一、單項選擇題(每小題5分，共40分)
1．若隨機變量X的分布列如表，則X的方差D(X)是( )
A.0B．1C．eq \f(1,4)D．eq \f(1,2)
2．[2023·江西吉安高二期末]隨機變量X服從兩點分布，若P(X＝0)＝eq \f(1,4)，則下列結論正確的是( )
A．P(X＝1)＝eq \f(3,4)B．D(X)＝eq \f(1,4)
C．E(2X＋1)＝eq \f(3,2)D．D(2X＋1)＝eq \f(7,4)
3．[2023·山東青島高二期末]已知隨機變量X的分布列如下表所示：隨機變量Y＝－3X＋1，則下列選項正確的為( )
A．E(X)＝0.5
B．E(Y)＝1.4
C．D(X)＝0.52
D．D(Y)＝1.44
4．[2023·山東菏澤高二期末]已知甲、乙兩種產業(yè)收益的分布列分別為：
甲產業(yè)收益分布列
乙產業(yè)收益分布列
則下列說法正確的是( )
A．甲產業(yè)收益的期望大，風險高
B．甲產業(yè)收益的期望小，風險小
C．乙產業(yè)收益的期望大，風險小
D．乙產業(yè)收益的期望小，風險高
5．[2023·福建泉州高二期中]隨機變量X的分布列如下，且E(X)＝eq \f(1,3)，則( )
A.a＝eq \f(1,6)，D(X)＝1
B．a＝eq \f(1,2)，D(X)＝1
C．a＝eq \f(1,6)，D(X)＝eq \f(5,9)
D．a＝eq \f(1,2)，D(X)＝eq \f(5,9)
6．[2023·黑龍江牡丹江高二期末]已知隨機變量ξ的分布列如表，則ξ的標準差為( )
．eq \r(3.2)
C．3.2D．eq \r(3.56)
7．[2023·福建泉州高二期中]隨機變量X的分布列如下表，若E(3X＋3)＝6，則D(X)＝( )
A.0B．2
C．3D．4
8．[2023·遼寧沈陽高二期中]某離散型隨機變量X的分布列如下表，若E(X)＝eq \f(3,4)，P(X≥1)＝eq \f(7,12)，則D(X)＝( )
A.eq \f(15,16)B．eq \f(9,8)C．eq \f(5,4)D．eq \f(19,16)
二、多項選擇題(每小題5分，共10分)
9．[2023·河北石家莊高二期中]已知隨機變量X滿足E(X)＝－4，D(X)＝5，下列說法正確的是( )
A．E(1－X)＝－5
B．E(1－X)＝5
C．D(1－X)＝5
D．D(1－X)＝－5
10．[2023·河南信陽高二期末]隨機變量ξ的分布列如下表，
則下列選項正確的是( )
A．2a＋b＝1
B．E(ξ)＝2b
C．D(ξ)＝4a－b2
D．D(ξ)的最大值為eq \f(36,25)
三、填空題(每小題5分，共10分)
11．[2023·山東淄博高二期末]隨機變量X的分布列為：
則D(X)＝________．
12．[2023·河北石家莊高二期中]若隨機變量X的分布列如下表，且E(X)＝2，則D(2X－3)的值為________．
四、解答題(共20分)
13．(10分)[2023·山西太原高二期中]隨機變量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差數列，若E(X)＝eq \f(1,3)，求
(1)a，b，c的值；
(2)求D(3X＋1)的值．
14．(10分)[2023·山東臨沂高二期中]甲、乙兩種品牌手表，它們的日走時誤差分別為X和Y(單位：s)，其分布列為如下表．
甲品牌的走時誤差分布列
乙品牌的走時誤差分布列
(1)求E(X)和E(Y)；
(2)求D(X)和D(Y)，并比較兩種品牌手表的性能．
關鍵能力綜合練
15．(5分)[2023·河北張家口高二期末]設隨機變量X的分布列如下(其中0D(Y)，
即甲產業(yè)收益的期望大，風險高．
答案：A
5．解析：由已知可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(E（X）＝－a＋b＝\f(1,3),a＋b＋\f(1,3)＝1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,6),b＝\f(1,2)))，
所以D(X)＝(－1－eq \f(1,3))2×eq \f(1,6)＋(0－eq \f(1,3))2×eq \f(1,3)＋(1－eq \f(1,3))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9).
答案：C
6．解析：由分布列的性質得0.4＋0.1＋x＝1，解得x＝0.5，
∴E(ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，
∴D(ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，
∴ξ的標準差為eq \r(D（ξ）)＝eq \r(3.56).
答案：D
7．解析：由題意可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋b＋\f(1,2)＝1,3（－2a＋b＋1）＋3＝6))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,6),b＝\f(1,3)))，
又E(3X＋3)＝3E(X)＋3＝6，所以E(X)＝1；
所以D(X)＝(－2－1)2×eq \f(1,6)＋(1－1)2×eq \f(1,3)＋(2－1)2×eq \f(1,2)＝2.
答案：B
8．解析：∵分布列的概率之和為1，
∴a＋b＋c＋eq \f(1,3)＝1，即a＋b＋c＝eq \f(2,3) ①.
∵E(X)＝(－1)×a＋0×b＋1×c＋2×eq \f(1,3)＝eq \f(3,4)，
∴－a＋c＝eq \f(1,12) ②.
∵P(X≥1)＝c＋eq \f(1,3)＝eq \f(7,12)，∴c＝eq \f(1,4)，
依次代入②、①，解得a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,4)，
則D(X)＝(－1－eq \f(3,4))2×eq \f(1,6)＋(0－eq \f(3,4))2×eq \f(1,4)＋(1－eq \f(3,4))2×eq \f(1,4)＋(2－eq \f(3,4))2×eq \f(1,3)＝eq \f(19,16).
答案：D
9．解析：依題意，E(X)＝－4，D(X)＝5，
所以E(1－X)＝1－E(X)＝1－(－4)＝5，
D(1－X)＝(－1)2×D(X)＝5.
答案：BC
10．解析：由題意得，2a＋a＋2a＋b＝1，得a＝eq \f(1,5)(1－b)，故A錯誤；
E(ξ)＝－1×2a＋0＋1×2a＋2b＝2b，故B正確；
所以D(ξ)＝ eq \i\su(i＝1,3, (ξ eq \\al(2,i) pi))－[E(ξ)]2＝0×a＋1×4a＋4×b－(2b)2＝4(a＋b－b2)，故C錯誤；
因為a＝eq \f(1,5)(1－b)，
所以D(ξ)＝4(a＋b－b2)＝－4(b2－eq \f(4,5)b－eq \f(1,5))＝－4(b－eq \f(2,5))2＋eq \f(36,25)，當且僅當b＝eq \f(2,5)時，D(ξ)取得最大值eq \f(36,25)，故D正確．
答案：BD
11．解析：由概率之和為1可得eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋n＝1，∴n＝eq \f(1,4)，
∴E(X)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,4)＋3×eq \f(1,4)＝eq \f(7,4)，
D(X)＝eq \f(1,2)×(1－eq \f(7,4))2＋eq \f(1,4)×(2－eq \f(7,4))2＋eq \f(1,4)×(3－eq \f(7,4))2＝eq \f(11,16).
答案：eq \f(11,16)
12．解析：由題意可得eq \f(1,6)＋p＋eq \f(1,3)＝1，解得p＝eq \f(1,2)，
因為E(X)＝2，所以0×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,2)＋a×eq \f(1,3)＝2，解得a＝3.
D(X)＝(0－2)2×eq \f(1,6)＋(2－2)2×eq \f(1,2)＋(3－2)2×eq \f(1,3)＝1.
D(2X－3)＝4D(X)＝4.
答案：4
13．解析：(1)∵a，b，c成等差數列，∴2b＝a＋c，
又a＋b＋c＝1，且E(X)＝－a＋c＝eq \f(1,3)，
聯立以上三式解得a＝eq \f(1,6)，b＝eq \f(1,3)，c＝eq \f(1,2).
(2)由(1)可知，
D(X)＝(－1－eq \f(1,3))2×eq \f(1,6)＋(0－eq \f(1,3))2×eq \f(1,3)＋(1－eq \f(1,3))2×eq \f(1,2)＝eq \f(5,9)，
則D(3X＋1)＝32D(X)＝9×eq \f(5,9)＝5.
14．解析：(1)由已知可得，E(X)＝－1×0.1＋0×0.8＋1×0.1＝0，
E(Y)＝－2×0.1－1×0.2＋0×0.4＋1×0.2＋2×0.1＝0.
(2)由(1)知，E(X)＝0，
所以D(X)＝(－1－0)2×0.1＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.1＝0.2.
又E(Y)＝0，
所以D(Y)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2.
所以E(X)＝E(Y)，D(X)

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