第七章7.3　離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1　離散型隨機(jī)變量的均值A級(jí) 必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]若離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01P則X的均值E(X)=(　　)A.2 B.2或 C. D.12.[探究點(diǎn)一]若隨機(jī)變量X的分布列如表所示,則E(ξ)的值為(　　)X012345P2x3x7x2x3xxA. B. C. D.3.[探究點(diǎn)二]若隨機(jī)變量X的分布列如下表,則E(5X+4)=(　　)X024P0.30.20.5A.16 B.11 C.2.2 D.2.34.[探究點(diǎn)三]今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá),每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.85,設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)數(shù)為X,則E(X)的值為(　　)A.0.765 B.1.75 C.1.765 D.0.225.[探究點(diǎn)三]甲、乙、丙三人各打靶一次,若甲打中的概率為,乙、丙打中的概率均為(0<t<4),若甲、乙、丙都打中的概率是,設(shè)X表示甲、乙兩人中中靶的人數(shù),則X的均值是(　　)A. B. C.1 D.6.[探究點(diǎn)一]某公司有5萬(wàn)元資金用于投資開(kāi)發(fā)項(xiàng)目,如果成功,一年后可獲利12%;如果失敗,一年后將喪失全部資金的50%.下表是過(guò)去200例類似項(xiàng)目開(kāi)發(fā)的實(shí)施結(jié)果:投資成功投資失敗192例8例則該公司一年后估計(jì)可獲收益的均值是　　　　　. 7.[探究點(diǎn)二]離散型隨機(jī)變量X的可能取值為1,2,3,4,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4),E(X)=3,則a=　　　　　,b=　　　　　. 8.[探究點(diǎn)三]為了整頓道路交通秩序,某地考慮將對(duì)行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度,在普通行人中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查,得到如下數(shù)據(jù):處罰金額x/元05101520會(huì)闖紅燈的人數(shù)y8050402010(1)若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率,則處罰10元時(shí)與處罰20元時(shí)行人會(huì)闖紅燈的概率的差是多少?(2)若從這5種處罰金額中隨機(jī)抽取2種不同的金額進(jìn)行處罰,在兩個(gè)路口進(jìn)行試驗(yàn).①求這兩種金額之和不低于20元的概率;②若用X表示這兩種金額之和,求X的分布列和均值.       B級(jí) 關(guān)鍵能力提升練9.某船隊(duì)若出海后天氣好,可獲得5 000元;若出海后天氣壞,將損失2 000元;若不出海也要損失1 000元.根據(jù)預(yù)測(cè)知天氣好的概率為0.6,則出海的期望效益是(　　)A.2 000元 B.2 200元 C.2 400元 D.2 600元10.一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c∈(0,1)),已知他投籃一次得分的均值為2,則的最小值為(　　)A. B. C. D.11.(多選題)已知隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ-102Pcos α其中α∈0,,則下列表述正確的是(　　)A.+cos α=1B.cos α=C.E(ξ)=1D.sin α=12.(多選題)設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù),隨機(jī)變量X的分布列為X012P-pp則下列說(shuō)法正確的是(　　)A.p∈0, B.E(X)最大值為C.p∈0, D.E(X)最大值為13.李老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如表:X123P!?!請(qǐng)小王同學(xué)計(jì)算X的均值,盡管“?”處完全無(wú)法看清,且兩個(gè)“!”處字跡模糊,但能斷定這兩個(gè)“!”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小王給出了正確答案E(X)=　　　　　. 14.袋中原有3個(gè)白球和2個(gè)黑球,每次從中任取2個(gè)球,然后放回2個(gè)黑球.設(shè)第一次取到白球的個(gè)數(shù)為ξ,則E(ξ)=　　　　　,第二次取到1個(gè)白球1個(gè)黑球的概率為　　　　　. 15.某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽,A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生,B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生,兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng),從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率;(2)某場(chǎng)比賽前,從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽.設(shè)X表示參賽的男生人數(shù),求X的分布列和均值.   16.A,B兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?每隊(duì)三名隊(duì)員,A隊(duì)隊(duì)員分別是A1,A2,A3,B隊(duì)隊(duì)員分別是B1,B2,B3,按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì),對(duì)陣隊(duì)員之間的勝負(fù)概率如下.對(duì)陣隊(duì)員A隊(duì)隊(duì)員勝的概率A隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率A1和B1A2和B2A3和B3現(xiàn)按表中對(duì)陣方式出場(chǎng)比賽,勝隊(duì)得1分,負(fù)隊(duì)得0分.設(shè)A,B兩隊(duì)最后所得總分分別為X,Y.(1)求X,Y的分布列;(2)求E(X),E(Y).                             C級(jí) 學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練17.某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和均值.          參考答案7.3　離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.1　離散型隨機(jī)變量的均值1.C　由分布列的性質(zhì)知,=1,解得a=1或a=-2(舍去).所以E(X)=0×+1×.2.C　由題可得,2x+3x+7x+2x+3x+x=1,則x=,E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=.3.A　由題中表格可求E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16.故選A.4.B　當(dāng)X=0時(shí),P(X=0)=(1-0.9)×(1-0.85)=0.015;當(dāng)X=1時(shí),P(X=1)=0.9×(1-0.85)+0.1×0.85=0.22;當(dāng)X=2時(shí),P(X=2)=0.9×0.85=0.765.所以E(X)=0×0.015+1×0.22+2×0.765=1.75.5.D　∵,∴t=3(t=-3舍去).記X的所有可能取值為0,1,2,則分布列為X012P∴E(X)=0×+1×+2×.6.4 760　由題意知,一年后獲利6000元的概率為0.96,獲利-25000元的概率為0.04,故該公司一年后收益的均值是6000×0.96+(-25000)×0.04=4760.7.　0　易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=3,即30a+10b=3. ①又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1, ②由①②,得a=,b=0.8.解(1)由題意可知,處罰10元時(shí)行人會(huì)闖紅燈的概率與處罰20元時(shí)行人會(huì)闖紅燈的概率的差是.(2)①設(shè)“兩種金額之和不低于20元”的事件為A,從5種金額中隨機(jī)抽取2種,總的抽選方法共有=10種,滿足金額之和不低于20元的有6種,故所求概率P(A)=.②根據(jù)條件,X的可能取值為5,10,15,20,25,30,35,分布列為X5101520253035P故E(X)=5×+10×+15×+20×+25×+30×+35×=20.9.B　出海的期望效益為5000×0.6+(1-0.6)×(-2000)=3000-800=2200(元).10.D　由題意知均值是2,則3a+2b=2,即+b=1,則=+b=3++2=,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=時(shí),等號(hào)成立.故的最小值為.11.ABC　對(duì)于A,由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì),得+cosα=1;對(duì)于B,由+cosα=1,得sinα+2cosα=2,聯(lián)立得5cos2α-8cosα+3=0,解得cosα=或cosα=1(舍去);對(duì)于D,因?yàn)?/span>α∈0,,則sinα=;對(duì)于C,E(ξ)=-+2cosα=-+2×=1.12.AB　由表可得解得p∈0,,均值E(X)=0×-p+1×p+2×=p+1,當(dāng)且僅當(dāng)p=時(shí),E(X)取最大值,最大值為.13.2　設(shè)“!”為x,“?”為y,則2x+y=1.E(X)=4x+2y=2(2x+y)=2.14.　由題意得ξ的可能取值為0,1,2,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,故E(ξ)=0×+1×+2×.第二次取到1個(gè)白球1個(gè)黑球的概率為P=.15.解(1)由題意知,參加集訓(xùn)的男生、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽取(等價(jià)于A中學(xué)沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì))的概率為.因此,A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為1-.(2)根據(jù)題意,X的可能取值為1,2,3.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以X的分布列為X123PE(X)=1×+2×+3×=2.16.解(1)X的可能取值分別為3,2,1,0,則P(X=3)=,P(X=2)=,P(X=1)=,P(X=0)=.根據(jù)題意,X+Y=3,則P(Y=0)=P(X=3)=,P(Y=1)=P(X=2)=,P(Y=2)=P(X=1)=,P(Y=3)=P(X=0)=.故X的分布列為X0123P Y的分布列為Y3210P(2)E(X)=3×+2×+1×+0×.因?yàn)?/span>X+Y=3,所以E(Y)=3-E(X)=.17.解記E=“甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功”,F=“乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功”.由題設(shè)知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E與F,E與與F,都相互獨(dú)立.(1)記H=“至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功”,則,于是P()=P()P()=,故所求的概率為P(H)=1-P()=1-.(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X萬(wàn)元,則X的可能取值為0,100,120,220.因?yàn)?/span>P(X=0)=P()=,P(X=100)=P(F)=,P(X=120)=P(E)=,P(X=220)=P(EF)=,故X的分布列為X0100120220P均值E(X)=0×+100×+120×+220×=140. 

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7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

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