)×180°的值；②已知內(nèi)角和求邊數(shù)，可先設(shè)出邊數(shù)，根據(jù)內(nèi)角和列出方程求解．舉一反三：【變式】已知一個多邊形的內(nèi)角和是900°，則這個多邊形是（　?。?/span>A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形【答案】C． 3、多邊形的外角和    多邊形的外角和為360°．要點詮釋：(1)在一個多邊形的每個頂點處各取一個外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)； (2)正n邊形的每個內(nèi)角都相等，所以它的每個外角都相等，都等于； (3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．4.如圖所示，五邊形公園中，∠1＝90°，張老師沿公園邊由A點經(jīng)B→C→D→E→F散步，則張老師共轉(zhuǎn)了  (    )A．440°    B．360°    C．260°    D．270°   【思路點撥】解答該問題中應(yīng)注意張老師沒轉(zhuǎn)過與∠1相鄰的這個外角，所以用五邊形的外角和減去它即得答案，【答案】D【解析】解：360°-(180°-90°)＝270°，所以張老師共轉(zhuǎn)了270°【總結(jié)升華】解決此題的關(guān)鍵同樣是把生活實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，在散步之中感悟數(shù)學知識．其中蘊含了多邊形的外角和為360°的有關(guān)知識．舉一反三：【變式1】如圖，一輛小汽車從P市出發(fā)，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？  【答案】：如圖，當小汽車從P出發(fā)行駛到B市，由B市向C市行駛時轉(zhuǎn)的角是，由C市向A市行駛時轉(zhuǎn)的角是，由A市向P市行駛時轉(zhuǎn)的角是. 因此，小汽車從P市出發(fā)，經(jīng)B市、C 市、A市，又回到P市，共轉(zhuǎn).【變式2】已知一個多邊形的內(nèi)角和與外角和共2160o，則這個多邊形的邊數(shù)是       .【答案】12【變式3】一個正多邊形的每個外角都是36°．這個正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是________．【答案】144° 三、課堂講解 ????????????? ????????????? 1．同學們在平時的數(shù)學活動中會遇到這樣一個問題：把正方形紙片截去一個角后，還剩多少角，余下的圖形是幾邊形，親愛的同學們，你知道嗎?【答案與解析】解：這個問題，我們可以用圖來說明．    按圖(1)所示方式去截，不經(jīng)過點B和D，還剩五個角，即得到一個五邊形．    按圖(2)所示方式去截，經(jīng)過點D(或點B)．不經(jīng)過點B(或點D)，還剩4個角，即得到一個四邊形．    按圖(3)所示方式去截，經(jīng)過點D、點B，則剩下3個角，即得到三角形． 答：余下的圖形是五邊形或四邊形或三角形．【總結(jié)升華】一個n邊形剪去一個角后，可能是(n+1)邊形，也可能是n邊形，也可能是(n-1)邊形，利用它我們可以解決一些具體問題．2、如圖，四邊形ABCD中，∠B＝40°，沿直線MN剪去∠B，則所得五邊形AEFCD中，∠1+∠2＝         。【答案】220° 3、一個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數(shù)是（    ）.A.6      B.7     C.8     D.9【答案】C.4、如圖，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)．【思路點撥】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及四邊形的內(nèi)角和為360°，即可解答．【答案與解析】解：如圖，∵∠BPO是△PDC的外角，∴∠BPO=∠C+∠D，∵∠POA是△OEF的外角，∴∠POA=∠E+∠F，∵∠A+∠B+∠BPO+∠POA=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．【總結(jié)升華】本題考查了三角形外角的性質(zhì)及四邊形的內(nèi)角和為360°，解決本題的關(guān)鍵是熟記三角形外角的性質(zhì)．5、（1）如圖1，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=                     .（2）如圖2，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=                     .【答案】（1）360°；（2）540°6、一個多邊形截去一個角后，形成新多邊形的內(nèi)角和為2520°，則原多邊形的邊數(shù)為 (    ) ．    A．15    B．16    C．17    D．15或16或17【思路點撥】一個多邊形截去一個角后的多邊形的邊數(shù)不確定，要分類討論．【答案】D【解析】解：本題可設(shè)新多邊形為n邊形，由題意可知，原多邊形可以為n邊形；(n+1)邊形；(n-1)邊形：即(n-2)×180°＝2520°  解得n＝16．故n-1＝15，n+1＝17．因此原多邊形可以是十五邊形，也可以是十六邊形，也可以是十七邊形7、（1）一個凸多邊形的內(nèi)角和與它的一個外角的和為2005o，求多邊形的邊數(shù)。（2）如果一個凸多邊形，除了一個內(nèi)角以外，其它內(nèi)角的和為2570?，求這個沒有計算在內(nèi)的內(nèi)角的度數(shù). 【答案】（1）用2005÷180=11余25，n-2=11，n=13．（2）用2570÷180=14余50，180o-50o =130o 8、已知：如圖，AB∥CD，求圖形中的x的值． 【答案】解：∵AB∥CD，∠C=60°，∴∠B=180°﹣60°=120°，∴（5﹣2）×180°=x+150°+125°+60°+120°，  ∴x=85°．9、科研人員為某機器人編制了一段程序，如果機器人在平地上按照圖中的步驟行走，那么該機器人所走的總路程為 (    )A．6米    B．8米    C．12米    D．不能確定【答案】B     【解析】解析：先按照程序的步驟畫圖(如圖所示)，發(fā)現(xiàn)一次轉(zhuǎn)彎后不能回到出發(fā)點，從畫出的圖形，可以發(fā)現(xiàn)要使機器人回到點A處，那么機器人走過的路徑應(yīng)該是一個多邊形，每次轉(zhuǎn)彎的角就是這個多邊形的外角．利用多邊形的外角和為360°，而45°×8＝360°，所以經(jīng)過8次轉(zhuǎn)彎即可到達點A處．又因為每次走1米，所以該機器人所走的總路程為8米．【總結(jié)升華】解決此題的關(guān)鍵同樣是把生活實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，在散步之中感悟數(shù)學知識．其中蘊含了多邊形的外角和為360°的有關(guān)知識．本例為“設(shè)計程序”類考題，讀懂程序，畫出圖形，理解很重要． 10、如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊AB∥CF，CD∥AE. 按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80°角，因交點不在模板上，不便測量. 這時師傅告訴徒弟只需測一個角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測那一個角嗎？說明理由.                                                                        【答案】解：測∠A或∠C的度數(shù)，只需∠A=100°或∠C=100°，即知模板中AB、CD的延長線的夾角是否符合規(guī)定.理由如下：連接AF，∵AB∥CF，∴∠BAF+∠AFC=180°.又∵∠EAF+∠E+∠AFE=180°，∴∠BAE+∠E+∠EFC=360°.若∠C=100°，則AB、CD的延長線的夾角=540°－ 360°－ 100°= 80°，即符合規(guī)定. 同理：若連接CE，可得∠AEF+∠F+∠DCF=360°.若∠A=100°，則也符合規(guī)定.         【達標檢測】一、選擇題1．從n邊形的一個頂點出發(fā)共有對角線(    )    A．(n-2)條    B．(n-3)條    C．(n-1)條    D．(n-4)條2．如圖，圖中凸四邊形有(    )A．3個    B．5個    C．2個    D．6個3．下列圖形中，是正多邊形的是(    )     A．三條邊都相等的三角形      B．四個角都是直角的四邊形    C．四邊都相等的四邊形        D．六條邊都相等的六邊形4．已知一個正多邊形的每個外角等于60°，則這個正多邊形是（　?。?/span>A．正五邊形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正八邊形5．一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之和為2520°，這個多邊形的邊數(shù)為 (    )    A．12    B．13    C．14     D．156．當多邊形的邊數(shù)增加1時，它的內(nèi)角和與外角和    (    )A．都不變                   B．內(nèi)角和增加180°，外角和不變C．內(nèi)角和增加180°，外角和減少180°     D．都增加180°7．如圖所示，一個直角三角形紙片，剪去直角后，得到一個四邊形，則∠1+∠2的度數(shù)為(  )A．135°    B．240°    C．270°    D．300° 二、填空題8．一個n邊形的內(nèi)角和為1080°，則n=　  　．9．從n邊形的一個頂點出發(fā)可作______條對角線，從n邊形n個頂點出發(fā)可作_______條對角線，除去重復作的對角線，則n邊形的對角線總數(shù)為________條． 10．在有對角線的多邊形中，邊數(shù)最少的是______邊形，它共有______條對角線．11．若一凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和，則它的邊數(shù)是________．12．一個多邊形的內(nèi)角和為5040°，則這個多邊形是____邊形，共有____條對角線．三、解答題13．已知多邊形的邊數(shù)恰好是從這個多邊形的一個頂點出發(fā)的對角線條數(shù)的2倍，求此多邊形的邊數(shù)．    14．如圖∠A=40°，∠ABD=∠D=∠F=90°，AG⊥GF于G，求∠E的度數(shù)． 【答案與解析】一、選擇題1.B2.A3.A 4.B5.C6.B；7.C二、填空題8.8．9.n-3  n(n-3)  ；10.四， 2；11．4；12.三十，405；三、解答題13.解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，有：n＝2(n-3)，解得n＝6，故這個多邊形的邊數(shù)為6．14.解：∵∠A=40°，AG⊥BF，∴∠ABG=50°，∵∠ABD=90°，∴∠DBF=40°，∵∠D=∠F=90°，∴∠E=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°． 【達標檢測】一、選擇題1．過一個多邊形的一個頂點的所有對角線把多邊形分成6個三角形，這個多邊形的邊數(shù)為 (    )A．5    B．6    C．7    D．82．一個多邊形的內(nèi)角和超過640°，則此多邊形邊數(shù)的最小值是    (    )    A．5    B．6    C．7     D．83．一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，這個多邊形的邊數(shù)為（　?。?/span>A．5   B．6    C．7 D．84．用一種正多邊形鋪地，使它鋪成平整無隙的圖案，頂點處最多能用正多邊形的塊數(shù)是    (    )A．5    B．6    C．7    D．85．利用邊長相等的正三角形和正六邊形的地磚鑲嵌地面時，在每個頂點周圍有a塊正三角形和b塊正六邊形的地磚(ab≠0)，同a+b的值為 (     )A．3或4    B．4或5    C．5或6     D．46．如圖所示，已知長方形ABCD，一條直線將該長方形ABCD分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內(nèi)角和分別為M和N，則M+N不可能是 (    )    A．360°    B．540°    C．720°    D．630°7．兩本書按如圖所示方式疊放在一起，則圖中相等的角是  (    )A．∠1與∠2    B．∠2與∠3   C．∠1與∠3    D．三個內(nèi)角都相等8.從一個邊形中除去一個角后，其余個內(nèi)角和是2580°，則原多邊形的邊數(shù)是（     ）.A.15        B.17        C.19        D.13  二、填空題9.從多邊形的一個頂點出發(fā)引對角線，可以把這個多邊形分割成7個三角形，則該多邊形為　　邊形．10.如圖，國旗上的五角星的五個角的度數(shù)是相同的，每一個角的度數(shù)都是      .11．將一塊正六邊形硬紙片(如圖(1))，做成一個底面仍為正六邊形且高相等的無蓋紙盒(側(cè)面均垂直于底面，如圖(2))，需在每一個頂點處剪去一個四邊形，如圖(1)中的四邊形，那么的度數(shù)是________． 12．將一個寬度相等且足夠長的紙條打一個結(jié)，如圖(1)，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖(2)所示的正五邊形ABCDE，其中∠BAC＝________．13. 用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點的各板完全吻合，如果其中兩塊木板的邊數(shù)都是5，則第三塊木板的邊數(shù)是________． 14.小勇制造了一個簡單的機器人，小勇遙控它每前行1m就向左轉(zhuǎn)30°，再向前行1m又向左轉(zhuǎn)30°，問它需要走       m才能走回原地. 三、解答題15. 在△ABC中，如果∠A、∠B、∠C的外角的度數(shù)之比是4：3：2，求∠A的度數(shù)．     【答案與解析】一、選擇題1.D2.B3.C．4.B5.B6.D7.B8.B二、填空題9.九.10.36°11.60°12.36°13.1014.12三、解答題15.解：設(shè)∠A、∠B、∠C的外角分別為∠1=4x度、∠2=3x度、∠3=2x度． 因為∠1、∠2、∠3是△ABC的三個外角，所以4x+3x+2x=360，解得x=40． 所以∠1=160°、∠2=120°、∠3=80°．因為∠A+∠1=180°，所以∠A=20°． 

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初中數(shù)學蘇科版（2024）七年級下冊電子課本 舊教材

7.5 多邊形的內(nèi)角和與外角和

版本： 蘇科版（2024）

年級： 七年級下冊

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