第8章　整式乘法與因式分解滬科版七年級下集訓(xùn)課堂第8章練素養(yǎng)　因式分解的七種常見應(yīng)用答 案 呈 現(xiàn)習(xí)題鏈接B　　因式分解是整式恒等變換的一種重要變形，它與整式的 乘法是互逆的過程，是代數(shù)式恒等變形的重要手段，在有理 數(shù)的計(jì)算、式子的化簡求值、幾何等方面起著重要作用.應(yīng)用1 簡便計(jì)算1.利用因式分解計(jì)算：(1)1012＋492＋101×98；【解】原式＝1012＋2×101×49＋492＝(101＋49)2＝1502＝22 500.(2)8002－1 600×798＋7982；【解】原式＝(800－798)2＝22＝4.(3)3.142＋6.28×6.86＋6.862.【解】原式＝(3.14＋6.86)2＝102＝100.應(yīng)用2 化簡求值2.[2023·十堰]若x＋y＝3，xy＝2，則x2y＋xy2的值是 ?.6　(1)[2022·衡陽](a＋b)(a－b)＋b(2a＋b)，其中a＝1，b＝－2.【解】原式＝a2－b2＋2ab＋b2＝a2＋2ab＝a(a＋2b)，當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，原式＝1×(1－4)＝－3.3.先化簡，再求值：(2)已知x－y＝1，xy＝2，求x3y－2x2y2＋xy3的值.【解】原式＝xy(x2－2xy＋y2)＝xy(x－y)2.當(dāng)x－y＝1，xy＝2時(shí)，原式＝2×12＝2.應(yīng)用3 判斷整除4.[2023·河北]若k為任意整數(shù)，則(2k＋3)2－4k2的值總能 (　B　)B【點(diǎn)撥】(2k＋3)2－4k2＝4k2＋12k＋9－4k2＝12k＋9＝3(4k＋3)，因?yàn)閗為任意整數(shù)，所以(2k＋3)2－4k2的值總能被3整除. 故選B.【解】能被4整除.理由如下：(n＋1)2－(n－1)2＝(n＋1＋n－1)(n＋1－n＋1)＝4n，因?yàn)楫?dāng)n為整數(shù)時(shí)，4n能被4整除，所以當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，(n＋ 1)2－(n－1)2能被4整除.5.(母題：教材P87復(fù)習(xí)題C組T4)當(dāng)n為整數(shù)時(shí)，(n＋1)2－(n －1)2能被4整除嗎？請說明理由.6.先閱讀下列材料，再解決問題.材料：因?yàn)?x－2)(x＋3)＝x2＋x－6，所以(x2＋x－6)÷(x－2)＝x＋3，即x2＋x－6能被x－2整除.所以x－2是x2＋x－6的一個(gè)因式，且當(dāng)x＝2時(shí)，x2＋x－6＝0.(1)【類比思考】因?yàn)?x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6，所以x2＋ 5x＋6能被 整除，所以 是x2 ＋5x＋6的一個(gè)因式，且當(dāng)x＝ 時(shí)，x2＋5x＋6 ＝0；x＋2或x＋3　x＋2或x＋3?。?或－3　(2)【拓展探究】根據(jù)以上材料，若多項(xiàng)式x2＋mx－14能被 x＋2整除，試求m的值.【解】因?yàn)閤2＋mx－14能被x＋2整除，所以當(dāng)x＝－2時(shí)，x2＋mx－14＝0.所以(－2)2＋m×(－2)－14＝0，解得m＝－5.應(yīng)用4 判斷三角形的形狀7.已知a，b，c為三角形ABC的三條邊的長，且b2＋2ab＝c2＋ 2ac.(1)試判斷三角形ABC屬于哪一類三角形；【解】因?yàn)閎2＋2ab＝c2＋2ac，所以(b2－c2)＋(2ab－2ac)＝0，所以(b＋c)(b－c)＋2a(b－c)＝0，所以(b－c)(b＋c＋2a)＝0.易知b＋c＋2a＞0，所以b－c＝0，即b＝c.所以三角形ABC是等腰三角形.(2)若a＝4，b＝3，求三角形ABC的周長.【解】由(1)可知b＝c＝3，所以三角形ABC的周長為a＋b＋c＝4＋3＋3＝10.應(yīng)用5 比較大小8. [新考法 作差法]已知P＝2x2＋4y＋13，Q＝x2－y2＋6x－ 1，比較P，Q的大小.【解】P－Q＝(2x2＋4y＋13)－(x2－y2＋6x－1)＝x2－6x＋y2＋4y＋14＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1.因?yàn)?x－3)2≥0，(y＋2)2≥0，所以P－Q＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1≥1，所以P＞Q.應(yīng)用6 判斷正負(fù)9.若正數(shù)a，b，c滿足條件：其中任意兩個(gè)數(shù)之和大于第三個(gè) 數(shù)，試說明：(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定為負(fù).【解】(a2＋b2－c2)2－4a2b2＝(a2＋b2－c2)2－(2ab)2＝(a2＋b2－c2＋2ab)(a2＋b2－c2－2ab)＝[(a＋b)2－c2][(a－b)2－c2]＝(a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c).根據(jù)題意得a＋b＋c＞0，a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a，則 (a＋b＋c)(a＋b－c)(a－b＋c)(a－b－c)＜0，即(a2＋b2－c2)2 －4a2b2＜0.故(a2＋b2－c2)2－4a2b2的值一定為負(fù).應(yīng)用7 探究規(guī)律10.[2022·安徽]觀察以下等式：第1個(gè)等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，第2個(gè)等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，第3個(gè)等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，第4個(gè)等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，….按照以上規(guī)律，解決下列問題：(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式(用含n的式子表示)，并說 明理由.【解】第n個(gè)等式為(2n＋1)2＝[(n＋1)·2n＋1]2－[(n＋1)·2n]2.理由如下：等式左邊：(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1，(1)寫出第5個(gè)等式： ? ?；(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－ (6×10)2　等式右邊：[(n＋1)·2n＋1]2－[(n＋1)·2n]2＝[(n＋1)·2n＋1＋(n＋1)·2n]·[(n＋1)·2n＋1－(n＋1)·2n]＝[(n＋1)·4n＋1]×1＝4n2＋4n＋1，故等式(2n＋1)2＝[(n＋1)·2n＋1]2－[(n＋1)·2n]2成立.

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版本： 滬科版

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