【夯實(shí)基礎(chǔ)】
題型1 求離散型隨機(jī)變量的方差
1.已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為
則其方差D(X)＝
A．1B．0.6C．2.44D．2.4
【答案】C
【詳解】解：∵分布列中出現(xiàn)的所有的概率之和等于1，
∴0.5＋m＋0.2＝1解得m＝0.3
所以E（x）＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
所以．
故選：C．
2.已知離散型隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．36B．24C．48D．18
【答案】A
【分析】先算出D(X)，再結(jié)合方差的性質(zhì)求出D(Y)即可.
【詳解】因?yàn)?，所以．又，所以?br>故選：A
3.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝3,6,9.則D(X)等于（ ）
A．6B．9
C．3D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)分布列，分別由數(shù)學(xué)期望和方差公式，即可求解.
【詳解】由題意得,
.
故選：A.
4.已知隨機(jī)變量，（ ）
A．6B．9C．2D．4
【答案】A
【分析】先由二項(xiàng)分布的方差公式求出，再由方差的性質(zhì)，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，
因此.
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)分布的方差，以及方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型.
5.已知一組數(shù)據(jù)的方差是1，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，，的方差是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)計算可得結(jié)果.
【詳解】設(shè)，依題意得，
則，
即另一組數(shù)據(jù)，，，，，的方差是.
故選：D
題型2 方差的性質(zhì)的應(yīng)用
1.已知兩隨機(jī)變量，若，則和分別為（ ）
A．6和4B．4和2C．6和2.4D．2和4
【答案】B
【分析】利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的計算公式求得和；根據(jù)方差的性質(zhì)可得到.
【詳解】由可得：，
又，則
本題正確選項(xiàng)：
【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的求解、方差性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
2.隨機(jī)變量的分布列為
若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由分布列性質(zhì)和數(shù)學(xué)期望公式可求得的值，由方差的公式可計算得到結(jié)果.
【詳解】由分布列性質(zhì)知：，解得：；
，；
.
故選：A.
3.已知隨機(jī)變量滿足，且為正數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題中條件，由方差的性質(zhì)列出方程求解，即可得出結(jié)果.
【詳解】由方差的性質(zhì)可得，，
因?yàn)?，所以?br>又a為正數(shù)，所以．
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查由方差的性質(zhì)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.
4.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表，其中.
若離散型隨機(jī)變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，再由期望公式、方差公式判斷AB，由兩個隨機(jī)變量之間的關(guān)系，根據(jù)期望、方差性質(zhì)判斷CD.
【詳解】由題意得 ， 所以，
所以，故A正確；，故B錯誤；
因?yàn)椋?，故C正確；
，故D正確.
故選：ACD
5.已知隨機(jī)變量X的分布列為
則當(dāng)a在要求范圍內(nèi)增大時，（ ）
A．增大，減小B．增大，增大
C．減小，先增大后減小D．減小，先減小后增大
【答案】B
【分析】直接利用分布列求出，然后判斷其單調(diào)性，進(jìn)一步求出，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷其單調(diào)性即可.
【詳解】解：由題意可得，，，
，在上單調(diào)遞增，是關(guān)于的二次式，其開口朝下，對稱軸，所以在上單調(diào)遞增.
故選：B．
【點(diǎn)睛】考查數(shù)學(xué)期望和方差公式的應(yīng)用以及函數(shù)的單調(diào)性，基礎(chǔ)題.
題型3 均值與方差的綜合應(yīng)用
1.若隨機(jī)變量的分布列為：
已知隨機(jī)變量，且，，則與的值分別為( )
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)分布列概率的性質(zhì)可計算出m，根據(jù)平均數(shù)和方差的計算即可計算a、b.
【詳解】由隨機(jī)變量的分布列可知，．
∴，．
∴，，
∴，，又，解得，﹒
故選：C．
2.已知離散型隨機(jī)變量的分布列為
則下列說法一定正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用公式計算出兩個隨機(jī)變量的期望和方程后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】，故，
，，
故選：D.
3.若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，其中，，分別為隨機(jī)變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布可得期望與方差，再結(jié)合期望、方差的性質(zhì)運(yùn)維求解.
【詳解】由題意可知：，
隨機(jī)變量X的分布列為
由兩點(diǎn)分布可知：，故A正確，D錯誤；
所以，，故B正確，C錯誤；
故選：AB.
4.隨機(jī)變量的分布列如下表，
則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．B．C．D．的最大值為
【答案】BD
【分析】根據(jù)隨機(jī)變量概率和為1得到從而判斷A；
通過隨機(jī)變量的期望公式計算進(jìn)而判斷B；
通過隨機(jī)變量的方差公式進(jìn)行計算后判斷C和D即可.
【詳解】由題意得，，得，故A錯誤；
，故B正確；
所以，故C錯誤；
因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，故D正確.
故選：BD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查隨機(jī)變量的綜合應(yīng)用.通過隨機(jī)變量的概率和、期望與方差公式進(jìn)行計算進(jìn)而求解即可，最值問題可通過消元從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題進(jìn)而求解.
5.已知隨機(jī)變量滿足，，，若，則隨增大（ ）
A．增大增大B．減小增大
C．減小減小D．增大減小
【答案】C
【解析】利用，的計算公式求出，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)論.
【詳解】解：隨機(jī)變量滿足，，，
，
.
若，則隨增大，減小，減小.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
【能力提升】
單選題
1.已知隨機(jī)變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)＝（ ）
A．6B．8
C．18D．20
【答案】C
【分析】根據(jù)方差公式，即可計算.
【詳解】∵D(X)＝2，∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.
故選:C.
2.設(shè)樣本數(shù)據(jù)，的均值和方差分別為1和4，若，，…，10，且，，...，的均值為5，則方差為（ ）
A．5B．8C．11D．16
【答案】D
【分析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，由此即可求出結(jié)果．
【詳解】因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的均值和方差分別為和，且，
所以的均值為：，即，所以方差為．
故選：D．
3.隨機(jī)變量，且，則（ ）
A．64B．128C．256D．32
【答案】A
【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布期望的計算公式列方程，由此求得的值，進(jìn)而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.
【詳解】隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，所以，則，因此.故選A.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)分布期望和方差計算公式，屬于基礎(chǔ)題.
4.已知袋中有大小相同、質(zhì)地均勻的黑色小球m個和白色小球個，從中任取3個，記隨機(jī)變量為取出的3個球中黑球的個數(shù)，則（ ）
A．都與m有關(guān)B．與m有關(guān)，與m無關(guān)
C．與m無關(guān)，與m有關(guān)D．都與m無關(guān)
【答案】C
【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的取值分別求出對應(yīng)的概率，再將期望與方差求出即可判斷出答案.
【詳解】由題可知：
，
，
故，
=
=．
故選：C．
5.若樣本數(shù)據(jù)的均值與方差分別為和，則數(shù)據(jù)的均值與方差分別為（ ）
A．，B．C．D．
【答案】D
【分析】直接根據(jù)均值和方差的定義求解即可．
【詳解】解：由題意有，，
則，
∴新數(shù)據(jù)的方差是，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查均值和方差的求法，屬于基礎(chǔ)題．
6.已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用期望公式與分布列的性質(zhì)得到的方程組，從而求得，再利用方差公式即可得解.
【詳解】因?yàn)?，且各概率之和為?br>所以，解得，
所以.
故選：B.
7.已知隨機(jī)變量，滿足，且，，則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根據(jù)，，所以可得答案.
【詳解】因?yàn)?，，?br>所以，
，所以.
故選：D.
8.隨機(jī)變量X的分布列如下所示．
則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)分布列得出，即可代入計算出，即可根據(jù)方差的運(yùn)算率得出，令，求導(dǎo)得出，即可得出答案.
【詳解】由題可知，即，
，
，
則，
令，
則，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
則的最大值為.
故選：D.
多選題
9.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為
若離散型隨機(jī)變量Y滿足：，則下列結(jié)果正確的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式可判斷B，根據(jù)期望的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)方差公式可判斷D.
【詳解】由，得，故A正確；
，故B正確；
因?yàn)?，所以，故C正確；
，故D不正確.
故選：ABC.
10.隨機(jī)變量X服從以下概率分布：
若，則下列說法正確的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)，以及均值的計算公式，建立方程組，可得參數(shù)的值，根據(jù)均值的性質(zhì)以及方差的計算公式，可得答案.
【詳解】由題意，，則；
，則.
由方程組，解得.
，.
故選：AD.
11.已知隨機(jī)變量滿足，，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的知識求得正確答案.
【詳解】依題意，，，
所以，
.
故選：BC
12.已知甲盒中有2個紅球，1個籃球，乙盒中有1個紅球，2個籃球.從甲、乙兩個盒中各取1個球放入原來為空的丙盒中.現(xiàn)從甲、乙、丙三個盒子中分別取1個球，記從各盒中取得紅球的概率為，從各盒中取得紅球的個數(shù)為，則（ ）
A． .B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根據(jù)已知利用平均值的原理去快速解決問題判斷A選項(xiàng)，再結(jié)合兩點(diǎn)分布分別得出數(shù)學(xué)期望和方差大小判斷B,C,D選項(xiàng).
【詳解】可以利用平均值的原理去快速解決問題，甲盒中有2個紅球，1個籃球，拿出一個球，相當(dāng)于平均拿出個紅球，個籃球；
乙盒中有1個紅球，2個籃球，拿出一個球，相當(dāng)于平均拿出個紅球，個籃球，
那么拿出一個球后，放入丙盒子中后，相當(dāng)于甲盒子內(nèi)還有個紅球，個籃球，乙盒子內(nèi)還有個紅球，個籃球，丙盒子中有1個紅球，1個籃球，
故，，，，A選項(xiàng)正確 ；
滿足兩點(diǎn)分布，
故，，
，，
，，，，B,C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯誤.
故選：ABC.
填空題
13.已知樣本，，…，的平均數(shù)為5，方差為3，則樣本，，…，的平均數(shù)與方差的和是 ．
【答案】23
【分析】利用期望、方差的性質(zhì)，根據(jù)已知數(shù)據(jù)的期望和方差求新數(shù)據(jù)的期望和方差.
【詳解】由題設(shè)，，，
所以，.
故平均數(shù)與方差的和是23.
故答案為：23.
14.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，隨機(jī)變量，則= .
【答案】8
【分析】利用二項(xiàng)分布的方差公式，方差的性質(zhì)計算作答.
【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則，而，
所以.
故答案為：8
15.已知，且，則的方差為 ．
【答案】.
【分析】結(jié)合二項(xiàng)分布的方差的計算公式求出，進(jìn)而根據(jù)方差的性質(zhì)即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，所以，?br>則，因此的方差為，
故答案為：.
16.如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的號碼，則下面結(jié)論中正確的是 .
①
②
③
④
【答案】②
【分析】結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計算公式，計算出概率并求得方差，從而確定正確選項(xiàng).
【詳解】解：已知表示小球落入格子的號碼，則的所有取值范圍為，，，，，，
則，由對稱性可知，
而，
，
所以，
，
綜上得選項(xiàng)②正確．
故答案為：②
解答題
17.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點(diǎn)數(shù)X的方差和標(biāo)準(zhǔn)差．
【答案】；.
【分析】利用平均數(shù)，方差，標(biāo)準(zhǔn)差的公式求解．
【詳解】由題可知X為隨機(jī)變量，其可能的取值為1，2，3，4，5，6，
且P(X＝1)＝P(X＝2)＝P(X＝3)＝P(X＝4)＝P(X＝5)＝P(X＝6)＝，
∴X的均值(數(shù)學(xué)期望)為；
X的方差；
X的標(biāo)準(zhǔn)差．
18.某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的5個球，其中3個黑球和2個白球．從袋中隨機(jī)取出2個球，記取出白球的個數(shù)為，
（1）求的概率即
（2）求取出白球的數(shù)學(xué)期望和方差
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）首先求出，然后可算出答案；
（2）的可能取值為，算出對應(yīng)的概率，然后可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，所?br>（2）的可能取值為
，，
所以的分布列為：
所以
19.已知隨機(jī)變量的分布列如下表：
（1）求，，；
（2）設(shè)，求，．
【答案】（1），，；（2），.
【分析】（1）利用分布列的期望和方差的公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；
（2）由，利用，，即可求解.
【詳解】（1）由期望的公式，可得，
又由方差的公式，可得，
所以.
（2）因?yàn)椋裕?br>.
20.某校舉行知識競賽，最后一個名額要在、兩名同學(xué)中產(chǎn)生，測試方案如下：、兩名學(xué)生各自從給定的個問題中隨機(jī)抽取個問題作答，在這個問題中，已知能正確作答其中的個，能正確作答每個問題的概率是，、兩名同學(xué)作答問題相互獨(dú)立．
(1)設(shè)答對的題數(shù)為，求的分布列；
(2)設(shè)答對的題數(shù)為，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生，并說明理由．
【答案】(1)答案見解析
(2)選擇同學(xué)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式計算概率并列出分布列；
（2）由已知可得滿足二項(xiàng)分布，再分別計算期望與方差即可判斷.
【詳解】（1）設(shè)答對的題數(shù)，則的可能取值有，，且，，
則的分布列為：
（2）設(shè)答對的題數(shù)，則，
，，，，
由（1）知：，
，
而，
，
所以，，故選擇為參賽選手．
21.某花店每天以每枝4元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝8元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理
（1）若花店一天購進(jìn)15枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位∶元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位∶枝，)的函數(shù)解析式；
（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位∶枝)，整理得下表∶
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.
（i）若花店一天購進(jìn)15枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位∶元)，求X的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；
（ii）若花店計劃一天購進(jìn)15枝或16枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)15枝還是16枝？請說明理由.
【答案】（1），n∈N；（2）（i）分布列答案見解析，，；（ii）應(yīng)購進(jìn)15枝，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)題意，分別求得當(dāng)n≥15和n≤14時的解析式，綜合即可得答案.
（2）（i）X可取44，52，60，分別求得各個概率，列出分布列，代入公式，即可得數(shù)學(xué)期望及方差；
（ii）求得購進(jìn)16枝時利潤Y的的期望，比較即可得答案.
【詳解】解∶（1）當(dāng)n≥15時，，
當(dāng)n≤14時，，
得，n∈N.
（2）（i）X可取44，52，60，
P(X=44)=0.1，P(X=52)=0.3，P(X=60)=0.6，
X的分布列為
，
（ii）花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(單位∶元)，
那么Y的分布列為
購進(jìn)16枝時，當(dāng)天的利潤的期望為，
因?yàn)?6>55.2，所以應(yīng)購進(jìn)15枝.
22.甲、乙兩種品牌的手表，它們的日走時誤差分別為、（單位：秒），其分布列為
甲品牌走時誤差分布列
乙品牌走時誤差分布列
式比較甲乙兩種品牌的性能．
【答案】甲乙走時誤差均值相同，甲的方差較小，性能更穩(wěn)定.
【分析】由分布列的性質(zhì)求出a，b的值，計算并比較的值即可判斷作答.
【詳解】由分布列的性質(zhì)知，，解得，，解得，
于是得，，
從而得，即甲乙走時誤差均值相同；
，,
從而得，即甲的方差較小，走時更穩(wěn)定，
所以甲乙走時誤差均值相同，甲的方差較小，性能更穩(wěn)定.
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
X
0
1
2
3
p
m
0.4
n
0.2
X
0
2
4
P
a
0
1
0.2
X
0
1
P
0
1
2
P
2a
a
2a
b
0
1
4
P
a
4a
b
X
0
1
P
a
b
X
1
2
3
P
a
2b
a
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
X
1
2
3
P
a
b
0
1
2
－1
0
1
P
日需求量n
13
14
15
16
17
18
19
頻數(shù)
10
30
20
14
12
8
6
X
44
52
60
P
0.1
0.3
0.6
Y
40
48
56
64
P
0.1
0.3
0.2
0.4
0
1
0.8
0.1
0
1
2
0.1
0.2
0.4
0.1

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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