人教A版 (2019)選擇性必修第三冊7.3 離散型隨機變量的數(shù)字特征優(yōu)秀習(xí)題-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【夯實基礎(chǔ)】
題型1 利用定義求離散型隨機變量的均值
1.若隨機變量的概率分布列如下表：
則等于（）
A．2031B．12C．3.04D．15.2
【答案】A
【分析】先求出，再根據(jù)均值的性質(zhì)可求出.
【詳解】據(jù)題意，得，
所以.
故選：A.
【點睛】本題考查根據(jù)分布列求離散型隨機變量的均值，以及根據(jù)均值求新的均值.
2.已知隨機變量的分布列如表，則的均值等于（）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】利用分布列中各取值的概率之和為1，得到m的值，運用均值公式計算均值.
【詳解】由，得，則.
故選：C
3.設(shè)離散型隨機變量可能的取值為1，2，3，4，，若的均值，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將，2，3，4代入的表達式，利用概率之和為1列方程，利用期望值列出第二個方程，聯(lián)立方程組，可求解得的值.
【詳解】依題意可的的分布列為：
依題意得，解得，，
故.故選：A
4.為弘揚中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動．某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》這4本書中選取1本進行準備，且各自選取的書均不相同．比賽時，若這4位同學(xué)從這4本書中隨機抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準備的書的人數(shù)的均值為（）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】抽到自己準備的書的學(xué)生人數(shù)為X，可得到X的可能取值，分別計算出對應(yīng)的概率即可求得其均值.
【詳解】記抽到自己準備的書的學(xué)生人數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，4，
；；
；，
則．故選：B．
5.如圖所示是一個正方體，現(xiàn)將其六面分別都涂紅、藍、黃、白、綠、紫6種顏色放干后，再切割為125個同樣大小的正方體，然后放在足夠大的容器內(nèi)均勻攪拌，若從中隨機取出一個小正方體記它的涂有顏色面數(shù)為，則的均值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】計算出被涂三面、兩面、一面的小正方體的個數(shù)，可得的可能取值為0，1，2，3．從而求出數(shù)學(xué)期望；
【詳解】解：根據(jù)題意正方體內(nèi)部有個小正方體沒有被涂上顏色，僅有一面被涂上顏色的有個，僅有兩個面涂上顏色的有個，有三個面涂上共有8個，故隨機變量的可能取值為0，1，2，3．于是，，，．于是期望為．
故選：D．
題型2 離散型隨機變量均值的性質(zhì)
1.隨機變量的分布列如表所示，則的最大值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)，可得，．利用期望公式及二次函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)，所有的概率之和為1，且每個概率都介于0和1之間，
得到，．
根據(jù)隨機變量數(shù)學(xué)期望公式得，
當時，取得最大值，經(jīng)檢驗符合題意．
故選：B．
2.設(shè)隨機變量服從兩點分布，若，則（）
A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7
【答案】D
【分析】由題意可得，再結(jié)合，可求出，從而可求出
【詳解】由題意得，
因為，
所以解得，
所以，
故選：D
3.已知離散型隨機變量X的分布為
則X的數(shù)學(xué)期望（）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用分布列的性質(zhì)求出m，再直接利用公式求出X的數(shù)學(xué)期望.
【詳解】由分布列的性質(zhì)可得：，解得：.
所以X的數(shù)學(xué)期望.
故選：B
4.已知X的分布列為
且Y＝aX+3，E（Y），則a為（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用期望的計算公式，計算出EX，再由期望的性質(zhì)，Y＝aX+3，求出a即可．
【詳解】先求出（﹣1）01．
再由Y＝aX+3得．
∴a（）+3，解得a＝2．
故選：B．
【點睛】本題主要考查離散型隨機變量的期望及期望的性質(zhì)，考查了基本運算的能力，屬于基礎(chǔ)題．
5.已知隨機變量服從兩點分布，，則其成功概率為（）
A．0B．1C．0.3D．
【答案】D
【分析】直接利用兩點分布的性質(zhì)，即可得出結(jié)論,
【詳解】隨機變量服從兩點分布，設(shè)成功的概率為，
.
故選：D.
題型3 離散型隨機變量均值的應(yīng)用
1.隨機變量的概率分布為，其中是常數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)裂項相消法以及概率的性質(zhì)求出，再得出，最后由得出答案.
【詳解】
，解得
則
故選：D
【點睛】本題主要考查了隨機變量分布列的性質(zhì)以及均值的性質(zhì)，屬于中檔題.
2.一人將編號為1，2，3，4的四個小球隨機放入編號為1，2，3，4的四個盒子里，每個盒子里放一個小球，球的編號與盒子的編號相同叫做放對了，否則叫做放錯了，設(shè)放對的個數(shù)為X，則X的期望為（）
A．B．C．2D．1
【答案】D
【分析】由題可知，X可能取0,1,2,4，分別求得各個取值對應(yīng)的概率，從而求得期望.
【詳解】由題可知，X可能取0,1,2,4，
則，
，
則
故選：D
3.甲乙兩人進行乒乓球比賽，每人各局取勝的概率均為，現(xiàn)采用五局三勝制，勝3局者贏得全部獎金800元.若前兩局比賽均為甲勝，此時因某種原因比賽中止，為使獎金分配合理，則乙應(yīng)得獎金（）元.
A．700B．600C．200D．100
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，先計算得到甲應(yīng)得獎金的期望，從而得到乙應(yīng)得獎金.
【詳解】設(shè)甲應(yīng)得獎金為X，X的可能取值為800，0，
甲贏得比賽有3中情況：
①勝第3局，甲贏的概率為，
②輸?shù)?局，勝第4局，甲贏的概率為，
③輸?shù)?，4局，勝第5局，甲贏的概率為，
∴甲贏的概率為，
∴，
則乙應(yīng)得獎金，
故選：D.
4.某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失.現(xiàn)有甲?乙兩種相互獨立的預(yù)防措施可供采取，單獨采取甲?乙預(yù)防措施所需費用分別為45萬元和30萬元，采取相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85，若預(yù)防措施允許單獨采取?聯(lián)合采取或不采取，那么總費用（總費用=采取預(yù)防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望）最少的是（）
A．不采取任何預(yù)防措施B．單獨采取甲預(yù)防措施
C．單獨采取乙預(yù)防措施D．聯(lián)合采取甲?乙兩種預(yù)防措施
【答案】D
【分析】分成四類情況，求出相應(yīng)的總費用，即可作出判斷.
【詳解】①不采取預(yù)防措施時，總費用即損失的期望為（萬元）；
②若單獨采取甲預(yù)防措施，則采取預(yù)防措施所需費用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失的期望為（萬元），所以總費用為（萬元）；③若單獨采取乙預(yù)防措施，則采取預(yù)防措施所需費用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失的期望為（萬元），所以總費用為（萬元）；
④若聯(lián)合采取甲?乙兩種預(yù)防措施，則采取預(yù)防措施所需費用為（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失的期望為（萬元），所以總費用為（萬元）.
綜合①②③④，比較其總費用，可知選擇聯(lián)合采取甲?乙兩種預(yù)防措施，可使總費用最少.
故選：D
5.通過核酸檢測可以初步判定被檢測者是否感染新冠病毒，檢測方式分為單檢和混檢.單檢，是將一個人的采集拭子放入一個采樣管中單獨檢測；混檢，是將多個人的采集拭子放入一個采樣管中合為一個樣本進行檢測，若檢測結(jié)果呈陽性，再對這多個人重新采集單管拭子，逐一進行檢測，以確定當中的陽性樣本.混檢按一個采樣管中放入的采集拭子個數(shù)可具體分為“3合1”混檢，“5合1”混檢，“10合1”混檢等.調(diào)查研究顯示，在群體總陽性率較低（低于0.1%）時，混檢能較大幅度地提高檢測效力、降低檢測成本.根據(jù)流行病學(xué)調(diào)查結(jié)果顯示，某城市居民感染新冠病毒的概率為0.0005.若對該城市全體居民進行核酸檢測，記采用“10合1”混檢方式共需檢測X次，采用“5合1”混檢方式共需檢測Y次，已知當時，，據(jù)此計算的近似值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意可知10人組進行檢測，總檢測次數(shù)有兩種結(jié)果：1次和11次，概率分別為和，從而可求出，同樣的方法可求出，進而可求出比值
【詳解】由于一個城市的總?cè)丝跀?shù)很大，而總體陽性率較低，所以我們可以認為陽性個體均勻分布，
若進行10合1混檢，對任意一個10人組進行檢測，總檢測次數(shù)有兩種結(jié)果：1次和11次，概率分別為和，
故這10人組檢測次數(shù)的期望為，相當于每個個體平均檢測次，
同理，采用5合1混檢，每個個體平均檢測次，
∴.
故選：B
【能力提升】
單選題
1.隨機變量的分布列如圖所示，則其數(shù)學(xué)期望（）
A．B．C．D．不能確定
【答案】B
【分析】由分布列可得，進而結(jié)合期望的概念即可求出結(jié)果.
【詳解】由題意可知，即，
而，
故選：B.
2.學(xué)校要從10名候選人中選2名同學(xué)進入學(xué)生會，其中高二（1）班有4名候選人，假設(shè)每名候選人都有相同的機會被選到，若表示選到高二（1）班的候選人的人數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】寫出隨機變量X的所有取值，分別計算的各種取值對應(yīng)的概率，再計算數(shù)學(xué)期望．
【詳解】解：的可能取值有0，1，2，
且，，，
．
故選：D.
3.已知某一隨機變量的概率分布列如下，且，則的值為（）
A．4B．5C．3D．7
【答案】A
【分析】由概率和為先計算，然后由期望的公式列出關(guān)于的等式，求解即可.
【詳解】解：由概率和為可知：，所以，解得：.
故選：A
4.學(xué)校要從5名男生和2名女生中隨機抽取2人參加社區(qū)志愿者服務(wù)，若用表示抽取的志愿者中女生的人數(shù)，則隨機變量的數(shù)學(xué)期望的值是（）
A．B．
C．D．1
【答案】C
【分析】法一：根據(jù)隨機變量，由求解；法二：由題意得到的取值范圍為，然后分別求得其相應(yīng)概率，利用期望公式求解.
【詳解】法一：由題意得隨機變量，
則，
法二：由題意可知的取值范圍為，
則，
，
，
故，
故選：C.
5.隨機變量X的概率分布為，其中a是常數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由分布列的性質(zhì)求出，再由均值的公式即可求出答案.
【詳解】，∵，
∴，解得，
則，
∴．
故選：B
6.把半圓分成4等份，以這些等分點（包括直徑的兩端點）為頂點，作出三角形，從這些三角形中任取3個三角形，記這3個三角形中鈍角三角形的個數(shù)為X，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】一共可做出10個三角形，其中鈍角三角形有7個，由題意可知，分別求出對應(yīng)概率，從而可求得數(shù)學(xué)期望.
【詳解】解：以這些等分點（包括直徑的兩端點）為頂點，一共能作出個三角形，
其中鈍角三角形有個，
所以，
，
，
，
，
所以.
故選：A.
7.將5個小球放入甲乙兩個框中，每個框一定要有球，放完后小明等概率從甲乙中依次取出球，若甲框最先被取完且甲框中不為兩個球，則甲框中小球個數(shù)的期望為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出甲框中球的個數(shù)X可能值及對應(yīng)的概率，求出期望值.
【詳解】甲框中球的個數(shù)X可能為1，3，4，
由小明等概率從甲乙中依次取出球，甲框最先被取完，
若，則第一次就從甲框中取球的概率為，
若第一次從乙框，第二次從甲框中取球的概率為，
若第一、二次從乙框，第三次從甲框中取球的概率為，
若第一、二、三次從乙框，第四次從甲框中取球的概率為，
則甲框中只有一球，且先被取完的概率為；
若，前三次均在甲框中取球，概率為，
前三次有1次從乙框中取球，第四次從甲框中取球，則概率為，
故甲框中只有三球，且先被取完的概率為;
若，則前四次均要從甲框中取球，
故甲框中只有四球，且先被取完的概率為，
所以甲框最先被取完且甲框中不為兩個球的概率，
在此前提下，，
則甲框中小球個數(shù)的期望.
故選：B.
8.某商場銷售某種品牌的空調(diào)，每周初購進一定數(shù)量的空調(diào)，商場每銷售一臺空調(diào)可獲利500元，若供大于求，則每臺未售出的空調(diào)需交保管費100元；若供不應(yīng)求，則可從其他商場調(diào)劑供應(yīng)，調(diào)劑的空調(diào)每臺可獲利200元．該商場記錄了去年夏天（共10周）空調(diào)的周需求量n（單位：臺），整理得表：
以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若該商場周初購進20臺空調(diào)，X表示當周的利潤（單位：元），則當周的平均利潤為（）
A．10000元B．9400元C．8800元D．9860元
【答案】D
【分析】求出X的可能取值，進而求出相應(yīng)的概率，根據(jù)均值的計算公式即可求出結(jié)果.
【詳解】當時，，
當時，，
則X的可能取值為8800，9400，10000，10200，10400，
，
，
，
，
，
則當周的平均利潤
（元）．
故選：D．
多選題
9.簽盒中有編號為1，2，3，4，5，6的六支簽，從中任意取3支，設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個，則下列說法正確的有（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】的值分別為，求出各概率，再計算出期望值，然后判斷各選項．
【詳解】任取3支簽的方法總數(shù)為，
，C錯；，A正確；，，
，B正確；
，D正確．
故選：ABD．
10.新冠肺炎疫情發(fā)生后，我國加緊研發(fā)新型冠狀病毒疫苗，某醫(yī)藥研究所成立疫苗研發(fā)項目，組建甲、乙兩個疫苗研發(fā)小組，且兩個小組獨立開展研發(fā)工作.已知甲小組研發(fā)成功的概率為，乙小組研發(fā)成功的概率為.該研發(fā)項目的獎金為100萬元，分配方案是：若只有某一小組研發(fā)成功，則該小組獲得全部獎金；若兩個小組都研發(fā)成功，則平分全部獎金；若兩個小組均未研發(fā)成功，則均不獲得獎金.則（）
A．該研究所疫苗研發(fā)成功的概率為
B．乙小組獲得全部獎金的概率為
C．在疫苗研發(fā)成功的情況下，是由甲小組研發(fā)成功的概率為
D．甲小組獲得獎金的期望值為60萬元
【答案】AC
【分析】于A和B選項，可利用對立事件、相互獨立事件的概率公式求解并判斷；對于C選項，可利用條件概率的計算公式求解判斷；對于D選項，可先寫出甲小組獲得獎金數(shù)的可能取值，求出分布列，再計算期望值，進而判斷即可.
【詳解】對由題，當甲、乙兩個小組至少有一個小組研發(fā)成功時，該研究所疫苗研發(fā)成功，其概率為，故A選項正確；乙小組獲得全部獎金，即甲小組沒有研發(fā)成功，而乙小組研發(fā)成功，概率為，故B選項錯誤；設(shè)事件A為“疫苗研發(fā)成功”，事件B為“甲小組研發(fā)成功”，則，故C選項正確；設(shè)甲小組獲得的獎金數(shù)為（單位：萬元），則的可能取值為0，50，100，且，，，所以，故D選項錯誤.
故選：AC
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查概率問題，關(guān)鍵考查建模能力，理解題意，正確轉(zhuǎn)化為概率模型求解，試題從實際生活中的場景出發(fā)，對新型冠狀病毒疫苗研發(fā)情況進行分析，需要考生選擇隨機變量刻畫隨機現(xiàn)象，并利用所學(xué)知識解決實際問題，體現(xiàn)對理性思維、數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)探索學(xué)科素養(yǎng)的考查.
11.某國產(chǎn)殺毒軟件的比賽規(guī)則為每個軟件進行四輪考核，每輪考核中能夠準確對病毒進行查殺的進入下一輪考核，否則被淘汰．已知某個軟件在四輪考核中能夠準確殺毒的概率依次是且各輪考核能否通過互不影響，則（）
A．該軟件通過考核的概率為
B．該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為
C．該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為
D．在此次比賽中該軟件平均考核了輪
【答案】ABD
【分析】設(shè)事件，2，3，表示“該軟件能通過第輪考核”，由已知可得，，，，再利用互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法公式以及對立事件的概率公式一一計算可得．
【詳解】解：設(shè)事件，2，3，表示“該軟件能通過第輪考核”，
由已知得，，，，
該軟件通過考核的概率為；
該軟件在第三輪考核被淘汰的概率為，故選項B正確；
該軟件至少能夠通過兩輪考核的概率為，故選項C不正確；設(shè)在此次比賽中，該軟件考核了輪，∴的可能取值為1，2，3，4，，，，，∴，故選項D正確．
故選：ABD
12.為了了解學(xué)生對冰壺這個項目的了解情況，在某市中小學(xué)中隨機抽取了10所學(xué)校，這10所學(xué)校中了解這個項目的人數(shù)如圖所示.若從這10所學(xué)校中隨機選取2所學(xué)校進行這個項目的科普活動，記X為被選中的學(xué)校中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校個數(shù)，則（）
A．X的取值范圍為B．
C．D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意可知10所學(xué)校中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校個數(shù)為4個，故可確定X的取值范圍為，判斷A;求出X的每個取值的概率，判斷B,C;求得X的期望，判斷D.
【詳解】由題意知10所學(xué)校中了解冰壺的人數(shù)在30以上的學(xué)校個數(shù)為4個，
故X的取值范圍為，故A錯誤；
由此可得 ,故B，C正確；
又，
故，故D不正確，
故選：BC
填空題
13.已知隨機變量的期望為3，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)滿足線性關(guān)系的變量間的期望的計算公式，即可求解.
【詳解】由題意知，所以.
故答案為：.
14.已知隨機變量的分布列為：
其中，，若，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可得a，然后由期望公式可得m、n的關(guān)系，最后巧用“1”和基本不等式可得.
【詳解】由分布列性質(zhì)可知
所以
所以
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：
15.同時拋擲兩枚相同的均勻硬幣，隨機變量表示結(jié)果中有正面向上，表示結(jié)果中沒有正面向上，則 .
【答案】
【解析】先求出結(jié)果中沒有正面向上的概率和結(jié)果中有正面向上的概率，再利用期望公式求解.
【詳解】由題意知，結(jié)果中沒有正面向上的概率為，此時，
而時對應(yīng)概率為，
．
故答案為：
【點睛】本題主要考查隨機變量的期望的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.
16.某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是min，這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間的期望為 .
【答案】.
【分析】根據(jù)題意，得到變量可能的取值，根據(jù)公式求得相應(yīng)的概率，得出分布列，利用公式求得數(shù)學(xué)期望.
【詳解】由題意，隨機變量可能的取值分別為（單位：），
事件“”等價于事件“該學(xué)生在路口遇到次紅燈”，其中，
所以，其中，
可得，
所以隨機變量的分別列為：
所以期望為：.
故答案為：.
解答題
17.甲?乙兩人進行射擊比賽，各射擊局，每局射擊次，射擊命中目標得分，未命中目標得分，兩人局的得分情況如下：
（1）若從甲的局比賽中，隨機選取局，求這局的得分恰好相等的概率.
（2）如果，從甲?乙兩人的局比賽中隨機各選取局，記這局的得分和為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：.
【分析】（1）根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出所求概率.
（2）利用古典概型概率計算公式，計算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）由已知可得從甲的局的比賽中，隨機選取局的情況有種，
得分恰好相等的有種，所以這局的得分恰好相等的概率為.
（2）當時，的可能取值有，，，，
所以，，，，所以的分布列為：
.
18.甲乙兩隊進行籃球比賽，約定賽制如下：誰先贏四場則最終獲勝，已知每場比賽甲贏的概率為，輸?shù)母怕蕿椋?br>(1)求甲最終獲勝的概率；
(2)記最終比賽場次為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【分析】（1）設(shè)甲最終獲勝的概率為P，分四局比賽獲勝、五局比賽獲勝、六局比賽獲勝、七局比賽獲勝這幾種情況討論，根據(jù)相互獨立事件的概率公式及互斥事件的概率公式計算可得．
（2）依題意X的所有可能取值為4，5，6，7，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望．
【詳解】（1）解：設(shè)甲最終獲勝的概率為P．
∵甲四局比賽獲得勝利的概率為；
甲五局比賽獲得勝利的概率為；
甲六局比賽獲得勝利的概率為；
甲七局比賽獲得勝利的概率為．
∴．
∴甲最終獲勝的概率為．
（2）解：X的所有可能取值為4，5，6，7．
；；
；．
隨機變量X的分布列為：
∴．
∴X的數(shù)學(xué)期望為
19.“過橋米線”是云南滇南地區(qū)特有的一種小吃.在云南某地區(qū)“過橋米線”有三種品牌的店，其中品牌店家，品牌店家，品牌店家.
（Ⅰ）為了加強對食品衛(wèi)生的監(jiān)督管理工作，該地區(qū)的食品安全管理局決定按品牌對這家“過橋米線”專營店采用分層抽樣的方式進行抽樣調(diào)查，被調(diào)查的店共有家，則品牌的店各應(yīng)抽取多少家？
（Ⅱ）為了吸引顧客，所有品牌店舉辦優(yōu)惠活動：在一個盒子中裝有形狀、大小相同的個白球和個紅球.顧客可以一次性從盒中抽取個球，若是個紅球則打六折（按原價的付費），個紅球個白球打八折，個紅球個白球則打九折，個白球則打九六折.小張在該店點了價值元的食品，并參與了抽獎活動，設(shè)他實際需要支付的費用為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】（Ⅰ）品牌店家，應(yīng)抽查品牌店家；（Ⅱ）分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)分層抽樣每層按比例分配，即可求解；
（2）求出隨機變量的可能取值，并求出相應(yīng)的概率，即可得到分布列，進而根據(jù)期望公式求解.
【詳解】（Ⅰ）由題意得，應(yīng)抽查品牌店家，
應(yīng)抽查品牌店家；
（Ⅱ）離散型隨機變量的可能取值為.
于是，，
，.
的分布列如下
所以
【點睛】本題考查分層抽樣、離散型隨機變量的分布列和期望，求出隨機變量的概率是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
20.已知一位籃球投手投中兩分球的概率為，投中三分球的概率為，每次投中兩分球、三分球分別得2分、3分，未投中均得0分，每次投籃的結(jié)果相互獨立，該投手進行3次投籃：包括兩分球投籃1次、三分球投籃2次．
（1）求“該投手投中兩分球且恰好投中三分球1次”的概率；
（2）求該投手的總得分的分布列和數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析；期望為；
【分析】（1）利用相互獨立事件的概率乘法公式求解即可；
（2）先求出隨機變量的可能取值，然后求出其對應(yīng)的概率，列出分布列，由數(shù)學(xué)期望的計算公式求解即可．
【詳解】解：（1）記“該投手投中兩分球1次“為事件，則，
記“該投手第一次投中三分球“為事件，則，
記“該投手第二次投中三分球“為事件，則，
記“該投手投中兩分球且恰好投中三分球1次”為事件，
因為每次投籃的結(jié)果相互獨立，所以，
所以；
（2）的可能取值為0，2，3，5，6，8，
則，
，
，
，，，
故的分布列為：
所以．
21.某理財公司有兩種理財產(chǎn)品A和B，這兩種理財產(chǎn)品一年后盈虧的情況如下（每種理財產(chǎn)品的不同投資結(jié)果之間相互獨立）：
產(chǎn)品A
產(chǎn)品B 注：p＞0，q＞0（1）已知甲、乙兩人分別選擇了產(chǎn)品A和產(chǎn)品B投資，如果一年后他們中至少有一人獲利的概率大于，求實數(shù)p的取值范圍；
（2）若丙要將家中閑置的10萬元人民幣進行投資，以一年后投資收益的期望值為決策依據(jù)，則選用哪種產(chǎn)品投資較理想？
【答案】（1）；
（2）當時，E(X)＝E(Y)，選擇產(chǎn)品A和產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望相同，可以在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B中任選一個；
當時，E(X)＞E(Y)，選擇產(chǎn)品A一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品A；
當時，E(X)＜E(Y)，選擇產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品B．
【分析】（1）先表示出兩人全都不獲利的概率，再求至少有一人獲利的概率，列出不等式求解；
（2）分別求出兩種產(chǎn)品的期望值，對期望中的參數(shù)進行分類討論，得出三種情況.
【詳解】（1）記事件A為“甲選擇產(chǎn)品A且盈利”，事件B為“乙選擇產(chǎn)品B且盈利”，事件C為“一年后甲，乙兩人中至少有一人投資獲利”，則，．
所以，解得．
又因為，q＞0，所以．
所以．
（2）假設(shè)丙選擇產(chǎn)品A進行投資，且記X為獲利金額（單位：萬元），則隨機變量X的分布列為
則．
假設(shè)丙選擇產(chǎn)品B進行投資，且記Y為獲利金額（單位：萬元），則隨機變量Y的分布列為
則．
討論：
當時，E(X)＝E(Y)，選擇產(chǎn)品A和產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望相同，可以在產(chǎn)品A和產(chǎn)品B中任選一個；
當時，E(X)＞E(Y)，選擇產(chǎn)品A一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品A；
當時，E(X)＜E(Y)，選擇產(chǎn)品B一年后投資收益的數(shù)學(xué)期望較大，應(yīng)選產(chǎn)品B．
【點睛】本題考查獨立事件的概率以及期望的求法，注意求概率時“正難則反”，若直接求不容易求，則求其相反的事件的概率，反推即可.
22.醫(yī)學(xué)研究表明，在沒有食物尤其是沒有水的條件下，生命存續(xù)期一般不會超過三天．國際救援界認為，在地震等地質(zhì)災(zāi)害發(fā)生后的72小時內(nèi)，被救出人員的存活率隨時間的消逝呈遞減趨勢，這就是大家所說的“黃金72小時”．某煤礦由于開采不當發(fā)生了礦難，發(fā)現(xiàn)有3個礦工被困井下．其中2個人在“黃金72小時”被營救的概率均為，另外1個人在“黃金72小時”被營救的概率為．設(shè)每個人是否被營救成功相互獨立．
（1）求在“黃金72小時”內(nèi)至少有2個礦工營救成功的概率；
（2）由于發(fā)生了生產(chǎn)安全事故，政府將對該企業(yè)罰款100萬，另外，假設(shè)每個礦工在“黃金72小時”內(nèi)獲得營救需要賠償10萬元，否則需賠償80萬元，求該企業(yè)由于此次事故造成錢財損失的期望（精確到0.1）
【答案】（1）；（2）223.3萬元．
【分析】（1）法一：正面考慮，分別求得在“黃金72小時”內(nèi)有2個礦工營救成功的概率為和在“黃金72小時”內(nèi)有3個礦工營救成功的概率，求和即可；
法二：反面考慮，在“黃金72小時”內(nèi)有1個礦工營救成功的概率為在“黃金72小時”內(nèi)所有礦工均未營救成功的概率為，則即為解；
（2）設(shè)錢財損失為隨機變量，，分別求得對應(yīng)數(shù)據(jù)的概率，
，，，，再求期望即可得解.
【詳解】（1）法一：在“黃金72小時”內(nèi)有2個礦工營救成功的概率：
在“黃金72小時”內(nèi)有3個礦工營救成功的概率：
在“黃金72小時”內(nèi)至少有2個礦工營救成功的概率：．
法二：在“黃金72小時”內(nèi)有1個礦工營救成功的概率：
在“黃金72小時”內(nèi)所有礦工均未營救成功的概率：
在“黃金72小時”內(nèi)至少有2個礦工營救成功的概率：
（2）設(shè)錢財損失為隨機變量，
3個礦工在“黃金72小時”內(nèi)獲得營救的概率：，
3個礦工中有1個礦工在“黃金72小時”內(nèi)獲得營救的概率：，
3個礦工中有2個礦工在“黃金72小時”內(nèi)獲得營救的概率：，
3個礦工全部在“黃金72小時”內(nèi)獲得營救的概率：
該企業(yè)由于礦難發(fā)生錢財損失的期望223.3萬元．
0
2
4
0.3
0.2
0.5
0
1
2
3
1
2
3
4
0
X
0
1
2
3
P
m
X
﹣1
0
1
P

1
2
3
7
9
0.1
0.4
周需求量n
18
19
20
21
22
頻數(shù)
1
2
3
3
1
0
2
4
6
8
甲
乙
X
4
5
6
7
P
60
80
90
96
0
2
3
5
6
8
投資結(jié)果
獲利40%
不賠不賺
虧損20%
概率
投資結(jié)果
獲利20%
不賠不賺
虧損10%
概率
p
q
X
4
0
-2
p
Y
2
0
-1
p
p
q

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