人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè) 7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征 一、單選題1．設(shè)，隨機(jī)變量的分布01Pab 則當(dāng)a在內(nèi)增大時(shí)，（       ）A．增大，增大 B．增大，減小C．減小，增大 D．減小，減小2．某船隊(duì)若出海后天氣好，可獲得5 000元；若出海后天氣壞，將損失2 000元．根據(jù)預(yù)測(cè)知天氣好的概率為0.6，則出海的期望效益是（       ）A．2 000元 B．2 200元C．2 400元 D．2 600元3．已知甲、乙兩人進(jìn)行五局球賽，甲每局獲勝的概率是，且各局的勝負(fù)相互獨(dú)立，已知 甲勝一局的獎(jiǎng)金為10元，設(shè)甲所獲得的資金總額為X元，則甲所獲得獎(jiǎng)金總額的方差（       ）A．120 B．240 C．360 D．4804．已知隨機(jī)變量的分布列為： 設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望的值是（       ）A． B． C． D．5．設(shè)p，，隨機(jī)變量量ξ的的分布列是：012p 隨機(jī)變量η的分布列是：012p 則（       ）A． B．C． D．與大小關(guān)系不定6．某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：已知的數(shù)學(xué)期望，則的值為（       ）789100.10.3 A．0.8 B．0.6C．0.4 D．0.27．設(shè)隨機(jī)變量滿(mǎn)足(為非零常數(shù))，若，則和分別等于（       ）A． B．C． D．8．已知隨機(jī)變量，則（       ）A． B． C． D．109．已知隨機(jī)變量的取值為.若，，則（       ）A． B． C． D．10．袋中有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，取后放回，取3次，在這3次取球中，設(shè)取到黑球的次數(shù)為，則（       ）A． B． C． D．11．已知隨機(jī)變量滿(mǎn)足，且為正數(shù)，若，則（       ）A． B． C． D．12．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若出現(xiàn)正面朝上則停止拋擲，至多拋擲ni次，設(shè)拋擲次數(shù)為隨機(jī)變量ξi，i＝1，2.若n1＝3，n2＝5，則（   ）A．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B．E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D．E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）二、填空題13．若的方差為2，則，，…，的方差為______．14．已知隨機(jī)變量，則___________.15．若隨機(jī)變量的分布列為01 則______．16．體育課的排球發(fā)球項(xiàng)目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次為止.設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍是________.17．設(shè)隨機(jī)變量的方差，則的值為_____．三、解答題18．為迎接2020年國(guó)慶節(jié)的到來(lái)，某電視臺(tái)舉辦愛(ài)國(guó)知識(shí)問(wèn)答競(jìng)賽，每個(gè)人隨機(jī)抽取五個(gè)問(wèn)題依次回答，回答每個(gè)問(wèn)題相互獨(dú)立.若答對(duì)一題可以上升兩個(gè)等級(jí)，回答錯(cuò)誤可以上升一個(gè)等級(jí)，最后看哪位選手的等級(jí)高即可獲勝.甲答對(duì)每個(gè)問(wèn)題的概率為，答錯(cuò)的概率為.（1）若甲回答完5個(gè)問(wèn)題后，甲上的臺(tái)階等級(jí)數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）若甲在回答過(guò)程中出現(xiàn)在第個(gè)等級(jí)的概率為，證明：為等比數(shù)列.19．為迎接年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開(kāi)展滑雪促銷(xiāo)活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為元（不足1小時(shí)的部分按小時(shí)計(jì)算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)小時(shí)離開(kāi)的概率分別為、；小時(shí)以上且不超過(guò)小時(shí)離開(kāi)的概率分別為、；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)小時(shí).（1）求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望，方差.20．隨著國(guó)家對(duì)體育、美育的高度重視，不少省份已經(jīng)宣布將體育、美育納入中考范疇．某學(xué)校為了提升學(xué)生的體育水平，決定本學(xué)期開(kāi)設(shè)足球課，某次體育課上，體育器材室的袋子里有大小、形狀相同的2個(gè)黃色足球和3個(gè)白色足球，現(xiàn)從袋子里依次隨機(jī)取球．（1）若連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，求取出1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球的概率；（2）若無(wú)放回地取3次，每次取1個(gè)球，取出黃色足球得1分，取出白色足球不得分，求總得分X的分布列．21．京西某地到北京西站有阜石和蓮石兩條路，且到達(dá)西站所用時(shí)間互不影響.下表是該地區(qū)經(jīng)這兩條路抵達(dá)西站所用時(shí)長(zhǎng)的頻率分布表：時(shí)間(分鐘)10~2020~3030~4040~5050~60蓮石路的頻率0.10.20.30.20.2阜石路的頻率00.10.40.40.1 若甲?乙兩人分別有40分鐘和50分鐘的時(shí)間趕往西站(將頻率視為概率)（1）甲?乙兩人應(yīng)如何選擇各自的路徑？（2）按照（1）的方案，用X表示甲?乙兩人按時(shí)抵達(dá)西站的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考答案：1．D 求得之間的關(guān)系，再求出討論其單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：由因?yàn)榉植剂兄懈怕手蜑?/span>1，可得，∴，∴當(dāng)增大時(shí)，減小，又由可知當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，減小.故選：D.2．B  根據(jù)期望的計(jì)算方法，即可求解.【詳解】由題意，出海的期望效益（元）.故選：B.3．A  設(shè)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為，則，然后由方差的性質(zhì)和二項(xiàng)分布的知識(shí)可得答案.【詳解】設(shè)甲獲勝的局?jǐn)?shù)為，則所以故選：A4．C  根據(jù)分布列的性質(zhì)可求出，再根據(jù)期望公式即可求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，最后根據(jù)，即可求出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【詳解】根據(jù)分布列的性質(zhì)，得，解得，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．又，所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．故選：C.5．C 根據(jù)隨機(jī)變量的分布列，利用期望和方差的公式，分別求得和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，可得，，則=，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，又由，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以.故選：C.6．C  根據(jù)分布列的概率之和為1得的一個(gè)關(guān)系式，由變量的期望值得 的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立方程，求解的值.【詳解】解：由表格可知： ， 解得.故選：． 本題考查根據(jù)分布列和期望值求參數(shù)，熟記概念即可，屬于常考題型.7．B  利用滿(mǎn)足線(xiàn)性關(guān)系的兩隨機(jī)變量的均值、方差關(guān)系的計(jì)算公式即可求得.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量滿(mǎn)足，所以，；.故選：B. 若隨機(jī)變量滿(mǎn)足，他們的期望和方差分別滿(mǎn)足：8．D  求出，即可求出的值.【詳解】解：由題意知，，所以，故選: D. 本題考查了二項(xiàng)分布方差的求解，屬于基礎(chǔ)題.9．C  設(shè)，可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而可求出方差，再結(jié)合，可求出答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，又，解得，所以，，則，所以.故選：C. 本題考查隨機(jī)變量的期望與方差，注意方差的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10．C 根據(jù)題意可知取到黑球的次數(shù)的取值可能是0,1,2,3，由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則，進(jìn)一步求出答案.【詳解】有放回的抽取時(shí)，取到黑球的次數(shù)的取值可能是0,1,2,3，由于每次取到黑球的概率均為，3次取球可以看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則,,,.故選：C.11．C  根據(jù)題中條件，由方差的性質(zhì)列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】由方差的性質(zhì)可得，，因?yàn)?/span>，所以，又a為正數(shù)，所以．故選：C. 本題主要考查由方差的性質(zhì)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.12．A  由n1＝3，求出ξ1的分布列，從而求出E（ξ1），D（ξ1）；由n2＝5，求出ξ2的分布列，從而求出E（ξ2），D（ξ2）；進(jìn)而得到E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）.【詳解】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面朝上則停止拋擲，至多拋擲ni次，設(shè)拋擲次數(shù)為隨機(jī)變量ξi，i＝1，2，∵n1＝3，∴ξ1的分布列為：ξ1123P Eξ1，Dξ1＝（1）2（2）2（3）2.∵n2＝5，∴ξ2的分布列為：ξ212345P Eξ2，Dξ2＝（1）2（2）2（3）2（4）2（5）2，∴E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）.故選：A. 求離散型隨機(jī)變量的分布列，應(yīng)按以下三個(gè)步驟進(jìn)行：（1）明確離散型隨機(jī)變量的所有可能取值以及取每個(gè)值所表示的意義；（2）利用概率的有關(guān)知識(shí)求出隨機(jī)變量每個(gè)取值的概率；（3）按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列并用分布列的性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn).13．  根據(jù)方差的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>的方差為2，所以，，…，的方差為，故答案為：14． 根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求出，再根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)殡S機(jī)變量，所以所以故答案為：15．  根據(jù)分布列的性質(zhì)，求，再根據(jù)分布列求方差.【詳解】由分布列的性質(zhì)可得，∴， 由兩點(diǎn)分布的方差可得．故答案為：16．  分別求出所對(duì)應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，，，由得：，解得：或（舍），.故答案為：.17．4  利用方差的運(yùn)算性質(zhì)即可求解【詳解】.故答案為：18．（1）分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）證明見(jiàn)解析.  （1）首先確定的所有可能取值，根據(jù)概率公式分別求出對(duì)應(yīng)發(fā)生的概率，列出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)已知的關(guān)系，求出與，的關(guān)系式，再通過(guò)化簡(jiǎn)和等比數(shù)列的定義求解即可.【詳解】解：（1）依題意可得，，，，，，，，則的分布列如表所示.5678910 .（2）處于第個(gè)等級(jí)有兩種情況：由第等級(jí)到第等級(jí)，其概率為；由第等級(jí)到第等級(jí)，其概率為；所以，所以，即.所以數(shù)列為等比數(shù)列. 本題考查概率公式?隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查運(yùn)算求解能力?數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算?邏輯推理核心素養(yǎng).其中第二問(wèn)解題的關(guān)鍵在于尋找與，的關(guān)系式，即：，進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的定義證明.19．（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，，. （1）甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即為、、，求出相應(yīng)的概率，利用互斥事件的概率公式，可求出甲、乙兩人所付租車(chē)費(fèi)用相同的概率；（2）確定隨機(jī)變量的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可得出隨機(jī)變量的分布列，然后利用數(shù)學(xué)期望公式和方差公式求出和.【詳解】（1）兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為、、元，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為.則兩人所付費(fèi)用相同的概率為；（2）設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為，可能取值為、、、、，則，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為 .. 本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望以及方差的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20．（1）；（2）分布列見(jiàn)解析.  （1）利用古典概型概率公式即求；（2）由題知X的取值范圍為，分別求概率，即得.【詳解】（1）從袋子里連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，設(shè)事件A為“取出1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球”，則．（連續(xù)抽取3次，每次取1個(gè)球，求取出1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球的概率問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為從5個(gè)足球中選出3個(gè)足球，其中有1個(gè)黃色足球、2個(gè)白色足球的概率問(wèn)題）（2）X的取值范圍為，則，，．所以總得分X的分布列為：X012P 21．（1）甲應(yīng)選擇路徑，乙應(yīng)選擇路徑；（2）分布列見(jiàn)解析，  （1）分別求甲，乙兩人選擇兩條路徑，能趕到火車(chē)站的概率，比較后作出判斷；（2）由條件可知，根據(jù)（1）的結(jié)果，列出分布列，并求數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）表示事件“甲選擇路徑時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車(chē)站”，表示事件“乙選擇路徑時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車(chē)站”，，用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率，則有：，，，所以甲應(yīng)選擇路徑；，，，所以乙應(yīng)選擇路徑；（2）用分別表示針對(duì)（1）的選擇方案，甲，乙在各自的時(shí)間內(nèi)到達(dá)火車(chē)站，由（1）知，，且相互獨(dú)立，的取值是,，，，所以的分布列為： 012 0.040.430.54  關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查概率和統(tǒng)計(jì)，離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，本題的關(guān)鍵是第一問(wèn)，需讀懂題意，并轉(zhuǎn)化為計(jì)算概率，比較大小. 

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊(cè)電子課本

7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第三冊(cè)

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