一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)
1．[2023·河北唐山高二期中]在100件產(chǎn)品中有5件次品，采用有放回的方式從中任意抽取10件，設(shè)X表示這10件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則( )
A．X～B(100，0.05) B．X～B(10，0.05)
C．X～B(1000，95) D．X～B(10，0.95)
2．某一批種子的發(fā)芽率為eq \f(2,3).從中隨機(jī)選擇3顆種子進(jìn)行播種，那么恰有2顆種子發(fā)芽的概率為( )
A．eq \f(2,9)B．eq \f(8,27)C．eq \f(4,9)D．eq \f(2,3)
3．[2023·河南洛陽(yáng)高二期中]已知隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B(6，eq \f(1,3))，即P(ξ＝2)＝( )
A．eq \f(3,16)B．eq \f(1,243)C．eq \f(13,243)D．eq \f(80,243)
4．2022年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊(duì)與法國(guó)隊(duì)在120分鐘比賽中3∶3戰(zhàn)平，經(jīng)過(guò)四輪點(diǎn)球大戰(zhàn)阿根廷隊(duì)以總分7∶5戰(zhàn)勝法國(guó)隊(duì)，第三次獲得世界杯冠軍．其中門將馬丁內(nèi)斯撲出法國(guó)隊(duì)員的點(diǎn)球，表現(xiàn)神勇，撲點(diǎn)球的難度一般比較大，假設(shè)罰點(diǎn)球的球員會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向射門，門將也會(huì)等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個(gè)方向來(lái)?yè)潼c(diǎn)球，而且門將即使方向判斷正確也有eq \f(1,2)的可能性撲不到球．若不考慮其他因素，在點(diǎn)球大戰(zhàn)中，門將在前四次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X的期望為( )
A．eq \f(1,6)B．eq \f(1,2)C．eq \f(2,3)D．2
5．[2023·山東青島高二期末]如果一次伯努利試驗(yàn)中，出現(xiàn)“成功”的概率為eq \f(1,3)，記6次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”的次數(shù)為X，則D(X)＝( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(4,3)C．2D．4
6．已知隨機(jī)變量X～B(n，p)，若E(X)＝1，D(X)＝eq \f(4,5)，則P(X＝4)＝( )
A．eq \f(4,625)B．eq \f(32,125)C．eq \f(1,125)D．eq \f(1,25)
7．設(shè)隨機(jī)變量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq \f(5,9)，則P(η≥2)的值為( )
A．eq \f(32,81)B．eq \f(11,27)C．eq \f(65,81)D．eq \f(16,81)
8．[2023·河南開(kāi)封高二期中]甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，比賽采取5局3勝制，假設(shè)每局比賽相互獨(dú)立且沒(méi)有平局，若每局比賽甲勝的概率為eq \f(3,5)，則比賽在第4局結(jié)束的概率為( )
A．eq \f(72,625)B．eq \f(162,625)C．eq \f(234,625)D．eq \f(324,625)
二、多項(xiàng)選擇題(每小題5分，共10分)
9．[2023·江西宜春高二期中]若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為4，eq \f(2,3)的二項(xiàng)分布，則( )
A.P(X＝1)＝P(X＝3) B．P(X＝2)＝3P(X＝1)
C．P(X＝0)＝2P(X＝4) D．P(X＝3)＝4P(X＝1)
10．設(shè)a，b∈R＋，且eq \f(1,a)－eq \f(1,b)＝1，隨機(jī)變量X～B(6，eq \f(2,3))，隨機(jī)變量Y＝aX－b，則( )
A．E(X)＝4
B．D(Y)＝a2D(X)－b
C．E(X2)＝eq \f(52,3)
D．當(dāng)E(Y)取得最大值時(shí)，D(Y)＝eq \f(1,3)
三、填空題(每小題5分，共10分)
11．已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，且X的期望E(X)＝4，方差D(X)＝2，則n＝________．
12．在3重伯努利試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少出現(xiàn)1次的概率為eq \f(19,27)，則事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為_(kāi)_______．
四、解答題(共20分)
13．(10分)[2023·河北石家莊高二期中]某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為0.7，現(xiàn)投了6次球．
(1)求恰有4次命中的概率；
(2)求至多有4次命中的概率；
(3)設(shè)命中的次數(shù)為X，求E(X).
14．(10分)[2023·廣東佛山高二期末]某商家為了提高服務(wù)質(zhì)量，專門開(kāi)設(shè)了顧客反饋熱線電話．熱線電話共有3個(gè)分機(jī)專供與顧客通話．設(shè)每個(gè)分機(jī)在每一時(shí)刻占線的概率為eq \f(1,3)，并且各個(gè)分機(jī)是否占線是相互獨(dú)立的．
(1)求在某一時(shí)刻恰好有一個(gè)分機(jī)占線的概率；
(2)求任一時(shí)刻占線的分機(jī)個(gè)數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
關(guān)鍵能力綜合練
15．(5分)[2023·江蘇南通高二期中]歐洲空中客車公司設(shè)計(jì)并制造了A340，它是一種有四臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的遠(yuǎn)程雙過(guò)道寬體客機(jī)，取代只有兩臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的A310，假設(shè)每一架飛機(jī)的引擎在飛行中出現(xiàn)故障的概率為1－p，且各引擎是否有故障是獨(dú)立的，已知A340飛機(jī)至少有3個(gè)引擎正常運(yùn)行，飛機(jī)就可成功飛行；A310飛機(jī)需要2個(gè)引擎全部正常運(yùn)行，飛機(jī)才能成功飛行．若要使A340飛機(jī)比A310飛機(jī)更安全，則飛機(jī)引擎的故障率應(yīng)控制的范圍是( )
A．(eq \f(2,3)，1) B．(eq \f(1,3)，1) C．(0，eq \f(2,3)) D．(0，eq \f(1,3))
[答題區(qū)]
16.(15分)某中學(xué)為宣傳傳統(tǒng)文化，特舉行一次《詩(shī)詞大賽》知識(shí)競(jìng)賽．規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競(jìng)賽中小組兩人分別答兩題．若小組答對(duì)題數(shù)不小于3，則獲得“優(yōu)秀小組”稱號(hào)．已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，且甲同學(xué)和乙同學(xué)答對(duì)每道題的概率分別為p1，p2.
(1)若p1＝eq \f(4,5)，p2＝eq \f(3,4)，求在第一輪競(jìng)賽中，他們獲得“優(yōu)秀小組”稱號(hào)的概率；
(2)若p1＋p2＝eq \f(5,4)，且每輪競(jìng)賽結(jié)果互不影響．如果甲、乙同學(xué)想在此次競(jìng)賽活動(dòng)中獲得6次“優(yōu)秀小組”稱號(hào)，那么理論上至少要進(jìn)行多少輪競(jìng)賽？
同步練習(xí)15 二項(xiàng)分布
1．解析：有放回抽取，每次取到次品的概率都是eq \f(5,100)＝0.05，
相當(dāng)于10次獨(dú)立重復(fù)的伯努利實(shí)驗(yàn)，
所以服從二項(xiàng)分布X～B(10，0.05).
答案：B
2． 答案：C
3．解析：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布ξ～B(6，eq \f(1,3))，所以P(ξ＝2)＝C eq \\al(2,6) ·(eq \f(1,3))2·(eq \f(2,3))4＝eq \f(80,243).
答案：D
4．解析：依題意可得，門將每次可以撲出點(diǎn)球的概率為P＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,6).
門將在前四次撲出點(diǎn)球的個(gè)數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，4.X～B(4，eq \f(1,6))，
期望E(X)＝4×eq \f(1,6)＝eq \f(2,3).
答案：C
5．解析：伯努利試驗(yàn)中隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，
因?yàn)槌霈F(xiàn)“成功”的概率為eq \f(1,3)，所以p＝eq \f(1,3)，
因?yàn)?次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以n＝6，
所以D(X)＝np(1－p)＝6×eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,3))＝eq \f(4,3).
答案：B
6．解析：由E(X)＝1，D(X)＝eq \f(4,5)，
得np＝1，np(1－p)＝eq \f(4,5)，
解得n＝5，p＝eq \f(1,5)，
所以P(X＝4)＝C eq \\al(4,5) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(4)×(1－eq \f(1,5))＝eq \f(4,625).
答案：A
7．解析：因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～B(2，p)，
所以P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝eq \f(5,9)，
解得p＝eq \f(1,3)，所以η～B(4，eq \f(1,3))，
則P(η≥2)＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－(1－eq \f(1,3))4－C eq \\al(1,4) (1－eq \f(1,3))3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(1)＝eq \f(11,27).
答案：B
8．解析：打完第4局比賽結(jié)束，包含以下兩種情況，
(1)第4局甲贏，前三局甲贏兩局，
概率為C eq \\al(2,3) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(162,625)；
(2)第4局乙贏，前三局乙贏兩局，
概率為C eq \\al(2,3) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(72,625)；
∴打完第4局比賽結(jié)束的概率為eq \f(162,625)＋eq \f(72,625)＝eq \f(234,625).
答案：C
9．解析：由題意，根據(jù)二項(xiàng)分布中概率的計(jì)算公式P(X＝k)＝C eq \\al(k,n) pk(1－p)n－k，k＝0，1，…，n，
則P(X＝0)＝C eq \\al(0,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(0)(1－eq \f(2,3))4＝eq \f(1,81)，
P(X＝1)＝C eq \\al(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(1)(1－eq \f(2,3))3＝eq \f(8,81)，
P(X＝2)＝C eq \\al(2,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)(1－eq \f(2,3))2＝eq \f(8,27)，
P(X＝3)＝C eq \\al(3,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(3)(1－eq \f(2,3))1＝eq \f(32,81)，
P(X＝4)＝C eq \\al(4,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(4)(1－eq \f(2,3))0＝eq \f(16,81)，
因此P(X＝2)＝3P(X＝1)，P(X＝3)＝4P(X＝1)，
P(X＝4)＝16P(X＝0).
答案：BD
10．解析：E(X)＝np＝6×eq \f(2,3)＝4，A正確；
D(Y)＝D(aX－b)＝a2D(X)，B不正確；
D(X)＝np(1－p)＝6×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,3)，因?yàn)镈(X)＝E(X2)－(E(X))2，所以E(X2)＝D(X)＋(E(X))2＝eq \f(4,3)＋16＝eq \f(52,3)，C正確；
E(Y)＝aE(X)－b＝4a－b＝(4a－b)(eq \f(1,a)－eq \f(1,b))＝5－(eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b))≤5－2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝1，當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(b,a)＝eq \f(4a,b)，即a＝eq \f(1,2)，b＝1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)D(Y)＝a2D(X)＝eq \f(1,3)，D正確．
答案：ACD
11．解析：依題意X～B(n，p)，所以E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝2，解得p＝eq \f(1,2)，n＝8.
答案：8
12．解析：記“A至少發(fā)生1次”為事件M，則eq \(M,\s\up6(－))表示其對(duì)立事件“A發(fā)生0次”，
事件A的發(fā)生符合二項(xiàng)分布，設(shè)事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p，
P(M)＝1－P(eq \(M,\s\up6(－)))＝1－C eq \\al(0,3) p0(1－p)3＝eq \f(19,27)，
所以(1－p)3＝eq \f(8,27)，
所以(1－p)＝eq \f(2,3)，解得p＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
13．解析：(1)某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃的命中率為0.7，則未命中的概率為1－0.7＝0.3，
現(xiàn)投了6次球，恰有4次投中的概率為：P＝C eq \\al(4,6) ×(0.7)4×(1－0.7)2＝eq \f(64827,200000).
(2)至多有4次投中的概率為：
P＝C eq \\al(0,6) ×0.36＋C eq \\al(1,6) ×0.71×0.35＋C eq \\al(2,6) ×0.72×0.34＋C eq \\al(3,6) ×0.73×0.33＋C eq \\al(4,6) ×0.74×0.32＝eq \f(23193,40000).
(3)由題意可知X～B(6，0.7)，所以E(X)＝6×0.7＝4.2.
14．解析：(1)設(shè)事件A＝“恰好有一個(gè)分機(jī)占線”，
則P(A)＝C eq \\al(1,3) ×eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,3))2＝eq \f(4,9).
(2)由于各個(gè)分機(jī)是否占線是相互獨(dú)立的，則X～B(3，eq \f(1,3))，
所以P(X＝0)＝C eq \\al(0,3) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(0)×(1－eq \f(1,3))3＝eq \f(8,27)，
P(X＝1)＝C eq \\al(1,3) ×eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,3))2＝eq \f(4,9)，
P(X＝2)＝C eq \\al(2,3) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)×(1－eq \f(1,3))＝eq \f(2,9)，
P(X＝3)＝C eq \\al(3,3) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)×(1－eq \f(1,3))0＝eq \f(1,27).
故X的分布列為：
所以X的期望E(X)＝0×eq \f(8,27)＋1×eq \f(4,9)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,27)＝1.
15．解析：若A340飛機(jī)正常飛行，至少3個(gè)引擎正常運(yùn)行，
概率P1＝C eq \\al(3,4) p3(1－p)＋p4＝p3(4－3p)，
若A310飛機(jī)正常飛行，2個(gè)引擎都正常運(yùn)行，概率P2＝p2，
由題意可知，C eq \\al(3,4) p3(1－p)＋p4＝p3(4－3p)>p2，解得：eq \f(1,3)

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