?《離散型隨機(jī)變量的方差》教學(xué)設(shè)計(jì)
一、導(dǎo)語
隨機(jī)變量的均值是一個(gè)重要的數(shù)字特征,它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢(shì)”.因?yàn)殡S機(jī)變量的取值圍繞其均值波動(dòng),而隨機(jī)變量的均值無法反映波動(dòng)幅度的大小,所以我們還需要尋找反映隨機(jī)變量取值波動(dòng)大小的數(shù)字特征.
設(shè)計(jì)意圖:通過談話,引入課題.
二、探究新知
探究1:從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級(jí)參加射擊比賽.根據(jù)以往的成績記錄,甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如表1和表2所示.

如何評(píng)價(jià)這兩名同學(xué)的射擊水平?
師生活動(dòng):教師提出探究問題,引導(dǎo)學(xué)生分析.
師:能不能用我們上一節(jié)課學(xué)習(xí)的均值分析這一問題?同學(xué)們嘗試一下.
學(xué)生運(yùn)算求解,求出甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)的均值.
通過計(jì)算可得,.因?yàn)閮蓚€(gè)均值相等,所以根據(jù)均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平.
追問1:平均水平相同,是不是這兩名同學(xué)的射擊水平就沒有差距呢?我們還能不能從其他角度進(jìn)一步考察這兩名同學(xué)的射擊水平呢?
下面我們從穩(wěn)定性的角度考慮,你能根據(jù)表1和表2畫出這兩名同學(xué)擊中環(huán)數(shù)的概率分布圖嗎?同學(xué)們動(dòng)手試一下.
學(xué)生嘗試獨(dú)立完成,教師出示下圖.

追問2:從圖中你能發(fā)現(xiàn)什么?
發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績更集中于8環(huán),即乙同學(xué)的射擊成績更穩(wěn)定.
追問3:上面的結(jié)論我們是通過觀察概率分布圖直觀得到的,怎樣定量刻畫離散型隨機(jī)變量取值的離散程度?
設(shè)計(jì)意圖:通過具體的問題情境,讓學(xué)生積極思考、參與互動(dòng),從而引入離散型隨機(jī)變量的方差的概念,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).
師:先看下面兩個(gè)問題.
問題1:某人學(xué)習(xí)射擊,射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:.則所得的平均環(huán)數(shù)是多少?
問題2:某人學(xué)習(xí)射擊,射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:.則這組數(shù)據(jù)的方差是多少?
師生活動(dòng):教師提出上述問題,讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算,并讓學(xué)生思考,由此你能想到什么?
.


.
設(shè)計(jì)意圖:通過問題1、問題2,為引入離散型隨機(jī)變量的方差的概念作準(zhǔn)備.
教師提問:我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度,它是通過計(jì)算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實(shí)現(xiàn)的.一個(gè)自然的想法是,隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢?
學(xué)生討論,得出:可以用偏差平方關(guān)于取值概率的加權(quán)平均,來度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度.
師生總結(jié)得出概念:
一般地,若離散型隨機(jī)變量的分布列如下:

則稱為隨機(jī)變量的方差,有時(shí)也記為.
稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差,記為.
說明:隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度,反映了隨機(jī)變量取值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,隨機(jī)變量的取值越集中;方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大,隨機(jī)變量的取值越分散.
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生經(jīng)歷離散型隨機(jī)變量的方差概念的建構(gòu)過程,進(jìn)一步體會(huì)從特殊到一般的思想,培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比等合情推理的能力,提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng).
因此,探究1中,可以用兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫他們射擊成績的穩(wěn)定性.兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為
;
.
因?yàn)?等價(jià)地,),所以隨機(jī)變量的取值相對(duì)更集中,即乙同學(xué)的射擊成績相對(duì)更穩(wěn)定.
設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生利用方差和標(biāo)準(zhǔn)差的定義求解探究1提出的問題,學(xué)以致用,提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).
問題3:方差的計(jì)算可以簡化嗎?
教師提出問題,先讓學(xué)生思考,再出示簡化的結(jié)果.



.
讓學(xué)生區(qū)分與.
設(shè)計(jì)意圖:有助于學(xué)生更好地理解方差的本質(zhì).
探究2:離散型隨機(jī)變量加上一個(gè)常數(shù),方差會(huì)有怎樣變化?離散型隨機(jī)變量乘一個(gè)常數(shù),方差又有怎樣的變化?它們和期望的性質(zhì)有什么不同?
師生活動(dòng):教師提出問題,讓學(xué)生充分思考、討論、交流.在此基礎(chǔ)上,找?guī)酌麑W(xué)生代表分享討論交流的結(jié)果.
學(xué)生發(fā)言后,教師進(jìn)行評(píng)價(jià)指導(dǎo),最后共同得出結(jié)論.
離散型隨機(jī)變量加上一個(gè)常數(shù),其均值也相應(yīng)加上常數(shù),故不改變與其均值的離散程度,方差保持不變,即.而離散型隨機(jī)變量乘一個(gè)常數(shù),其方差變?yōu)樵讲畹谋?即.因此,.
用定義證明(供教師參考):
設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為

由(為常數(shù))知也是離散型隨機(jī)變量.的分布列為

由均值的性質(zhì)得,于是





.
設(shè)計(jì)意圖:類比均值的性質(zhì),推導(dǎo)得出方差的性質(zhì).根據(jù)學(xué)生的情況,教師可以引導(dǎo)學(xué)生用方差的定義證明這一結(jié)論,提高學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).
三、典例剖析
例1 拋鄭一枚質(zhì)地均勻的骰子,求擲出的點(diǎn)數(shù)的方差.
師生活動(dòng):教師讓學(xué)生利用方差的定義進(jìn)行計(jì)算.集體核對(duì).
解:隨機(jī)變量的分布列為,
因?yàn)?
所以.
教師指出:方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力,在隨機(jī)變量的均值比較容易計(jì)算的情況下,運(yùn)用公式不失為一種比較實(shí)用的方法.另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,即.
設(shè)計(jì)意圖:通過例題,提升對(duì)概念精細(xì)化的理解.讓學(xué)生掌握方差的算法,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
例2 投資兩種股票,每股收益的分布列分別如表1和表2所示.

(1)投資哪種股票的期望收益大?
(2)投資哪種股票的風(fēng)險(xiǎn)較高?
師生活動(dòng):
教師提問:你能用我們所學(xué)的知識(shí)分析、解決這一生活中的實(shí)際問題嗎?
教師可以引導(dǎo)分析第(2)問,我們?nèi)绾魏饬客顿Y風(fēng)險(xiǎn)的高低?
解:(1)股票和股票投資收益的期望分別為
,
.
因?yàn)?所以投資股票的期望收益較大.
(2)股票和股票投資收益的方差分別為
,

因?yàn)楹拖嗖畈淮?且,所以投資股票比投資股票的風(fēng)險(xiǎn)高.
設(shè)計(jì)意圖:例2是綜合利用均值和方差比較投資兩種股票收益的問題,目的是使學(xué)生了解在實(shí)際問題中均值和方差的意義.在這個(gè)問題中,均值表示平均收益,方差表示風(fēng)險(xiǎn)(不確定性).在教學(xué)中,可以提供更多不同背景的實(shí)際問題,幫助學(xué)生了解均值、方差的意義.
師生共同歸納總結(jié)利用均值和方差的意義解決實(shí)際問題的步驟:
（1）比較均值.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,因此,在實(shí)際決策問題中,需先計(jì)算均值,看一下誰的平均水平高.
（2）在均值相等或接近的情況下計(jì)算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度.通過計(jì)算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定.
（3）下結(jié)論.依據(jù)均值和方差給出結(jié)論.
四、達(dá)標(biāo)檢測(cè)
1.把隨機(jī)變量X的分布列填寫完整,并完成填空.

若,則______,______.
2.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下.若,則______,______,______.

3.甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等,而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)的分布列分別如下.
甲保護(hù)區(qū):

乙保護(hù)區(qū):

試計(jì)算這兩個(gè)保護(hù)區(qū)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件次數(shù)的均值和方差.
答案
1. (點(diǎn)撥:由分布列的性質(zhì)知,分布列中應(yīng)填..)
2. (點(diǎn)撥:由題知,解得,.)
3.甲保護(hù)區(qū)違規(guī)事件次數(shù)的均值和方差分別為
,
.
乙保護(hù)區(qū)違規(guī)事件次數(shù)的均值和方差分別為
,
.
設(shè)計(jì)意圖:通過練習(xí),鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí).通過學(xué)生解決問題,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).
五、課堂總結(jié)
1.離散型隨機(jī)變量的方差是如何定義的?我們是如何得出隨機(jī)變量方差公式的?
2.在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的方差時(shí),我們?nèi)绾芜x擇公式簡化運(yùn)算?
3.如何利用方差和標(biāo)準(zhǔn)差分析、解決生活中的實(shí)際問題?
設(shè)計(jì)意圖:通過總結(jié),讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容,提高概括能力.
六、布置作業(yè)
教材第70頁練習(xí)第題.
板書設(shè)計(jì):
7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差
1.一般地,若離散型隨機(jī)變量的分布列如下:

則稱為隨機(jī)變量的方差,有時(shí)也記為
2.稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差,記為
3.離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)



4.例題
例1
例2

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7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

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