高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊7.3 離散型隨機變量的數(shù)字特征同步練習(xí)題

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊7.3 離散型隨機變量的數(shù)字特征同步練習(xí)題，共8頁。試卷主要包含了單項選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單項選擇題(每小題5分，共40分)
1．[2023·河北張家口高二期中]已知離散型隨機變量Y的分布列如下：
則數(shù)學(xué)期望E(Y)＝( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(5,4)C．1D．2
2．[2023·浙江溫州高二期中]李老師從課本上抄錄一個隨機變量ξ的分布列如下表：
現(xiàn)讓小王同學(xué)計算ξ的數(shù)學(xué)期望，盡管“？”處的數(shù)值完全無法看清，且兩個“！”處字跡模糊，但能斷定這兩個“！”處的數(shù)值相同，則E(ξ)＝( )
A．1B．2
C．3D．4
3．[2023·山西太原高二期中]某同學(xué)求得的一個離散型隨機變量的分布列為( )
若E(X)＝2，則n＝( )
A．0.1B．0.2
C．0.3D．0.4
4．[2023·湖南長沙高二期末]隨機變量X的分布列如表，則E(2X＋3)的值為( )
．7.4C．21.2D．22.2
5．甲、乙兩名射手一次射擊得分(分別用X1，X2表示)的分布列如下：
甲得分：
乙得分：
則甲、乙兩人的射擊技術(shù)相比( )
A．甲更好B．乙更好
C．甲、乙一樣好D．不可比較
6．[2023·北京豐臺高二期末]已知某生物技術(shù)公司研制出一種新藥，并進行了臨床試驗，該臨床試驗的成功概率是失敗概率的2倍．若記一次試驗中成功的次數(shù)為X，則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(1,2)C．eq \f(1,3)D．eq \f(1,6)
7．[2023·河北邯鄲高二期中]一個盒子中裝有白色乒乓球4個，橘黃色乒乓球2個．現(xiàn)從盒子中任取2個乒乓球，記取出的2個乒乓球的顏色為橘黃色的個數(shù)為X，則E(X)＝( )
A．1B．2C．eq \f(1,3)D．eq \f(2,3)
8．[2023·河北石家莊高二期中]甲乙兩人進行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為eq \f(2,3)，乙在每局中獲勝的概率為eq \f(1,3)，且各局勝負相互獨立，則比賽停止時已打局數(shù)ξ的期望E(ξ)為( )
A．eq \f(241,81)B．eq \f(266,81)C．eq \f(274,81)D．eq \f(670,243)
二、多項選擇題(每小題5分，共10分)
9．[2023·福建泉州高二期中]已知隨機變量X的分布列如下表所示．若P(X≥0)＝eq \f(5,6)，則( )
A.m＝eq \f(1,6)B．n＝eq \f(1,6)C．E(X)＝eq \f(1,6)D．E(X)＝－eq \f(1,6)
10．[2023·山東濱州高二期末]袋內(nèi)有大小完全相同的2個黑球和3個白球，從中不放回地每次任取1個小球，直至取到白球后停止取球，則( )
A．抽取2次后停止取球的概率為0.6
B．停止取球時，取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為0.9
C．取球次數(shù)ξ的期望為1.5
D．取球3次的概率為0.1
三、填空題(每小題5分，共10分)
11．[2023·廣東肇慶高二期末]已知隨機變量X的分布列如下表所示，若E(X)＝eq \f(7,4)，則P(X≤2)＝________．
12.[2023·河北唐山高二期末]一個筆袋內(nèi)裝有10支同型號簽字筆，其中黑色簽字筆有7支，藍色簽字筆有3支，若從筆袋內(nèi)每次隨機取出1支筆，取后不放回，取到藍色簽字筆就停止，最多取5次，記取出的簽字筆個數(shù)為X，則E(X)＝________．
四、解答題(共20分)
13．(10分)[2023·山東濱州高二期中]西成高鐵的開通極大地方便了漢中人民的出行．開通之前必須檢測軌道中某新技術(shù)的三項不同的指標Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ是否合格．假設(shè)該新技術(shù)的指標Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ獨立檢測合格的概率分別為eq \f(2,3)，eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，指標Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ檢測合格分別記4分、2分、4分，若某項指標不合格，則該項指標記0分，各項指標檢測結(jié)果互不影響．
(1)求該新技術(shù)檢測得8分的概率；
(2)記該新技術(shù)的三項指標中被檢測合格的個數(shù)為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．
14．(10分)[2023·北京通州高二期末]某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，銷售前要經(jīng)過兩次檢測，兩次檢驗都合格，該產(chǎn)品即為合格品，否則為次品．已知該產(chǎn)品第一次檢測不合格的概率為eq \f(1,6)，第二次檢測不合格的概率為eq \f(1,10)，兩次檢測是否合格相互獨立．
(1)求每生產(chǎn)一臺該產(chǎn)品是合格品的概率；
(2)據(jù)市場調(diào)查，如果是合格品，則每臺產(chǎn)品可獲利200元；如果是次品，則每臺產(chǎn)品獲利100元．該公司一共生產(chǎn)了2臺該產(chǎn)品，設(shè)隨機變量X表示這2臺產(chǎn)品的獲利之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
關(guān)鍵能力綜合練
15．(5分)[2023·河南開封高二期中]將字母a，a，b，b，c，c放入如圖所示的3×2的表格中，每個格子各放一個字母，若字母相同的行的個數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望為( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(3,5)C．eq \f(4,5) D．eq \f(3,4)
[答題區(qū)]
16.(15分)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．
(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；
(2)為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．
同步練習(xí)13 離散型隨機變量的均值
1．解析：由題意可得：E(Y)＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(1,4)＋2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,4).
答案：B
2．解析：設(shè)P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，則a＋b＋a＝1，即2a＋b＝1，所以E(ξ)＝1×a＋2×b＋3×a＝4a＋2b＝2(2a＋b)＝2.
答案：B
3．解析：由題意可得，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.2＋m＋n＝1,E（X）＝1×0.2＋2m＋3n＝2))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋n＝0.8,2m＋3n＝1.8))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝0.6,n＝0.2)).
答案：B
4．解析：由0.2＋A＋0.4＝1得A＝0.4，
所以E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，
所以E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×2.2＋3＝7.4.
答案：B
5．解析：因為E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射擊技術(shù)更好．
答案：B
6．解析：設(shè)試驗成功的概率為p，則p＋eq \f(p,2)＝1，解得p＝eq \f(2,3)；記一次試驗中成功的次數(shù)為X，則X的取值有0，1，P(X＝0)＝eq \f(1,3)，P(X＝1)＝eq \f(2,3)，則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3).
答案：A
7．解析：由題意可知取出的橘黃色球的個數(shù)X的所有可能取值為0，1，2，
則P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(2,4) ,C eq \\al(2,6) )＝eq \f(2,5)，P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(1,4) C eq \\al(1,2) ,C eq \\al(2,6) )＝eq \f(8,15)，P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(2,2) ,C eq \\al(2,6) )＝eq \f(1,15)；
所以可得E(X)＝0×eq \f(2,5)＋1×eq \f(8,15)＋2×eq \f(1,15)＝eq \f(2,3).
答案：D
8．解析：依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6，
設(shè)每兩局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時比賽停止的概率為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5,9).
若該輪結(jié)束時比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結(jié)果對下輪比賽是否停止沒有影響．
從而有P(ξ＝2)＝eq \f(5,9)，P(ξ＝4)＝eq \f(4,9)×eq \f(5,9)＝eq \f(20,81)，
ξ為6時，即前兩輪比賽不分輸贏，繼續(xù)比第三輪，
P(ξ＝6)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,81)，
故E(ξ)＝2×eq \f(5,9)＋4×eq \f(20,81)＋6×eq \f(16,81)＝eq \f(266,81).
答案：B
9．解析：依題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋m＋n＝1,m＝1－\f(5,6)))，解得n＝eq \f(1,2)，m＝eq \f(1,6)，E(X)＝(－1)×eq \f(1,6)＋0×eq \f(1,2)＋1×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).
答案：AC
10．解析：設(shè)ξ為取球的次數(shù)，則ξ可取1，2，3，
故可知：P(ξ＝1)＝eq \f(3,5)，
P(ξ＝2)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10)，
P(ξ＝3)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×eq \f(3,3)＝eq \f(1,10)，
抽取2次后停止取球的概率為：P(ξ＝2)＝eq \f(2,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,10)＝0.3，故A錯誤；
停止取球時，取出的白球個數(shù)不少于黑球的概率為：P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq \f(3,5)＋eq \f(3,10)＝eq \f(9,10)＝0.9，故B正確；
E(ξ)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(3,2)＝1.5，故C正確；
取球三次的概率為P(ξ＝3)＝eq \f(2,5)×eq \f(1,4)×eq \f(3,3)＝eq \f(1,10)＝0.1，故D正確．
答案：BCD
11．解析：由分布列的性質(zhì)和期望公式可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋n＋\f(1,4)＝1,E（X）＝m＋2×\f(1,4)＋3n＝\f(7,4)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,2),n＝\f(1,4)))，
因此P(X≤2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
答案：eq \f(3,4)
12．解析：X的可能取值是1，2，3，4，5，
則P(X＝1)＝eq \f(3,10)，P(X＝2)＝eq \f(7,10)×eq \f(3,9)＝eq \f(7,30)，P(X＝3)＝eq \f(7,10)×eq \f(6,9)×eq \f(3,8)＝eq \f(7,40)，P(X＝4)＝eq \f(7,10)×eq \f(6,9)×eq \f(5,8)×eq \f(3,7)＝eq \f(1,8)，P(X＝5)＝eq \f(7,10)×eq \f(6,9)×eq \f(5,8)×eq \f(4,7)＝eq \f(1,6)，
所以E(X)＝1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(7,30)＋3×eq \f(7,40)＋4×eq \f(1,8)＋5×eq \f(1,6)＝eq \f(21,8).
答案：eq \f(21,8)
13．解析：(1)記“該新技術(shù)的指標Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ獨立檢測合格”分別為事件A，B，C，
則P(A)＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(2,3)，P(C)＝eq \f(1,2)，
所以“該新技術(shù)檢測得8分”可表示為Aeq \(B,\s\up6(－))C，
故P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(C)＝eq \f(2,3)×(1－eq \f(2,3))×eq \f(1,2)＝eq \f(1,9).
(2)ξ的所有可能取值為0，1，2，3.
由題意結(jié)合(1)可得：P(ξ＝0)＝P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝(1－eq \f(2,3))×(1－eq \f(2,3))×(1－eq \f(1,2))＝eq \f(1,18)，
同理可得P(ξ＝1)＝P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))C)＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－))B)＝eq \f(5,18)，
P(ξ＝2)＝P(ABeq \(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＋P(eq \(A,\s\up6(－))BC)＝eq \f(4,9)，
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝eq \f(2,9)，
所以ξ的分布列如下：
故E(ξ)＝0×eq \f(1,18)＋1×eq \f(5,18)＋2×eq \f(4,9)＋3×eq \f(2,9)＝eq \f(11,6).
14．解析：(1)記“生產(chǎn)一臺該產(chǎn)品是合格品”為事件A，
則P(A)＝(1－eq \f(1,6))×(1－eq \f(1,10))＝eq \f(5,6)×eq \f(9,10)＝eq \f(3,4)，
所以每生產(chǎn)一臺該產(chǎn)品是合格品的概率為eq \f(3,4).
(2)由(1)知，每生產(chǎn)一臺該產(chǎn)品是合格品的概率為eq \f(3,4)，
每生產(chǎn)一臺該產(chǎn)品是次品的概率為1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4).
X的可能取值為200，300，400，
則P(X＝200)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16)，
P(X＝300)＝2×eq \f(3,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,8)，
P(X＝400)＝eq \f(3,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,16)，
所以X的分布列為：
所以E(X)＝200×eq \f(1,16)＋300×eq \f(3,8)＋400×eq \f(9,16)＝eq \f(2800,8)＝350(元).
15．解析：字母a，a，b，b，c，c放入3×2的表格中的不同結(jié)果有C eq \\al(2,6) C eq \\al(2,4) C eq \\al(2,2) ＝90種，
隨機變量ξ的可能值為0，1，3，
P(ξ＝1)＝eq \f(C eq \\al(1,3) C eq \\al(1,3) C eq \\al(1,2) A eq \\al(2,2) ,90)＝eq \f(2,5)，P(ξ＝3)＝eq \f(A eq \\al(3,3) ,90)＝eq \f(1,15)，
P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝1－eq \f(2,5)－eq \f(1,15)＝eq \f(8,15)，
所以ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0×eq \f(8,15)＋1×eq \f(2,5)＋3×eq \f(1,15)＝eq \f(3,5).
答案：B
16．解析：(1)由題可知，X的所有可能取值為0，20，100.
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32；
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以X的分布列為
(2)由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計得分，
則Y的所有可能取值為0，80，100.
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12；
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因為54.4