理解多邊形的概念，牢記多邊形的內(nèi)角和公式
謹(jǐn)記多邊形的外角和是360°
Q1：由“三角形內(nèi)角和定理”可知：三角形的內(nèi)角和是180°，進(jìn)一步，四邊形的內(nèi)角和是多少度？
【分析】連接AC，拆成兩個(gè)三角形，∵∠1+∠2+∠D=180°，∠3+∠4+∠B=180°，∴∠1+∠2+∠D+∠3+∠4+∠B=360°，∴∠BAD+∠D+∠DCB+∠B=360°，即四邊形的內(nèi)角和是360°。
Q2：五邊形的內(nèi)角和等于多少度？
【分析】連接AC、AD，拆成三個(gè)三角形，∵∠1+∠2+∠E=180°，∠3+∠4+∠5=180°，∠6+∠7+∠B=180°，∴∠1+∠2+∠E+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠B=540°，∴∠BAE+∠E+∠EDC+∠DCB+∠B=540°，即五邊形的內(nèi)角和是540°。
Q3：六邊形的內(nèi)角和等于多少度？
【分析】連接AC、AD、AE，拆成四個(gè)三角形，同理可得：六邊形的內(nèi)角和是720°。
Q4：請(qǐng)同學(xué)們將下列表格填完整，并說(shuō)說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)。
【總結(jié)】多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，其內(nèi)角和為(n-2)·180°。
【多邊形與n邊形】在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。多邊形按照組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……，三角形是最簡(jiǎn)單多邊形。
如果一個(gè)多邊形由n條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做n邊形。
如圖，這個(gè)多邊形可以記作“四邊形ABCD”。
如圖，這個(gè)多邊形可以記作“五邊形ABCDE”。
如圖，這個(gè)多邊形可以記作“六邊形ABCDEF”。
議一議：如圖，“四邊形ABCD”可以記作“四邊形ADCB”、“四邊形BCDA”、“四邊形ACBD”嗎？
【注意點(diǎn)】在表示多邊形時(shí)，我們應(yīng)該按順序逐一寫出頂點(diǎn)字母。
∵必須按照順序逐一寫出頂點(diǎn)字母，∴可以記作“四邊形ADCB”、“四邊形BCDA”，但不可以記作“四邊形ACBD”。
【n邊形的內(nèi)角和公式】(n-2)·180°
例1、(1)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)可能是（　?。〢．1700°B．1800°C．1900°D．2000°(2)若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是1440°，則此多邊形的邊數(shù)是（　?。〢．十二 B．十 C．八 D．十四
【分析】(1)∵n邊形的內(nèi)角和是(n-2)×180°，∴多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)一定是180的整數(shù)；
(2)(n-2)×180°=1440°，解得：n=10。
例2、如圖，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（　?。〢．480°B．500°C．540°D．600°
【分析】∵由8字模型可知：∠1+∠4=∠8+∠9，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠2+∠3+∠5+∠9+∠7+∠8+∠6=(5-2)×180°=540°。
如圖，把四邊形ABCD的邊AB延長(zhǎng)，得到∠CBE；如圖，把五邊形ABCDE的邊AB延長(zhǎng)，得到∠CBF；如圖，把六邊形ABCDEF的邊AB延長(zhǎng)，得到∠CBG。
如圖，∠CBE是四邊形ABCD的外角，∠CBF是五邊形ABCDE的外角，∠CBG是六邊形ABCDEF的外角。
【多邊形的外角】像這樣，多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線所組成的角，叫做多邊形的外角。
議一議1：多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)（或一個(gè)內(nèi)角）對(duì)應(yīng)幾個(gè)外角？（以頂點(diǎn)B為例）
【總結(jié)】多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)（或一個(gè)內(nèi)角）對(duì)應(yīng)2個(gè)外角
議一議2：觀察下圖中∠ABC對(duì)應(yīng)的兩個(gè)外角，你發(fā)現(xiàn)了什么？
【總結(jié)】多邊形的外角實(shí)際上就是對(duì)應(yīng)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角，且對(duì)應(yīng)內(nèi)角的外角互為對(duì)頂角，角度相等。
議一議3：請(qǐng)同學(xué)們自己畫圖，將下列表格填完整。
【總結(jié)】n邊形有n個(gè)內(nèi)角，2n個(gè)外角。
【多邊形的外角有關(guān)的結(jié)論】多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)（或一個(gè)內(nèi)角）對(duì)應(yīng)2個(gè)外角，n邊形有2n個(gè)外角 。多邊形的外角實(shí)際上就是對(duì)應(yīng)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角，且對(duì)應(yīng)內(nèi)角的外角互為對(duì)頂角，角度相等。
【總結(jié)】△ABC的外角和=360°。
【總結(jié)】四邊形的外角和=360°。
Q3：如圖，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5是五邊形ABCDE的5個(gè)外角，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少度？
Q4：n邊形的外角和是多少度？
【分析】∵n邊形的每個(gè)內(nèi)角與相鄰的一個(gè)外角的和都是180°，∴n邊形的內(nèi)角和+n邊形的外角和=n·180°，又∵n邊形的內(nèi)角和=(n-2)·180°，∴n邊形的外角和=360°。
【多邊形的外角和】在每個(gè)頂點(diǎn)處分別取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，這些外角的和叫做這個(gè)多邊形的外角和。
注意：算外角和的時(shí)候，一個(gè)頂點(diǎn)只需要提供一個(gè)外角
【多邊形的外角和公式】360°，與n無(wú)關(guān)。
議一議：把圖中的五邊形ABCDE紙片剪去一個(gè)角，得到幾邊形？此時(shí)，多邊形的內(nèi)角和、外角和有什么變化？
【總結(jié)】n邊形，減去一個(gè)角，得到(n-1)邊形或n邊形或(n+1)邊形。
【分析】∵五邊形的內(nèi)角和是(5-2)×180°，六邊形的內(nèi)角和是(6-2)×180°，∴內(nèi)角和增加180°，又∵多邊形的外角和都等于360°，∴外角和不變。
【分析】?jī)?nèi)角和、外角和都不變。
【分析】∵五邊形的內(nèi)角和是(5-2)×180°，四邊形的內(nèi)角和是(4-2)×180°，∴內(nèi)角和減少180°，又∵多邊形的外角和都等于360°，∴外角和不變。
例1、一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是________。
【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，由題意可得：(n-2)×180°=3×360°-180°，解得：n=7。
例2、如圖，在四邊形ABCD中，∠1、∠2、∠3分別是∠BAD、∠ABC、∠BCD的鄰補(bǔ)角。下列等式一定成立的是（　?。〢．∠1+∠2+∠3=∠ADC+180° B．∠1+∠2+∠ADC=∠3+180°C．∠1+∠3+∠ADC=∠2+180° D．∠2+∠3+∠ADC=∠1+180°
【分析】如圖，延長(zhǎng)AD，
由多邊形的外角和是360°可得：∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∵∠4=180°-∠ADC，∴∠1+∠2+∠3+180°-∠ADC=360°，即∠1+∠2+∠3=∠ADC+180°。
例3、若一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成十四邊形，則原來(lái)的多邊形的邊數(shù)可能為（　?。〢．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16
【n邊形的內(nèi)角和公式】(n-2)·180°；【多邊形的外角和公式】360°。
【多邊形與n邊形】在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形；如果一個(gè)多邊形由n條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做n邊形。
【多邊形的外角】多邊形的一邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線所組成的角，叫做多邊形的外角?！径噙呅蔚耐饨怯嘘P(guān)的結(jié)論】多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)（或一個(gè)內(nèi)角）對(duì)應(yīng)2個(gè)外角，n邊形有2n個(gè)外角。多邊形的外角實(shí)際上就是對(duì)應(yīng)內(nèi)角的鄰補(bǔ)角，且對(duì)應(yīng)內(nèi)角的外角互為對(duì)頂角，角度相等?！径噙呅蔚耐饨呛汀吭诿總€(gè)頂點(diǎn)處分別取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，這些外角的和叫做這個(gè)多邊形的外角和。

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7.5 多邊形的內(nèi)角和與外角和

版本： 蘇科版

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